第二十四章 相似三角形（举一反三单元测试·拔尖卷）数学沪教版九年级上册

第二十四章 相似三角形·拔尖卷 【沪教版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（2025·上海静安·一模）已知都是非零向量，下列条件中不能判定的是（    ） A．， B． C． D．， 2．（3分）如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 3．（3分）（24-25九年级上·贵州毕节·期末）下图是边长为1的正方形网格，与的顶点都在正方形网格格点上，则与的周长比为（   ） A． B． C． D． 4．（3分）（24-25八年级下·山东济南·期末）宽与长的比是（约）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取、的中点E、F，连接；以点E为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点H，则下列矩形是黄金矩形的是（   ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 5．（3分）（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如图，已知在平行四边形中，是边上一点，，射线交边的延长线于点，设，，那么向量用向量和的线性组合表示为（   ） A． B． C． D． 6．（3分）（2025·上海闵行·模拟预测）如图，D是的边上一点，，如果向量，，那么向量用向量、表示为（   ） A． B． C． D． 7．（3分）（24-25九年级下·上海·开学考试）在菱形中，对角线把菱形分割为左右两个小三角形． 、分别为、的重心． 设那么可用和的线性组合表示为（    ） A． B． C． D． 8．（3分）（2025·安徽亳州·三模）如图，中，E为对角线上一点，过点E的直线分别交边，于点F，G，交射线，于点M，N．若，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 9．（3分）（2025·湖南·一模）魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为），称为“表距”（记为d），和都称为“表目距”（分别记为，），则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 10．（3分）（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，下列结论： ①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）计算 ． 12．（3分）（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，的中线、交于点，点在边上，，那么 ． 13．（3分）（24-25八年级下·湖南郴州·期末）在平行四边形中，对角线，相交于点O，．若，则线段的长为 ． 14．（3分）（2025·上海杨浦·一模）如图，在中，点、分别在边、上，，，设，，那么 ．（用含、的式子表示） 15．（3分）（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，在菱形中，点分别是边上的点，且，若菱形的面积等于，则的值为 ． 16．（3分）现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图1所示的形状，为的中点，分别交，于，，易得．若取四个直角三角形拼成如图2所示的形状，为的中点，分别交，，于，，，则 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（23-24九年级上·广东河源·期中）如图，已知，、交于点，且．求证： (1)； (2)． 18．（6分）（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 19．（8分）（2025·上海长宁·一模）如图，已知在中，中线、交于点，交于点． (1)如果，求和的长； (2)如果，，那么________．（用含向量、的式子表示） 20．（8分）如图，在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，其顶点O为坐标原点，点B在第二象限，点A在x轴负半轴上若BD⊥AO于点D，OB＝，AB＝2． （1）求OA的长； （2）求点A，B的坐标． 21．（10分）（24-25九年级上·山东济南·期中）在Rt中，，，，现有动点从点出发，沿方向向点运动，动点从点出发，沿方向向点运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点，就停止运动，设运动时间为秒，求： (1)当为多少时，四边形的面积是面积的2倍？ (2)当为多少时，中有一个内角与相等？ 22．（10分）（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在梯形中，，点是的中点，且，与交于点． (1)若，．则______，______； (2)请在图中作出在、方向上的分向量． 23．（12分）（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为，交于． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若为中点，且，，求的长； (3)如图3，若为中点，为中点，连接，请直接写出的值． 24．（12分）（2025·河南洛阳·一模）定义：有一组对角互余的四边形叫做“对余四边形”． 【认识模型】 （1）如图①，四边形是对余四边形，则与的度数之和为______； 【性质探究】 四边形是对余四边形，为对角线，已知． 如图②，若，求证：，小唯发现将绕点按逆时针方向旋转，构造等边三角形结合对余四边形即可得证，下面是小唯的部分证明过程： 证明：如图②，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， … （2）请补全上面的证明过程； （3）如图③，连接，若，，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明过程，若不成立，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 相似三角形·拔尖卷 【沪教版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（2025·上海静安·一模）已知都是非零向量，下列条件中不能判定的是（    ） A．， B． C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查了向量平行的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 根据向量平行的判定，向量模的理解进行判定即可求解． 【详解】解：A、，则，能判定，不符合题意； B、，则，能判定，不符合题意； C、模相等，不一定平行，故不能判定，符合题意； D、，则， ∴，能判定，不符合题意； 故选：C ． 2．（3分）如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键． 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 【详解】解：在三角形纸片中，，，． A．因为，则，又由，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项符合题意； B．因为 ，，，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； C．因为 ，，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； D、因为 ，， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； 故选：A． 3．（3分）（24-25九年级上·贵州毕节·期末）下图是边长为1的正方形网格，与的顶点都在正方形网格格点上，则与的周长比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理与网格问题；先证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴与的周长比为 故选：D． 4．（3分）（24-25八年级下·山东济南·期末）宽与长的比是（约）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取、的中点E、F，连接；以点E为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点H，则下列矩形是黄金矩形的是（   ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 【答案】C 【分析】设正方形的边长为，根据勾股定理得，根据作图性质，计算，解答即可． 本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵正方形，、的中点E、F， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，符合定义， 故选：C． 5．（3分）（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如图，已知在平行四边形中，是边上一点，，射线交边的延长线于点，设，，那么向量用向量和的线性组合表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，向量的和差运算等知识点；由平行四边形的性质、相似三角形判定与性质得，则，从而，则即可求解． 【详解】解：∵在平行四边形中，，， ∴，, ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 6．（3分）（2025·上海闵行·模拟预测）如图，D是的边上一点，，如果向量，，那么向量用向量、表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．根据，得出，再根据平面向量的减法法则求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 7．（3分）（24-25九年级下·上海·开学考试）在菱形中，对角线把菱形分割为左右两个小三角形． 、分别为、的重心． 设那么可用和的线性组合表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查向量的线性计算，重心的性质，根据重心的性质，菱形的性质，求出，再根据三角形法则求出即可． 【详解】解：设交于点， ∵菱形， ∴，， ∵、分别为、的重心， ∴点、在上，且， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选B． 8．（3分）（2025·安徽亳州·三模）如图，中，E为对角线上一点，过点E的直线分别交边，于点F，G，交射线，于点M，N．若，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【答案】C 【分析】本题主要查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例．根据平行四边形的性质，可得，再由平行线分线段成比例可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C 9．（3分）（2025·湖南·一模）魏晋时期刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”（记为），称为“表距”（记为d），和都称为“表目距”（分别记为，），则海岛的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质、比例的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．根据，可得，从而得到，进而得到，再由比例的性质可得，从而得到，进而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，，，， ∴． 故选：A 10．（3分）（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，下列结论： ①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．借助正方形的性质和已知条件，易证，故结论①正确；利用①可得，故结论③正确；且可得，可证得，故结论④正确；而，所以结论⑤不正确；根据相似三角形的性质得到，可判断②错误． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵为中点，， ∴， 又∵， ∴，结论①正确； ∴， ∵， ∴， ∴，即，故结论③正确； ∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，结论④正确； ∵，， ∴， ∴和不相似，结论⑤不正确． ∵，，和不相似，， ∴，，， ∴， ∴，故②错误， 综上可知正确的结论为：①③④，共计3个． 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）计算 ． 【答案】 【分析】根据实数与向量相乘法则依次计算即可. 【详解】解：原式= = =， 故答案为. 【点睛】本题是对实数与向量相乘的考查，熟练掌握实数与向量相乘法则是解决本题的关键. 12．（3分）（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，的中线、交于点，点在边上，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由题得点是的重心，得到，可证明，得到，即可得到． 【详解】解： 的中线、交于点， 点是的重心， ， ， ， ， ， ， ， ． 13．（3分）（24-25八年级下·湖南郴州·期末）在平行四边形中，对角线，相交于点O，．若，则线段的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，证明是的中位线，利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 为的中点， ∵∥， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴为的中位线， ∴． 故答案为：8． 14．（3分）（2025·上海杨浦·一模）如图，在中，点、分别在边、上，，，设，，那么 ．（用含、的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查平面向量，相似三角形的判定和性质，根据已知推出，根据相似三角形的性质推出，再根据平面向量的减法运算法则即可得出结果．熟记平面向量的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（3分）（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图，在菱形中，点分别是边上的点，且，若菱形的面积等于，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．连接，得到，即，证明，得到， 列比例式得证，解答即可． 【详解】解：连接， ∵菱形中，菱形的面积等于， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 16．（3分）现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图1所示的形状，为的中点，分别交，于，，易得．若取四个直角三角形拼成如图2所示的形状，为的中点，分别交，，于，，，则 ． 【答案】 【分析】首先证明△BCQ∽△BES，从而可求得CQ=EF，DQ=EF，然后证明△BAP∽△QDR得到BP：QR=4：3从而可知：BP：PQ：QR=4：1：3，然后由DQ∥SE，可知：QR：RS=DQ：SE=3：2，从而可求得BP：PQ：QR：RS=4：1：3：2. 【详解】解：（1）∵四个直角三角形是全等三角形， ∴AB=EF=CD，AB∥EF∥CD，BC=CE，AC∥DE， ∴BP：PR=BC：CE=1， ∵CD∥EF， ∴△BCQ∽△BES． 又∵BC=CE ∴CQ=SE=EF， ∴DQ=EF， ∵AB∥CD， ∴∠ABP=∠DQR． 又∵∠BAP=∠QDR， ∴△BAP∽△QDR． ∴BP：QR=4：3． ∴BP：PQ：QR=4：1：3， ∵DQ∥SE， ∴QR：RS=DQ：SE=3：2， ∴BP：PQ：QR：RS=4：1：3：2． 故答案为：4：1：3：2 【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，找出图中的相似三角形，求得相应线段之间的比例关系是解题的关键． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（23-24九年级上·广东河源·期中）如图，已知，、交于点，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键； （1）根据可得，结合已知得出即可证明； （2）根据，得出 等量代换即可得出 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵ ∴ ∴． （2）证明：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 18．（6分）（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定： （1）利用勾股定理求出的值，然后求比值即可； （2）利用勾股地理和相似三角形的判定方法画图即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， （2）解：如图 ∵，， ∴， ∴． 当点E在点处时，同理可证． 19．（8分）（2025·上海长宁·一模）如图，已知在中，中线、交于点，交于点． (1)如果，求和的长； (2)如果，，那么________．（用含向量、的式子表示） 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了三角形的重心，平面向量，相似三角形的性质与判定，掌握三角形的重心是解题的关键． （1）根据三角形的重心，再证明，得出比例式，即可求解； （2）先求出，即可得到． 【详解】（1）解：中线、交于点， 点为重心， ， ， ， ， ，， ， ； （2）解： ， ， ，， ， 故答案为：． 20．（8分）如图，在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，其顶点O为坐标原点，点B在第二象限，点A在x轴负半轴上若BD⊥AO于点D，OB＝，AB＝2． （1）求OA的长； （2）求点A，B的坐标． 【答案】(1)5;(2) A（﹣5，0），B（﹣1，2）. 【分析】（1）根据勾股定理求出AO即可； （2）由AO，即可得出A的坐标；证△BDO∽△ABO，得出比例式，代入求出OD、BD，即可得出B的坐标． 【详解】解：（1）在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，OB＝，AB＝2， 由勾股定理得：OA＝＝5， （2）∵OA＝5， ∴A的坐标是（﹣5，0）， ∵BD⊥OA， ∴∠BDO＝∠ABO＝90°， ∵∠BOD＝∠BOD， ∴△BDO∽△ABO， ∴， ∴ ， 解得：OD＝1，BD＝2， 即B的坐标是（﹣1，2）， 【点睛】本题考查了勾股定理，相似，线段长度与坐标，掌握勾股定理与相似的判定是解题的关键. 21．（10分）（24-25九年级上·山东济南·期中）在Rt中，，，，现有动点从点出发，沿方向向点运动，动点从点出发，沿方向向点运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点，就停止运动，设运动时间为秒，求： (1)当为多少时，四边形的面积是面积的2倍？ (2)当为多少时，中有一个内角与相等？ 【答案】(1)为4秒时，四边形的面积是面积的2倍. (2)当为或2时，中有一个内角与相等. 【分析】本题是三角形的综合题，考查了三角形面积的计算，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题关键． （1）根据面积列出一元二次方程，求值即可. （2）分两种情况讨论：或，再根据相似三角形的判定和性质即可求得答案. 【详解】（1）解：∵动点从点出发，沿方向向点运动，点的速度是， ， ∵动点从点出发，沿线段方向向点运动，点的速度是， ， ． 四边形的面积是面积的2倍，，， ， ， 即：，解得：． 为4秒时，四边形的面积是面积的2倍. （2）， ①当时，， ， ， 解得：； ②当时，， ， 解得：． 综上所述，当为或2时，中有一个内角与相等． 22．（10分）（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在梯形中，，点是的中点，且，与交于点． (1)若，．则______，______； (2)请在图中作出在、方向上的分向量． 【答案】(1)、； (2)见解析． 【分析】本题考查作图复杂作图，平面向量，三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则． （）利用平行向量的性质，以及三角形法则求解即可； （）利用平行四边形法则画出图形即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：，； （2）解：如图， ∴、分别是在，方向上的分向量． 23．（12分）（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为，交于． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若为中点，且，，求的长； (3)如图3，若为中点，为中点，连接，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）根据矩形的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，求得，得到，根据相似三角形的判定定理得到结论； （2）根据矩形的性质得到，设，得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）延长交于点M，连接根据折叠的性质得到直线，根据等腰三角形的性质得到，设，求得，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据勾股定理得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，，即，解得， ， ， ， ， ，解得， ， ； （3）解：如图：延长，交于点，连接． ，， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， （）， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 24．（12分）（2025·河南洛阳·一模）定义：有一组对角互余的四边形叫做“对余四边形”． 【认识模型】 （1）如图①，四边形是对余四边形，则与的度数之和为______； 【性质探究】 四边形是对余四边形，为对角线，已知． 如图②，若，求证：，小唯发现将绕点按逆时针方向旋转，构造等边三角形结合对余四边形即可得证，下面是小唯的部分证明过程： 证明：如图②，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， … （2）请补全上面的证明过程； （3）如图③，连接，若，，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）（2）中的结论不成立，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质，等腰三角形的性质与等边三角形的性质，理解对余四边形的性质是解题的关键； （1）根据定义得，进而根据四边形内角和为，即可求解； （2）根据等边三角形的性质，结合（1）的结论，根据勾股定理，即可求解； （3）根据（2）的方法旋转，并缩小，得出，连接，进而根据相似三角形的性质，证明即可求解． 【详解】解：（1）解：∵四边形是对余四边形， ∴， ∴ 故答案为：． （2）证明：如图②，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ （3）（2）中的结论不成立，理由见解析 ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ 如图②，将绕点按逆时针方向旋转，并缩小，得到，连接， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ 即 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$