专题06 旋转压轴四大模型（期中专项训练）九年级数学上学期人教版

专题06 旋转压轴四大题型 模型1 手拉手模型 模型3 奔驰模型 模型2 半角模型 模型4 费马点模型 模型一 手拉手模型（共3小题） 1．（九年级上·辽宁鞍山·期中）已知四边形和四边形都是正方形，且． (1)如图1，连接．求证：； (2)如图2，如果正方形绕点C旋转到某一位置恰好使得，． ①求的度数； ②若正方形的边长是，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①② 【分析】（1）根据正方形的性质可以得出，再由证明就可以得出结论； （2）①连接，根据平行线的性质可以得出，可以得出，由证得，得出，证得为正三角形即可以得出结果； ②延长交于点H，过点G作于N，由证明，得出，得出，，由勾股定理求出的值，得出的值，证出是等腰直角三角形，得出，由三角形面积公式即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形和四边形为正方形， ∴． ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴； （2）解：①连接，如图2所示： 由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴； ②延长交于点H，过点G作于N，如图3所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质、证明三角形全等是解题的关键． 2．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）（1）问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为 ． （2）探索：如图②，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）应用：如图③，在四边形中，．若，，求的长． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3）6 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答； （2）连接，根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）过点A作，使，连接，证明，得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）， 理由如下：连接， 由题意得：，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）， 理由如下：连接， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∴， 在中，，又， ∴； （3）过点A作，使，连接，， ∵， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理以及旋转变换的性质，二次根式的乘法等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 3．（辽宁盘锦·期末） 已知点C为线段上一点，分别以为边在线段同侧作和，且，直线与交于点F． (1)如图1，若，则 ； (2)如图2，若，则___________．（用含的式子表示）； (3)将图2中的绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在中的一条线段上），如图3．试探究与的数量关系，并予以证明． 【答案】(1) (2) (3)或，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、三角形的内角和定理等知识，正确分类、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）设交点为M，根据证明，得出，根据三角形的内角和定理即可得到，进而可得答案； （2）如图，设交点为M，根据证明，得出，根据三角形的内角和定理即可得到，进而可得答案； （3）分三种情况：当交点F在线段上，在线段上，在线段上时；结合图形，仿照（2）小题的证明解答即可． 【详解】（1）解：如图，设交点为M， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：如图，设交点为M， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：或，证明如下： 当交点F在线段上时，如图3， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当交点F在线段上时，如图4， 同理可得：； 当交点F在线段上时，如图5， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上，或． 模型二 半角模型（共3小题） 1．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在中，，点在上，且． (1)画出将绕点逆时针旋转后的三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，构造直角三角形，用勾股定理解决问题是解本题的关键． （1）根据题意画出，使，连接，则即为所作； （2）由旋转的特征得，，，，证明得出，再由勾股定理计算即可得解: 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：将绕点A逆时针旋转得到，连接，如上图所示： ∵，， ∴， ∴， 又 ∴， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）（1）【问题背景】如图1，在中，为边上的点，且绕点顺时针旋转得到，连接，试猜想与的数量关系，并加以证明 （2）【类比探究】如图2，在中，均为边上的点，且，求的长； （3）【拓展应用】如图3，E是正方形内一点，是边上一点，且，若，请直接写出当取最小值时___________． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）把绕点顺时针旋转，得到，证，得； （2）先证是等边三角形，得，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，再证，得，过点作，交的延长线于点，然后由含角的直角三角形的性质得，则，即可解决问题； （3）将绕点顺时针旋转，得到，取的中点，连接、、，则，由，得取最小值时，点在上，再由旋转的性质得，，然后证，得，设的长为，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）， ，把绕点顺时针旋转，得到， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2），， 是等边三角形， ，， 将绕点逆时针旋转，得到，连接，如图所示： 则，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ； （3）将绕点顺时针旋转，得到，取的中点，连接、、，如图所示： 则， ， 取最小值时，点在上， 如图所示： 由旋转的性质得：，， ，正方形中，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设的长为， 则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 当取最小值时的长为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、角直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识．本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）如图，在正方形中，，E，F分别是边，上的点，满足，，分别与对角线交于点M，N． (1)求证： ①； ②； (2)求的最小值． 【答案】(1)①见详解；②见详解 (2) 【分析】（1）①延长至点，使，连接，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质得到，再利用全等三角形的判定与性质得到，则结论得证； ②把绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，连接，由旋转的性质可得：，则，利用全等三角形的判定与性质得到，再利用勾股定理解答即可得出结论； （2）以为斜边，作等腰直角三角形，连接，过点作于，利用等腰直角三角形的性质得到，利用两点之间线段最短的性质得到，利用不等式的性质解答即可得出结论． 【详解】（1）（1）①证明：延长至点，使，连接， 如图， ∵四边形为正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． ②证明：把绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，连接， 如图， ∵四边形为正方形， ， ， 由旋转的性质可得：， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：由（1）可知：， 以为斜边，作等腰直角三角形，连接，过点作于， 如图， ∵是等腰直角三角形，， ， ， ∴， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ， ， ， ， ∴的最小值． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（河北石家庄·期中）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的． 下面是一个案例，请补充完整． 【解决问题】 如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． 【思路梳理】 ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合， ∵， ∴，点F、D、G共线． (1)根据以上思路可以证明， （   ），从而可得． (2)如图2，四边形中，，点E、F分别在边上，．若都不是直角，则当与满足等量关系 时，仍有．请证明你的猜想： (3)如图3，，但，，连接，请直接写出之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，正方形的性质等知识，利用旋转与三角形全等的知识是解题的关键． （1）把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，证明，得，从而得； （2）当时，把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，证明，得，从而得； （3）把绕点A逆时针旋转至，且旋转角等于，可使与重合，证明，得，从而得； 【详解】（1）解：∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图1， 则， ∵， ∴，点F、D、G共线． 在正方形中，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：，； （2）解：猜想当时，仍有； 证明如下： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图2， 则，， ∵， ∴， ∴，点F、D、G共线． ∵，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：； 证明如下： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，且旋转角等于，如图3， 则与重合，， ∵， ∴，点F、D、G共线． 在四边形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 5．（24-25八陕西咸阳·开学考试）已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于，． (1)当绕点旋转到时（如图1），，，之间的数量关系为___________； (2)当在上，在上，但（如图2）时，（1）中结论是否成立？请说明理由． (3)当在延长线上，在延长线上（如图3）时，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，之间又有怎样的数量关系？ 【答案】(1) (2)（1）中结论成立，理由见解析 (3)（1）中结论不成立， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，根据旋转的性质，构造全等三角形是解题的关键． （1）将绕点B顺时针旋转，点E落在点G处， 则，根据题意可得A与点C重合，，从而得到点G，C，F三点共线，可证明，从而得到，即可解答； （2）将绕点B顺时针旋转，点E落在点G处， 则，根据题意可得A与点C重合，，从而得到点G，C，F三点共线，可证明，从而得到，即可解答； （3）将绕点B顺时针旋转，点E落在点G处， 则，根据题意可得A与点C重合，，从而得到点G，C，F三点共线，可证明，从而得到，即可解答； 【详解】（1）解：如图，将绕点B顺时针旋转，点E落在点G处， 则， ∵，，，， ∴A与点C重合，， ∴，， ∴，即点G，C，F三点共线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （2）解：（1）中结论成立，理由如下： 如图，将绕点B顺时针旋转，点E落在点G处， 则， ∵，，，， ∴A与点C重合，， ∴，， ∴，即点G，C，F三点共线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：（1）中结论不成立， 如图，将绕点B顺时针旋转，点E落在点G处， 则， ∵，，，， ∴A与点C重合，， ∴，， ∴，即点G，C，F三点共线， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 模型三 奔驰模型（共2小题） 1．（四川达州·期中）【提出问题】如图①，在等边内部有一点P，若，求证： 【尝试解决】（1）证明：将绕点A逆时针旋转，得到，连接， 则为等边三角形， ∴， ， ， ∵ ∴， ∴ ， 即 【类比探究】（2）如图②，在三角形中，，内部有一点P，若，试判断线段之间的数量关系，并证明 【联想拓展】（3）如图③，在中，，，点P在直线上方，且，满足，请直接写出的值． 【答案】（1），；（2）；证明见解析；（3） 【分析】（1）根据已有过程进行补充，即可作答． （2）如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接，证明为等腰直角三角形，故，结合得，运用勾股定理得，即可作答． （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点，即，，则 ，，运用等腰三角形的性质得在中， ，结合，即可作答． 【详解】解：（1）证明：将绕点A逆时针旋转，得到，连接， 则为等边三角形， ∴， ，， ∵ ∴， ∴ 即 故答案为：， （2）． 证明如下：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接， ∴ 则为等腰直角三角形， ， ， ， ； （3）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点， ∴， ∴ ∴， 则， ∴ ， ， 在中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转性质，三角形内角和性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．（九年级上·河南安阳·期末）（1）探究发现 下面是一道例题及其解答过程，请补充完整： 如图1，在等边三角形内部有一点，若．求证：． 证明：将绕点逆时针旋转，得到，则 ， ∴______． 连接，则为______三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理可得，______，即． （2）类比延伸 如图2，在等腰三角形中，，三角形内部有一点，若，试判断线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）；等边； （2），证明见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理． （1）如图1，将绕点A逆时针旋转，得到，则，连接，则为等边三角形，所以，．再计算出，接着利用勾股定理得出 ，即； （2）将绕点逆时针旋转，得到，连接，如图2，则为等腰直角三角形，所以，，．再计算出，则利用勾股定理得到，从而得到． 【详解】解：（1）如图1，在等边三角形内部有一点，若．求证：． 证明：将绕点逆时针旋转，得到，则 ， ∴ ． 连接，则为等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理可得， ，即． 故答案为： ，等边，． （2）． 证明：将绕点逆时针旋转，得到，连接，则为等腰直角三角形． ∴，，． ∵． ∴， ∴， ∴ 模型四 费马点模型（共3小题） 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【背景资料】在已知所在平面上求一点，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马在年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数） 当的三个内角均小于时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，，可知为①______三角形，故，又，故，由②______可知，当，，，在同一条直线上时，取最小值，如图，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有③______； 【知识生成】由此我们可以发现，通过旋转变换我们可以解决一些问题： （）如图，等边内有一点，若点到顶点的距离分别为，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______； （）如图，中，，，为上的点，且，判断之间的数量关系为______； 【问题解决】怎样找三个内角均小于的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边为边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． （）如图，三个内角均小于，在外侧作等边三角形，连接，在上取点，使，连接， 求证：点是的费马点． （）如图，在中，，，，点为的费马点，连接，则的值为______． 【学以致用】如图所示是一个三角形公园，其中顶点为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离和最小，则的最小值是______． 【答案】背景资料：等边；两点之间，线段最短；；知识生成：（）；（）；问题解决：（）证明见解析；（）；学以致用： 【分析】背景资料：根据等边三角形的判定、两点之间线段最短及周角的定义解答即可； 知识生成：（）由旋转可得，进而得到，，，，即可得为等边三角形，得到，，进而由勾股的逆定理得为直角三角形，得到，即得到，即可求解； （）由等腰直角三角形的性质得，将逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，，，，即得，即得到，进而由得到，再根据勾股定理即可求证； 问题解决：（）在上取一点，使得，连接，可证为等边三角形，得到，，再证明，得到，进而得到，即可求证； （）由直角三角形的性质得，由勾股定理得，将绕点B顺时针旋转得到，连接，由点为的费马点，，利用勾股定理求出即可求解； 学以致用：连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于，由旋转的性质可得，，，，，即得和均为等边三角形，得到，，，进而得到，又由是等腰直角三角形，得到，即得到，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：背景资料：当的三个内角均小于时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，，可知为等边三角形，故，又，故，由两点之间，线段最短可知，当，，，在同一条直线上时，取最小值，如图，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”， 则，， ∴， ∴， 故答案为：等边；两点之间，线段最短；； 知识生成：（1）由旋转可得，， ∴，，，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）在中，∵，， ∴， 如图，将逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 问题解决：（）证明：如图，在上取一点，使得，连接， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的费马点； （）在中，∵，，， ∴， ∴， 如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得，，，，， ∴为等边三角形，， ∴， ∵点为的费马点， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴的值是， 故答案为：； 学以致用：如图，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于， 由旋转的性质可得，，，，， ∴和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，直角三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，点P是正方形内一点，连接，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接．若，，，则的长为___________，正方形的边长为___________； 【变式猜想】 （2）如图2，若点P是等边内的一点，且，，，请猜想的度数，并说明理由； 【拓展应用】 （3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题： 如图3，△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，BC=，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，求出PA+PB+PC的最小值． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）证明为等腰直角三角形，证明，求出，，利用勾股定理可求得的长，作，利用勾股定理可求得正方形的边长； （2）将绕点B逆时针旋转，得到，连接，判断出为等边三角形，然后根据勾股定理的逆定理可证明为直角三角形，，即可求得； （3）以为边作等边，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，可得，，，，，则当点A，点P，点D，点共线时，有最小值为，由勾股定理可求解． 【详解】解：（1）∵绕点B顺时针旋转得到， ∴，，，． ∴为等腰直角三角形． ∴，． ∴． 在中，根据勾股定理，得 ． 如图①，过点A作交的延长线于E． ∵， ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 在中，根据勾股定理，得． 故答案为：，； （2），理由如下： ∵是等边三角形， ∴，． 如图②，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，则是等边三角形， ∴，． ∵，， ∴． ∴为直角三角形． ∴． ∴； （3）如图，以为边作等边，将绕点B逆时针旋转，得到，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵将绕点B逆时针旋转， ∴，，， ∴， ∵， ∴当点A，点P，点D，点共线时，有最小值为， ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和旋转的性质是解题的关键，属于中考常考题型． 3．（24-25九年级上·云南临沧·期末）已知等腰，，点为三角形内一点，连，，． (1)如图，若为等边三角形，且，，求的度数以及边长； (2)如图，若，，求的最小值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将绕点逆时针旋转，点的对应点为，点的对应点于点重合，连接，过点作交的延长线于点，如图所示，可得是等边三角形，，，在中，，，，可得，则是直角三角形，所以，在中，，，则，，在中，由勾股定理得：，即可求解； （2）将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，连接，，过点作于点，连接，如图所示，可证和均为等边三角形，则，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，根据“两点之间线段最短”得：，即，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ， 将绕点逆时针旋转，点的对应点为，点的对应点于点重合，连接，过点作交的延长线于点，如图所示： 由旋转的性质得：，，， 是等边三角形， ，， 在中，，，， ， ， 是直角三角形，即， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 的度数是，边的长为； （2）解：将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点为，连接，，过点作于点，连接，如图所示： 由旋转的性质得：，，，， 和均为等边三角形， ，， ， 在中，，，于点， ，， 在中，由勾股定理得：， 是等边三角形，， ， ， ， 点，，在同一条直线上， ， 在中，由勾股定理得：， ， 根据“两点之间线段最短”得：， ， 即， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，掌握旋转的性质，“费马点”模型的计算是关键． 4．（24-25八年级上·重庆渝北·期中）在等边中，点D是边上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，则，连接交于点F，交于点H． (1)如图1，当点为中点时，且，求点到直线的距离； (2)如图2，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在内部有一个动点P，连接，，，若等边的高等于6，当的值最小时，直接写出此时线段的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)4 【分析】（1）过点作，交延长线于点，先根据等边三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得； （2）猜想，证明：在取一点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则，然后根据线段的和差、等量代换即可得证； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，先证出，从而可得，则当点共线时，的值最小，即的值最小，然后利用等边三角形的性质可得，，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作，交延长线于点， ∵是等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴在中，， ∴点到直线的距离． （2）解：猜想，证明如下： 如图，在取一点，使得，连接， ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． （3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 如图，由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，即的值最小， 设交于点，连接， 由旋转的性质得：，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴垂直平分，也垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵等边的高等于6，于点， ∴， ∴， 又∵是等边三角形，于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以当的值最小时，线段的长为4． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识，综合性强，较难的是题（3），正确找出当的值最小时，点的位置是解题关键． 1.如图，在中，P为三角形内一点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造等边三角形是本题的关键． 将绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的长即为所求． 【详解】如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，     ，，，， ∴是等边三角形，， ∴ ∴， ∵， ． 在中，，，， ， 即的最小值为． 故答案为：． 2.如图，中，，，点、分别在、上，且． (1)直接写出和的数量关系； (2)将△绕点逆时针旋转，连接、，如图，第（）题中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由； (3)如图，连接，若，，，求的度数及点到的距离． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3)的度数为，点到的距离为 【分析】（）根据等腰直角三角形的性质得，由平行线的性质得，则，最后由线段和差即可求解； （）由旋转性质可知，证明即可； （）先证明为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，则，，由旋转性质可知，又，，即把绕点逆时针旋转可得到，则，由勾股定理逆定理证明为直角三角形，，则，由勾股定理求出，通过得出，又，则，设点到的距离为，求出的值即可； 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：仍然成立，理由， 由（）得：， ∵将△绕点逆时针旋转， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：∵中，，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵绕点逆时针旋转， ∴， 又∵，， ∴把绕点逆时针旋转可得到， ∴， 在中，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， 作于，如图， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点到的距离为， 则， 解得， ∴的度数为，点到的距离为． 3.阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为8，15，17，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，中，，，、为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据全等三角形的性质及等边三角形的判定及性质得出为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出，，然后利用勾股定理的逆定理得出，最后根据角的和差即可得出答案； （2）把绕点逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质得出，，，，，再利用证明，然后根据全等三角形的性质及勾股定理即可得证； （3）根据勾股定理求出的值，将绕点顺时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质得出，，，，，即可得出是等边三角形，再根据等边三角形的性质结合角的和差得出、、、四点共线，然后根据勾股定理及等量代换即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ，，，， 为等边三角形， ， 即， ， 为等边三角形， ，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：； （2）证明：如图，把绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质得，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）解：在中，，，， ， ， 如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ，，，，， 是等边三角形， ，， ， ， 、、、四点共线， 在中， ． 【点睛】本题考查了旋转的综合题，涉及到全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、旋转的性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 4.【问题提出】如图①，在等边内部有一点，已知，，，求的度数． 【类比探究】如图②，等腰内部有一点，已知，，，则_____． 【联想拓展】如图③，等腰外部有一点，已知，，，则_____． 【答案】（1），（2），（3） 【分析】（1）将绕点A逆时针旋转得到，连结，得到等边， 由勾股定理的逆定理可得，即可求解； （2）类似（1）的方法进行旋转，再由勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的性质可求解； （3类似（1）的方法进行旋转，再由勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：（1）如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连结，得到等边，， ∴， ∵， ∴． ∴ ． （2）将绕点B逆时针旋转得到，连结，得到等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴． ∴， ， 故答案为： （3）将绕点B逆时针旋转得到，连结，得到等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴． ∴， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理逆定理，解题关键是熟练运用旋转构建直角三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 2 / 52 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 旋转压轴四大题型 模型1 手拉手模型 模型3 奔驰模型 模型2 半角模型 模型4 费马点模型 模型一 手拉手模型（共3小题） 1．（九年级上·辽宁鞍山·期中）已知四边形和四边形都是正方形，且． (1)如图1，连接．求证：； (2)如图2，如果正方形绕点C旋转到某一位置恰好使得，． ①求的度数； ②若正方形的边长是，请求出的面积． 2．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）（1）问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为 ． （2）探索：如图②，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）应用：如图③，在四边形中，．若，，求的长． 3．（辽宁盘锦·期末） 已知点C为线段上一点，分别以为边在线段同侧作和，且，直线与交于点F． (1)如图1，若，则 ； (2)如图2，若，则___________．（用含的式子表示）； (3)将图2中的绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在中的一条线段上），如图3．试探究与的数量关系，并予以证明． 模型二 半角模型（共3小题） 1．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在中，，点在上，且． (1)画出将绕点逆时针旋转后的三角形； (2)若，求的长． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）（1）【问题背景】如图1，在中，为边上的点，且绕点顺时针旋转得到，连接，试猜想与的数量关系，并加以证明 （2）【类比探究】如图2，在中，均为边上的点，且，求的长； （3）【拓展应用】如图3，E是正方形内一点，是边上一点，且，若，请直接写出当取最小值时___________． 3．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）如图，在正方形中，，E，F分别是边，上的点，满足，，分别与对角线交于点M，N． (1)求证： ①； ②； (2)求的最小值． 4．（河北石家庄·期中）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的． 下面是一个案例，请补充完整． 【解决问题】 如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． 【思路梳理】 ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合， ∵， ∴，点F、D、G共线． (1)根据以上思路可以证明， （   ），从而可得． (2)如图2，四边形中，，点E、F分别在边上，．若都不是直角，则当与满足等量关系 时，仍有．请证明你的猜想： (3)如图3，，但，，连接，请直接写出之间的数量关系． 5．（24-25八陕西咸阳·开学考试）已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于，． (1)当绕点旋转到时（如图1），，，之间的数量关系为___________； (2)当在上，在上，但（如图2）时，（1）中结论是否成立？请说明理由． (3)当在延长线上，在延长线上（如图3）时，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，之间又有怎样的数量关系？ 模型三 奔驰模型（共2小题） 1．（四川达州·期中）【提出问题】如图①，在等边内部有一点P，若，求证： 【尝试解决】（1）证明：将绕点A逆时针旋转，得到，连接， 则为等边三角形， ∴， ， ， ∵ ∴， ∴ ， 即 【类比探究】（2）如图②，在三角形中，，内部有一点P，若，试判断线段之间的数量关系，并证明 【联想拓展】（3）如图③，在中，，，点P在直线上方，且，满足，请直接写出的值． 2．（九年级上·河南安阳·期末）（1）探究发现 下面是一道例题及其解答过程，请补充完整： 如图1，在等边三角形内部有一点，若．求证：． 证明：将绕点逆时针旋转，得到，则 ， ∴______． 连接，则为______三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理可得，______，即． （2）类比延伸 如图2，在等腰三角形中，，三角形内部有一点，若，试判断线段，，之间的数量关系，并证明． 模型四 费马点模型（共3小题） 1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【背景资料】在已知所在平面上求一点，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马在年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数） 当的三个内角均小于时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，，可知为①______三角形，故，又，故，由②______可知，当，，，在同一条直线上时，取最小值，如图，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有③______； 【知识生成】由此我们可以发现，通过旋转变换我们可以解决一些问题： （）如图，等边内有一点，若点到顶点的距离分别为，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______； （）如图，中，，，为上的点，且，判断之间的数量关系为______； 【问题解决】怎样找三个内角均小于的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边为边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． （）如图，三个内角均小于，在外侧作等边三角形，连接，在上取点，使，连接， 求证：点是的费马点． （）如图，在中，，，，点为的费马点，连接，则的值为______． 【学以致用】如图所示是一个三角形公园，其中顶点为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离和最小，则的最小值是______． 2．（九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，点P是正方形内一点，连接，，，将绕点B顺时针旋转得到，连接．若，，，则的长为___________，正方形的边长为___________； 【变式猜想】 （2）如图2，若点P是等边内的一点，且，，，请猜想的度数，并说明理由； 【拓展应用】 （3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题： 如图3，△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，BC=，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，求出PA+PB+PC的最小值． 3．（24-25九年级上·云南临沧·期末）已知等腰，，点为三角形内一点，连，，． (1)如图，若为等边三角形，且，，求的度数以及边长； (2)如图，若，，求的最小值． 4．（24-25八年级上·重庆渝北·期中）在等边中，点D是边上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，则，连接交于点F，交于点H． (1)如图1，当点为中点时，且，求点到直线的距离； (2)如图2，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在内部有一个动点P，连接，，，若等边的高等于6，当的值最小时，直接写出此时线段的长． 1.如图，在中，P为三角形内一点，则的最小值为 ．    2.如图，中，，，点、分别在、上，且． (1)直接写出和的数量关系； (2)将△绕点逆时针旋转，连接、，如图，第（）题中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由； (3)如图，连接，若，，，求的度数及点到的距离． 3.阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为8，15，17，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，中，，，、为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 4.【问题提出】如图①，在等边内部有一点，已知，，，求的度数． 【类比探究】如图②，等腰内部有一点，已知，，，则_____． 【联想拓展】如图③，等腰外部有一点，已知，，，则_____． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $