专题02 二次根式16题型（期中专项训练）八年级数学上学期新教材沪教版

专题02 二次根式 题型1二次根式的识别 题型9已知同类二次根式求参数 题型2求二次根式的参数 题型10二次根式的加减运算 题型3二次根式有意义的条件（常考点） 题型11二次根式的乘除运算 题型4利用二次根式的性质化简（常考点） 题型12二次根式的混合运算（常考点） 题型5复合二次根式的化简（重点） 题型13 二次根式的应用（常考点） 题型6最简二次根式的识别 题型14分母有理化（重点） 题型7化为最简二次根式（常考点） 题型15比较二次根式的大小（常考点） 题型8同类二次根式的识别 题型16与二次根式有关的新定义问题（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次根式的识别（共3小题） 1．（24-25八年级下·广东韶关·阶段练习）下列根式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·云南临沧·阶段练习）下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列式子：．其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 求二次根式的参数（共3小题） 4．（20-21八年级上·山西临汾·阶段练习）二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是 ． 5．（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）当的值为 时，的值最小，这个最小值为 ． 6．（24-25八年级下·甘肃甘南·阶段练习）如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 题型三 二次根式有意义的条件（共4小题） 7．（24-25八年级下·广东汕头·期末）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 8．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知，则 ． 9．（24-25八年级下·上海·期末）已知关于x的方程无解，则m的值为 ． 10．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知实数、满足，求的立方根． 题型四 利用二次根式的性质化简（共7小题） 11．（25-26八年级上·上海·阶段练习）下列运算中，计算错误的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（22-23九年级下·重庆·自主招生）将式子根式外的因式移到根式内的结果是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知，化简： 14．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知，化简 ． 15．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知，，的位置如图所示，求的值． 16．（25-26八年级上·上海·阶段练习）计算： 17．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：； （3）已知，，为的三边长．化简：． 题型五 复合二次根式的化简（共3小题） 18．（24-25七年级下·上海宝山·期末）计算： 19．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ______； (2)计算：． 20．（2024八年级下·江西上饶·竞赛）像，…这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 根据上述方法解决下列问题： (1)化简：①；②； (2)化简：； (3)化简：． 题型六 最简二次根式的识别（共3小题） 21．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·上海·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 23．（20-21八年级下·四川德阳·阶段练习）在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型七 化为最简二次根式（共2小题） 24．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简． (1)； (2)； (3)； (4)． 25．（25-26八年级上·全国·随堂练习）把下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型八 同类二次根式的识别（共2小题） 26．（25-26八年级上·上海·阶段练习）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 27．（25-26九年级上·河南周口·阶段练习）下列二次根式中，可以与合并的是（   ） A． B． C． D． 28．（23-24八年级下·湖北襄阳·期中）下列各式中，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 题型九 已知同类二次根式求参数（共2小题） 29．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）若最简二次根式能与合并，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 30．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 题型十 二次根式的加减运算（共3小题） 31．（25-26八年级上·上海·阶段练习）在数轴上点、分别表示和，则两点之间的距离是 ． 32．（24-25七年级下·上海宝山·期末）计算： 33．（24-25八年级上·上海·阶段练习）计算： (1)； (2)． 题型十一 二次根式的乘除运算（共4小题） 34．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知、为整数，且满足，求的值． 35．（25-26八年级上·上海·阶段练习）计算 (1) (2) 36．（24-25七年级下·上海宝山·期末）计算： 37．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）计算： (1)； (2) (3)； (4) 题型十二 二次根式的混合运算（共5小题） 38．（25-26八年级上·上海·阶段练习）的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 39．（25-26八年级上·上海·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 40．（25-26八年级上·上海·阶段练习）计算：． 41．（24-25七年级下·上海宝山·期末）计算： 42．（2025·上海浦东新·三模）先化简，再求值：，其中，． 题型十三二次根式的应用（共5小题） 43．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）已知一块长方形纸片长宽之比为，且长方形的面积为40，求它的长和宽． 44．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，长方形中有两个正方形和，正方形的面积是，正方形的面积是． (1)求长方形的周长； (2)求长方形的面积． 45．（25-26九年级上·河南鹤壁·阶段练习）高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为h（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式 （不考虑风速的影响）． (1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？ (2)从高空抛出的物体，经过落地，所抛物体下落的高度是多少？ 46．（25-26八年级上·全国·课后作业）某公路规定汽车行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑行的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，．请你判断一下，肇事汽车当时是否超过了规定的速度？ 47．（24-25八年级下·广东清远·阶段练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由．（人的高度忽略不计） 题型十四 分母有理化（共3小题） 48．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算：． 49．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）我们知道，，，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．如与互为有理化因式，与互为有理化因式．利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化．例如： ． (1)分母有理化的结果是 ，分母有理化的结果是 ． (2)利用以上知识计算：． 50．（25-26八年级上·全国·单元测试）观察下列运算． ①由得； ②由得； ③由得． …… (1)通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来． (2)利用（1）中你发现的规律计算：． 题型十五 比较二次根式的大小（共4小题） 51．（25-26八年级上·上海·阶段练习）（1）计算：________；________ （2）由以上计算结果：可知的倒数是________． （3）比较与的大小． 52．（2025八年级上·全国·专题练习）已知 ，，，比较的大小关系． 53．（2025八年级上·全国·专题练习）“作商法”比较与的大小． 54．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）我们可用“平方法”比较二次根式和的大小．先把和分别平方，得．因为，所以． 请结合上述材料解决下列问题． (1)比较，的大小； (2)比较 ， 的大小，则m___________n．（填“>”“<”或“=”） 题型十六 与二次根式有关的新定义问题（共4小题） 55．（24-25八年级下·江苏南京·期末）代数推理是指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 请先完成第题的填空，填写推理的依据，再完成第题的证明． (1)已知实数x，y满足，求证：． 证明：， ①______， ②______， ， ，， ，， ， ， ． (2)在三边长分别为a，b，的三角形中，利用的结论，求证： 56．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 57．（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）定义两种新运算，规定：，，其中、为实数且． (1)求的值； (2)化简． 58．（21-22七年级下·湖北武汉·阶段练习）用符号“※”定义一种新运算：对于任意实数和，规定，例如：． (1)求； (2)若，求的取值范围． $专题02 二次根式 题型1二次根式的识别 题型9已知同类二次根式求参数 题型2求二次根式的参数 题型10二次根式的加减运算 题型3二次根式有意义的条件（常考点） 题型11二次根式的乘除运算 题型4利用二次根式的性质化简（常考点） 题型12二次根式的混合运算（常考点） 题型5复合二次根式的化简（重点） 题型13 二次根式的应用（常考点） 题型6最简二次根式的识别 题型14分母有理化（重点） 题型7化为最简二次根式（常考点） 题型15比较二次根式的大小（常考点） 题型8同类二次根式的识别 题型16与二次根式有关的新定义问题（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 二次根式的识别（共3小题） 1．（24-25八年级下·广东韶关·阶段练习）下列根式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，根据二次根式的定义逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不一定是非负数，则不一定是二次根式，故该选项不符合题意； B、，则一定是二次根式，故该选项符合题意； C、是立方根，不是二次根式，故该选项不符合题意； D、，则不是二次根式，故该选项不符合题意； 故选：B 2．（24-25八年级下·云南临沧·阶段练习）下列式子中，①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，其中二次根式有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如的式子叫做二次根式判断即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可知，二次根式有，，，，共五个． 故选C． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列式子：．其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据被开方数为非负数，即可得出答案． 【详解】解：，不是二次根式； 是二次根式； 当时，不是二次根式； 当时，，不是二次根式； ，是二次根式； 不是二次根式． 综上，，是二次根式，一共2个． 故选：B． 题型二 求二次根式的参数（共3小题） 4．（20-21八年级上·山西临汾·阶段练习）二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查二次根式的性质、二次根式的定义等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 利用二次根式的性质可得，则是一个平方数，然后确定a的最小正整数即可． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴是一个平方数， ∴正整数a的最小值是2． 故答案为：2． 5．（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）当的值为 时，的值最小，这个最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质解答即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，即，取最小值， 此时的值最小，最小值为， 故答案为：，． 6．（24-25八年级下·甘肃甘南·阶段练习）如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．把每个选项中的m的值代入二次根式化简即可． 【详解】解：A、当时，，不是一个正整数，故此选项不符合题意； B、当时，，是一个正整数，故此选项符合题意； C、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； D、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； 故选：B． 题型三 二次根式有意义的条件（共4小题） 7．（24-25八年级下·广东汕头·期末）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件计算即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴且， 解得且， 即， 故选：B 8．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知，则 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数求出的值，进而求出的值，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·上海·期末）已知关于x的方程无解，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的非负数性质，根据二次根式的非负数性质，得出时，关于x的方程无解，由此可解． 【详解】解：关于x的方程无解， 则， 解得：， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知实数、满足，求的立方根． 【答案】的立方根为 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求一个数的立方根．根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件确定的值，进而求得的值，代入代数式，求得代数式的值，根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵分母中， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴的立方根为． 题型四 利用二次根式的性质化简（共7小题） 11．（25-26八年级上·上海·阶段练习）下列运算中，计算错误的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决此题的关键．逐一分析各运算的正确性即可． 【详解】①： 将带分数化为假分数：，故．原式结果为，错误； ②： 算术平方根的非负性：．原式结果为，错误； ③： 在实数范围内无意义，无法计算，故错误； ④： ，故错误； 综上，错误个数为4， 故选：D． 12．（22-23九年级下·重庆·自主招生）将式子根式外的因式移到根式内的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据二次根式有意义的条件可得，再根据二次根式的性质计算即可得． 【详解】解：由题意得：，且， ∴， 则 ， 故选：C． 13．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知，化简： 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简，二次根式的性质，立方根的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则逐一化简再运算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简、绝对值的化简，熟练掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题的关键．先根据，将二次根式和绝对值分别化简，计算后即可得出结果． 【详解】 ， ， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知，，的位置如图所示，求的值． 【答案】 【分析】根据数轴可知，，求出，，，再根据绝对值和二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：根据题意，得，， ∴，，， ∴ ． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值、二次根式的性质的应用，主要考查化简能力，解题的关键是根据数轴确定出各式子的取值范围． 16．（25-26八年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的性质化简求值即可． 【详解】解： ． 17．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：； （3）已知，，为的三边长．化简：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，三角形三边的关键： （1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先根据数轴得到，据此化简二次根式和绝对值即可； （3）根据三角形三边的关系得到，据此化简二次根式即可． 【详解】解：（1）∵有意义， ∴，即， ∴ ； （2）由题意得，，， ∴， ∴ ； （3）∵，，为的三边长， ∴， ∴ ． 题型五 复合二次根式的化简（共3小题） 18．（24-25七年级下·上海宝山·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据完全平方公式把式子化简，再进行计算． 【详解】解： ． 19．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ______； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据，比较对应项系数即可． （2）根据，得；根据得，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 20．（2024八年级下·江西上饶·竞赛）像，…这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 根据上述方法解决下列问题： (1)化简：①；②； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握完全平方公式，利用二次根式的性质是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）先将凑成完全平方式，逐步对内部被开方数化简，计算即可． 【详解】（1）解：①． ②． （2）解：设，两边平方可得： ， 所以． 则． 又因为， 所以． （3）∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴原式． 题型六 最简二次根式的识别（共3小题） 21．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，被开方数不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数小于2，判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，不符合题意； B. ，不符合题意；     C. ，符合题意；     D. ，不符合题意； 故选：C． 22．（25-26八年级上·上海·阶段练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、是最简二次根式，故C符合题意； D、，故D不符合题意． 故选： C． 23．（20-21八年级下·四川德阳·阶段练习）在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，被开方数中不含有开得尽方的因数或因式，不含有分母，掌握最简二次根式的概念是解题的关键；根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：，，，这三个二次根式中含有开得尽方的因数或因式，或者含有分母，故它们都不是最简二次根式， 而，符合最简二次根式的概念，是最简二次根式； 故选：C． 题型七 化为最简二次根式（共2小题） 24．（25-26八年级上·全国·课后作业）化简． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则进行化简即可； （2）根据二次根式的除法法则进行化简即可； （3）根据二次根式的除法法则进行化简即可； （4）根据二次根式的除法法则进行化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 25．（25-26八年级上·全国·随堂练习）把下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）把27写成，然后化简； （2）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以2，然后化简； （3）分子分母都乘以5，然后化简； （4）先把分母化简，然后分子分母同乘以，然后化简． 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 题型八 同类二次根式的识别（共2小题） 26．（25-26八年级上·上海·阶段练习）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．将各项先化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】A、和被开方数相同，故是同类二次根式，符合题意； B、和被开方数不同，故不是同类二次根式，不符合题意； C、和被开方数不同，故不是同类二次根式，不符合题意； D、和被开方数不同，故不是同类二次根式，不符合题意； 故选：A． 27．（25-26九年级上·河南周口·阶段练习）下列二次根式中，可以与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，先对各选项的二次根式化简，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，与不能合并，不符合题意； B、，与不能合并，不符合题意； C、，与能合并，符合题意； D、与不能合并，不符合题意， 故选：C． 28．（23-24八年级下·湖北襄阳·期中）下列各式中，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义(几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式)是解此题的关键．先将各选项化简为最简二次根式后，若被开方数相同则可合并，否则不能． 【详解】解：， A：，能与合并； B：，能与合并； C：，能与合并； D：，不能与合并； 故选：D． 题型九 已知同类二次根式求参数（共2小题） 29．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）若最简二次根式能与合并，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．两个最简二次根式能够合并的条件是它们的被开方数相同，先将化简为最简形式，再令的被开方数与之相等，结合最简二次根式的定义求解． 【详解】解：，被开方数为3， ∵最简二次根式能与合并， ∴， ∴． 故选：C． 30．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．根据题意得出最简二次根式与是同类二次根式，由此得出，即可求出的值． 【详解】解：依题意，， 解得：， 且，符合题意， 故答案为：． 题型十 二次根式的加减运算（共3小题） 31．（25-26八年级上·上海·阶段练习）在数轴上点、分别表示和，则两点之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，数轴上两点间的距离，二次根式的加减运算等知识．根据数轴上两点间的距离是用较大的数减去较小的数进行计算即可． 【详解】解：,两点之间的距离 ． 故答案为：． 32．（24-25七年级下·上海宝山·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减，先根据二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的加减法则进行计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 33．（24-25八年级上·上海·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十一 二次根式的乘除运算（共4小题） 34．（25-26八年级上·上海·阶段练习）已知、为整数，且满足，求的值． 【答案】． 【分析】此题主要考查了实数运算．去括号，合并同类二次根式得到，由a、b为整数，计算得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， 而，a、b为整数， ∴， ∴，， ∴． 35．（25-26八年级上·上海·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除法、二次根式的化简、二次根式有意义的条件，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式，再计算二次根式的除法，然后计算二次根式的乘法即可得； （2）先根据二次根式有意义的条件可得，再计算二次根式的乘法，然后化简二次根式即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：由题意可知，， 则， 则原式 ． 36．（24-25七年级下·上海宝山·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质可得：原式，根据二次根式的除法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 37．（24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）计算： (1)； (2) (3)； (4) 【答案】(1)4 (2)17 (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的性质计算即可； （2）根据二次根式乘除混合运算计算即可． （3）根据二次根式的性质，完全平方公式计算即可； （4）根据二次根式乘除混合运算计算即可． 本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型十二 二次根式的混合运算（共5小题） 38．（25-26八年级上·上海·阶段练习）的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了无理数的大小的应用，关键是确定的范围． 求出，推出，得到a，求出b，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 39．（25-26八年级上·上海·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，算术平方根及立方根，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． （1）先根据加法交换律进行计算，然后合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可； （3）先计算算术平方根及立方根，再进行有理数计算； （4）先利用乘法分配律和二次根式的性质化简，再进行加减运算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 40．（25-26八年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，立方根，化简绝对值，二次根式的乘法等，熟练掌握其运算规则是解题的关键．先算立方根，化简绝对值，然后计算二次根式的乘法，最后从左到右进行计算即可． 【详解】解：原式 41．（24-25七年级下·上海宝山·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据平方差公式进行计算，再利用完全平方公式进行计算，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 42．（2025·上海浦东新·三模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，包括完全平方公式，平方差公式以及对分子分母因式分解，二次根式的运算，分母有理化的计算，正确使用公式化简求值是解决本题的关键． 先使用完全平方公式和平方差公式对分式进行化简，再将，代入式子中进行计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴上式 ． 题型十三二次根式的应用（共5小题） 43．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）已知一块长方形纸片长宽之比为，且长方形的面积为40，求它的长和宽． 【答案】长：cm，宽：cm 【分析】本题考查二次根式的实际应用，根据长方形的长宽比为，可设长和宽分别为，，再根据长方形的面积公式列出方程，解方程即可得到x的值，从而求出长方形的长和宽． 【详解】解：设长方形的长和宽分别为，，其中， 则， 即， ∴， ∴，， 故长方形的长和宽分别为cm和cm． 44．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，长方形中有两个正方形和，正方形的面积是，正方形的面积是． (1)求长方形的周长； (2)求长方形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了算术平方根的应用， （1）首先求出，，得到，进而求解即可； （2）首先求出，然后根据长方形面积公式求解即可． 【详解】（1）∵正方形的面积是，正方形的面积是 ∴， ∴ ∴长方形的周长； （2）∵ ∴ ∴长方形的面积． 45．（25-26九年级上·河南鹤壁·阶段练习）高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为h（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式 （不考虑风速的影响）． (1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？ (2)从高空抛出的物体，经过落地，所抛物体下落的高度是多少？ 【答案】(1)从抛出到落地所需时间是； (2)所抛物体下落的高度是． 【分析】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式是解题的关键； （1）由题意可把代入公式进行求解即可； （2）把代入公式进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入公式得：； 答：从抛出到落地所需时间是； （2）解：把代入公式得：， 解得：； 答：所抛物体下落的高度是． 46．（25-26八年级上·全国·课后作业）某公路规定汽车行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑行的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，．请你判断一下，肇事汽车当时是否超过了规定的速度？ 【答案】超过了规定的速度 【分析】本题考查了二次根式的应用以及数值大小比较．先将已知的刹车距离和摩擦系数代入经验公式计算出车速，再与规定速度比较，判断是否超速． 【详解】解：把，代入， ， ∴肇事汽车当时的速度超过了规定的速度． 47．（24-25八年级下·广东清远·阶段练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由．（人的高度忽略不计） 【答案】(1)的值为； (2)天气晴朗时站在山之巅能看到大海，理由见解析． 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，算术平方根的应用． （1）将，代入即可求解； （2）先将，代入，得到此时的值，与最短距离比较即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 所以此时的值为． （2）解：能看到，理由如下 ，， ， 所以天气晴朗时站在山之巅能看到大海． 题型十四 分母有理化（共3小题） 48．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简，分母有理化，二次根式的乘法计算即可．本题考查了二次根式的性质，分母有理化，二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 49．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）我们知道，，，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．如与互为有理化因式，与互为有理化因式．利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化．例如： ． (1)分母有理化的结果是 ，分母有理化的结果是 ． (2)利用以上知识计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，理解题意、正确计算是解题的关键． （1）由题干例子即可完成； （2）由题干例子把各项化为分母不含二次根式的式子，再利用二次根式的加减法则即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ． 50．（25-26八年级上·全国·单元测试）观察下列运算． ①由得； ②由得； ③由得． …… (1)通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来． (2)利用（1）中你发现的规律计算：． 【答案】(1)（n为正整数） (2)2023 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化及数字的规律探索，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． （1）根据题意即可得出规律； （2）根据规律将式子化简，再运用平方差公式求解即可． 【详解】（1）由题可得，（n为正整数） ； （2） ． 题型十五 比较二次根式的大小（共4小题） 51．（25-26八年级上·上海·阶段练习）（1）计算：________；________ （2）由以上计算结果：可知的倒数是________． （3）比较与的大小． 【答案】（1）1，1；（2）；（3） 【分析】本题考查了分母有理化，利用平方差公式是分母有理化的关键． （1）根据平方差公式，可得答案； （2）根据（1）的规律，可得答案； （3）利用（2）的结论，可得答案． 【详解】解：（1） ， ， 故答案为：1，1； （2）∵ ， ∴ ， 故答案为：； （3） ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 52．（2025八年级上·全国·专题练习）已知 ，，，比较的大小关系． 【答案】 【分析】此题考查二次根式比较大小，分母有理化，先将a、b、c分别进行分母有理化，再比较大小即可． 【详解】解：，，， ， ， 又， ， ． 53．（2025八年级上·全国·专题练习）“作商法”比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，分母有理化，由，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 54．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）我们可用“平方法”比较二次根式和的大小．先把和分别平方，得．因为，所以． 请结合上述材料解决下列问题． (1)比较，的大小； (2)比较 ， 的大小，则m___________n．（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． （1）按照题目所提供的“平方法”进行计算即可； （2）按照题目所提供的“平方法”进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型十六 与二次根式有关的新定义问题（共4小题） 55．（24-25八年级下·江苏南京·期末）代数推理是指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 请先完成第题的填空，填写推理的依据，再完成第题的证明． (1)已知实数x，y满足，求证：． 证明：， ①______， ②______， ， ，， ，， ， ， ． (2)在三边长分别为a，b，的三角形中，利用的结论，求证： 【答案】(1)①不等式的基本性质1，②平方差公式 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、非负数的性质、三角形的三边关系、算术平方根、实数大小比较、不等式的性质，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． （1）依据题意，根据不等式的性质，及平方差公式即可判断得解； （2）依据题意，根据所给信息即可计算判断得解． 【详解】（1）解：由题意，， （①不等式的基本性质1）， （②平方差公式）， 故答案为：①不等式的基本性质1，②平方差公式． （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ． 56．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式， （1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； （2）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【详解】（1） （2）∵， ，的“如意数”， ∴， ∴， 即：． 57．（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）定义两种新运算，规定：，，其中、为实数且． (1)求的值； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算和二次根式的混合运算． （1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义列式，合并同类二次根式解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 58．（21-22七年级下·湖北武汉·阶段练习）用符号“※”定义一种新运算：对于任意实数和，规定，例如：． (1)求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次不等式组，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得，则可得到不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵ ∴ ， ∵， ∴， 解得． $