第24章 相似三角形 培优练习2025-2026学年沪教版（上海）九年级数学第一学期

第24章 《相似三角形》培优练习 一．选择题 1．若，则下列变形正确的是（　　） A． B．3a＝4b C．4a＝3b D． 2．已知线段a＝2cm，b＝4.1cm，c＝4cm，d＝8.2cm，下面选项正确的是（　　） A．d，b，a，c成比例线段 B．a，d，b，c成比例线段 C．a，c，b，d成比例线段 D．a，d，c，b成比例线段 3．如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且DE：AE＝1：2．连接BE并延长交CD的延长线于点F．若DE＝2，DF＝3，则▱ABCD的周长为（　　） A．21 B．24 C．34 D．48 4．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的垂直平分线的交点 C．△ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点 5．如图是一个正方形网格，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与△ABC不相似的是（　　） A．△BDE B．△BCD C．△FGH D．△BFG 6．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，如果AB＝3，BC＝5，EF＝4，那么DE的长是（　　） A． B． C． D． 7．若，且与方向相反，则下列关系式中成立的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　） A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D． 9．下列说法不正确的是（　　） A．设为单位向量，那么 B．已知、、都是非零向量，如果，那么 C．四边形ABCD中，如果满足AB∥CD，，那么这个四边形一定是平行四边形 D．平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，点F、G在边BC上，四边形DEGF是平行四边形，AN∥DF交BC于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时提出了两个猜想：①；②，那么下列说法中，正确的是（　　） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 二．填空题 11．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果AB＝3BD，BC＝9，那么DE的长是　 　 ． 12．如图，点C在∠AOB的内部，∠OCA＝∠OCB，∠COA＝∠B．若AC＝1.5，BC＝2，则OC＝　 　 ． 13．已知：在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，AD：BD＝1：2，那么C△ADE：C△ABC＝　 　 ． 14．如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛AB在暗盒中所成的像CD的长是1cm，则像CD到小孔O的距离为　 　 ． 15．如图，菱形ABCD中，EF⊥AC，垂足为点H，分别与AD、AB及CB的延长线交于点E、M、F，且AE：FB＝1：2，则HC：AC的值为　 　 ． 三．解答题 16．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝3，AC＝6，AE＝4，AB＝8． （1）如果BC＝7，求线段DE的长； （2）设△DEC的面积为2，直接写出△ABC的面积． 17．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在网格点上，证明：△ABC∽△DEF． 18．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E． （1）求作； （2）如果，，试用、表示向量． 19．如图，已知点E、F分别在△ABC的边AB和AC上，EF∥BC，BE＝2AE，点D在BC的延长线上，BC＝CD，联结ED与AC交于点G． （1）求的值； （2）设，，那么 　 　 ， 　 　 ．（用向量、表示） 20．（1）如图1，在△ABC中，E是AB上一点，过点E作BC的平行线交AC于点F，点D是BC上任意一点，连接AD交EF于点G，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接BF，DF，若，且FE，FB恰好将∠AFD三等分，求的值． 21．教材呈现：如表是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容． 例2 如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G． 求证：． 证明：连接ED． 请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程． 证明：连接ED． 结论应用： （1）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，D、E分别是边AB、BC的中点，CD、AE相交于点G．若，则BC＝　 　 ． （2）如图③，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC的中点，CD、AE相交于点G．过点G作GF∥BC交AB于点F，如果△ABC的面积是9，那么△AFG的面积是 　 　 ． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B C B A C D C C 二．填空题 11．6． 12．． 13．1：3． 14．3cm． 15．5：6． 三．解答题 16．解：（1）∵AD＝3，AC＝6，AE＝4，AB＝8， ∴，， ∴， ∵∠DAE＝∠CAB， ∴△AED∽△ABC， ∴， ∴DEBC； （2）∵AE＝4，AC＝6， ∴CE＝AC﹣AE＝2， ∴AC＝3CE， ∴S△ACD＝3S△DEC＝3×2＝6， ∵AD＝3，AB＝8， ∴AB：AD＝8：3， ∴S△ABC：S△ADC＝8：3， ∴S△ABCS△ADC6＝16． 17．证明：根据勾股定理，得，，，， ∵AB＝5，EF＝2， ∴，，， ∴， ∴△ABC∽△DEF． 18．解：（1）过点O作AD的垂线交AD、BC于F、G，连接AG． ∵FG⊥AD，AB⊥AD， ∴四边形ABGF为矩形， ∴FG∥AB，FG＝AB， ∴． ∵， ∴． ∴则即为所求． （2）如（1）中图所示，GO∥CD，点O是BD中点，则OG是△BCD的中位线， ∴，． ∴（）． 19．解：（1）∵BE＝2AE， ∴AB＝3AE． ∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠ACB， ∴△AEF∽△ABC， ∴． ∵BC＝CD， ∴． ∵EF∥BC， ∴∠GEF＝∠GDC，∠EFG＝∠DCG， ∴△EFG∽△DCG， ∴． （2）∵BC＝CD， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴EG， ∴EGED． ∵BE＝2AE， ∴BEAB， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 20．（1）证明：∵过点E作BC的平行线交AC于点F，点D是BC上任意一点，连接AD交EF于点G， ∴△AEG∽△ABD， ∴， 同理△AGF∽△ADC， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵FE，FB恰好将∠AFD三等分， ∴∠AFE＝∠BFE＝∠BFD， ∵过点E作BC的平行线交AC于点F， ∴∠AFE＝∠BCF， ∴∠BFD＝∠BCF， ∵∠FBD＝∠CBF， ∴△BFD∽△BCF， ∴， 由（1）知， 设BD＝m，则CD＝2m，BC＝BD+CD＝3m， 由得：BF2＝BD•BC＝m•3m＝3m2， 解得：（负值已舍去）， ∴． 21．教材呈现：证明：如图①，连接ED． 在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点， ∴DE∥AC，， ∴△DEG∽△ACG， ∴， ∴， ∴； 结论应用： （1）如图②，连接ED， 在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点， ∴DE∥AC，， ∴△GED∽△GAC， ∴， ∵， ∴， ∴CD＝GC+GD＝5， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，D是AB的中点， 则AB＝2CD＝10， ∴； 故答案为：8． （2）如图③，连接ED， 在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点， ∴DE∥AC，， ∴△GED∽△GAC， ∴， ∴， ∵GF∥BC， ∴△AFG∽△ABE， ∴， ∵E是BC的中点，△ABC的面积是9， ∴， ∴， 故答案为：2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/2 22:42:34；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $