专题06 函数的奇偶性与对称性11大考点57题（高效培优期中专项训练）高一数学上学期北师大版

专题06 函数的奇偶性与对称性 考点01 判断函数的奇偶性(共5小题)（重点） 1 考点02 由函数奇偶性求值（共6小题） 2 考点03 最大值+最小值及f(a)+f(-a)（共5小题）（难点） 3 考点04 由奇偶性求参数（共9小题）（重点） 3 考点05 由奇偶性求解析式（共5小题）（重点） 4 考点06 由单调性和奇偶性解不等式(共6小题)（难点） 5 考点07 由单调性和奇偶性比较大小（共2小题） 6 考点08 函数对称性的应用（共4小题） 7 考点09 函数对称性与周期性的综合(共4小题)（拓展） 8 考点10 抽象函数的单调性与奇偶性（共5小题）（难点） 8 考点11 与函数奇偶性有关的新定义题（共3小题）（难点） 9 考点01 判断函数的奇偶性(共5小题)（重点） 1．（25-26高一上·新疆·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 3．（24-25高一上·吉林白城·期中）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3) 4．（24-25高一上·上海·期中）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)． (2)． 5．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知. (1)判断并证明该函数的奇偶性； (2)画出该函数的图象. 考点02 由函数奇偶性求值（共6小题） 6.（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．3 7.（23-24高一上·江苏淮安·周考）设是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 8．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数，若，则（   ） A． B． C．1 D．3 9．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则的值为（   ）. A． B． C． D． 10．（24-25高一上·北京·期中）设函数，是奇函数，则的值是（   ） A． B． C． D．8 11．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数，若，则 . 考点03 最大值+最小值及f(a)+f(-a)（共5小题）（难点） 12．（24-25高一上·福建泉州·期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 13．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数，其中，为奇函数，若，则 ． 14．（24-25高一上·福建三明·期中）已知函数且，则的值为 ． 15．（24-25高一上·贵州·期中）已知是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ． 16．（24-25高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 考点04 由奇偶性求参数（共9小题）（重点） 17.（24-25高一上·河南漯河·期末）已知是定义在上的偶函数，那么的值是（    ） A． B． C． D． 18.（24-25高一下·安徽·开学考试）已知是奇函数，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或2 19．（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 21．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 . 22．（2024·上海宝山·一模）已知为实数，且函数是偶函数，则 . 23．（24-25高一上·四川巴中·期中）函数为奇函数，则的值为 ． 24．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 . 25．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知函数为奇函数，则等于 ． 考点05 由奇偶性求解析式（共5小题）（重点） 26．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时， ． 27．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，为偶函数，，则 ． 28．（24-25高一上·广东江门·期中）已知定义在R上的奇函数，当时，. (1)作出的函数图象； (2)求函数在R上的解析式； (3)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 29．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)求出函数的解析式； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调区间； (3)根据图象写出使的x的取值集合. 30．（24-25高一下·福建·期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 考点06 由单调性和奇偶性解不等式(共6小题)（难点） 31．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 32．（24-25高一下·湖南·期中）已知函数，则使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25高一下·上海·期中）已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 35．（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 36．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知奇函数满足 ，且在上单调递减，则的解集是（    ） A． B． C． D． 考点07 由单调性和奇偶性比较大小（共2小题） 37．下列函数是上的偶函数，且在上单调递减，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 38.（24-25高一上·北京·期中）若偶函数在上是增函数，则以下结论正确的是（    ） A．B．C．D． 考点08 函数对称性的应用（共4小题） 39.（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知函数的图象的对称轴为直线，则（    ） A． B． C． D． 40.设函数定义在实数集上，，且当时，，则有（    ）． A． B． C． D． 41．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若存在对称中心，则（    ） A． B． C．3 D．4 42．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数，函数是定义在上的奇函数，若与的图象的交点分别为，…，，则（   ） A． B． C．0 D．2 43．（24-25高一上·黑龙江·期末）已知函数为定义在上的奇函数，则 . 44．（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的图象可以由反比例函数图象经过平移而得到．函数对称中心是 ，进而求值 ． 45．（24-25高一上·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 考点09 函数对称性与周期性的综合(共4小题)（拓展） 46．（江西省创智协作体2025-2026学年高三上学期9月联合调研考试数学试卷）已知函数满足，且为奇函数，则（    ） A．3037 B．3034 C．3035 D．3036 47．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 48．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知函数的定义域为，，函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B．0 C．1014 D．2028 49．（25-26高三上·广东·开学考试）已知函数的定义域为，函数是偶函数，函数的图象关于直线对称，若当时，，则（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 考点10 抽象函数的单调性与奇偶性（共5小题）（难点） 50.（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证:函数为奇函数； (3)求的值. 51.（24-25高一上·河南·月考）已知定义域为R的函数满足，，当时，． (1)用定义法证明：在定义域内单调递增； (2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论． 52．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）定义域为的函数满足. (1)求证：； (2)求证：为偶函数； (3)当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 53．（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 54．（24-25高一上·广东深圳·期中）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在R上单调递增； 考点11 与函数奇偶性有关的新定义题（共3小题）（难点） 55．（多选）（24-25高一上·江苏南通·期中）定义（其中表示不小于x的最小整数）为“向上取整函数”.例如.以下描述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．是上的奇函数 D．若，则 56．（多选）（23-24高一上·广东江门·期中）表示不超过x的最大整数，已知函数，则下列结论正确的是（      ） A．的定义域为R； B．的值域为； C．是偶函数； D．的单调增区间为. 57．（24-25高一上·辽宁·期末）若函数的定义域、值域均为，则称为区间上的方正函数． (1)若为区间上的方正函数，求实数的值； (2)是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由． 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 函数的奇偶性与对称性 考点01 判断函数的奇偶性(共5小题)（重点） 1 考点02 由函数奇偶性求值（共6小题） 5 考点03 最大值+最小值及f(a)+f(-a)（共5小题）（难点） 7 考点04 由奇偶性求参数（共9小题）（重点） 9 考点05 由奇偶性求解析式（共5小题）（重点） 12 考点06 由单调性和奇偶性解不等式(共6小题)（难点） 17 考点07 由单调性和奇偶性比较大小（共2小题） 20 考点08 函数对称性的应用（共4小题） 21 考点09 函数对称性与周期性的综合(共4小题)（拓展） 25 考点10 抽象函数的单调性与奇偶性（共5小题）（难点） 27 考点11 与函数奇偶性有关的新定义题（共3小题）（难点） 33 考点01 判断函数的奇偶性(共5小题)（重点） 1．（25-26高一上·新疆·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，写出各项对应函数的解析式，利用函数奇偶性的定义依次判断各项对应函数的奇偶性. 【详解】因为， A：，而，显然不是奇函数，不符； B：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； C：，其中且定义域为，易知为奇函数； D：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； 故选：C 2．（25-26高一上·全国·课前预习）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 【答案】B 【分析】由函数奇偶性定义判断. 【详解】因为，所以函数的定义域为，关于原点对称． 又， 所以是偶函数,而，故不是奇函数， 故选：B. 3．（24-25高一上·吉林白城·期中）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3) 【答案】(1)奇函数 (2)既是奇函数又是偶函数． (3)偶函数 【分析】先求出函数的定义域并判断定义域是否关于原点对称，再利用奇偶性的定义判断即可. 