专题11证比例式或等积式的七种技巧（七种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

专题11证比例式或等积式的七种技巧（七种技巧精讲精练+过关检测） 题型01构造平行线法 【典例分析】 【例1-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，是外角的平分线，且交的延长线于点D． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）过点C作交于点F，则可证明，，由对应边成比例即可求证； （3）先由勾股定理得，设，则由，代入即可求解． 【详解】（1）证明：过点C作交于点F， ∵是外角的平分线， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； （2）解：∵，，， ∴由勾股定理得， 设，则由， 得， 解得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，勾股定理，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 【例1-2】如图，的边上有一点D，边的延长线上有一点E，且，交于点F，试证明． 【答案】见解析 【分析】要证，即证．由于、是同一直线上的两条线段，为此，可考虑转化线段的比，即作交于点G，则，而，所以，即只需证，很显然，从而问题得到证明． 【详解】证明：如图，过点D作交于点G， ∴，． ∴，， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练的利用相似三角形的性质证明等积线段是解本题的关键. 【例1-3】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，中，D、E分别是边、的中点，、相交于G． (1)求证：； (2)若取的中点F，求证：三点B、G、F共线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理： （1）过点E作交于H，证明得到，则；再证明，得到，则，，同理可得，据此可证明； （2）如图所示，连接，可证明是的中位线，得到， 证明，得到，再由三点共线，可得三点共线． 【详解】（1）证明：如图所示，过点E作交于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴； （2）证明：如图所示，连接， 由（1）可得，即点H为的中点， ∵F为的中点的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵三点共线， ∴三点共线． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，点D，E分别在边，上，、的延长线相交于点F． (1)如图1，若，，，，求的长； (2)如图2，若，求证． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）先证明，再利用相似三角形的性质进行求解即可； （2）如图，过作于，证明，，再利用相似三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）如图，过作于， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式1-2】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知中，D为上一点，E为延长线上一点，，和相交于点F，求证： 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知添加平行线是证明成比例线段的常用方法． 作，分别证明两组三角形相似，得出两组成比例线段，再结合可推得结果． 【详解】证明：如图，过点D作，交于点G； ∴， 则 ∴，，而， 即 【变式1-3】（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如图，和均是等腰直角三角形，，点E在线段上．、相交于点F，连结、，作，垂足为点H，交于点G． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形性质． （1）推导出，，进而得证； （2）过点作，交的延长线于点，借助，推导出，通过推导出，得到，进而得到． 【详解】（1）证明：∵ 和均是等腰直角三角形， ，， ， ∵， ， ， ， ∴； （2）证明：如图，过点作，交的延长线于点， ∴，， ，， ， 由（1）知：， ， ， ∴是的垂直平分线， ， ， 由（1）知：， ， ，， ， ， ， ． 题型02三点定型法 【典例分析】 【例2-1】（2023九年级·全国·专题练习）如图，在中，，M为的中点，交的延长线于D，交于E．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先证明，再证明，得出，根据证明，得出即可得出答案． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， 又∵M为的中点，， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，余角的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明． 【例2-2】（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，在中，，于D， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）首先根据题意证明出，然后利用相似三角形的性质证明即可； （2）首先根据勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，，； ∴； ∴； ∴； 解得：． 【例2-3】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，，点P为边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线交于点M，使． (1)求证：； (2)当为直角三角形时，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等： （1）根据等边对等角得出，利用三角形外角的性质和，推出，进而证明，根据对应边成比例即可得出结论； （2）分，两种情况，时，，由勾股定理解可得线段的长度；时，可证，由对应线段成比例可得的长度． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， ； （2）解：由题意知， 当时，如图， 由（1）知， ， ， 点P为中点， ， 在中，由勾股定理得： ； 当时，如图，作于点D，则， 由（1）知， ， ，， ， ，， ， ， ， 综上可知，线段的长度为或． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在中，的平分线交边于点，已知．求证：； 【答案】证明见解析． 【分析】此题考查了角平分线的性质，相似三角形的判定与性质等知识，由，得，而，则，得所以，证明是解题的关键． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 【变式2-2】（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，在中，，是斜边上的高 (1)求证： (2)如果，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确找出相似三角形． （1）证明，书写比例式即可求证； （2）证明，书写比例式即可求解． 【详解】（1）证明：∵是斜边上的高， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 【变式2-3】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在菱形中，点G在边上，连线并延长交的延长线于点F，连结交于点E，连结． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题主要考查菱形的性质以及相似三角形的判定和性质， （1）由菱形的性质可证明，即可证明，可得出结论； （2）由可得，设，则，，证明，得出方程求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ． ∵， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是菱形，， ∴， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 又∵，， ， ， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， ． 题型03构造相似三角形法 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）已知：如图，为的直径，弦，垂足为点，点为弧上一点，延长、交于点.求证：．    【答案】见详解 【分析】本题考查了垂径定理；等弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质与判定；连接，根据等弧所对的圆周角相等可得，进而证明，根据相似三角形的性质，即可得证． 【详解】证明：连接，    ∵，为的直径， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴． 【例3-2】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)延长、交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是找到相似的三角形． （1）由，得出，根据，得出，进一步证明，从而得出结论； （2）根据（1）的结论和已知证明即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 即； （2）解：如图所示，延长和相交于点F， 由（1）得， ， ， ， ∴， ， 又， ， 又， ． 【例3-3】（24-25九年级上·浙江·期中）如图1，内接于，，过点C作，交于D，过D作于点E，交于点M，连结． (1)求证： ①； ②； (2)如图2，若是中点，求的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)． 【分析】本题考查了圆与三角形综合，弧与弦的关系，垂径定理，相似三角形的性质与判定； （1）①根据平行线的性质可得，进而可得，，进而根据等弧对等弦即可得证； ②过点A作于H，证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （2）证明，结合已知是中点，得出，结合（1）②恒等式得出，进而即可求解． 【详解】（1）①， ， ， ， 即：， ． ②过点A作于H， ， ， 由（1）得：， ， ， ，即：， ， ， ． （2），， ， ，即：， ， ， ， ． 【变式演练】 【变式3-1】（2023九年级·全国·专题练习）如图，在等边三角形中，点P是边上任意一点，的垂直平分线分别交，于点M，N．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】如图，由线段线段垂直平分线的性质得出，，根据等边对等角得到，．不规则由等边三解形性质得到．而可得出，即可由相似三角形判定定理得到，然后由相似三角形的性质得出结论． 【详解】证明：如图，连接，． ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴，． 又∵是等边三角形， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 即BP·CP＝BM·CN． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定定理是解题的关键． 【变式3-2】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，以为直径作分别交于两点，点为延长线上一点，连结，若．    (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)1.5 【分析】本题考查了直角三角形的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，三角形相似的性质和判定，利用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键． （1）证得，由圆周角定理得出，进而证得，则可得出答案； （2）连接，证明，得出成比例的线段即可得出答案； （3）证明，得出，求出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ，，， ， 是的直径， ， ； （2）证明：连接，    是的直径， ， ， , ， , , ， （3）解：    是的直径， ， 又， ，, ， ， , ， , ，，, ， ， 的半径为. 【变式3-3】（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，直角中，，在上，连接，作分别交于，交于． (1)如图（1），若，求证：； (2)如图（2），若，取的中点，连接交于， 求证：①； ②． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定即可得到结论； （2）①过G作交于H，由，得到，根据已知条件设，得到，根据平行线分线段成比例定理得到，求得； ②过C作交的延长线于N，则，根据相似三角形的性质得到，由①知，得到，根据相似三角形的性质得到结论． 【详解】（1）证明： 在和中， ， 即； （2）解：①如图，过作交于， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 设，， ， ， ∴， ∴， ， ； ②如图，过作， ∵， ， ， 由①知， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型04等比过渡法 【典例分析】 【例4-1】（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如图，已知，与相交于点，点在线段上，，． (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）由，推出，得到，即可得到； （2）由，推出，由，推出，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【例4-2】（24-25九年级上·上海金山·期中）如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，求的值 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （）由平行线分线段成比例得到，即可得到，进而得到，即可证明，得到，即可求证； （）根据题意得，证明，再由相似三角形的性质即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【例4-3】（23-24九年级上·上海静安·期末）已知：如图，在中，，D是中点，点E在延长线上，点F在边上，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明详见解析； (2)证明详见解析． 【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，即可． （1）根据，则，根据，，则，再根据相似三角形的判定，即可； （2）根据相似三角形的性质，则，根据D是中点，则，再根据，相似三角形的判定即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵点D是的中点， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，点、在的边上，点在边上，且∥，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行线的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 先根据平行线平行线分线段成比例定理得到，再由得到，得到后，即可证明，根据相似三角形的性质可得，最后由同位角相等，两直线平行即可得证． 【详解】解：， ， ， ， ， 又， ， ， ． 【变式4-2】（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，点D在边上，连接，，交边于点E，交延长线于点F，且 (1)求证： ； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，等角对等边，熟练掌握运用相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）先根据“两边对应成比例且夹角相等”得，可得，再得出，然后根据“两角相等的两个三角形相似”得出答案； （2）根据相似三角形的对应边成比例得，再结合，可得，然后根据相似三角形的对应角相等得，即可得出，再代换后得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴. ∵， ∴， ∴. 又∵， ∴， 即， ∴； （2）证明：∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知，如图，在中，点是边上一点，，分别与、相交于点，且． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）通过证明，可得，由平行线的性质可得，且，可证； （2）由相似三角形的性质可得，且，可证，可得，由平行线分线段成比例可得，可得结论． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，连接DG， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型05两次相似法 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·上海金山·期末）已知：如图，在四边形中，对角线和相交于点O，． (1)求证：； (2)过点A作，交于点E．求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练的证明两个三角形相似是解本题的关键． （1）先证明，可得，结合，可得； （2）证明，可得，证明，可得，再利用相似三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）如图，过点A作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【例5-2】（22-23九年级上·贵州毕节·期末）如图，在中，，射线交于点D，E是射线上一点，且，连接． (1)求证：； (2)若平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关判定定理内容是解题关键． （1）证得即可求证； （2）通过、可推出是等腰直角三角形，进而可证，即可求解； 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴ 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴． 【例5-3】（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，等腰梯形中，，，点在边上，与交于点，且．    (1)求证： ； (2)求证： ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可求证； （2）先证明，可得，从而得到，进而证明，可得，再由，即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵等腰梯形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，D、E、F分别是上的点，且，．求证：．    【答案】见解析 【分析】由题意可分别证明，，分别得出，，从而得出，即． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题关键． 【变式5-2】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，已知中，，点E、F在边上，满足．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质；证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． （1）证明，得出，即可得出结论； （2）证明，得出，即，同理，得出，即，即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， ， ； （2）证明：，， ， ， ， 同理：， ， ， ． 【变式5-3】（21-22九年级上·上海奉贤·期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM； （2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， 而BE=AB， ∴BE=CD， 而BE∥CD， ∴四边形BECD为平行四边形， ∴BD∥CE， ∵CM∥DB， ∴△BND∽△CNM； （2）∵AD2=AB•AF， ∴AD：AB=AF：AD， 而∠DAB=∠FAD， ∴△ADB∽△AFD， ∴∠1=∠F， ∵CD∥AF，BD∥CE， ∴∠F=∠4，∠2=∠3， ∴∠3=∠4， 而∠NMC=∠CMD， ∴△MNC∽△MCD， ∴MC：MD=CN：CD， ∴MC•CD=MD•CN， 而CD=AB， ∴CM•AB=DM•CN． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质． 题型06等积代换法 【典例分析】 【例6-1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知在中，于点，于点，于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出对应边成比例是解决问题的关键．证明，得出对应边成比例，得出，同理：，即可得出结论． 【详解】证明：，， ， ， ． 同理可证． ． 【例6-2】（21-22九年级上·上海青浦·期中）已知：如图，在中，，点P、D分别在边、上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明，再利用相似三角形的性质可得结论； 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， ， ． 【例6-3】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在四边形中，，过D作交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线性质，得，结合，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，得到证明即可． （2）根据，结合得，只需证明即，故证明即可． 本题考查了平行线的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式演练】 【变式6-1】（九年级上·全国·专题练习）如图，是斜边上的高，在的延长线上任取一点P，连接，作于点G，交于点D．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】首先证明，得出；再通过证明，得出，两式联立即可得出． 【详解】证明：，， ． ，． ． ． ．即． 又， ． 又， ． ． ． ．即． ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等角的余角相等，熟练掌握相似三角形的判定和性质证明是解题的关键． 【变式6-2】（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）在正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （）利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质定理解答即可； （）利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【变式6-3】（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在正方形中，、分别为边、的中点，连接、交于点． (1)求证：； (2)如图，连接，，交于点． ①求证：； ②若，求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）由正方形的性质可得，，，由可证，可得，由余角的性质可得结论； （2）①过点作于，由可证，可得，，由平行线分线段成比例可得，由勾股定理可得结论； ②由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由相似三角形的性质可求的长，由三角形的面积可求解． 【详解】（1）证明：正方形，、分别为边、的中点， ，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：①如图，过点作于， ，，， ，， ， ∴， ，且， ， ， ， ； ②， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ，且， ， ． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 题型07等线段代换法 【典例分析】 【例7-1】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，过菱形的顶点D作直线，分别交的延长线于点B，交的延长线于点C． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，掌握相关图形的性质，正确的识别图形是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，，，进而可证，可得，即可证明结论； （2）设，可知，，由（1）可得，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； （2）设， ∵，， ∴，， 由（1）可得， 解得，即． 【例7-2】（23-24九年级上·辽宁·阶段练习）如图，是等边三角形，点，分别在，的延长线上，连接，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质；根据等边三角形的性质以及已知条件得出，证明，根据相似三角形的性质，即可得出，又，即可得证． 【详解】证明：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 【例7-3】（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，已知在梯形中，，E是边上一点，与对角线相交于点F，且． (1)求证：； (2)联结，与相交于点O，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定是解题的关键． （1）由及可得，则有；再由平行条件得，则可证明； （2）由及，可得，则可得，进而得；再证明即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）证明：∵ ∴； 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 由（1）知， ∴， ∴， 即． ∵， ∴． 【变式演练】 【变式7-1】．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，是等边三角形，点，分别在、上，且，    (1)求证：； (2)若的边长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外角的性质； （1）根据三角形外角的性质可得，根据等边三角形的性质可得，即可证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （2）根据，可得，由，，可得，，由，求得，，证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ （2）∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 【变式7-2】（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，已知和为等腰三角形，其中，，，点B、C、D在同一直线上，连接，过点D作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质： （1）根据等边对等角得到，由根据平行线的性质得到，易证四边形是平行四边形，结合平行四边形的性质可证； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形求得结合已知证得，利用相似三角形的性质可得，即，结合可得结果； 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）由（1）可知，，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴； 【变式7-3】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，已知在中，是的中线，，点在边上，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质， （1）根据，得到，进而得到，再结合，从而可得结论； （2）先证明，可得，可得，再证明，可得，可得，从而可得答案． 熟练的证明三角形相似是解本题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ， ； （2）， ． ， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ， ，， ， ， ， 由①②可得，． 一、解答题 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，，，，． (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1)8 (2)见解析 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键，注意对应线段的对应位置． （1）根据平行线分线段成比例得到，进而根据比例性质求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，进而可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴． 2．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，平分．求证：．    【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质和等角对等边的应用，先证明得到，再证明，利用相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质得到结论，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解题的关键． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)若菱形的边长为4，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)BG的长为4 【分析】（1）先由菱形的性质得到，，，再用证明得到，，进一步证明，得到，再由即可得到结论； （3）先证明是等边三角形．得到．连接交于，则，，由勾股定理得到，求出，则可求出，证明，推出．由（1）得，求出值，最后用计算即可． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，，， 又∵， ， ，， ∵， ， ， ， ， ， ∴； ； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， 是等边三角形． ． 连接交于，则，， ∴， ， ∴， ． ． ， ∴， ∴ ， ． 由（2）得， ， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是证明三角形相似，利用相似三角形的性质进行求解． 4．（23-24九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，在平行四边形中，点E、F分别在边上，且，连接，分别交于点G、H． (1)求证：； (2)连接交于点O．若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟知平行四边形和相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）先由平行四边形的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，得到，则可证明，再证明，得到，即； （2）由平行线的性质得到，设，则，证明 得到，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：∵四边形是平行四边形，交于O， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴． 5．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，垂足为B，交于点E．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由菱形的性质证得，再由同角的余角相等证得，利用有两个角分别相等的三角形相似判定，由相似三角形的性质可得比例式，结合菱形的边长相等可得结论； （2）利用有两个角分别相等的三角形相似判定，从而可得比例式，利用勾股定理求得的长，再由比例式可得的值，进而得出的值，然后由关系式求得答案即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 6．（24-25九年级上·全国·期末）如图，由绕点A按逆时针方向旋转得到，且点B的对应点D恰好落在的延长线上，相交于点P． (1)求的度数； (2)F是延长线上的点，且． ①判断和的数量关系，并证明； ②求证：． 【答案】(1) (2)①，证明见解析②证明见解析 【分析】（1）根据旋转的性质，得出，进而得出，求出结果； （2）①由旋转的性质得出，，进而得出，再根据已知条件得出，最后得出结论即可； ②过点作交于点，得出，由全等得出，，最后得出结果． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知，，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． （2）①． 证明：由旋转的性质可知，，， 在中，， ∵，， ∴， 即， ∴． ②过点作交于点， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形内角与外角的关系、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、平行线分线段成比例等基础知识，解题的关键是熟练运用这些性质． 7．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，在边AB上，在边AC上，BE与CD相交于点，，．    (1)求证：； (2)若，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）已知，，所以可得，根据相似三角形的性质可得，由可得出； （2）由得，，继而结合，得出，求出，得，得出，由，列方程求出，继而求出． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴，， 由（1）得，即， ∴， ∴（不合题意舍去），， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故. 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，可以根据结论中要证明的线段所在的三角形，然后去找题中与这两个三角形相关的条件证明相似，一般是找到相等的角度即可证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11证比例式或等积式的七种技巧（七种技巧精讲精练+过关检测） 题型01构造平行线法 【典例分析】 【例1-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，是外角的平分线，且交的延长线于点D． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【例1-2】如图，的边上有一点D，边的延长线上有一点E，且，交于点F，试证明． 【例1-3】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，中，D、E分别是边、的中点，、相交于G． (1)求证：； (2)若取的中点F，求证：三点B、G、F共线． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，点D，E分别在边，上，、的延长线相交于点F． (1)如图1，若，，，，求的长； (2)如图2，若，求证． 【变式1-2】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知中，D为上一点，E为延长线上一点，，和相交于点F，求证： 【变式1-3】（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如图，和均是等腰直角三角形，，点E在线段上．、相交于点F，连结、，作，垂足为点H，交于点G． (1)求证：； (2)求证：． 题型02三点定型法 【典例分析】 【例2-1】（2023九年级·全国·专题练习）如图，在中，，M为的中点，交的延长线于D，交于E．求证：． 【例2-2】（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，在中，，于D， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【例2-3】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，，点P为边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线交于点M，使． (1)求证：； (2)当为直角三角形时，求线段的长度． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24九年级上·福建福州·期中）如图，在中，的平分线交边于点，已知．求证：； 【变式2-2】（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，在中，，是斜边上的高 (1)求证： (2)如果，，求的长． 【变式2-3】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在菱形中，点G在边上，连线并延长交的延长线于点F，连结交于点E，连结． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型03构造相似三角形法 【典例分析】 【例3-1】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）已知：如图，为的直径，弦，垂足为点，点为弧上一点，延长、交于点.求证：．    【例3-2】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)延长、交于点，求证：． 【例3-3】（24-25九年级上·浙江·期中）如图1，内接于，，过点C作，交于D，过D作于点E，交于点M，连结． (1)求证： ①； ②； (2)如图2，若是中点，求的值． 【变式演练】 【变式3-1】（2023九年级·全国·专题练习）如图，在等边三角形中，点P是边上任意一点，的垂直平分线分别交，于点M，N．求证：． 【变式3-2】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，以为直径作分别交于两点，点为延长线上一点，连结，若．    (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求半径． 【变式3-3】（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，直角中，，在上，连接，作分别交于，交于． (1)如图（1），若，求证：； (2)如图（2），若，取的中点，连接交于， 求证：①； ②． 题型04等比过渡法 【典例分析】 【例4-1】（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如图，已知，与相交于点，点在线段上，，． (1)求证：； (2)求． 【例4-2】（24-25九年级上·上海金山·期中）如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，求的值 【例4-3】（23-24九年级上·上海静安·期末）已知：如图，在中，，D是中点，点E在延长线上，点F在边上，．求证： (1)； (2)． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，点、在的边上，点在边上，且∥，．求证：． 【变式4-2】（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，点D在边上，连接，，交边于点E，交延长线于点F，且 (1)求证： ； (2)求证：． 【变式4-3】（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知，如图，在中，点是边上一点，，分别与、相交于点，且． (1)求证：； (2)连接，求证：． 题型05两次相似法 【典例分析】 【例5-1】（23-24九年级上·上海金山·期末）已知：如图，在四边形中，对角线和相交于点O，． (1)求证：； (2)过点A作，交于点E．求证：． 【例5-2】（22-23九年级上·贵州毕节·期末）如图，在中，，射线交于点D，E是射线上一点，且，连接． (1)求证：； (2)若平分，求证：． 【例5-3】（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，等腰梯形中，，，点在边上，与交于点，且．    (1)求证： ； (2)求证： ． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，D、E、F分别是上的点，且，．求证：．    【变式5-2】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，已知中，，点E、F在边上，满足．求证： (1)； (2)． 【变式5-3】（21-22九年级上·上海奉贤·期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 题型06等积代换法 【典例分析】 【例6-1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知在中，于点，于点，于点．求证：． 【例6-2】（21-22九年级上·上海青浦·期中）已知：如图，在中，，点P、D分别在边、上，，求证：． 【例6-3】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在四边形中，，过D作交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)若，求证：． 【变式演练】 【变式6-1】（九年级上·全国·专题练习）如图，是斜边上的高，在的延长线上任取一点P，连接，作于点G，交于点D．求证：． 【变式6-2】（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）在正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【变式6-3】（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在正方形中，、分别为边、的中点，连接、交于点． (1)求证：； (2)如图，连接，，交于点． ①求证：； ②若，求三角形的面积． 题型07等线段代换法 【典例分析】 【例7-1】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，过菱形的顶点D作直线，分别交的延长线于点B，交的延长线于点C． (1)求证： (2)若，，求的长． 【例7-2】（23-24九年级上·辽宁·阶段练习）如图，是等边三角形，点，分别在，的延长线上，连接，，．求证：． 【例7-3】（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，已知在梯形中，，E是边上一点，与对角线相交于点F，且． (1)求证：； (2)联结，与相交于点O，若，求证：． 【变式演练】 【变式7-1】．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，是等边三角形，点，分别在、上，且，    (1)求证：； (2)若的边长为，，求的长． 【变式7-2】（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，已知和为等腰三角形，其中，，，点B、C、D在同一直线上，连接，过点D作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【变式7-3】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，已知在中，是的中线，，点在边上，． (1)求证：； (2)求证：． 一、解答题 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，，，，． (1)求的值； (2)求证：． 2．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，平分．求证：．    3．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)若菱形的边长为4，，，求的长． 4．（23-24九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，在平行四边形中，点E、F分别在边上，且，连接，分别交于点G、H． (1)求证：； (2)连接交于点O．若，，求的长． 5．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，垂足为B，交于点E．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 6．（24-25九年级上·全国·期末）如图，由绕点A按逆时针方向旋转得到，且点B的对应点D恰好落在的延长线上，相交于点P． (1)求的度数； (2)F是延长线上的点，且． ①判断和的数量关系，并证明； ②求证：． 7．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在中，在边AB上，在边AC上，BE与CD相交于点，，．    (1)求证：； (2)若，，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$