第4章 相似三角形 单元培优测试卷2025-2026学年浙教版数学九年级上册

2025-2026学年浙教版数学九年级上册单元检测卷第4章 《相似三角形》单元培优测试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1．用放大镜将一个△ABC的面积放大为原来的 4 倍，则放大后的(　　) A．∠A，∠B、∠C是原来的4倍 B．周长是原来的2倍 C．对应边长是原来的4倍 D．对应中线长是原来的4倍 2．如图，以点O为位似中心的△ABC与△DEF的周长比为2：3，则OA：AD的值是（　　） A．4：9 B．3：1 C．2：1 D．2：3 3．如图，，若，，则与的相似比是（　　） A． B． C． D． 4．图①是伸缩折叠不锈钢晾衣架图，图②是它的侧面示意图，AD 与CB 相交于点O，AB∥CD，根据图②中的数据可得x 的值为(　　) A．0.8 B．0.96 C．1 D．1.08 5． 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点E 在AB 上，点 F 在CD上，点G，H 在对角线AC.上，若四边形 EGFH 是菱形，则AE 的长是(　　). A．2 B．3 C．5 D．6 6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列说法正确的是（　　） A．若OA·OC=OB·OD，则BC//AD B．若OA·BD=OB·AC，则BC//AD C．若OA·OB=OC·OD，则BC//AD D．若OA·OD=OB·OC，则BC//AD 8．如图，线段AD，BC交于点，连接AB，CD。若，，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，.点E是AC的中点，连接DE，且，，则（　　） A．4 B． C． D． 10．在正方形中，，点是边的中点，连接，延长至点，使得，过点作，分别交、于两点，连接，，，下列结论：①；②；③；④． 正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（每题3分，共18分） 11． 唢呐是山西八大套的乐器之一，如图，一个大唢呐AB的长约为56cm，若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点P处进行装饰，且，则该装饰与吹口的距离AP为　 　cm（结果保留根号）. 12．当时，则　 　． 13．如图，在正方形中，是边上靠近的三等分点，是的中点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是　 　． 14．如图，在中，，且，若的面积为，则四边形的面积为　 　． 15．如图，的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，点，在轴上，与轴交于点，连接，若，，则的值为　 　． 16．在矩形 中， ， 点 在直线 上， 且 ， 则点 到矩形对角线所在直线的距离是　 　. 三、解答题（共8题，共72分） 17． 如图所示，BC，AD 相交于点C，△ABC∽△DEC，AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3. （1）求CE 的长. （2）求证：BC⊥AD. 18．如图，在Rt中，已知，点在AC上.连结BD，过点作交BD于点，交BC于点. （1）求证：. （2）过点作交AC于点，若，求AG的长. 19．如图，在矩形中， ，点 分别在边 上，满足 ． （1）求证∶ ． （2）若 ，求的长． 20．如图，在四边形中，平分． （1）证明：； （2）已知，求的长． 21．如图，在⊙O中，AB和CD是弦，半径OA、OB分别交CD于点E、F，且CE=DF． （1）求证：AB//CD； （2）若AB=BD，求证：AB2=BF·OB． 22．问题：如图1，点P为正方形ABCD内一个动点，过点P作EF∥AD，GH∥AB，矩形PHCF的面积是矩形PGAE面积的2倍，探索∠FAH的度数随点P运动的变化情况． 【从特例开始】 （1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中∠FAH＝ 　 　 °． （2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中PE＝PF＝6，PG＝4，PH＝8，求此图形中∠FAH的度数； （3）【一般化探索】 利用图1，探索上述问题中∠FAH的度数随点P运动的变化情况，并说明理由． 23．在等腰中，，点是BC边上一点（不与点B，~C重合），连结AD． （1）如图1，若，点关于直线AB的对称点为点，连结AE，DE，则　 　 （2）若，将线段AD绕点顺时针旋转得到线段AE，连结BE． ①在图2中补全图形； ②探究CD与BE的数量关系，并证明； （3）如图3，若，且．试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明． 24．如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． （1）【问题解决】 如图①，若点与线段的中点重合，则　 　度，线段与线段的位置关系是　 　； （2）【问题探究】 如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】C 9．【答案】A 10．【答案】B 11．【答案】​​​​​​​ 12．【答案】 13．【答案】4 14．【答案】 15．【答案】-8 16．【答案】 或 或 17．【答案】（1）解：∵△ABC∽△DEC， ∴ 又∵AC=4.8，CD=1.6，BC=9.3 ∴EC=3.1 （2）证明：∵△ABC∽△DEC， ∴∠ACB=∠DCE， ∵∠ACB+∠DCE=180°， ∴∠ACB=∠DCE=90°， ∴BC⊥AD 18．【答案】（1）证明： 又 （2）解： 设，则 19．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴． （2）在中， ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴． ∴， ∴， ∴． 20．【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴； （2）∵， ∴，， ∴， ∵，即， 解得：． 答：CD的长为. 21．【答案】（1）证明：连接OC，OD， ∵OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC， ∵CE=DF， ∴△OCE≌△ODF(SAS)， ∴OE=OF， ∴EF//AB， ∴CD//AB； （2）证明：∵△OCE≌△ODF， ∴∠COE=∠DOF， ∵AB=BD， ∴∠AOB=∠DOF， ∴∠AOB=∠DOF=∠COE， 连接AF， ∵OA=OD， ∴△AOF≌△DOF(SAS)， ∴∠OAF=∠ODF=∠OCE， ∵∠OCE=∠OAF，∠OEC=∠AEF， ∴△OEC∽△FEA， ∴∠COE=∠AFE， ∴∠AOB=∠FAB=∠AFE， ∴△BAF∽△BOA， . 22．【答案】（1）45 （2）解：延长CB至点T，使得BT＝DF，连接AT，FH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABT＝90°， ∴△ABT≌△ADF（SAS）， ∴AT＝AF，∠TAB＝∠FAD， ∴∠FAD+∠BAH＝90°﹣∠HAF＝∠TAB+∠BAH＝∠TAH， ∵EF∥AD，GH∥AB， ∴四边形AEPG是平行四边形， ∵∠BAD＝90°， ∴四边形AEPG是矩形， 同理可得四边形PEBH，PGDF，PHCF为矩形， ∴PE＝BH＝6，PG＝DF＝TB＝4，∠HPF＝90°， ∴TH＝TB+BH＝4+6＝10，， ∴HT＝HF， ∴在△AHT和△AHF中， ， ∴△AHT≌△AHF（SSS）， ∴∠TAH＝∠HAF， ∵∠TAH＝90°﹣∠HAF， ∴90°﹣∠HAF＝∠HAF， ∴∠HAF＝45°，即∠FAH＝45°； （3）解：随点P的运动，∠FAH的度数不变，且为45°，理由如下： 延长CB至点T，使得BT＝DF，连接AT，FH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝∠ABC＝∠ABT＝90°， ∴△ABT≌△ADF（SAS）， ∴BT＝DF，AT＝AF，∠TAB＝∠FAD， ∴∠FAD+∠BAH＝90°﹣∠HAF＝∠TAB+∠BAH＝∠TAH， 同（2）可得四边形AEPG是矩形，四边形PEBH，PGDF，PHCF为矩形， 设正方形的边长为x，AG＝a，PG＝b， ∴AG＝PE＝BH＝a，PG＝DF＝BT＝b， ∴CH＝BC﹣BH＝x﹣a，CF＝CD﹣DF＝x﹣b， ∴HT＝BH+BT＝a+b， ∴∵S矩形PHCF＝2S矩形PGAE， ∴（x﹣a）（x﹣b）＝2ab， 整理得x2＝ab+ax+bx， ∵在Rt△CHF中，CH2+CF2＝HF2， ∴HF2＝（x﹣a）2+（x﹣b）2 ＝2x2﹣2ax+a2﹣2bx+b2 ＝2ab+2ax+2bx﹣2ax+a2﹣2bx+b2 ＝（a+b）2， ∴HF＝a+b（舍负）， ∴HF＝HT， ∴在△AHT和△AHF 中， ， ∴△AHT≌△AHF（SSS）， ∴∠TAH＝∠HAF， ∵∠TAH＝90°﹣∠HAF， ∴90°﹣∠HAF＝∠HAF， ∴∠HAF＝45°，即∠FAH＝45°． 23．【答案】（1）30° （2）解：①补全图形如下： ②，证明如下： 是等边三角形， ， 线段AD绕点顺时针旋转得到线段AE， ， ， ，即， 在和中， （3）解： ，证明如下：连接AE，如图： 即 在和中， ∴EAB Δ ≅ Δ DAC(SAS)， ∴ CD=BE， ∴BC=BD+CD=BD+BE 而 ∴ 即AC=k(BD+BE) 24．【答案】（1）30； （2）解：如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴. （3）解：如图，当在线段上，记与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 如图，当在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$