【详解】（1）因为，所以． 又因为， 所以为奇函数． （2）因为函数的定义域为，关于原点对称，且， 所以． 所以既是奇函数又是偶函数． （3）的定义域是， 对，都有． 当时，，； 当时，，． 综上可知，对于，都有，故为偶函数． 4．（24-25高一上·上海·期中）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)． (2)． 【答案】(1)偶函数 (2)既是奇函数又是偶函数 【分析】（1）（2）先求函数的定义域，再求与的关系即可判断函数的奇偶性； 【详解】（1）令，， ， 所以， 所以函数为偶函数. （2）令， ，解得或， 所以，所以既有，又有， 所以函数既是奇函数又是偶函数. 5．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知. (1)判断并证明该函数的奇偶性； (2)画出该函数的图象. 【答案】(1)为偶函数，证明见解析 (2)函数图象见解析 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可； （2）根据函数解析式画出函数图象. 【详解】（1）为偶函数，证明如下： 因为，定义域为， 当时，，则； 当时，，则； 又，综上可得对任意的，均有， 所以为偶函数； （2）由可得的图象如下所示： 考点02 由函数奇偶性求值（共6小题） 6.（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，当时，, 则. 故选：B. 7.（23-24高一上·江苏淮安·周考）设是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义可得，求出即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，且当时，， 所以. 故选：D 8．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数，若，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】， 则为奇函数，即， 故选:C. 9．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则的值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由即可求解. 【详解】依题意，函数是定义域为的奇函数， 所以. 故选：D 10．（24-25高一上·北京·期中）设函数，是奇函数，则的值是（   ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】由是奇函数，得，代入即可求. 【详解】因为是奇函数， 所以， 所以. 故选：A 11．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数，若，则 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性计算即可. 【详解】易知，即为奇函数， 所以. 故答案为：. 考点03 最大值+最小值及f(a)+f(-a)（共5小题）（难点） 12．（24-25高一上·福建泉州·期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】构造函数，由奇偶性定义可知为奇函数，知，由此可求得结果. 【详解】， 设，定义域为， 则，所以函数为奇函数， 所以，则，即. 故选：C. 13．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数，其中，为奇函数，若，则 ． 【答案】 【分析】根据奇偶性可得到结果. 【详解】因为为奇函数，则，所以 则，即， ， 14．（24-25高一上·福建三明·期中）已知函数且，则的值为 ． 【答案】 【分析】构造函数，根据的奇偶性计算出的值. 【详解】令，定义域为且关于原点对称， 因为，所以为奇函数， 所以，所以， 代入，可得， 15．（24-25高一上·贵州·期中）已知是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】4 【分析】构造函数，根据奇偶性定义可知为奇函数，从而代入运算即可. 【详解】是定义在上的奇函数，则有， ， 设，函数定义域为， ，为奇函数， 则有，即，所以. 16．（24-25高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 【答案】4048 【分析】将函数（），化简为（），构造函数（），判断奇偶性，根据奇函数的性质，即可求得答案. 【详解】由题意得 ， 令，（） 则，即为奇函数， 则， 又函数，（）的最大值为，最小值为， 得，则， 考点04 由奇偶性求参数（共9小题）（重点） 17.（24-25高一上·河南漯河·期末）已知是定义在上的偶函数，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，由偶函数的定义可得，可求的值，进而可求得结论. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，解得，所以定义域为 又，所以，所以， 又，所以，所以. 故选：D. 18.（24-25高一下·安徽·开学考试）已知是奇函数，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或2 【答案】A 【分析】由奇函数的定义构造等式求解即可； 【详解】易知的定义域为， 由奇函数的定义可知，， 则， 整理得恒成立， 所以，解得. 故选：A 19．（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性可得，，，解出，进而得出答案． 【详解】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以， 显然，，所以． 故选：B． 20．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】的对称中心为，根据为奇函数得到关于对称即可得解； 【详解】， 因为， 所以的对称中心为， 由题意得函数为奇函数关于对称， 则关于对称， 解得， 故选：A. 21．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 . 【答案】2 【分析】根据奇函数性质得到，代入化简得到答案. 【详解】若函数为奇函数， 则， 解得：. 22．（2024·上海宝山·一模）已知为实数，且函数是偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性与二次函数的对称性即可得的值，从而得所求. 【详解】因为函数是偶函数， 所以函数定义域关于原点对称，且函数图象关于你轴对称， 所以，且， 所以. 23．（24-25高一上·四川巴中·期中）函数为奇函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据奇函数定义，由恒成立求解即可. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为为奇函数，所以对任意， 都有. 则， 所以. 24．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 . 【答案】2 【分析】根据奇函数性质得到，代入化简得到答案. 【详解】若函数为奇函数， 则， 解得：. 故答案为：. 25．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知函数为奇函数，则等于 ． 【答案】 【分析】根据奇函数求出时的解析式，对照所给解析式得出a，b即可得解． 【详解】设，则，所以， 所以， 又当时，，所以，，故， 考点05 由奇偶性求解析式（共5小题）（重点） 26．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【分析】根据偶函数的性质求解即可. 【详解】若，则， 当时，，所以， 又因函数是偶函数，所以 所以当时，， 故答案为： 27．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，为偶函数，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由函数解析式和奇偶性可得，，从而由可得，综合可得的解析式． 【详解】函数为奇函数，则， 为偶函数，则， 因为①，则， 所以②， 则由①-②可得. 故答案为：． 28．（24-25高一上·广东江门·期中）已知定义在R上的奇函数，当时，. (1)作出的函数图象； (2)求函数在R上的解析式； (3)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 【答案】(1)作图见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据解析式及奇函数的图象特征可作出函数图象； （2）根据奇函数的性质求解即可； （3）根据函数图象，得出函数的单调递减区间，进而求解即可. 【详解】（1）如下图所示： . （2）因为为R上的奇函数，所以. 当时，则， 又因为为奇函数， 所以， 所以当时，，   所以. （3）由（1）知，的单调递减区间为， 因为在上单调递减， 所以. 所以，解得，故实数的取值范围是. 29．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)求出函数的解析式； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调区间； (3)根据图象写出使的x的取值集合. 【答案】(1) (2)图象见解析；单调递增区间为，单调递减区间为， (3)或. 【分析】（1）令，则求出，再根据即可求出； （2）画出分段函数的图象，即可写出单调区间； （3）结合图象写出的解集即可. 【详解】（1）当时，，则. 因为为奇函数，所以. 所以； （2） 由图可知，单调递增区间为，单调递减区间为，. （3）由图可知，使的的取值集合为或. 30．（24-25高一下·福建·期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数是偶函数结合分段函数解析式求解； （2）根据函数单调性列不等式计算求参. 【详解】（1）由题意知是定义在R上的偶函数，当时，. 故当时，， 故函数在R上的解析式为； （2）作出函数的图象如图： 结合图象可得，若函数在区间上单调递增， 需满足，即. 考点06 由单调性和奇偶性解不等式(共6小题)（难点） 31．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，确定函数在上单调性，再利用函数的性质求解不等式. 【详解】对于且， 不等式恒成立， 得在上单调递增，又是定义在上的奇函数， 且，则在上单调递增且， 解不等式，得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 32．（24-25高一下·湖南·期中）已知函数，则使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数为偶函数，再由换元法令结合对勾函数的单调性计算可得. 【详解】易知是偶函数， 当时，令，则可转化为， 因为函数在上单调递增，函数是上的增函数， 所以在上单调递增． 由，得，解得． 故选：D 33．（24-25高一下·上海·期中）已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件构造函数，依次判断函数的单调性和奇偶性，将待解不等式转化为，再利用，将其化成，即可利用单调性和奇偶性解决. 【详解】由可得，即， 设，则有，因，则在上单调递增， 又是定义在上的偶函数，，故为上的偶函数. 由可得， 而，即， 由函数的单调性和奇偶性，可得，解得. 故选：A. 34．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对任意，且，都有，可知在上单调递减，然后由函数的奇偶性求解不等式即可. 【详解】由，且，都有， 则在上单调递减． 又函数是定义在上的奇函数， 则在上单调递减，由，则，且， 故或时，或时，， 所以的解集为， 故选：D． 35．（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质得在上单调递减，再根据奇函数性质将化为，结合定义域利用单调性得，解不等式组即可解答. 【详解】因为是奇函数，则可化为． 又在上单调递减且是定义在上的奇函数，所以在上单调递减． 则，解得或， 即实数a的取值范围是． 故选：C 36．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知奇函数满足 ，且在上单调递减，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇函数性质得到，又，在上单调递减，推出，在上单调递减，故和时，满足要求，得到答案. 【详解】为奇函数，故， ， 又，在上单调递减， 故当时，，此时，不合要求， 当时，，此时，满足要求， 由对称性可知，在上单调递减， 故当时，，此时，满足要求， 当时，，此时，不合要求， 综上，的解集为. 故选：B. 考点07 由单调性和奇偶性比较大小（共2小题） 37．下列函数是上的偶函数，且在上单调递减，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数在上单调递减，将各函数值转化到定义在上的函数值， 由偶函数的定义可得，即可由单调性比较得出． 【详解】因为是上的偶函数，所以，而在上单调递减，所以 ． 故选：A． 38.（24-25高一上·北京·期中）若偶函数在上是增函数，则以下结论正确的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】利用偶函数判断在上的单调性，进而直接利用单调性判断大小即可. 【详解】若偶函数在上是增函数, 则在上是减函数， 又，且 ，即 故选：D 考点08 函数对称性的应用（共4小题） 39.（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知函数的图象的对称轴为直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的图像的开口向上，对称轴为，可得，且函数在上递增，再根据函数的对称性以及单调性即可求解. 【详解】二次函数的图像的开口向上，对称轴为， 且函数在上递增， 根据二次函数的对称性可知， 又，所以， 故选：A 40.设函数定义在实数集上，，且当时，，则有（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得函数关于对称， 当时，，为减函数，则当时，函数为增函数， ∵，∴， 即，故选． 41．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若存在对称中心，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】由奇函数的性质结合题意计算可得； 【详解】设，则为奇函数， 可得，由奇函数的定义域关于原点对称可得 即，, 由可得， 即， 所以， 故选：A. 42．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数，函数是定义在上的奇函数，若与的图象的交点分别为，…，，则（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据给定的函数，求出函数与图象的对称中心，再利用对称性求出值. 【详解】函数定义域为， 而，则函数的图象关于点对称， 由函数是定义在上的奇函数，得， 即，则函数的图象关于点对称， 因此函数与的图象的交点关于点对称， 则， 所以. 故选：A 43．（24-25高一上·黑龙江·期末）已知函数为定义在上的奇函数，则 . 【答案】 【分析】根据对称性可得，即可求解. 【详解】由于为定义在上的奇函数， 故的对称中心为，则，. 故答案为：2025 44．（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的图象可以由反比例函数图象经过平移而得到．函数对称中心是 ，进而求值 ． 【答案】 【分析】利用函数图象平移可得出函数的对称中心，结合对称性可得出，再利用倒序相加法可得出所求代数式的值. 【详解】因为函数， 所以，函数的图象可由反比例函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 因为函数为奇函数，其对称中心为原点， 故函数对称中心，故， 记， 则 ， 故. 故答案为：；. 45．（24-25高一上·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)，或. 【分析】（1）函数的对称中心为，进而验证用函数为奇函数即可； （2）记，进而证明为奇函数即可得证； （3）令，进而由可求实数、的值. 【详解】（1）函数的对称中心为. 验证如下： 因为函数， 定义域，即定义域关于原点对称，且， 所以是奇函数，即函数的对称中心为. （2）证明：记， 定义域为R，即定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以的对称中心为. （3）， 令 ， 因为是奇函数， 所以， 即， 整理得，进而得， 解得或. 考点09 函数对称性与周期性的综合(共4小题)（拓展） 46．（江西省创智协作体2025-2026学年高三上学期9月联合调研考试数学试卷）已知函数满足，且为奇函数，则（    ） A．3037 B．3034 C．3035 D．3036 【答案】C 【分析】根据题意，求得，令，求得，结合递推关系，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为为奇函数，令，可得，所以， 所以. 故选：C. 47．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性可推出函数的周期，进而求出a的值，再利用函数的周期求值，即得答案. 【详解】因为为奇函数，所以，则； 因为为偶函数，所以，即 即得，结合，可得， 即，即，则， 即函数的周期为4， 又时，，且， 即得，即，则，故， 即时，， 故， 故选：B 48．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知函数的定义域为，，函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B．0 C．1014 D．2028 【答案】B 【分析】根据对称轴定义得出对称轴，再由直线对称得出，进而得出函数周期，最后根据周期性得出函数值即可. 【详解】因为，即，故的图象关于直线对称. 由的图象关于直线对称得， 即对任意x恒成立，则， 又，所以，即， 所以，所以是周期为6的周期函数. 所以，. 故选：B. 49．（25-26高三上·广东·开学考试）已知函数的定义域为，函数是偶函数，函数的图象关于直线对称，若当时，，则（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用为偶函数和的图象关于直线对称得依次得到和，进而求出函数是周期为6的周期函数，根据周期性即可分析求解. 【详解】因为为偶函数，所以，即， 故的图象关于直线对称， 由的图象关于直线对称得 ， 即对任意恒成立，则， 所以图象关于点对称， 又，所以，即， 所以，所以是周期为6的周期函数， 又当时，的图象关于直线对称， 所以当时，， 所以，， 所以， 所以 ． 故选：C 考点10 抽象函数的单调性与奇偶性（共5小题）（难点） 50.（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证:函数为奇函数； (3)求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）应用赋值法即可； （2）应用奇函数的定义即可判断； （3）结合（2）转化为求，即可求解. 【详解】（1）当时，，则； （2）当时，，则； 设，则，则， 则，即， 即函数为奇函数. （3）由（2）知，为奇函数，则 . 51.（24-25高一上·河南·月考）已知定义域为R的函数满足，，当时，． (1)用定义法证明：在定义域内单调递增； (2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)是奇函数，证明见解析 【分析】（1）根据题意，由函数单调性的定义法代入计算，即可证明； （2）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，即可证明. 【详解】（1）设，则， 因为，所以，故，而， 故，所以是单调递增函数． （2）是奇函数． 证明如下：由， 所以， 由，令， 则，再令，解得， 所以， 所以 ， 故是奇函数． 52．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）定义域为的函数满足. (1)求证：； (2)求证：为偶函数； (3)当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）取计算出，再取即可； （2）取，再取计算出即可； （3）利用定义法证明函数在上的单调性，再结合函数奇偶性得出函数在上的单调性. 【详解】（1）取代入，得， 取代入， 得，故. （2）取代入，得， 取代入，所以， 所以，因为当时，，所以为偶函数. （3）设，则，由题设. 所以在上单调递增. 因为为偶函数，所以，而，所以在上单调递减. 53．（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由题意赋值得，再赋值和即可求解. （2）赋值结合奇函数定义即可证明. （3）先由函数单调性的定义证明函数在R上单调递减，再结合即可将不等式等价转化为，解该不等式即可得解. 【详解】（1）令，则，， 令，，则， ，，. （2）函数的定义域为，则定义域关于原点对称， 对任意，都有， 由（1）知，. 令，则，即， 是奇函数. （3）任取，且，所以 ，则由题意得， 所以， ， ，在上为减函数. 因为， ，解得， 的解集为. 54．（24-25高一上·广东深圳·期中）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在R上单调递增； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用赋值法先计算，再利用赋值法令，结合奇函数的定义计算即可； （2）先令得出，结合为奇函数及单调性的定义通过赋值计算即可证明. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 不妨令，得， 解得或， 又不存在，使得，故， 令，得， 故，即， 因此为奇函数； （2）时，， 则， 当且仅当，等号成立， 又不存在，使得，则， 于是时，， 又为奇函数，则时，， 于是对， 任取，则， 而， 又，则， 于是，故， 因此在上单调递增； 考点11 与函数奇偶性有关的新定义题（共3小题）（难点） 55．（多选）（24-25高一上·江苏南通·期中）定义（其中表示不小于x的最小整数）为“向上取整函数”.例如.以下描述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．是上的奇函数 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用“向上取整函数”的定义逐项判断即得. 【详解】由表示不小于的最小整数，得，且，即， 对于A，由，得，即，A错误； 对于B，由，得，则或， 当时，；当时，，因此，B正确； 对于C，函数的定义域为，而，即， 因此函数不是上的奇函数，C错误； 对于D，令，则，，即， 因此，即，D正确. 故选：BD 56．（多选）（23-24高一上·广东江门·期中）表示不超过x的最大整数，已知函数，则下列结论正确的是（      ） A．的定义域为R； B．的值域为； C．是偶函数； D．的单调增区间为. 【答案】AD 【分析】对A，由解析式判断；对B，举反例说明；对 C，举反例说明；对D，因为，只需考虑的情况，判断单调性得解. 【详解】对于A，的定义域为R，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，，， 所以不是偶函数，故C错误； 对于D，当时，，表示的小数部分， 作出函数图象如图所示：    所以的单调递增区间为，故D正确. 故选：AD. 57．（24-25高一上·辽宁·期末）若函数的定义域、值域均为，则称为区间上的方正函数． (1)若为区间上的方正函数，求实数的值； (2)是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不存在；理由见解析. 【分析】（1）分析函数在上的单调性，求出函数值域，结合方正函数的定义，可求的值. （2）分析函数的性质，结合单调性和奇偶性，还有方正函数的定义，分析的存在情况. 【详解】（1）因为，函数图象开口向上，且对称轴为， 所以函数在上单调递增， 由题意，为区间上的方正函数， 所以当时，； 当时，，解得或（舍去）. 因此，若为区间上的方正函数，则实数的值为. （2）不存在，理由如下： 对函数，因为， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 又当时，，所以函数在上单调递减， 由奇函数性质可知，函数在上单调递减. 如存在实数对，使得函数为区间上的方正函数， 则，即，又， 显然，所以，，所以， 即，解得，这与矛盾. 故不存在实数对，使得函数为区间上的方正函数. 33 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $