精品解析：天津市西青区杨柳青第一中学2025-2026学年高三上学期第一次阶段性测试数学试卷

2025-2026学年度第一学期高三年级第一次阶段性测试 数学学科 （2025.9） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得的值，然后计算即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 2. 已知x，y是实数，则“”是“”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的特征，举例说明充分必要性. 【详解】若，满足，此时，所以不是的充分条件， 反过来，若，满足，此时，所以也不是的必要条件，所以”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的零点个数可排除A；求出的定义域可排除C；根据时函数值的正负可排除D. 【详解】令，得，所以只有1个零点， 即函数的图象与轴只有1个交点，故A错误； 由，得， 所以的定义域为，故C错误； 当时，，故D错误. 故选：B. 4. 某市为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度.为了确定一个比较合理的标准，通过简单随机抽样，获得了100户居民的月均用水量数据（单位：吨），得到如图所示的频率分布直方图.估计该市居民月均用水量的中位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由频率分布直方图结合中位数的定义列方程求解即可. 【详解】由频率分布直方图，得月均用水量在吨以下的居民用户所占的比例为， 月均用水量在吨以下的居民用户所占的比例为， 故中位数落在区间内，设样本的中位数为，则， 解得，即样本的中位数为， 由样本估计总体的思想，估计该市居民月均用水量的中位数为. 故选：A 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合指数函数单调性与对数函数单调性计算即可得. 【详解】，由， 故，则，故， 又，， 故，故. 故选：B. 6. 已知a，b是空间两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：若，，则可能，故A错误； 选项B：因，如图过作平面，交平面于b， 根据线面平行的性质定理，可得，因为，所以， 又因，所以，故B正确； 选项C：若，，则可能或或与相交，故C错误； 选项D：若，，，则与可能相交，故D错误. 故选：B 7. 已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前10项和为（ ） A. 15 B. 35 C. 45 D. 55 【答案】C 【解析】 【分析】利用数列是等比数列求出，再求出，进而可求解. 【详解】等比数列的首项为1，公比为，， ，，，且， 是首项为，公差为的等差数列， 数列的前10项和为. 故选：C. 8. 若函数的图象上有两个相邻顶点为，.将的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移个单位后得，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦函数图得性质，通过周期、最值、顶点，求出函数的相关参数，然后进行平移变换，求出新的函数，进而求出函数值. 【详解】函数图象上有两个相邻顶点为，， 则，即，可得，解得， 由顶点纵坐标为，得，则过， 代入得，得，解得，即， 可知，则， 则， 故选：B. 9. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，也是抛物线的焦点，点P是双曲线E与抛物线C的一个公共点，若，则双曲线E的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作于，由抛物线的定义和双曲线的定义，结合已知把，，用表示，然后由勾股定理列式，得的齐次式，从而可求得． 【详解】由题意，即，设，则， 又，，所以， ，， 作于，如图，则，，， 由得， 化简得，所以，解得（舍去）， 故选：A． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将正确的答案填写到答题卡上.试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分. 10. 是虚数单位，复数________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数除法法则计算出答案. 【详解】. 故答案为： 11. 的展开式中常数项是______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式求出指定项即可. 【详解】由的展开式的通项得：， 令，得，故． 故答案为：. 12. 已知直线与圆相交于两点，且，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】利用垂径定理列方程求解即可. 【详解】根据题意，圆， 即，其圆心为，半径， 若，则圆心到直线即的距离， 又由圆心到直线的距离， 则有， 解可得：； 故答案为：. 13. 某学习小组有男生4人，女生3人，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，则恰有一名男生参加的概率为______；在有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率为______. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】利用超几何概型的概率、古典概型求法及组合数求概率即可. 【详解】由题设，恰有一名男生参加的概率为， 有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加的概率为. 故答案为：， 14. 在四边形中，为中点． 记，用表示_____________________；若，则的最大值为_____________________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用给定的基底，利用向量的线性运算求出；利用数量积的运算律及定义，余弦定理、基本不等式求出最大值即得. 【详解】由是中点，，得； 在四边形中，令，由，得， 由，得，在中，由余弦定理得， ，即，当且仅当时取等号， 由，得，， 因此 ， 所以的最大值为. 故答案为：； 15. 若方程有且仅有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】令，则方程有6解等价有6解,判断的单调性得出的根的分布情况，得出方程的根的分布情况，利用二次函数的性质列不等式组解出的范围. 【详解】， 令，则， 当或时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极大值， 又越来越小时，g（x）趋近0，g（2）=0，当x越来越大时，g（x）也越来越大， 作出的函数图像如图所示， 令，由图像可知，当时，方程有3解， 当或时，方程有1解， 当时，方程有2解，当时，方程无解， 方程有6个解， 即有6个解， 关于的方程在有2个解， ，解得. 故答案为：. 【点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图像的交点个数问题，画出两个函数的图像，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图像的交点个数问题 . 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知的内角，，，的对边分别为，，，满足 （1）求角的大小； （2）若，，求边的值； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理求解； （2）利用余弦定理求解； （2）利用二倍角公式和两角差的余弦公式求解. 【小问1详解】 解：因为，由正弦定理得： ，即， 因为，所以，则； 【小问2详解】 由（1）知，又，， 由余弦定理得：，即， 解得，则； 【小问3详解】 由得：， 则， 所以， . 17. 如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面，，，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】先判断的位置关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求线面角、面面角和点到直线的距离. 【小问1详解】 由侧面为矩形，得， 又平面，，平面， 则，， 即直线，，两两垂直. 建立如图所示的空间直角坐标系 则，，，，，， ，，. 设平面的法向量为 则，令，得， 设直线与平面所成的角为 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 ， 设平面的法向量为 则，令，得， 设平面与平面的夹角为 则 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）（2）可知，平面的法向量为， 点到平面的距离. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若点，直线l与椭圆交于A，B两点（异于点），直线与的斜率之积恒为.求证：直线l过定点. 【答案】（1）； （2）证明如下： 法一：点，设直线的方程为，，， 由，消去得，且， 则，， 直线与的斜率分别为，， 于是 ， 整理得，解得或， 当时，直线过点Q，不符合， 因此，直线恒过定点. 法二：设，，， 则，消去得， ，则，， ，，则， ∴ ，整理得， ∴ ， ∴ ，可得或， 因为直线不过Q点，所以，故， 所以，恒过定点. 【解析】 【分析】（1）由离心率、点在椭圆上列方程求参数值，即可得方程； （2）法一：设直线的方程为，，，联立椭圆并应用韦达定理及列方程求参数，即可证；法二：设直线的方程为，，，联立椭圆并应用韦达定理及列方程求参数关系，即可证； 【小问1详解】 令的半焦距为， 由离心率为，得，解得，， 由点在椭圆上，则，则，，， 所以的方程是； 【小问2详解】 略 19. 设数列是等差数列，是等比数列．已知． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设，数列的前n项积为，证明：． 【答案】（1）； （2）； （3） ，， 当时，； 当时，即 又， 所以，当时，， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据等差和等比数列通项公式得到方程组，解出即可； （2）为奇数时，求得，为偶数时，利用错位相减法得，最后相加即可； （3），利用作差法得其单调性，即可证明. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，所以， 所以． 【小问2详解】 为奇数时，， ， 为偶数时，， ， 所以 所以． 【小问3详解】 略 20. 设函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数 （i）当时，取得极值，求的单调区间； （ii）若存在两个极值点，证明：. 【答案】（1） （2）（i）单调增区间为，，单调减区间为 （ii）， ∵存在两个极值点， ∴方程，即在上有两个不等实根. ∵，解得， 则 ∴所证不等式等价于， 即， 不妨设，即证， 令，， 则， ∴在上递增，∴， ∴成立， ∴. 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）（i），时，取得极值，所以，求出，进而可求出函数的单调区间； （ii），存在两个极值点，即方程，在上有两个不等实根，所以，而等价于，构造函数即可得证. 【小问1详解】 ， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 （i）， ， ∵时，取得极值，∴，解得， ∴， 令，得或；令，得， ∴的单调增区间为，，单调减区间为； （ii）略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高三年级第一次阶段性测试 数学学科 （2025.9） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知x，y是实数，则“”是“”是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 某市为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度.为了确定一个比较合理的标准，通过简单随机抽样，获得了100户居民的月均用水量数据（单位：吨），得到如图所示的频率分布直方图.估计该市居民月均用水量的中位数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知a，b是空间两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 7. 已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前10项和为（ ） A. 15 B. 35 C. 45 D. 55 8. 若函数的图象上有两个相邻顶点为，.将的图象沿x轴向左平移1个单位，再沿y轴向上平移个单位后得，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，也是抛物线的焦点，点P是双曲线E与抛物线C的一个公共点，若，则双曲线E的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将正确的答案填写到答题卡上.试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分. 10. 是虚数单位，复数________． 11. 的展开式中常数项是______．（用数字作答） 12. 已知直线与圆相交于两点，且，则实数______. 13. 某学习小组有男生4人，女生3人，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，则恰有一名男生参加的概率为______；在有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率为______. 14. 在四边形中，为中点． 记，用表示_____________________；若，则的最大值为_____________________． 15. 若方程有且仅有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知的内角，，，的对边分别为，，，满足 （1）求角的大小； （2）若，，求边的值； （3）若，求的值. 17. 如图，在多面体中，侧面为矩形，平面，平面，，，. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若点，直线l与椭圆交于A，B两点（异于点），直线与的斜率之积恒为.求证：直线l过定点. 19. 设数列是等差数列，是等比数列．已知． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设，数列的前n项积为，证明：． 20. 设函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数 （i）当时，取得极值，求的单调区间； （ii）若存在两个极值点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $