专题01 平面直角坐标系（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材沪科版

专题01 平面直角坐标系（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平面直角坐标系的概念 能明确平面直角坐标系的组成（x 轴、y 轴、原点），掌握坐标平面的象限划分及坐标轴上点的归属 基础必考点，多在小题中考查对概念的理解，是后续坐标相关知识的基础 平面内特殊位置的点的坐标特征 能熟练掌握各象限内、坐标轴上、与坐标轴平行（垂直）直线上、两坐标轴夹角平分线上点的坐标规律，准确判断点的位置 高频基础考点，常结合点的位置判断、坐标计算考查，贯穿平面直角坐标系应用始终 点的坐标的几何意义 能根据点的坐标求出点到 x 轴、y 轴的距离，理解坐标与距离的对应关系 重要基础考点，多在坐标计算、图形面积求解等小题或解答题基础步骤中考查 平面直角坐标系的应用 能运用平面直角坐标系表示地理位置（含建立坐标系、标注坐标），理解方向角与距离结合的位置表示方法 应用型考点，常以实际场景（如地图、场地布局）为背景，以解答题或图文结合小题形式考查 用坐标表示点的平移 能掌握点的平移规律（横坐标 “右加左减”、纵坐标 “上加下减”），并运用规律解决图形平移的坐标变化及作图问题 核心考点，多与图形变换（平移）结合，在坐标计算、作图题、函数图象平移等题型中考查 知识点01 平面直角坐标系 1、平面直角坐标系的概念：在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点． 2、坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． 知识点02 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0； ③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）与坐标轴平行（垂直）的直线上的点的坐标特征： ①平行与x轴（垂直与y轴）的直线上的点：纵坐标相等； ②平行与y轴（垂直与x轴）的直线上的点：横坐标相等； （4）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 知识点03 点的坐标的几何意义 点P（a,b）到x轴的距离是,到y轴的距离是． 知识点04 平面直角坐标系的应用 1、用坐标表示地理位置： （1）确定物体的位置的方法有很多，其中可以用有序数对来表示物体的位置，还可以用平面直角坐标系中的点的坐标来确定物体的位置.解决问题时要根据实际情况来选择表示方法，确定物体的位置时数据不能少于两个. （2）利用平面直角坐标系表示地理位置的方法： ①建立坐标系，选择一个合适的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向. ②根据实际问题确定适当的单位长度，并在坐标轴上标出单位长度. ③在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称. （3）在航海和测绘中，经常用方向角和距离来刻画平面内两个物体的相对位置，通常以北偏东（西）或南偏东（西）确定方向角. 知识点05 用坐标表示点的平移 （1）平面直角坐标系中的点的坐标平移的变化规律：将点左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变. （2）图形的平移坐标变化规律： 在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） （3）作图-平移变换 ①确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离． ②作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 题型一 写出直角坐标系中点的坐标 解｜题｜技｜巧 1.直接找点坐标：过点作x轴垂线得横坐标（左负右正），作y轴垂线得纵坐标（下负上正），写成(x, y)。 2.特殊点规律：x轴上点(y=0)，y轴上点(x=0)；第一象限(x正y正)、第二象限(x负y正)、第三象限(x负y负)、第四象限(x正y负)。 3.按距离求坐标：已知到x轴距离a、y轴距离b，x=±b、y=±a，结合象限定正负。 4.按对称求坐标：关于x轴对称（x不变y变号），关于y轴对称（y不变x变号），关于原点对称（x、y均变号）。 【典例1】若x轴上的点P到y轴的距离为2，则点P的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式1】为培养青少年阅读经典和传承中华文化，某校创建了“典籍传习”社团，小红将“典”“籍”“传”“习”四个字写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使得“籍”“习”的坐标分别为，则“传”字的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知点的坐标为，，并且与坐标轴平行，点在轴的上方，则点的坐标为 ． 题型二 求点到坐标轴的距离 解｜题｜技｜巧 点P（a,b）到x轴的距离是,到y轴的距离是． 【典例1】在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴的垂线，垂足对应的数是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知点在轴上，则 ． 【变式2】在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离之差的绝对值等于点到两坐标轴距离之差的绝对值，则称，两点互为“等差点”，例如和到两坐标轴距离之差的绝对值都等于，它们互为“等差点”．若点和点互为“等差点”，则的值为（　　） A．或 B． C．或 D．或 题型三 判断点所在的象限 解｜题｜技｜巧 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0； ③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． 【典例1】平面直角坐标系中，点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】如图，笑脸盖住的点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【变式2】在平面直角坐标系中，下列各点位于第三象限的是（   ） A． B． C． D． 题型四 已知点所在的象限求参数 解｜题｜技｜巧 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0； ③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． 【典例1】已知点在第二象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】在平面直角坐标系中，已知点，若点M在x轴上，则点M坐标 ． 【变式2】已知点，试分别根据下列条件，求出的值及点A的坐标： (1)点A在轴上； (2)点A在轴上． 题型五 求点沿X轴，Y轴平移后的坐标 解｜题｜技｜巧 平面直角坐标系中的点的坐标平移的变化规律： （1）点沿x轴平移纵坐标不变， （2）点沿y轴平移横坐标不变. 【典例1】已知点A的坐标为，将点A向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式1】点沿y轴向上平移4个单位长度后点的坐标是 ． 【变式2】在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为 ． 题型六 已知点平移前后的坐标，判断平移分式 解｜题｜技｜巧 （1）纵坐标不变，横坐标改变------点沿x轴平移， （2）横坐标不变，纵坐标改变------点沿y轴平移。 【典例1】点分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，将线段平移至，若点，的坐标分别为，则 ． 【变式1】在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的平行四边形，点的坐标是现将这张胶片平移，使点落在点处，则此平移可以是（ ） A．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 B．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 D．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 【变式2】将点通过平移得到点，以下方式正确的是（　　） A．沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 B．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度 C．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 D．沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度 题型七 已知图形的平移，求点的坐标 解｜题｜技｜巧 1. 牢记平移规律：“左减右加横坐标（x），上加下减纵坐标（y）”，即向左平移x减、向右平移x加，向上平移y加、向下平移y减。 2. 确定平移方向与距离：明确图形平移的方向（左/右/上/下）和具体单位长度，区分横向（影响x）和纵向（影响y）移动。 3. 代入原坐标计算：用原点点坐标(x₀, y₀)，结合规律算新坐标：横向移n个单位得x₀±n，纵向移m个单位得y₀±m，最终新坐标为(x₀±n, y₀±m)。 【典例1】三角形是由三角形平移得到的，点的对应点为，则三角形内部点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移，使得点A平移到点，则平移后点B的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【变式2】三角形如图所示，将三角形水平向左平移个单位，再竖直向下平移个单位可以得到三角形． (1)画出平移后的三角形； (2)直接写出三角形三个顶点的坐标． 题型八 坐标系中的动点问题 解｜题｜技｜巧 1.设动点坐标：用含参数的字母表示动点坐标（如(x, 0)表示x轴上动点，(t, 2t+1)表示某直线上动点）。 2.找约束关系：根据动点运动轨迹（如在坐标轴、直线、抛物线上）或题目条件（如距离、垂直、面积关系），列出参数的等式（方程）。 3.分类讨论情况：若动点运动方向、位置有多种可能（如在射线/线段上、不同象限），需按情况划分，分别计算坐标，避免漏解。 4.结合图形分析：画出坐标系和动点运动路径，直观判断动点的特殊位置（如与定点重合、构成特殊图形时），辅助列关系和验证结果。 5.计算并检验：解出参数值后，代入动点坐标表达式，结合题目实际意义（如线段长度非负、坐标范围）检验，排除不合理解。 【典例1】如图，是一个的正方形网格，每个小正方形的边长都为1个单位长度，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），建立如图的平面直角坐标系．如果m为任意常数，那么随m的变化，动点会经过的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，，，直线轴，垂足为点，点P为直线上一动点，当时，则点P坐标 ． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为 ． 题型九 点坐标规律探索 解｜题｜技｜巧 1.列已知点坐标：将题目中给出的点按顺序（如第1个、第2个）列出，明确横、纵坐标分别对应的数据。 2.分拆横纵规律：单独分析横坐标序列和纵坐标序列，找数字间的变化规律。 3.用序号表规律：设点的序号为n（n为正整数），分别写出横坐标、纵坐标关于n的表达式。 4.验证规律：将序号代入表达式，计算出的坐标与已知点对比，确认规律是否成立；若有未知点，用规律推导后再验证。 5.注意特殊情况：或有对称性，需单独分析并标注适用范围。 【典例1】如图，将边长为1的正方形沿x轴正方向连续滚动，点P依次落在点，，，…的位置，则的横坐标的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，，把一根长为2021个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，…，根据这个规律，第2027个点的坐标为 ． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）将点向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的坐标是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西贺州·期中）若点在第二象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）兰州市第八中学是一所历史悠久、文化底蕴深厚的百年老校，是兰州市首批示范性中学．如图是我校一些地点的分布示意图，若图书馆的坐标为，广播站的坐标为． (1)请在图中画出相应的平面直角坐标系，并写出示意图中食堂和前门的坐标； (2)若学生广场的坐标为，种植园坐标为，请在图中标出学生广场和种植园的位置． 4．（25-26八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，已知点，分别根据下列条件进行求解． (1)若点P在过点且与x轴平行的直线上，求此时a的值； (2)若点P到x轴的距离与到y轴的距离相等，求点P的坐标． 5．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n． (1)若，求的值； (2)若，求点A的坐标． 6．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在y轴上，求m的值； (2)在同一平面直角坐标系中，点，且轴，求点M的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，，，，三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形． (1)画出平移后的三角形； (2)直接写出三角的面积__________； (3)连接，仅用无刻度直尺在线段上画点D，使． (4)若，点E在直线上，则的最小值为__________． 8．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)求点A，B，C的坐标． (2)当点P移动4秒时，请求出点P的坐标． (3)当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 3．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 4．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是 ． 5．（2025·甘肃甘南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点那么点的坐标为 ． 6．（2025·安徽·二模）如图．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)请画出关于轴对称的； (2)通过平移，使点移动到点的位置，画出平移后的； (3)若在内有一点，则经过（2）中平移变换后点的对应点的坐标为___________．（用含的式子表示） 7．在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)若点A在轴上，求点A的坐标； (2)若点，直线轴，求的值； (3)若点A在第四象限，且到两坐标轴距离之和为9，求的值； (4)点的坐标为，若直线轴，且线段的长为5，求的值及点的坐标． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面直角坐标系（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平面直角坐标系的概念 能明确平面直角坐标系的组成（x 轴、y 轴、原点），掌握坐标平面的象限划分及坐标轴上点的归属 基础必考点，多在小题中考查对概念的理解，是后续坐标相关知识的基础 平面内特殊位置的点的坐标特征 能熟练掌握各象限内、坐标轴上、与坐标轴平行（垂直）直线上、两坐标轴夹角平分线上点的坐标规律，准确判断点的位置 高频基础考点，常结合点的位置判断、坐标计算考查，贯穿平面直角坐标系应用始终 点的坐标的几何意义 能根据点的坐标求出点到 x 轴、y 轴的距离，理解坐标与距离的对应关系 重要基础考点，多在坐标计算、图形面积求解等小题或解答题基础步骤中考查 平面直角坐标系的应用 能运用平面直角坐标系表示地理位置（含建立坐标系、标注坐标），理解方向角与距离结合的位置表示方法 应用型考点，常以实际场景（如地图、场地布局）为背景，以解答题或图文结合小题形式考查 用坐标表示点的平移 能掌握点的平移规律（横坐标 “右加左减”、纵坐标 “上加下减”），并运用规律解决图形平移的坐标变化及作图问题 核心考点，多与图形变换（平移）结合，在坐标计算、作图题、函数图象平移等题型中考查 知识点01 平面直角坐标系 1、平面直角坐标系的概念：在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点． 2、坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． 知识点02 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0； ③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）与坐标轴平行（垂直）的直线上的点的坐标特征： ①平行与x轴（垂直与y轴）的直线上的点：纵坐标相等； ②平行与y轴（垂直与x轴）的直线上的点：横坐标相等； （4）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 知识点03 点的坐标的几何意义 点P（a,b）到x轴的距离是,到y轴的距离是． 知识点04 平面直角坐标系的应用 1、用坐标表示地理位置： （1）确定物体的位置的方法有很多，其中可以用有序数对来表示物体的位置，还可以用平面直角坐标系中的点的坐标来确定物体的位置.解决问题时要根据实际情况来选择表示方法，确定物体的位置时数据不能少于两个. （2）利用平面直角坐标系表示地理位置的方法： ①建立坐标系，选择一个合适的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向. ②根据实际问题确定适当的单位长度，并在坐标轴上标出单位长度. ③在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称. （3）在航海和测绘中，经常用方向角和距离来刻画平面内两个物体的相对位置，通常以北偏东（西）或南偏东（西）确定方向角. 知识点05 用坐标表示点的平移 （1）平面直角坐标系中的点的坐标平移的变化规律：将点左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变. （2）图形的平移坐标变化规律： 在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） （3）作图-平移变换 ①确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离． ②作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 题型一 写出直角坐标系中点的坐标 解｜题｜技｜巧 1.直接找点坐标：过点作x轴垂线得横坐标（左负右正），作y轴垂线得纵坐标（下负上正），写成(x, y)。 2.特殊点规律：x轴上点(y=0)，y轴上点(x=0)；第一象限(x正y正)、第二象限(x负y正)、第三象限(x负y负)、第四象限(x正y负)。 3.按距离求坐标：已知到x轴距离a、y轴距离b，x=±b、y=±a，结合象限定正负。 4.按对称求坐标：关于x轴对称（x不变y变号），关于y轴对称（y不变x变号），关于原点对称（x、y均变号）。 【典例1】若x轴上的点P到y轴的距离为2，则点P的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】解：∵点P在x轴上， ∴点P的纵坐标等于0， 又∵点P到y轴的距离是2， ∴点P的横坐标是， 故点P的坐标为或． 故选：B． 【变式1】为培养青少年阅读经典和传承中华文化，某校创建了“典籍传习”社团，小红将“典”“籍”“传”“习”四个字写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使得“籍”“习”的坐标分别为，则“传”字的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图建立直角坐标系，则“传”在第三象限，坐标为 ． 故选：C． 【变式2】已知点的坐标为，，并且与坐标轴平行，点在轴的上方，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【详解】解：由题知， 当轴时， 因为点坐标为， 所以点的纵坐标为． 又因为，且点在轴上方， 所以，， 所以点的坐标为或． 当轴时， 因为点坐标为， 所以点的横坐标为． 又因为，且点在轴上方， 所以， 所以点的坐标为， 综上所述，点的坐标为：或或． 题型二 求点到坐标轴的距离 解｜题｜技｜巧 点P（a,b）到x轴的距离是,到y轴的距离是． 【典例1】在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴的垂线，垂足对应的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴的垂线，垂足的横坐标与点的横坐标相同，为， 所以垂足的横坐标是． 故选：． 【变式1】已知点在轴上，则 ． 【答案】 【详解】解：∵点在轴上， ∴，解得：． 故答案为：． 【变式2】在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离之差的绝对值等于点到两坐标轴距离之差的绝对值，则称，两点互为“等差点”，例如和到两坐标轴距离之差的绝对值都等于，它们互为“等差点”．若点和点互为“等差点”，则的值为（　　） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：点到两坐标轴的距离之差的绝对值为，点到两坐标轴的距离之差的绝对值为， ∴， ， ∴或， 解得或 故选： 题型三 判断点所在的象限 解｜题｜技｜巧 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0； ③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． 【典例1】平面直角坐标系中，点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵点， ∴为负，为正， ∴点在第二象限， 故选：． 【变式1】如图，笑脸盖住的点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得：笑脸盖住的点位于第四象限， A.在第一象限，故本选项不符合题意； B. 在第二象限，故本选项不符合题意； C. 在第三象限，故本选项不符合题意； D. 在第四象限，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式2】在平面直角坐标系中，下列各点位于第三象限的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：位于第三象限的点的特征是横坐标为负值，纵坐标为负值， 位于第三象限． 故选：B． 题型四 已知点所在的象限求参数 解｜题｜技｜巧 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0； ③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． 【典例1】已知点在第二象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点在第二象限， ∴； 故选B． 【变式1】在平面直角坐标系中，已知点，若点M在x轴上，则点M坐标 ． 【答案】 【详解】解：点在x轴上， ， ， ， 点M坐标为． 故答案为：． 【变式2】已知点，试分别根据下列条件，求出的值及点A的坐标： (1)点A在轴上； (2)点A在轴上． 【答案】(1)，A (2)，A 【详解】（1）解：∵点A在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴，A； （2）解：∵点A在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴，A． 题型五 求点沿X轴，Y轴平移后的坐标 解｜题｜技｜巧 平面直角坐标系中的点的坐标平移的变化规律： （1）点沿x轴平移纵坐标不变， （2）点沿y轴平移横坐标不变. 【典例1】已知点A的坐标为，将点A向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴将点A向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点的坐标是，即． 故选：A． 【变式1】点沿y轴向上平移4个单位长度后点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：点沿y轴向上平移4个单位长度后的点坐标是，即． 故答案为：． 【变式2】在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为． 故答案为：． 题型六 已知点平移前后的坐标，判断平移分式 解｜题｜技｜巧 （1）纵坐标不变，横坐标改变------点沿x轴平移， （2）横坐标不变，纵坐标改变------点沿y轴平移。 【典例1】点分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，将线段平移至，若点，的坐标分别为，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意知：、的坐标分别为和， 点、的坐标分别为和， ，，∴线段由线段向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到， ∴，， ∴． 故答案为： ． 【变式1】在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的平行四边形，点的坐标是现将这张胶片平移，使点落在点处，则此平移可以是（ ） A．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 B．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 D．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 【答案】C 【详解】解：根据的坐标是，点， 横坐标加，纵坐标减得出，故先向右平移个单位，再向下平移个单位， 故选：C． 【变式2】将点通过平移得到点，以下方式正确的是（　　） A．沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 B．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度 C．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 D．沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度 【答案】C 【详解】解：将点通过平移得到点，平移方式可为沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度， 故选：C． 题型七 已知图形的平移，求点的坐标 解｜题｜技｜巧 1. 牢记平移规律：“左减右加横坐标（x），上加下减纵坐标（y）”，即向左平移x减、向右平移x加，向上平移y加、向下平移y减。 2. 确定平移方向与距离：明确图形平移的方向（左/右/上/下）和具体单位长度，区分横向（影响x）和纵向（影响y）移动。 3. 代入原坐标计算：用原点点坐标(x₀, y₀)，结合规律算新坐标：横向移n个单位得x₀±n，纵向移m个单位得y₀±m，最终新坐标为(x₀±n, y₀±m)。 【典例1】三角形是由三角形平移得到的，点的对应点为，则三角形内部点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点的对应点为，， ∴三角形先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到三角形， ∴三角形内部点的对应点的坐标为，即； 故选B． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移，使得点A平移到点，则平移后点B的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】解：点A的坐标为，点A平移到点， 故平移的方法为：向右平移2个单位，向上平移4个单位， 故将点向右平移2个单位，向上平移4个单位后，坐标为， 故选：B． 【变式2】三角形如图所示，将三角形水平向左平移个单位，再竖直向下平移个单位可以得到三角形． (1)画出平移后的三角形； (2)直接写出三角形三个顶点的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2) 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）由图可知：． 题型八 坐标系中的动点问题 解｜题｜技｜巧 1.设动点坐标：用含参数的字母表示动点坐标（如(x, 0)表示x轴上动点，(t, 2t+1)表示某直线上动点）。 2.找约束关系：根据动点运动轨迹（如在坐标轴、直线、抛物线上）或题目条件（如距离、垂直、面积关系），列出参数的等式（方程）。 3.分类讨论情况：若动点运动方向、位置有多种可能（如在射线/线段上、不同象限），需按情况划分，分别计算坐标，避免漏解。 4.结合图形分析：画出坐标系和动点运动路径，直观判断动点的特殊位置（如与定点重合、构成特殊图形时），辅助列关系和验证结果。 5.计算并检验：解出参数值后，代入动点坐标表达式，结合题目实际意义（如线段长度非负、坐标范围）检验，排除不合理解。 【典例1】如图，是一个的正方形网格，每个小正方形的边长都为1个单位长度，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），建立如图的平面直角坐标系．如果m为任意常数，那么随m的变化，动点会经过的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【详解】解：由题知， 因为点P坐标为， 所以点P在直线上． 如图所示， 显然随着m的变化，点P会经过点A． 故选：A． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，，，直线轴，垂足为点，点P为直线上一动点，当时，则点P坐标 ． 【答案】或 【详解】解：设点P的坐标为， ∵，，， ∴，，， 如图所示，当点P在点B上方时， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在点B下方，且在x轴上方时， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在x轴下方时， ∵， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，点P的坐标为或， 故答案为：或． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为 ． 【答案】或 【详解】解：设的边上的高为， 长方形的长为，宽为， ， 的面积等于四边形面积的， ， 即， 解得， 动点从点出发沿运动， 点的坐标为或 故答案为或 题型九 点坐标规律探索 解｜题｜技｜巧 1.列已知点坐标：将题目中给出的点按顺序（如第1个、第2个）列出，明确横、纵坐标分别对应的数据。 2.分拆横纵规律：单独分析横坐标序列和纵坐标序列，找数字间的变化规律。 3.用序号表规律：设点的序号为n（n为正整数），分别写出横坐标、纵坐标关于n的表达式。 4.验证规律：将序号代入表达式，计算出的坐标与已知点对比，确认规律是否成立；若有未知点，用规律推导后再验证。 5.注意特殊情况：或有对称性，需单独分析并标注适用范围。 【典例1】如图，将边长为1的正方形沿x轴正方向连续滚动，点P依次落在点，，，…的位置，则的横坐标的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【详解】解：已知正方形边长为1，且A在原点左侧，O为原点， 因此点P的初始坐标为． 第一次滚动到∶； 第二次滚动到∶； 第三次滚动到∶； 第四次滚动到∶； 第五次滚动到∶． 观察规律∶每滚动4次，点P的横坐标增加4且纵坐标呈现“1，1，0，0，1，1，0，0．…．”的循环． 因为每4次为一个循环，计算11次滚动包含几个完整循环∶ (个完整循环)…3(次剩余滚动)． 一个完整循环(4次)横坐标增加4，因此2个完整循环后，横坐标从初始开始，增加了，此时对应第8次滚动后()的横坐标为． 第9次滚动()∶横坐标为 (对应“1，1”的第一个1，横坐标)． 第10次滚动()∶横坐标为 (对应“1，1”的第二个1，横坐标) 第11次滚动()∶横坐标为9(对应“0，0”的第一个0，横坐标不再增加) 综上，的横坐标为9 故选B 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，，把一根长为2021个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得， ∴四边形的周长为：， ∵， ∴细线的另一端所在位置的点在点A左侧1个单位处， 即细线的另一端所在位置点的坐标是． 故选：A． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，…，根据这个规律，第2027个点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：由图形可得，第个点的坐标为，第个点的坐标为，第个点的坐标为，…， 故第个点的横坐标为，纵坐标为（为正整数）， ∵， ∴第个点的横坐标为，纵坐标为， ∴第个点的坐标为， ∵第个点向上移动一个单位是第2026个点，再向右移动一个单位是第2027个点， ∴第2026个点的坐标为，第2027个点的坐标为， 故答案为：． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）将点向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点先向右平移3个单位， 横坐标变为， 再向上平移2个单位， 纵坐标变为， 最后得到的点的坐标为， 故选：D． 2．（24-25八年级上·广西贺州·期中）若点在第二象限，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点在第二象限， ∴，解得：． 故选：A． 3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）兰州市第八中学是一所历史悠久、文化底蕴深厚的百年老校，是兰州市首批示范性中学．如图是我校一些地点的分布示意图，若图书馆的坐标为，广播站的坐标为． (1)请在图中画出相应的平面直角坐标系，并写出示意图中食堂和前门的坐标； (2)若学生广场的坐标为，种植园坐标为，请在图中标出学生广场和种植园的位置． 【答案】(1)图见详解，食堂的坐标为；前门的坐标为, (2)图见详解 【详解】（1）解：作图如下： 根据坐标系可知食堂的坐标为；前门的坐标为 （2）学生广场和种植园的位置，如上图所示： 4．（25-26八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，已知点，分别根据下列条件进行求解． (1)若点P在过点且与x轴平行的直线上，求此时a的值； (2)若点P到x轴的距离与到y轴的距离相等，求点P的坐标． 【答案】(1)a的值为2 (2)或 【详解】（1）解：∵点在过点且与x轴平行的直线上， ∴， ∴． ∴此时a的值为2． （2）解：∵点P到x轴的距离与到y轴的距离相等， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 5．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n． (1)若，求的值； (2)若，求点A的坐标． 【答案】(1)30； (2)． 【详解】（1）解：点A的坐标为，点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n， ． ， ． （2）解： ， ． ， ， ． 6．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在y轴上，求m的值； (2)在同一平面直角坐标系中，点，且轴，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为点在y轴上， 所以， 解得； （2）解：因为点坐标为且轴， 所以， 解得， 则， 所以点的坐标为． 7．如图，在平面直角坐标系中，，，，三角形中任意一点，经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形． (1)画出平移后的三角形； (2)直接写出三角的面积__________； (3)连接，仅用无刻度直尺在线段上画点D，使． (4)若，点E在直线上，则的最小值为__________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：； （3）解：如图所示，取格点，连接交于点D，则点D即为所求； 可求出，则； （4）解：由题意得，， 由垂线段最短可得，当时，有最小值， ∴此时， ∵， ∴， ∴的最小值为． 8．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)求点A，B，C的坐标． (2)当点P移动4秒时，请求出点P的坐标． (3)当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间． 【答案】(1)点A的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是． (2)点P的坐标是 (3)点P移动的时间是秒或秒． 【详解】（1）解：∵a、b满足， ∴， 解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是． （2）解：∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动， ∴点P的路程：， ∵ ∴当点P移动4秒时，在线段上， 即当点P移动4秒时，此时点P的坐标是． （3）解：由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况， 第一种情况，当点P在上时． 点P移动的时间是：（秒）， 第二种情况，当点P在上时， 点P移动的时间是：（秒）， 故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是秒或秒． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意，点向上平移5个单位得到点， ∴点向上平移5个单位得到点， ∴点的坐标为，即； 故选B． 2．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【答案】B 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）； ∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意； 故选：B. 3．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 【答案】四 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为，在第四象限； 故答案为：四． 4．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：点在第三象限， ， 解得， 即的取值范围是， 故答案为：． 5．（2025·甘肃甘南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点那么点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意可知，，，，，，，，，……，每4个点一循环， ∵， 点与，，等点的纵坐标相等且为0，横坐标为序号的一半，即， ∴点的坐标， 故答案为：． 6．（2025·安徽·二模）如图．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)请画出关于轴对称的； (2)通过平移，使点移动到点的位置，画出平移后的； (3)若在内有一点，则经过（2）中平移变换后点的对应点的坐标为___________．（用含的式子表示） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【详解】（1）解：∵点移动到点的位置 ∴平移规律：先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 则如图所示： （2）解：如图所示． （3）解：由（2）得平移规律：先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∴在内有一点，则经过（2）中平移变换后点的对应点的坐标为， 故答案为：． 7．在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)若点A在轴上，求点A的坐标； (2)若点，直线轴，求的值； (3)若点A在第四象限，且到两坐标轴距离之和为9，求的值； (4)点的坐标为，若直线轴，且线段的长为5，求的值及点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)当的值为2时，点的坐标为；当的值为时，点的坐标为 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得，代入， ∴； （2）解：∵直线轴， ∴两点的纵坐标相等， ∴， 解得； （3）解：因为点A在第四象限， 所以，所以， 所以点A到轴的距离为，点A到轴的距离为． 因为点A到两坐标轴距离之和为9， 所以， 解得； （4）解：因为直线轴，所以两点的横坐标相等，即，解得， 所以， 所以点A的坐标为． 因为线段的长为5， 所以当点在点A上方时，， 解得， 此时点的坐标为； 当点在点A下方时，， 解得， 此时点的坐标为． 综上所述，当的值为2时，点的坐标为；当的值为时，点的坐标为． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $