专题03 第17-18题 新定义 动态几何题（高效培优期中专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

专题03 第17-18题 新定义 动态几何题 考点01 新定义题—文字语言 考点02 新定义题—文字语言+图形语言 考点03 动态几何—三角形+其他 考点04 动态几何—（特殊）平行四边形 考点01 新定义题—文字语言 1．（24-25九年级上·上海·期中）在一个三角形中，如果有两条中线互相垂直，我们把这样的三角形称为“中垂三角形”．如果是“中垂三角形”，是中线，，，那么的长为 ． 2．（19-20九年级上·上海静安·期末）平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中，AD//BC，AD=4，BC=9，点E、F分别在边AB、CD上，且EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么= ． 3．（23-24九年级上·上海普陀·期中）平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中，，点E、F分别在边AB、CD上，如果EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么的值为 ． 4．（24-25九年级上·上海闵行·期中）新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“智慧线”．已知一个直角梯形的“智慧线”等于2，它的面积是 ． 考点02 新定义题—文字语言+图形语言 5．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）定义：有且只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做单邻等对补四边形．如图所示，在Rt中，，，，分别在、上取点、，如果四边形为单邻等对补四边形，那么的长为 ． 6．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”，如图，是“精准三角形”，，，垂足为点，那么的长度为 ． 7．（2024·上海嘉定·二模）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做准直角三角形．已知在直角中，，，，如图，如果点在边上，且是准直角三角形，那么 ． 8．（24-25九年级上·上海黄浦·期中）定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”如图，已知，与之间的距离为．“等高底”是钝角三角形，且，的“等底”在直线上，点在直线，有一边的长是的倍．将绕点按顺时针方向旋转得到，所在直线交于，则 ． 9．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有 个． 10．（23-24九年级上·上海奉贤·期中）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图，在中，于点E，，，，点D是边上的“好点”，则线段的长为 ． 11．（22-23九年级上·上海·期中）定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知，与之间的距离为2.“等高底”的“等底”BC在直线上，点A在直线上，有一边的长是BC的倍．将绕点C按顺时针方向旋转得到，所在直线交于点D，则 ． 12．（22-23九年级上·上海徐汇·阶段练习）将绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得，如图①，我们将这种变换记为，如图②，在中，，如果对作变换得，使点B，C，B′在同一直线上，且，那么 ．    考点03 动态几何—三角形+其他 13．（2020·上海徐汇·一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，将△ADE沿直线DE翻折后与△FDE重合，DF、EF分别与边BC交于点M、N，如果DE＝8，，那么MN的长是 ． 14．（2020·上海杨浦·一模）如图，已知在△ABC中，∠B=45º，∠C=60º，将△ABC绕点A旋转，点B、C分别落在点B1、C1处，如果BB1//AC，联结C1B1交边AB于点D，那么的值为 ． 15．（18-19九年级上·山东青岛·课后作业）在中，，，点E、F分别在、边上，将沿直线翻折后，点B落在对边的点为，若与相似，那么 ． 16．（19-20九年级上·上海奉贤·期中）如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．点 M、N分别在边 AB、 BC上，沿直线 MN将△ABC折叠，点 B落在点 P处，如果 AP∥BC且 AP=4，那么 BN= ．    17．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知：如图，在中，的平分线交于点D， 交于点，将沿着翻折，点A落在点处，交于点．则长为 ． 18．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如图，在中，，，，是的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，当时， ． 19．（上海市青浦区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷）如图， 在等边中，边长为30，点M为线段上一动点，将等边沿过M的直线折叠，折痕与直线交于点N，使点A落在直线上的点D处，且设折痕为，则的值为 ． 20．（24-25九年级上·上海·期中）在中，，，，点D、E分别是边、的中点，将绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点、，当直线经过点A时，线段的长为 ． 21．（24-25九年级上·上海金山·期中）在中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称．如果，且，那么 ． 22．（2018·上海虹口·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanB=，点D是AB的中点，如果把△BCD沿直线CD翻折，使得点B落在同一平面内的B′处，联结A B′，那么A B′的长为 ． 23．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，在中，，，点在边上，，点在射线上，将沿着翻折，点落在点处，如果点在同一直线上，那么 ． 24．（16-17九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，将绕点C旋转得到，点A的对应点恰好与的重心重合，与相交于点E，那么的值为 ． 25．（18-19九年级上·四川·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanB=，点M是AB边的中点，将△ABC绕着点M旋转，使点C与点A重合，点A与点D重合，点B与点E重合，得到△DEA，且AE交CB于点P，那么线段CP的长是 ． 26．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在等腰直角中，，为边上任意一点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点，若点为的中点，则的长为 ． 27．（21-22九年级上·上海宝山·期末）如图，已知一张三角形纸片，点在边上．如果过点剪下一个与相似的小三角形纸片，可以有四种不同的剪法，设，那么的取值范围是 ． 28．（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，，，．把绕点B逆时针旋转（旋转角小于）点A、C的对应点分别是、，射线与交于点E，若，则 ． 29．（2023·上海崇明·二模）如图，已知在两个直角顶点重合的Rt△ABC和Rt△CDE中，，，，，将绕着点C顺时针旋转，当点D恰好落在边上时，连接，那么 ． 30．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，，是的角平分线，．将绕点A旋转，如果点C落在射线上，点B落在点E处，连接，那么的正切值为 ． 31．（24-25九年级上·上海闵行·期中）中，，，，将此三角形绕点旋转，当点的对应点在直线上，点的对应点在点处，那么的面积是 ．    32．（2023·上海闵行·一模）如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，将沿着折痕翻折后，点A恰好落在线段的延长线上的点P处，如果，那么折痕的长为 ． 33．（2019·上海徐汇·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，cosB＝，先将△ACB绕着顶点C顺时针旋转90°，然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到△A′CB′（点A′、C、B′的对应点分别是点A、C、B），连接A′A、B′B，如果△AA′B和△AA′B′相似，那么A′C的长是 ． 34．（23-24九年级上·上海长宁·期中）已知在中，，（如图），把绕着点C按顺时针方向旋转，将点A、B的对应点分别记为点，如果为直角三角形，那么点A与点的距离为 ．    35．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，在中，，，点在边上，且，将绕点旋转，使点的对应点落在的边上，则的长为 ． 36．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）如图，在中，，点D、E分别在上，且，将沿着折叠，点C恰好落在边上的点F处，如果，那么的长为     考点04 动态几何—（特殊）平行四边形 37．（16-17九年级上·上海奉贤·期末）如图，已知平行四边形中，， ，，将边绕点A旋转，使得点B 落在平行四边形的边上，其对应点为（点不与点B 重合），那么 ． 38．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在矩形中，，在边上取一点，将沿直线翻折，使点恰好落在边上的处，的平分线与边交于点，如果，那么 ． 39．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，在正方形中，E是边的中点，将沿直线翻折后，点B落在点M处，连接并延长与边交于点N，那么的值为 ． 40．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图，将矩形纸片沿折叠，点恰好落在边的中点处，点落在点处，交边于点．若，，则的值为 ． 41．（22-23九年级上·上海宝山·期中）如图，矩形中，、分别是边、上的点，将矩形沿直线翻折后，点落在边上的点处，如果，，，那么的长为 ． 42．（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，在矩形纸片中，，，点E是边上的点，连接，将沿翻折，使点B落在处；点F是边上的点，连接，将沿翻折，使点C恰好落在线段上，记作点，连接．如果，那么 ． 43．（18-19九年级上·山东青岛·单元测试）如图，已知正方形纸片，E为延长线上一点，F为边上一点，将纸片沿翻折，点C恰好落在边上的点H，连接，，．交于点N，、、恰好交于一点M．若，，则线段的长度为 ． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 第17-18题 新定义 动态几何题 考点01 新定义题—文字语言 考点02 新定义题—文字语言+图形语言 考点03 动态几何—三角形+其他 考点04 动态几何—（特殊）平行四边形 考点01 新定义题—文字语言 1．（24-25九年级上·上海·期中）在一个三角形中，如果有两条中线互相垂直，我们把这样的三角形称为“中垂三角形”．如果是“中垂三角形”，是中线，，，那么的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的性质以及三角形中位线性质等知识，分、、三种情况讨论，运用相似三角形的判定与性质，勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵为“中垂三角形”，即于点P， 又∵， ∴ ∴， ∵分别是中线，连接， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 在中， ∴， ∴； 如图，当时， 同理可得，，， 在中， ∴ ∴； 如果是“中垂三角形”，设三条中线相交于P，当时，取中点G，连接，过G作于H， ∵为中点， ∴， ∵G为中点， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴，这与垂线段最短相矛盾， ∴不存在； 综上，的长为或． 故答案为：或． 2．（19-20九年级上·上海静安·期末）平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中，AD//BC，AD=4，BC=9，点E、F分别在边AB、CD上，且EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么= ． 【答案】 【分析】先利用比例中线的定义，求出EF的长度，然后由梯形ADFE相似与梯形EFCB，得到，即可得到答案. 【详解】解：如图， ∵EF是梯形的比例中线， ∴， ∴， ∵AD//BC， ∴梯形ADFE相似与梯形EFCB， ∴； 故答案为：. 【点睛】本题考查了相似四边形的性质，以及比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握相似四边形的性质和比例中线的性质. 3．（23-24九年级上·上海普陀·期中）平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中，，点E、F分别在边AB、CD上，如果EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】先根据是的比例中项可求得，再过点D作的平行线构造平行四边形，可求得的长度，然后再利用即可求得的值． 【详解】如图，过点D作的平行线，交于点M、N． ∵ ∴四边形、四边形、四边形均为平行四边形． ∴， ∵是梯形的比例中项， ∴． ∴ 由得， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例中项、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是作的平行线构造平行四边形与相似三角形． 4．（24-25九年级上·上海闵行·期中）新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“智慧线”．已知一个直角梯形的“智慧线”等于2，它的面积是 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、勾股定理、平行线的性质、二次根式的运算，理解题中定义，分类讨论是解答的关键．根据题意，画出图形，根据等腰直角三角形的性质，结合梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图1，为等腰直角三角形，， ∴， ∴； 如图2，为等腰直角三角形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 综上，这个直角梯形的面积为3或． 考点02 新定义题—文字语言+图形语言 5．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）定义：有且只有一组邻边相等，且对角互补的四边形叫做单邻等对补四边形．如图所示，在Rt中，，，，分别在、上取点、，如果四边形为单邻等对补四边形，那么的长为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质及判定、勾股定理，理解“单邻等对补四边形”定义，熟练运用相似三角形的性质及判定、勾股定理是解决问题的关键． 根据题意，分四种情况画出图形，证明，根据相似三角形的性质逐一求解判断即可． 【详解】解：在中，，，， ， ①当时，如下图所示： ， ， 由“单邻等对补四边形”的定义可得：， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ，不符合“单邻等对补四边形”的定义； ②当时，如图所示： ， ，即， ， ③当时，如图所示： ， ， ，即， ， 综上所述，的长为或． 6．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”，如图，是“精准三角形”，，，垂足为点，那么的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是用勾股定理解三角形，解题关键是熟练掌握勾股定理．取中点，连接，根据题目中“精准三角形”的定义可得，根据勾股定理得到即可求解． 【详解】解：取中点，连接， 此时为中线，， 是“精准三角形”， ， ， ， 设， 则，， ， 中，， ，， ， 即， 解得， ． 故答案为：． 7．（2024·上海嘉定·二模）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做准直角三角形．已知在直角中，，，，如图，如果点在边上，且是准直角三角形，那么 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．分两种情况讨论，由相似三角形的性质和锐角三角函数可求解 【详解】当时，如图，过点D作于H， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或； 8．（24-25九年级上·上海黄浦·期中）定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”如图，已知，与之间的距离为．“等高底”是钝角三角形，且，的“等底”在直线上，点在直线，有一边的长是的倍．将绕点按顺时针方向旋转得到，所在直线交于，则 ． 【答案】或 【分析】分别过点作于点，点作于点，由题意易得，然后可得，进而可分当时，当时，最后根据勾股定理可进行求解 【详解】解：分别过点作于点，点作于点，如图所示： 由题意可得：， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ①当时，则在中，由勾股定理得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②当时，则在中，由勾股定理得：， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述：或； 故答案为或； 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、二次根式的运算及勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、二次根式的运算及勾股定理是解题的关键． 9．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 根据题意，得出的三边之比，并在直角坐标系中找出与各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 【详解】解：有图可知：的三边为： ，， ， 如图所示： 可能出现的相似三角形共有以下六种情况： ， 故答案为：6． 10．（23-24九年级上·上海奉贤·期中）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图，在中，于点E，，，，点D是边上的“好点”，则线段的长为 ． 【答案】5或10 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，由等题意得，，设，得，，然后根据“好点”定义及勾股定理得到是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，则， ∵， ∴， 设，如图，可得，， ∵点是边上的“好点”， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 则，即：， 解得：，， 即：或10； 故答案为：5或10． 11．（22-23九年级上·上海·期中）定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．如图，已知，与之间的距离为2.“等高底”的“等底”BC在直线上，点A在直线上，有一边的长是BC的倍．将绕点C按顺时针方向旋转得到，所在直线交于点D，则 ． 【答案】或2 【分析】分别过点A作于点E，点D作于点F，由题意易得，然后可得，进而可分当时，当时，最后根据勾股定理可进行求解 【详解】解：分别过点A作于点E，点D作于点F，如图所示： 由题意可得：， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ①当时，则在中，由勾股定理得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵，   ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②当时，则在中，由勾股定理得：， ∴点B、E重合，即是等腰直角三角形， ∵， ∴，   ∵， ∴； 综上所述：或2； 故答案为或2； 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、二次根式的运算及勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、二次根式的运算及勾股定理是解题的关键。 12．（22-23九年级上·上海徐汇·阶段练习）将绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得，如图①，我们将这种变换记为，如图②，在中，，如果对作变换得，使点B，C，B′在同一直线上，且，那么 ．    【答案】 【分析】先判定，得到，继而证明，设，在中，利用勾股定理得出，证明，得到，再在中，利用勾股定理得到，两式结合，利用加减消元法求出n值即可． 【详解】解：如图，连接    ∵，， ∴， ∴，且， ∵， ∴，即， ∴，则， 设， 在中，， 即， 整理得：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， 整理得：，代入中， 解得：（负值舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用相似三角形的性质解决问题． 考点03 动态几何—三角形+其他 13．（2020·上海徐汇·一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，将△ADE沿直线DE翻折后与△FDE重合，DF、EF分别与边BC交于点M、N，如果DE＝8，，那么MN的长是 ． 【答案】4 【分析】先根据折叠的性质得DA＝DF，∠ADE＝∠FDE，再根据平行线的性质和等量代换得到∠B＝∠BMD，则DB＝DM，接着利用比例的性质得到FM＝DM，然后证明△FMN∽△FDE，从而利用相似比可计算出MN的长． 【详解】解：∵△ADE沿直线DE翻折后与△FDE重合， ∴DA＝DF，∠ADE＝∠FDE， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠FDE＝∠BMD， ∴∠B＝∠BMD， ∴DB＝DM， ∵＝ ， ∴＝2， ∴＝2， ∴FM＝DM， ∵MN∥DE， ∴△FMN∽△FDE， ∴＝＝ ， ∴MN＝DE＝×8＝4． 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，图形的折叠，熟练掌握相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，图形的折叠性质是解题的关键． 14．（2020·上海杨浦·一模）如图，已知在△ABC中，∠B=45º，∠C=60º，将△ABC绕点A旋转，点B、C分别落在点B1、C1处，如果BB1//AC，联结C1B1交边AB于点D，那么的值为 ． 【答案】 【分析】由旋转得出∠=75°，在△中，过点B作BM⊥于M,设,由勾股定理计算出BD的长，由此解答即可． 【详解】解：由题意知，AC∥BB1，°，∠C=60°， ∴=75° ∵∠∠ABC=45° ∴∠=30°，则∠=75° 在△中，过点B作BM⊥于M,设 在Rt△BMB1中，∠=30° ∴BM=， ∴ 则BD= ∵= 【点睛】本题考查了旋转知识平行线的性质和勾股定理等知识，掌握勾股定理是解题的关键． 15．（18-19九年级上·山东青岛·课后作业）在中，，，点E、F分别在、边上，将沿直线翻折后，点B落在对边的点为，若与相似，那么 ． 【答案】3或 【分析】由于对应边不确定，所以本题应分两种情况进行讨论：①；②，分别计算即可． 【详解】解：①当时， 根据是等腰三角形，则也是等腰三角形， 则， 设，则，，根据， 得到：，得到， 解得x； ②当， ， 则，则，解得． 因而或， 故答案为：3或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，对应边的比相等，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键． 16．（19-20九年级上·上海奉贤·期中）如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．点 M、N分别在边 AB、 BC上，沿直线 MN将△ABC折叠，点 B落在点 P处，如果 AP∥BC且 AP=4，那么 BN= ．    【答案】 【分析】证明∠MBO=∠BNO；求出BP、BO的长度；证明△ABP∽△OBN，列出比例式即可解决问题． 【详解】解：如图，连接BP，交MN于点O；    则BO=PO，BO⊥MN； ∵∠ABC=90°， ∴∠MBO+∠NBO=∠NBO+∠BNO， ∴∠MBO=∠BNO； ∵AP∥BC，且∠ABC=90°， ∴∠BAP=90°； 由勾股定理得：BP2=AB2+AP2， ∵AB=6，AP=4， ∴BP==2 ，BO=， ∵∠ABP=∠BNO， ∴△ABP∽△OBN， ∴ ，即， 解得：BN=． 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识,掌握灵活运用勾股定理、相似三角形的判定及其性质等知识进行解答是解题的关键． 17．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知：如图，在中，的平分线交于点D， 交于点，将沿着翻折，点A落在点处，交于点．则长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，证明及是解题的关键． 由可得，再证明，则，所以，可证明，则 ，求得，再证明可得，求得，然后代入数据计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵交于点，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由翻折得∶， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∵， ∴， ∴，即． 故答案为：． 18．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如图，在中，，，，是的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，折叠的性质，由勾股定理得，由折叠性质可知：，，通过，得，从而求出，，然后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，时，则， ∵，，， ∴， ∵是的中点， ∴， 由折叠性质可知：，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（上海市青浦区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷）如图， 在等边中，边长为30，点M为线段上一动点，将等边沿过M的直线折叠，折痕与直线交于点N，使点A落在直线上的点D处，且设折痕为，则的值为 ． 【答案】21或65 【分析】分当点D在上与的反向延长线上两类讨论，根据是等边三角形得到，，根据沿折叠得到可得，，，结合三角形内外角关系即可得到，即可得到，则可得．设，则，，代入比例式中，可得，，根据，求出x的值，即可得到答案； 【详解】解：①当点D在上时， ∵是等边三角形， ∴，， ∵沿折叠得到， ∴，，， 在中， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴，， 设，则，， ∴，， ， 又∵, ∴， 解得， ∴； ②当点D在的反向延长线上时， 与①同理可得，， ∴， ∵，且 ∴，， 设，则，， ， ∴，， ， ， ， 解得， ． 故答案为：21或65． 【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，等边三角形性质，折叠的性质，解题的关键是根据折叠相等及三角形内外角关系得到相似的条件． 20．（24-25九年级上·上海·期中）在中，，，，点D、E分别是边、的中点，将绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点、，当直线经过点A时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】利用三角形的相似，勾股定理，三角形中位线定理，分类思想解答即可． 【详解】解：如图1，当时， ∵，，，点D、E分别是边、的中点，将绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点、， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，，， ∵直线经过点A， ∴， ∴， 根据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图2，根据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 21．（24-25九年级上·上海金山·期中）在中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称．如果，且，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，勾股定理，连接，首先根据轴对称的性质，三角形内角和定理和等边对等角得到，设，然后利用勾股定理即可求出的长度，进而求出的长度即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点和点关于直线对称 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴可设， ∵， ∴由勾股定理得， ∴ 解得， ∴， ∴ 故答案为：． 22．（2018·上海虹口·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanB=，点D是AB的中点，如果把△BCD沿直线CD翻折，使得点B落在同一平面内的B′处，联结A B′，那么A B′的长为 ． 【答案】 【详解】分析：如图，作AE⊥BC于E，DK⊥BC于K，联结BB′交CD于H．只要证明∠AB′B=90°，求出AB、BB′，理由勾股定理即可解决问题； 详解：如图，作AE⊥BC于E，DK⊥BC于K，联结BB′交CD于H． ∵AB=AC，AE⊥BC， ∴BE=EC=4， 在Rt△ABE中，∵tanB=， ∴AE=6，AB==2， ∵DK∥AE，BD=AD， ∴BK=EK=2， ∴DK=AE=3， 在Rt△CDK中，CD=， ∵B、B′关于CD对称， ∴BB′⊥CD，BH=HB′ ∵S△BDC=•BC•DK=•CD•BH， ∴BH=， ∴BB′=， ∵BD=AD=DB′， ∴∠AB′B=90°， ∴AB′=， 故答案为: 点睛：本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 23．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，在中，，，点在边上，，点在射线上，将沿着翻折，点落在点处，如果点在同一直线上，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，翻折的性质，角平分线的性质等知识，根据三角形的面积公式与，可求出，根据翻折与已知可得出，根据角平分线性质定理和三角形面积公式可求出，设，则，，在中，根据勾股定理求出即可求解，根据题意正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图， 设到的距离为， 则， 由翻折的性质可知，， ∵在同一直线上， ∴， ∴点到、的距离相等，设此距离为， 则， 设，则，， ∵，， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：． 24．（16-17九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，将绕点C旋转得到，点A的对应点恰好与的重心重合，与相交于点E，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形重心的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，旋转的性质．熟练掌握三角形重心的性质和三角形相似的判定理与性质定理是解题关键．延长交于点D，根据三角形重心的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得出．根据旋转的性质得出，，从而得出，并可证，再结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点D， ∵点恰好与的重心重合， ∴． ∵， ∴， ∴． 由旋转得：，， ∴，即． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 25．（18-19九年级上·四川·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanB=，点M是AB边的中点，将△ABC绕着点M旋转，使点C与点A重合，点A与点D重合，点B与点E重合，得到△DEA，且AE交CB于点P，那么线段CP的长是 ． 【答案】 【分析】连接PM，根据∠B的正切值设AC=3k，BC=4k，利用勾股定理列式求出k值，得到AC、BC的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AM=DM=EM，再根据等边对等角的性质可得∠EAM=∠E，然后求出∠EAM=∠B，根据等腰三角形三线合一的性质可得PM⊥AB，然后求出△ABC和△PMB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出PB的长，再根据CP=BC-PB代入数据进行计算即可得解． 【详解】如图，连接PM， ∵在Rt△ABC中，tanB=，∴设AC=3k，BC=4k，则（3k）2+（4k）2=102，解得k=2，∴AC=3×2=6，BC=4×2=8，∵点M是AB边的中点，△DEA是△ABC绕点M旋转得到，∴AM=MB=DM=EM=5， ∴∠EAM=∠E， 又∵∠B=∠E，∴∠EAM=∠B，∴△APB是等腰三角形，∵点M是AB的中点，∴PM⊥AB，∴△ABC∽△PBM，∴，即，解得PB=，∴CP=BC-PB=8-=．故答案为． 【点睛】本题考查旋转的性质、相似三角形的性质、解直角三角形．关键是找相似三角形的对应边、对应角. 26．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在等腰直角中，，为边上任意一点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点，若点为的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，翻折变换，解一元二次方程，过作于，作于，利用勾股定理和相似三角形，即可得到的长，进而得出的长，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图所示，过作于，作于， 又∵， ∴四边形是矩形， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 中, ，即， 解得（不合题意），， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 由折叠可得，， 故答案为：． 27．（21-22九年级上·上海宝山·期末）如图，已知一张三角形纸片，点在边上．如果过点剪下一个与相似的小三角形纸片，可以有四种不同的剪法，设，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分三种情况讨论：①过点M作交BC于点G，作交AB于点E，此时，点M在线段AC上，且不能与点A、点C重合，可确定x的取值范围；②过点M作，交AB于点D，此时，点M在线段AC上，且不能与点A重合，可确定x的取值范围；③过点M作，交BC于点F，，当点F与点B重合时，AM取得最小值，利用相似三角形的对应边成比例可得，即可确定x的取值范围；综合三种情况即可得结果． 【详解】解：如图所示：①过点M作交BC于点G，作交AB于点E， ∴，， 此时，点M在线段AC上，且不能与点A、点C重合， ∴，即； ②过点M作，交AB于点D， 则， 此时，点M在线段AC上，且不能与点A重合， ∴，即； ③过点M作，交BC于点F， ∵， ∴， ∵当点F与点B重合时，AM取得最小值， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点M不能与点C重合， ∴，即； 综上可得x的取值范围为：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，理解题意，作出相应图形进行求解是解题关键． 28．（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，，，．把绕点B逆时针旋转（旋转角小于）点A、C的对应点分别是、，射线与交于点E，若，则 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理求得，利用旋转的性质得到，，，推出 ，结合平行线性质推出，得到，得到四边形是平行四边形，得到；推导，证明，得到，，得到，根据，可得，即可求出． 【详解】解：如图所示， ∵中，，，， ∴， 由旋转知，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形旋转．熟练掌握用勾股定理求边长，旋转的性质，平行四边形判定和性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，是解题的关键． 29．（2023·上海崇明·二模）如图，已知在两个直角顶点重合的Rt△ABC和Rt△CDE中，，，，，将绕着点C顺时针旋转，当点D恰好落在边上时，连接，那么 ． 【答案】 【分析】利用含30度角的直角三角形的性质，分别求出的长，证明，得到，推出，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∴， ∴，， ∴， 设，则：， ∴， 在中，，即：， 解得：或（不合题意，舍去）； ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查含30度的直角三角形，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程．熟练掌握相关知识点，证明三角形相似，是解题的关键． 30．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，，是的角平分线，．将绕点A旋转，如果点C落在射线上，点B落在点E处，连接，那么的正切值为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、解直角三角形等知识，熟练掌握旋转的性质和相似三角形的性质是解答的关键．设，，先利用勾股定理和角平分线的定义，，再由旋转性质得，，，进而利用等腰三角形的性质得到， ，证明，求得，在中，利用正切定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵在中，，是的角平分线， ∴，， 如图，由旋转性质得，，， ∴，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 31．（24-25九年级上·上海闵行·期中）中，，，，将此三角形绕点旋转，当点的对应点在直线上，点的对应点在点处，那么的面积是 ．    【答案】/ 【分析】此题主要考查旋转的性质与相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线.． 过作于，利用旋转的性质及勾股定理求得，再利用，得，过作交的延长线于，利用，得，故，即可求出即可求出的面积． 【详解】解：如图，过作于，    ∵将绕点旋转得到， ∴，，， ∵中，，，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴，， ∵， ∴， 过作交的延长线于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 32．（2023·上海闵行·一模）如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，将沿着折痕翻折后，点A恰好落在线段的延长线上的点P处，如果，那么折痕的长为 ． 【答案】 【分析】过点D作于点F，首先根据题意可证得，，，根据勾股定理即可求得，，再由折叠的性质可知：，，即可求得，，再根据勾股定理即可求得，，由，可证得，，据此即可求得，，，再根据勾股定理即可求得，，据此根据勾股定理即可求得结果． 【详解】解：如图：过点D作于点F， ， ，， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， ， 解得， ， 由折叠的性质可知：，， ，   解得， ， 在中，， ， ， ， ， ， 解得，， ， 在中，， ， 解得， ，   在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正切的定义，作出辅助线及准确找到各线段之间的关系是解决本题的关键． 33．（2019·上海徐汇·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，cosB＝，先将△ACB绕着顶点C顺时针旋转90°，然后再将旋转后的三角形进行放大或缩小得到△A′CB′（点A′、C、B′的对应点分别是点A、C、B），连接A′A、B′B，如果△AA′B和△AA′B′相似，那么A′C的长是 ． 【答案】 【分析】由题意当点A′在线段BC上且AA′平分∠BAC时，△AA′B和△AA′B′相似，作A′H⊥AB于H．证明△AA′H≌△AA′C（AAS），推出A′C＝A′H，AC＝AH＝2，设A′C＝A′H＝x，根据勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】由题意，当点A′在线段BC上且AA′平分∠BAC时，△AA′B和△AA′B′相似，作A′H⊥AB于H． 在Rt△ABC中，∵cosB＝，AB＝6， ∴BC＝4，AC＝＝2， ∵∠A′AH＝∠A′AC，∠AHA′＝∠ACA′＝90°，AA′＝AA′， ∴△AA′H≌△AA′C（AAS）， ∴A′C＝A′H，AC＝AH＝2，设A′C＝A′H＝x， 在Rt△A′BH中，（4﹣x）2＝x2+（6﹣2）2， ∴x＝3﹣5， ∴A′C＝3﹣5， 故答案为3﹣5． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 34．（23-24九年级上·上海长宁·期中）已知在中，，（如图），把绕着点C按顺时针方向旋转，将点A、B的对应点分别记为点，如果为直角三角形，那么点A与点的距离为 ．    【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，运用分类思想是本题的关键． 根据为直角三角形，分两种情况：①当点在线段延长线上时，为直角三角形；②当点在线段BC上时，为直角三角形，依据线段的和差关系进行计算即可得到点A与点的距离． 【详解】解：分两种情况： ①当点在线段延长线上时，为直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段上时，为直角三角形， 同理可得，， ∴； 综上所述，点A与点的距离为． 故答案为：或．    35．（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，在中，，，点在边上，且，将绕点旋转，使点的对应点落在的边上，则的长为 ． 【答案】6或 【分析】分三种情况讨论，一是点E落在边上，作于点F，由，，得，作于点G，可证明，所以，由旋转得，则，此时；二是点E落在边上，作于点F，则，所以，由旋转得，此时；三是由，且，得，则点E不能落在边上，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，点E落在边上，作于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， 作于点G，则， 在和中，， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴； 如图2，点E落在边上，作于点F，则， ∴， ∴， 由旋转得， ∴； ∵，且， ∴， ∴点E不能落在边上， 综上所述，的长为6或， 故答案为：6或． 【点睛】本题考查等腰三角形的“三线合一”、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 36．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）如图，在中，，点D、E分别在上，且，将沿着折叠，点C恰好落在边上的点F处，如果，那么的长为     【答案】 【分析】根据，可得四点共圆，利用圆周角定理证明点位的中，再证明，即可解答． 【详解】解：由折叠可得，， 四点共圆， ， ， ， ， ， 由，可得， 同理可得， ，即F是的中点， 在中，， ， ， 由四点共圆，可得， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，园内接四边形，圆周角定理，看四边形对角互补想到四点共圆，即可利用圆相关的性质，逐步推理即可解答，熟知对角互补的四边形内接于圆是解题的关键． 考点04 动态几何—（特殊）平行四边形 37．（16-17九年级上·上海奉贤·期末）如图，已知平行四边形中，， ，，将边绕点A旋转，使得点B 落在平行四边形的边上，其对应点为（点不与点B 重合），那么 ． 【答案】或． 【分析】过A作，连接．求得的度数，然后分成在上和在上两种情况进行讨论．当点落在上时，过作，求得的长，利用三角函数的定义即可求得的值；当落在上时，，据此即可直接求解． 本题考查了旋转的性质以及三角函数的定义，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理．正确分成两种情况进行讨论是解决本题的关键． 【详解】过A作，连接． ， ． ∵， ， ，， ， ， ， ①当点落在上时， ， ， ， ， ． .过作， ， 是等腰直角三角形， ， ； ②当落在上时， ， ． 综上所述，的值是或． 故答案是或． 38．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在矩形中，，在边上取一点，将沿直线翻折，使点恰好落在边上的处，的平分线与边交于点，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理，过作于点，由四边形是矩形得，，则，根据角平分线的性质得，再证明，通过相似三角形的性质可得，最后由勾股定理和解一元二次方程即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由折叠性质可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故答案为：． 39．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，在正方形中，E是边的中点，将沿直线翻折后，点B落在点M处，连接并延长与边交于点N，那么的值为 ． 【答案】 【分析】连接，正方形和翻折的性质，得到，，设，等边对等角结合三角形的内角和定理，求出，得到，进而得到，得到四边形为平行四边形，得到，求出，勾股定理求出的长，根据同角的余角相等，得到，结合勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为正方形，为的中点， ∴，，，， 连接，如图， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设， 则：，， ∴， 在中，； ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形中的折叠问题，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质．本题的综合性强，难度较大，属于压轴题．根据题意，正确的画出图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 40．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图，将矩形纸片沿折叠，点恰好落在边的中点处，点落在点处，交边于点．若，，则的值为 ． 【答案】/0.75 【分析】本题考查折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质等，设，则，利用勾股定理解求出x，再证，根据对应边成比例即可求解． 【详解】解：将矩形纸片沿折叠，点恰好落在边的中点处，， ，，，， 设，则，， 在中，， ， 解得， ，， ，， ，， ， 又， ， ， ， 故答案为：． 41．（22-23九年级上·上海宝山·期中）如图，矩形中，、分别是边、上的点，将矩形沿直线翻折后，点落在边上的点处，如果，，，那么的长为 ． 【答案】/ 【分析】由翻折的性质可知．设，则，，结合勾股定理可列出关于x的等式，解出x，即得出和的长．过点N作于点F，即得出，，，又易证，即可证，得出，代入数据，即可求出的长，从而求出的长，进而可求出的长． 【详解】由翻折的性质可知． 设，则，， ∵在中，， ∴， 解得：（舍）， ∴，． 如图，过点N作于点F． ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形与折叠，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识．正确的作辅助线构造相似三角形是解题关键． 42．（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，在矩形纸片中，，，点E是边上的点，连接，将沿翻折，使点B落在处；点F是边上的点，连接，将沿翻折，使点C恰好落在线段上，记作点，连接．如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】连接，设，先判断，再利用勾股定理通过进行等量代换列出关于x的方程，然后解方程求得x值，进而可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， 设，则， 由折叠性质得，，，，， ∴，则， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，又， ∴，即， 解得，， 当时，，，则，不满足题意，舍去； 当时，，，则，满足题意， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠性质、勾股定理、解直角三角形，一元二次方程的解法，也考查学生图形分析能力和逻辑推理能力．本题中根据折叠性质得到，利用勾股定理求解是解答的关键． 43．（18-19九年级上·山东青岛·单元测试）如图，已知正方形纸片，E为延长线上一点，F为边上一点，将纸片沿翻折，点C恰好落在边上的点H，连接，，．交于点N，、、恰好交于一点M．若，，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】作于P，首先证明，，推出，设正方形边长为a，在中利用勾股定理求出a，再由，得，由，得，分别求出、即可解决问题． 【详解】解：作于P， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 由翻折性质可知，， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴，， ∴，， ∴， 设正方形边长为a，在中，∵， ∴， ∴或（舍弃）， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $