专题01 平面直角坐标系（压轴题专项训练）数学沪科版2024八年级上册

专题01 平面直角坐标系 目录 1 类型一、用有序数对表示位置或路线 1 类型二、实际问题中用坐标表示位置 3 类型三、坐标系中描点 4 类型四、根据点的坐标特征求坐标 6 类型五、根据点的坐标特征求参数 7 类型六、与平面直角坐标系有关的新定义问题 8 类型七、中点坐标 9 类型八、坐标与图形综合 11 类型九、坐标系中的动点问题 12 14 类型一、用有序数对表示位置或路线 在同一平面内，表示物体的位置需要用两个数这两个数顺序不同，表示的位置不同.用有序数对表示位置时，必须明确前后两个数表示的实际意义. 1．如图所示的是某市部分路段示意图，已知体育场的位置用表示． (1)小颖家在东王小区，她家的位置可以用___________表示； (2)李红家的位置在处，请在图中标出她家的位置； (3)从电影院到邮局的一条路线可用表示，类比这种路线表示方法，在（2）的条件下，写出李红从家到少年宫的一条路线． 2．假期，奇奇随爸爸妈妈和朋友一起去郊区露营，并策划了一个定向越野活动． (1)通过实地考察，越野项目是从帐篷的位置出发，向北偏东方向跑210米，到一棵大树下插上小红旗，记为点，请在下图中标出点；再跑到点，拍照打卡，请在下图中标出点．最后按原路返回帐篷的位置．（小正方形的边长为1个单位长度，代表实际距离50米，对角线按1.4个单位长度算，代表实际距离70米．） (2)请在横线上描述出从点返回帐篷位置的路线：________． 3．阅读与理解： 如图，一只甲虫在的方格（每个方格边长均为1）上沿着网格线爬行．若我们规定：在如图网格中，向上（或向右）爬行记为“+”，向下（或向左）爬行记为“－”，并且第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． 例如：从A到B记为：， 从D到C记为：． 思考与应用： (1)图中（ ， ）；（ ， ）；（ ， ）． (2)若甲虫从A到P的行走路线依次为：，请在图中标出P的位置． (3)若甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的总路程． 4．如图，一个点在的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为，从B到A记为，其中第一个数表示左右方向及运动的距离，第二个数表示上下方向及运动距离． (1)填空：图中(____，____)，(____，____)； (2)若这个点从A处去P处的行走路线依次为：，请在图中标出P的位置． 类型二、实际问题中用坐标表示位置 在实际问题中，使用坐标系表示位置是一种常见且实用的方法，它能将地理位置转化为数学上的坐标，便于精确描述和分析. 1．你玩过五子棋吗？它的比赛规则是：两人各拥有一种颜色的棋子，每人每次在正方形网格的格点处下一子，两人轮流下，只要连续的同色5个先成一条直线就算胜．如图，是两人玩的一盘棋，若棋盘上白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为． (1)请你根据题意，画出相应的平面直角坐标系； (2)分别写出黑棋③和白棋④的坐标； (3)现轮到黑棋下，要使黑棋这一步要赢，请写出这一步黑棋的坐标． 2．如图，我们把杜甫的《绝句》整齐排列放在平面直角坐标系中． (1)“岭”和“船”的坐标依次是________________； (2)将第2行与第3行对调（由下往上数），再将第3列与第7列对调，“雪”由开始的坐标依次变换为_______和_______； (3)“泊”开始的坐标是，使它的坐标变换到，应该哪两行对调（由下往上数），同时哪两列对调? 3．如图，这是某市的部分简图，图中小方格都是边长为个单位长度的正方形，市场的坐标为，医院的坐标为． (1)请在图中画出平面直角坐标系，并回答以下问题： 博物馆的坐标是______，体育馆的坐标是_____． (2)若宾馆的坐标为，请在（1）中所画的平面直角坐标系中标出宾馆的位置． (3)城市规划馆与少年宫、超市在一条直线上，且到少年宫、超市的距离相等，写出城市规划馆的坐标． 4．【问题提出】小明想准确描述学校各建筑物的位置，应该怎样操作呢？ 【动手操作】如图是小明把学校以的比例尺绘制而成的平面示意图，每个小方格的单位长度是，小明以正东为轴的正方向，正北为轴的正方向建立平面直角坐标系后，得到实验室的坐标是，高中楼的坐标是． 【问题解决】 （1）平面直角坐标系的原点应为___________的位置（填写建筑名称）； （2）在图中画出此平面直角坐标系并标出初中楼的坐标是___________； （3）用方向与距离表示校门相对于操场的位置是___________．（小方格的相对两顶点的距离取140米） 【拓广延伸】 （4）下午放学后，在初中楼下的小明同学以4米/秒的平均速度向操场跑去，参加体育锻炼，问：小明需要多少秒到达操场？ 类型三、坐标系中描点 1．如图，在平面直角坐标系中，，，若点在轴右侧，轴且． (1)点的坐标为______，并在图中画出三角形； (2)若点在轴上运动，连接，当线段的长最小时，点的坐标为______，依据是___________． 2．三角形三个顶点的坐标分别为，，． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出三角形． (2)把三角形向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，恰好得到三角形，在图中画出三角形． (3)求出三角形的面积． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出，计算的面积： (2)已知P为x轴上一点，若的面积为1，求点P的坐标． 4．在平面直角坐标系中，A、B点的位置如图所示； （1）写出点A、B两点的坐标； （2）若C(-3，-4)、D(3，-3)，请在图示坐标系中标出C、D两点； （3）求出A、B、C、D四点所形成的四边形面积 类型四、根据点的坐标特征求坐标 1．已知点． (1)点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (2)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 2．在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点在轴上时，求点的坐标； (2)已知直线平行于轴，且，求的长． (3)试判断点是否可能在第二象限，并说明理由． 3．已知点位于第四象限，且点P到x轴的距离是4，试求出a的值． 4．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，把点到轴的距离记作，到轴的距离记作． (1)若，求的值； (2)若，，求点的坐标． 5．已知点在平面直角坐标系中的一点，且． (1)点在轴上，求点的坐标； (2)若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标： (3)已知点，若轴，求的值． 6．已知点，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求点的坐标． (2)若将点向上平移3个单位恰好落在轴上，求点的坐标． 类型五、根据点的坐标特征求参数 1．点为平面直角坐标系中第三象限内一点，已知点A到y轴的距离为5．且，则的值为 ． 2．已知点在第四象限，若a是整数，则该点的坐标为 ． 3．已知平面直角坐标系第四象限内的点到两坐标轴的距离相等，则m的值为 4．平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位长，再向上平移个单位长，得到点，若点位于第二象限，则的取值范围是 ． 5．对于平面直角坐标系中的任意两点定义一种新的运算“*”：．若点在第二象限，点在第三象限，则在第 象限． 类型六、与平面直角坐标系有关的新定义问题 1．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点M到x轴、y轴的距离的较大值称为点M的“长距”，点N到x轴、y轴的距离相等时，称点N为“完美点”． (1)若点是“完美点”求m的值； (2)若点的“长距”为5，且点Q在第三象限内，点D的坐标为，试说明点D是“完美点”． 2．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”． (1)点的“短距”为______． (2)若点是“完美点”，求a的值． (3)若点是“完美点”，求点的“短距”． 3．在平面直角坐标系中，对于互不重合的两个点，令，若点P的坐标为，我们称点P为点A关于点B的友好点．例如：已知，则，点A关于点B的友好点为． (1)已知， ①点A关于点B的友好点的坐标为 ； ②若点B关于点C的友好点是点A，求点C的坐标． (2)已知点D在第一、三象限的角平分线上，点D关于点的友好点为点F，若点F到x轴的距离等于到y轴的距离的2倍，求点F的坐标． (3)已知点，点O为坐标原点，点M与点N为点G，O，H中任意两个点，若点K为点M关于点N的友好点，求所有可能的点K形成的图形的面积． 类型七、中点坐标 1）已知两点坐标求中点坐标时，直接利用中点坐标公式求中点坐标即可； 2）已知中点(m，n)和其中一点(p，q)求另一点坐标，只需要用中点横，纵坐标的2倍减已知点的横，纵坐标即可求得另一点的坐标，由此可得另一点坐标为:(2m-p，2n-q). 1．综合与实践 （）【动手探索】如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，，，，，并依次取，，，，的中点，，，，.观察图形，直接写出，，，，各点的坐标； （）【观察归纳】关于以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为，，线段的中点是，请用等式表示你所观察的规律为__________，__________，并用，的坐标验证规律是否正确； （）【实践运用】利用上面探索得到的规律解决问题： 若点，，则线段的中点的坐标为__________； 已知点N是线段的中点，且点，，求点的坐标. 2．（1）已知点，，，，在如图所示的平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段和的中点，，则点的坐标为_____，点的坐标为_____； （2）①结合（1），我们可以发现若线段的两个端点坐标分别为，，则这条线段的中点坐标为_____； ②若点，，用上述结论直接写出线段的中点坐标． 3．综合与探究 （1）数学课上，老师要求在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，并且连接，，，．找出它们的中点分别为M，N，P，Q，请你在下面的平面直角坐标系中完成老师的要求．（不用写作图的结论） 【探究一】 （2）小亮通过观察上图发现，在平面直角坐标系中有不重合的两点和，若，则轴，且线段的长度为________；若，则轴且线段的长度为____________； （3）请利用上面的结论解决问题：在平面直角坐标系中有两个点，点和点，若轴，且，求点的坐标． 【探究二】 （4）小亮通过观察上图M，N，P，Q的坐标，发现：在平面直角坐标系中有不重合的两点和，线段的中点的坐标与线段的两个端点的横、纵坐标之间存在一种数量关系．请直接写出结论． （5）请利用上面的结论解决问题：平行四边形在平面直角坐标系中，已知，，，对角线，交于点E，且E分别为，的中点，求D点坐标． 类型八、坐标与图形综合 坐标与图形综合是数学中的一个重要内容，主要涉及将几何图形放置在坐标系中，通过点的坐标来研究图形的性质和变化。 1．如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，点C在y轴上，且轴，a，b满足．点P从原点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路线运动（回到O为止）． (1)写出点A，B，C的坐标； (2)当点P运动4秒时，求出点P的坐标； (3)点P运动t秒后（），是否存在点P到x轴的距离为个单位的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，四边形为长方形，以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．已知点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求点B的坐标为______； (2)有一动点D从原点O出发，以1个单位长度/秒的速度沿线段向终点A运动．当直线将长方形的周长分为两部分时，求点D的运动时间t的值； (3)在（2）的条件下，E为坐标轴上一点，若三角形的面积是24，求点E的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中有一点，将点A向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点B，直线l过点A、B，交x轴于点C，交y轴于点D．通过研究发现直线l上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程的解． 例如：若点E在直线上，横坐标，则其纵坐标为； 若点F在直线上，纵坐标，则其横坐标为． (1)直接写出点B，C，D的坐标：B______，C______，D______； (2)求； (3)若点是直线l上的一个动点，当时．求出a的值，并写出P点的坐标． 4．如图，长方形放置在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，c是4的算术平方根．点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路运动一周． (1)_______，_______，_______，点D的坐标为_______； (2)当点P运动4秒时，求点P的坐标； (3)在点P运动的过程中，当点P到x轴的距离为1个单位长度时，求点P运动的时间； (4)若点Q在y轴上，且的面积为6，直接写出点Q的坐标． 类型九、坐标系中的动点问题 1. 建立方程：根据动点的运动规律，建立其坐标与参数之间的关系。 2. 利用几何性质：结合图形的几何性质（如平行、垂直、对称）求解。 3. 分类讨论：在动点运动过程中，可能出现多种情况，需分类讨论。 4. 数形结合：将代数与几何结合起来，利用图形直观理解代数表达式。 1．知图，在平面直角坐标系中，已知点，点C在y轴正半轴上，． (1)求点C的坐标； (2)设点P为x轴上的一点，若，试求点P的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点B在第一象限，点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿长方形的边逆时针移动一周（即沿着的路线移动）后停止． (1)点B的坐标为______；当点P移动时，点P的坐标为_______； (2)在点P移动过程中，当移动时，求三角形的面积． 3．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，x轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为________，点B的坐标为________． (2)若动点P从原O出发，沿y轴以每秒2个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积与长方形面积相等时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积是长方形的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足． (1)填空：_____，_____； (2)若在第三象限内有一点，用含的式子表示的面积． (3)在（2）条件下，当时，点是x轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点的坐标． 1．已知平面直角坐标系中有和两点，且点位于第三象限，且直线轴，则（   ） A．3 B． C． D．或3 2．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标是，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点的一对“和谐点”．例如，点的一对“和谐点”是点与点， （1）若点的一对“和谐点”重合，则的值为 （2）若点的一个“和谐点”坐标为，则点的坐标为 ． 4．在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：如果那么称点为点的“关联点”，例如：点的“关联点”为点，的“关联点”为点． （1）点的“关联点”为，则 ． （2）如果点是一次函数图象上点的“关联点”，那么点的坐标为 ． 5．已知点，且． (1)直接写出两点坐标； (2)将线段平移至线段（点与对应，点与对应）， ①如图（1），若点坐标为，点在轴上，求线段与轴交点的坐标； ②如图（2），若点坐标为，点在坐标轴上，三角形的面积是三角形面积的2倍，直接写出点坐标． 6．定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：点的“最佳间距”是1． （1）点的“最佳间距”是 ； （2）当点的“最佳间距”为1时，点P的横坐标为 ． 7．如图，一只蚂蚁在网格(每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从格点A(1，2)处出发去看望格点B、C、D等处的蚂蚁，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如：从A到B记为：A→B（ +1，+3 ），从B到A记为：B→A （ －1，－3 )，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． 填空： (1)图中A→C（ ， ）   C→ （ ， ） (2)若这只蚂蚁从A处去M处的蚂蚁的行走路线依次为(+3，+3)，(+2，－1)，(－3，－3)，(+4，+2)，则点M的坐标为（ ， ） (3)若图中另有两个格点P、Q，且P→A ( m+3，n+2)，P→Q(m+1， n－2)，则从Q到A记为（ ， ） 8．在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点． (1)若点P的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为__________； (2)若点P的“5阶派生点”的坐标为，求点P的坐标； (3)若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点．点的“阶派生点”位于坐标轴上，求点的坐标． 9．如图，在长方形中，点O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足．点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→C→B→A→O的线路移动． (1)点B的坐标为__________；当点P移动5秒时，点P的坐标为__________； (2)在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间； (3)在的线路移动过程中，是否存在点P使的面积是20，若存在，直接写出点P移动的时间；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0）、点A2的坐标为（2， 0）、点A3的坐标为（3，0）、…，过点A1、A2、A3、…、别作x轴垂线，交直线＝x于点B1、B2、B3、…，△OA1B1覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为P1，面积的值记为S1；△OA2B2覆盖的整点的个数记为P2，面积的值记为S2；△OA3B3覆盖的整点的个数记为P3，面积的值记为S3；…； 【注：连续x个正整数和的计算公式：1＋2＋3＋…＋x－1＋x＝】 (1)由题意可知：P1＝3、S1＝；P2＝6、S2＝2；P3＝10、S3＝；则P4＝ 、S4＝ ； (2)P7－S7＝ ； (3)Pn－Sn的值是否会等于2022？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面直角坐标系 目录 1 类型一、用有序数对表示位置或路线 1 类型二、实际问题中用坐标表示位置 6 类型三、坐标系中描点 11 类型四、根据点的坐标特征求坐标 16 类型五、根据点的坐标特征求参数 21 类型六、与平面直角坐标系有关的新定义问题 23 类型七、中点坐标 27 类型八、坐标与图形综合 33 类型九、坐标系中的动点问题 41 47 类型一、用有序数对表示位置或路线 在同一平面内，表示物体的位置需要用两个数这两个数顺序不同，表示的位置不同.用有序数对表示位置时，必须明确前后两个数表示的实际意义. 1．如图所示的是某市部分路段示意图，已知体育场的位置用表示． (1)小颖家在东王小区，她家的位置可以用___________表示； (2)李红家的位置在处，请在图中标出她家的位置； (3)从电影院到邮局的一条路线可用表示，类比这种路线表示方法，在（2）的条件下，写出李红从家到少年宫的一条路线． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题主要考查了有序数对确定位置，正确理解有序数对意义是解题关键． （1）直接利用已知有序数对，结合平位置得出答案； （2）利用已知有序数对，进而得出答案； （3）先规划好路线，再用有序数对表示路线即可． 【详解】（1）解：小颖家在东王小区，她家的位置可以用表示； 故答案为：； （2）解：如图所示：李红家的位置即为所求； （3）解：李红从家到少年宫的一条路线可以为： ． 2．假期，奇奇随爸爸妈妈和朋友一起去郊区露营，并策划了一个定向越野活动． (1)通过实地考察，越野项目是从帐篷的位置出发，向北偏东方向跑210米，到一棵大树下插上小红旗，记为点，请在下图中标出点；再跑到点，拍照打卡，请在下图中标出点．最后按原路返回帐篷的位置．（小正方形的边长为1个单位长度，代表实际距离50米，对角线按1.4个单位长度算，代表实际距离70米．） (2)请在横线上描述出从点返回帐篷位置的路线：________． 【答案】(1)见解析 (2)从点向西走150米到点，再向南偏西方向走210米到帐篷． 【分析】本题考查了数对表示方向与位置等知识，结合题意分析解答即可． （1）根据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，以帐篷的位置为观测点，即可确大树的方向，根据帐篷与大树的距离及每条小方格的对角线所代表的距离，即可确定大树的位置．根据用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，即可确定拍照打卡的位置． （2）同理，以点的位置为观测点，即确定点的方向，根据点到点的格数及每格代表的实际距离；根方向的相对性质，以帐篷的位置为观测点看与以的位置看帐篷的位置方向完全相反，所偏的度数及距离不变，据此解答即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：从点返回帐篷位置的路线：从点向西走150米到点，再向南偏西方向走210米到帐篷． 故答案为：从点向西走150米到点，再向南偏西方向走210米到帐篷． 3．阅读与理解： 如图，一只甲虫在的方格（每个方格边长均为1）上沿着网格线爬行．若我们规定：在如图网格中，向上（或向右）爬行记为“+”，向下（或向左）爬行记为“－”，并且第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． 例如：从A到B记为：， 从D到C记为：．    思考与应用： (1)图中（ ， ）； （ ， ）； （ ， ）． (2)若甲虫从A到P的行走路线依次为：，请在图中标出P的位置． (3)若甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的总路程． 【答案】(1)，；，0；， (2)见解析 (3)16 【分析】此题考查正负数的意义和有理数的加减混合运算，注意在方格内对于运动方向规定的正负． （1）根据向上（或向右）爬行记为“+”，向下（或向左）爬行记为“－”解答即可． （2）由可知从A处右移3格，上移2格，再右移1格，上移3格，右移1格，下移2格即是甲虫P处的位置； （3）由知：先向右移动1格，向上移动4格，向右移动2格，再向右移动1格，向下移动2格，最后向左移动4格，向下移动2格，把移动的距离相加即可． 【详解】（1）解：由图可知，，，． 故答案为：，；，0；，； （2）解：若甲虫从A到P的行走路线依次为：，图中P的即为所求．    （3）解：∵甲虫的行走路线为， ∴甲虫走过的总路程． 4．如图，一个点在的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为，从B到A记为，其中第一个数表示左右方向及运动的距离，第二个数表示上下方向及运动距离． (1)填空：图中(____，____)，(____，____)； (2)若这个点从A处去P处的行走路线依次为：，请在图中标出P的位置． 【答案】(1)，；， (2)答案见解析 【分析】本题主要考查了利用有序数对确定点的位置的方法，解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用有序数对表示． （1）根据题中规定即可获得答案； （2）结合题中规定，依次确定点，，及的位置，即可获得答案． 【详解】（1）解：由题中规定，向上向右走均为正，向下向左走均为负，则图中，； 故答案为：，；，； （2）解：点P位置如图所示． 类型二、实际问题中用坐标表示位置 在实际问题中，使用坐标系表示位置是一种常见且实用的方法，它能将地理位置转化为数学上的坐标，便于精确描述和分析. 1．你玩过五子棋吗？它的比赛规则是：两人各拥有一种颜色的棋子，每人每次在正方形网格的格点处下一子，两人轮流下，只要连续的同色5个先成一条直线就算胜．如图，是两人玩的一盘棋，若棋盘上白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为． (1)请你根据题意，画出相应的平面直角坐标系； (2)分别写出黑棋③和白棋④的坐标； (3)现轮到黑棋下，要使黑棋这一步要赢，请写出这一步黑棋的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)黑③坐标为，白④坐标为 (3)或 【分析】本题考查了坐标系的建立，利用坐标确定位置，确定坐标轴的位置是解题的关键． （1）根据白棋①的坐标为，黑棋②的坐标为即可建立坐标系； （2）由坐标系直接得出坐标； （3）根据比赛规则，只要连续的同色5个先成一条直线就算胜，即可找出黑棋要放置的位置坐标． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图： （2）解：由坐标系得，黑③坐标为，白④坐标为； （3）解：现轮到黑棋下，要使黑棋这一步要赢，这一步黑棋的坐标为：或． 2．如图，我们把杜甫的《绝句》整齐排列放在平面直角坐标系中． (1)“岭”和“船”的坐标依次是________________； (2)将第2行与第3行对调（由下往上数），再将第3列与第7列对调，“雪”由开始的坐标依次变换为_______和_______； (3)“泊”开始的坐标是，使它的坐标变换到，应该哪两行对调（由下往上数），同时哪两列对调? 【答案】(1)， (2)； (3)应该第1行与第3行对调，同时第2列与第5列对调 【分析】本题考查了坐标确定位置，点的坐标是前横后纵，中间逗号隔开，注意行对调，纵坐标变化，列对调，横坐标变化． （1）根据平面直角坐标系内点的坐标是：前横后纵，中间逗号隔开，可得答案； （2）根据行对调，纵坐标变化，列对调，横坐标变化，可得答案； （3）根据行对调，纵坐标变化，列对调，横坐标变化，可得答案． 【详解】（1）解：“岭”的坐标是，“船”的坐标是， 故答案为：；； （2）将第2行与第3行对调，再将第3列与第7列对调，“雪”由开始的坐标依次变换为和． 故答案为：；； （3）“泊”开始的坐标是，使它的坐标变换到，第1行与第3行对调，同时第2列与第5列对调． 3．如图，这是某市的部分简图，图中小方格都是边长为个单位长度的正方形，市场的坐标为，医院的坐标为． (1)请在图中画出平面直角坐标系，并回答以下问题： 博物馆的坐标是______，体育馆的坐标是_____． (2)若宾馆的坐标为，请在（1）中所画的平面直角坐标系中标出宾馆的位置． (3)城市规划馆与少年宫、超市在一条直线上，且到少年宫、超市的距离相等，写出城市规划馆的坐标． 【答案】(1)，，直角坐标系的建立见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标确定位置，中点坐标公式，解题的关键是根据题意正确建立直角坐标系． （1）根据已知点的坐标确定原点的位置，建立直角坐标系，即可解答； （2）利用（1）中的直角坐标系即可求解； （3）根据题意可得：城市规划馆位于少年宫和超市的中点上，根据中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，根据题意可建立如图所示的直角坐标系： 博物馆的坐标是，体育馆的坐标是， 故答案为：，； （2）宾馆的位置如下图： （3）由图可知，少年宫的坐标为，超市的坐标为， 城市规划馆与少年宫、超市在一条直线上，且到少年宫、超市的距离相等， 城市规划馆的坐标为，即． 4．【问题提出】小明想准确描述学校各建筑物的位置，应该怎样操作呢？ 【动手操作】如图是小明把学校以的比例尺绘制而成的平面示意图，每个小方格的单位长度是，小明以正东为轴的正方向，正北为轴的正方向建立平面直角坐标系后，得到实验室的坐标是，高中楼的坐标是． 【问题解决】 （1）平面直角坐标系的原点应为___________的位置（填写建筑名称）； （2）在图中画出此平面直角坐标系并标出初中楼的坐标是___________； （3）用方向与距离表示校门相对于操场的位置是___________．（小方格的相对两顶点的距离取140米） 【拓广延伸】 （4）下午放学后，在初中楼下的小明同学以4米/秒的平均速度向操场跑去，参加体育锻炼，问：小明需要多少秒到达操场？ 【答案】（1）图书馆；（2）见解析；；（3）校门在操场的南偏东，距离米；（4）小明需要100秒到达操场 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，正确建立坐标系是解题的关键． （1）即可得到平面直角坐标系的原点的位置； （2）根据高中楼和实验楼的坐标，建立坐标系即可得到答案； （3）根据方向角的表示方法，进行解答即可； （4）根据题意列式计算即可． 【详解】解：（1）∵实验室的坐标是，高中楼的坐标是， ∴平面直角坐标系的原点应为图书馆的位置； （2）由题意得，可以建立如下坐标系； 初中楼的坐标是； （3）根据图可知：校门在操场的南偏东，距离（米）； （4）， （秒）， 答：小明需要100秒到达操场． 类型三、坐标系中描点 1．如图，在平面直角坐标系中，，，若点在轴右侧，轴且． (1)点的坐标为______，并在图中画出三角形； (2)若点在轴上运动，连接，当线段的长最小时，点的坐标为______，依据是___________． 【答案】(1)，画图见解析 (2)，垂线段最短 【分析】（）由轴，，点在轴右侧，且求出点横坐标，即可求解； （）根据垂线段最短解答即可； 本题考查了坐标与图形，垂线段最短，根据题意求出点坐标是解题的关键． 【详解】（1）解：∵轴，，点在轴右侧，且， ∴点的坐标为，即， 故答案为：； 画如下： （2）解：当线段长最小时，点的坐标为，依据是垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 2．三角形三个顶点的坐标分别为，，． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出三角形． (2)把三角形向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，恰好得到三角形，在图中画出三角形． (3)求出三角形的面积． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) 【分析】本题考查的是坐标系内描点，画平移图形，求解网格三角形的面积； （1）在平面直角坐标系描出A、B、C三点，顺次连接即可． （2）按照平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．写出三角形 三个顶点的坐标，在坐标系中画出图形即可． （3由长方形面积减去周边的三角形面积，即可求得的面积． 【详解】（1）解：如图，即为所画的三角形； （2）解：如图，即为所求作的三角形； （3）解：三角形的面积为； 3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出，计算的面积： (2)已知P为x轴上一点，若的面积为1，求点P的坐标． 【答案】(1)画图见解析，的面积是 (2)P点坐标为：或 【分析】本题考查的坐标系内描点画图，坐标与图形面积，理解坐标的含义是解本题的关键； （1）根据，，，先描点，再画图即可，再利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可得答案； （2）根据P为x轴上一点，的面积为1，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图所示：的面积是：； （2）∵P为x轴上一点，的面积为1， ∴， ∴点P的横坐标为：或， 故P点坐标为：或 4．在平面直角坐标系中，A、B点的位置如图所示； （1）写出点A、B两点的坐标； （2）若C(-3，-4)、D(3，-3)，请在图示坐标系中标出C、D两点； （3）求出A、B、C、D四点所形成的四边形面积 【答案】（1）A(1，2)，B(-3，2)；（2）见解析；（3）28 【分析】（1）根据点的坐标的定义直接得出答案即可； （2）根据点的坐标的定义，在平面直角坐标系内画出点C，D即可； （3）用一个矩形的面积分别减去两个直角三角形的面积可计算出四边形ABCD的面积． 【详解】解：（1）A（1，2）、B（-3，2）； （2）如图所示； （3）四边形ABCD的面积=628； 【点睛】本题考查了点的坐标以及点的意义，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． 类型四、根据点的坐标特征求坐标 1．已知点． (1)点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (2)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值． 【答案】(1)点的坐标为 (2) 【分析】本题主要考查坐标与图形性质， （1）根据与轴平行的直线上的点横坐标相等求解即可； （2）根据在第二象限的点的坐标特征和点到轴、轴的距离相等列出方程，解出的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解：∵点坐标为，且轴， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵点在第二象限， ∴，， 又∵点到轴和轴的距离相等， ∴， 解得， ∴． 2．在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点在轴上时，求点的坐标； (2)已知直线平行于轴，且，求的长． (3)试判断点是否可能在第二象限，并说明理由． 【答案】(1)点的坐标为 (2)18 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查坐标与图形，解一元一次不等式组，掌握坐标平面内点的坐标特征是解题的关键． （1）根据题意得出，求出，即可得出答案； （2）根据题意得出，求出，即可得出答案； （3）根据题意列出不等式组，再求解即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ， 点的坐标为； （2）直线平行于轴， ， 解得， ， ； （3）不可能； 理由：若点在第二象限， 则， 不等式组无解， 点不可能在第二象限． 3．已知点位于第四象限，且点P到x轴的距离是4，试求出a的值． 【答案】6 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，正确理解距离的内涵是解题的关键．根据题意，得，去绝对值，求出a的值，然后求出点P的坐标，再根据点位于第四象限进行判断即可． 【详解】解：∵点P到x轴的距离是4， ∴， ∴或， 解得：或， 当时，点P的坐标为，此时点P在第二象限，不符合题意； 当时，点P的坐标为，此时点P在第四象限，符合题意； 故a的值为6． 4．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，把点到轴的距离记作，到轴的距离记作． (1)若，求的值； (2)若，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了点到坐标的距离，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）把代入式子中进行计算，然后根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，即可解答； （2）根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，然后再根据绝对值的意义进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：当时，，， 点的坐标为， ，， ； （2）解：， ，， ， ， 解得：， 点的坐标为． 5．已知点在平面直角坐标系中的一点，且． (1)点在轴上，求点的坐标； (2)若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标： (3)已知点，若轴，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，理解点在坐标轴上，在二、四象限角平分线上的特点，平行于坐标轴的点的特点，掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键． （1）根据点在轴上，纵坐标为零，即可求解； （2）根据点在第二、四象限的角平分线上，横纵坐标互为相反数，和为零，由此即可求解； （3）根据轴，点的横坐标相等，纵坐标不相等，由此即可求解． 【详解】（1）解：点在轴上， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：点在第二、四象限的角平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴； （3）解：若轴， ∴点的横坐标相等，纵坐标不相等， ∴， ∵， ∴， ∴，符合题意， ∴． 6．已知点，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求点的坐标． (2)若将点向上平移3个单位恰好落在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，点的平移，掌握点的坐标与位置的关系是解题的关键． （1）根据“直线轴”得出横坐标相等，列方程求解； （2）先求解平移后的，再根据题意列方程求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，，直线轴， ∴， 解得：， ； （2）解：∵将点向上平移3个单位恰好落在轴上， ∴且， 解得：， ∴平移后． ∴原来的点， 类型五、根据点的坐标特征求参数 1．点为平面直角坐标系中第三象限内一点，已知点A到y轴的距离为5．且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了点的坐标，绝对值的非负性，代入求值，熟练掌握点在各象限内的特点以及点到坐标轴的距离是解题关键． 【详解】解：∵点A到y轴的距离为5，且， ∴，或， 又∵点为平面直角坐标系中第三象限内一点， ∴， ∴， 故答案为：． 2．已知点在第四象限，若a是整数，则该点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由点在第四象限横坐标为负，纵坐标为正，可得，解之求出a的范围，结合a为整数得出a的值，继而可得答案． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 解得， 又∵a是整数， ∴， 则点的坐标为， 故答案为：． 3．已知平面直角坐标系第四象限内的点到两坐标轴的距离相等，则m的值为 【答案】 【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答． 【详解】解：∵点P在第四象限，点到两坐标轴的距离相等， ∴， 解得（舍去）或． 故答案为：． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键． 4．平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位长，再向上平移个单位长，得到点，若点位于第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据点的平移规律可得向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到，再根据第二象限内点的坐标符号可得． 【详解】解；点先向左平移个单位长，再向上平移个单位长得到点， 点位于第二象限， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 5．对于平面直角坐标系中的任意两点定义一种新的运算“*”：．若点在第二象限，点在第三象限，则在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了点的符号特征，根据新定义求出，再根据点的符号特征，判断点所在的安象限即可． 【详解】解：∵点在第二象限，点在第三象限， ∴， ∴， ∵ ∴在第四象限； 故答案为：四． 类型六、与平面直角坐标系有关的新定义问题 1．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点M到x轴、y轴的距离的较大值称为点M的“长距”，点N到x轴、y轴的距离相等时，称点N为“完美点”． (1)若点是“完美点”求m的值； (2)若点的“长距”为5，且点Q在第三象限内，点D的坐标为，试说明点D是“完美点”． 【答案】(1)或 (2)是，理由见详解 【分析】本题主要考查了点的坐标，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“完美点”的定义解答即可； （2）由“长距”的定义求出的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：点是“完美点”， ， 或， 解得或； （2）解：点的长距为5，且点Q在第三象限内， ， 解得， ， 点的坐标为， 点到轴、轴的距离都是5， 点是“完美点”． 2．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”． (1)点的“短距”为______． (2)若点是“完美点”，求a的值． (3)若点是“完美点”，求点的“短距”． 【答案】(1)2 (2)或 (3)3或6 【分析】本题考查了新定义背景下坐标的确定，理解新定义是解答本题的关键． （1）根据新定义直接写出“短距”值即可； （2）根据“完美点”的定义列出绝对值方程，求解即可得出答案； （3）先根据“完美点”的定义列出绝对值方程求解，再分别将值代入，然后利用“短距”的定义即可得出答案． 【详解】（1）点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”， 又， 点的“短距”为， 故答案为：； （2）∵点是“完美点”， ∴， ∴或， 解得或． （3）由题意，得， ∴或， 解得或． 当时，点． ∵，， ∴“短距”为3； ． 当时，点． ∵，， ∴“短距”为6． 综上所述，点的“短距”为3或6． 3．在平面直角坐标系中，对于互不重合的两个点，令，若点P的坐标为，我们称点P为点A关于点B的友好点．例如：已知，则，点A关于点B的友好点为． (1)已知， ①点A关于点B的友好点的坐标为 ； ②若点B关于点C的友好点是点A，求点C的坐标． (2)已知点D在第一、三象限的角平分线上，点D关于点的友好点为点F，若点F到x轴的距离等于到y轴的距离的2倍，求点F的坐标． (3)已知点，点O为坐标原点，点M与点N为点G，O，H中任意两个点，若点K为点M关于点N的友好点，求所有可能的点K形成的图形的面积． 【答案】(1)； (2)或 (3)39 【分析】本题考查了新定义，坐标与图形等知识，理解新定义是关键． （1）①根据友好点的意义计算即可； ②设，利用友好点的意义建立方程即可求解； （2）设，由友好点的意义求得点F的坐标，根据题意求得a的值，即可求得点F的坐标； （3）分别求出所有可能的点K的坐标，所有可能点组成一个六边形，即可求出面积． 【详解】（1）解：①∵， ∴点A关于点B的友好点的坐标为， 故答案为：； ②设，则， 解得：， 即； （2）解：∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴D点的两个坐标相等； 设，则点F的坐标为； ∵点F到x轴的距离等于到y轴的距离的2倍， ∴， 解得：或， 则点F的坐标为或； （3）解：点H关于点O的友好点的横纵坐标分别为，即的坐标为； 点O关于点H的友好点的横纵坐标分别为，即的坐标为； 同理，点H关于点G的友好点的坐标为， 点G关于点H的友好点的坐标为， 点O关于点G的友好点的坐标为， 点G关于点O的友好点的坐标为， 画图如下： 则所有可能的点K形成的图形即六边形的面积为：． 类型七、中点坐标 1）已知两点坐标求中点坐标时，直接利用中点坐标公式求中点坐标即可； 2）已知中点(m，n)和其中一点(p，q)求另一点坐标，只需要用中点横，纵坐标的2倍减已知点的横，纵坐标即可求得另一点的坐标，由此可得另一点坐标为:(2m-p，2n-q). 1．综合与实践 （）【动手探索】如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，，，，，并依次取，，，，的中点，，，，.观察图形，直接写出，，，，各点的坐标； （）【观察归纳】关于以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为，，线段的中点是，请用等式表示你所观察的规律为__________，__________，并用，的坐标验证规律是否正确； （）【实践运用】利用上面探索得到的规律解决问题： 若点，，则线段的中点的坐标为__________； 已知点N是线段的中点，且点，，求点的坐标. 【答案】（），，，，； （），，验证见解析； （）；． 【分析】本题考查了坐标与图形，探索规律，解决本题的关键是通过观察得到线段中点坐标与线段两端点坐标的对应关系，再根据中点坐标与线段两端点坐标的对应关系解决问题． （1）根据图形读出平面直角坐标系中点，，，，的坐标即可； （2）根据（1）线段中点坐标与线段两端点坐标的对应关系，可得线段的中点是的横坐标、纵坐标分别是，；因为点，分别为，的中点，根据（1）中的规律验证即可； （3）根据点，，点是线段的中点，利用中的规律求出点的坐标即可； 设点的坐标为，根据规律可得：，，解方程即可求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：由图可知：点，，，，的坐标分别为：，，，，； （2）解：由（1）中的规律可知： 点的坐标是，点的坐标是， ，； 点，分别为，的中点，点，，，， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 通过点，的坐标的验证规律是正确的， 故答案为：，； 解：点，，点是线段的中点， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 点的坐标为是， 故答案为：； 解：设点的坐标为， 点N是线段的中点，且点，， ，， 解得：，， 点的坐标为． 2．（1）已知点，，，，在如图所示的平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段和的中点，，则点的坐标为_____，点的坐标为_____； （2）①结合（1），我们可以发现若线段的两个端点坐标分别为，，则这条线段的中点坐标为_____； ②若点，，用上述结论直接写出线段的中点坐标． 【答案】（1）见解析，，；（2）①；② 【分析】本题考查了在坐标系内描点、中点坐标，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据坐标的确定方法直接描点，分别读出各点的纵横坐标，即可得到各中点的坐标； （2）①根据（1）中的坐标与中点坐标找到规律； ②利用①中的规律进行分类讨论即可答题． 【详解】解：（1）如图所示： ，   ， （2）① ②线段的中点坐标为，即． 3．综合与探究 （1）数学课上，老师要求在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，并且连接，，，．找出它们的中点分别为M，N，P，Q，请你在下面的平面直角坐标系中完成老师的要求．（不用写作图的结论） 【探究一】 （2）小亮通过观察上图发现，在平面直角坐标系中有不重合的两点和，若，则轴，且线段的长度为________；若，则轴且线段的长度为____________； （3）请利用上面的结论解决问题：在平面直角坐标系中有两个点，点和点，若轴，且，求点的坐标． 【探究二】 （4）小亮通过观察上图M，N，P，Q的坐标，发现：在平面直角坐标系中有不重合的两点和，线段的中点的坐标与线段的两个端点的横、纵坐标之间存在一种数量关系．请直接写出结论． （5）请利用上面的结论解决问题：平行四边形在平面直角坐标系中，已知，，，对角线，交于点E，且E分别为，的中点，求D点坐标． 【答案】（1）见详解；（2），；（3）的坐标为或；（4），；（5） 【分析】本题主要考查了直角坐标系，两点之间的距离以及线段中点坐标的有关计算． （1）根据题意描点，连线，找出中点即可． （2）根据直角坐标系中两点之间的距离求解即可． （3）根据直角坐标系中两点之间的距离求解即可． （4）总结出线段中点坐标的规律即可求解． （5）设，根据线段中点的坐标公式列出关于x，y的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：（1）根据题意作图如下： （2）若，则轴， ∴线段的长度为 若，则轴 ∴线段的长度为． （3）∵轴， ∴的横坐标和点的横坐标相同为2， 解得：或 ∴点的坐标为：或 （4）∵，，，， 且M，N，P，Q，分别为线段，，，的中点， ， ， 则线段中点坐标为线段两端点对应坐标之和的． ∴， 即， （5）∵，，，且E分别为，的中点， 故设， ∴，， 解得：，， ∴ 类型八、坐标与图形综合 坐标与图形综合是数学中的一个重要内容，主要涉及将几何图形放置在坐标系中，通过点的坐标来研究图形的性质和变化。 1．如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，点C在y轴上，且轴，a，b满足．点P从原点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路线运动（回到O为止）． (1)写出点A，B，C的坐标； (2)当点P运动4秒时，求出点P的坐标； (3)点P运动t秒后（），是否存在点P到x轴的距离为个单位的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)符合条件的点P坐标为或 【分析】本题考查非负数的性质、坐标与图形的性质、一元一次方程的应用，分类讨论是解题关键． （1）直接利用非负数的性质即可解答； （2）先求出运动4秒时点P的运动路程，再求出，可得此时点P在上，求出此时的长即可． （3）分两种情况：点P在上运动和点P在上运动，根据点P到x轴的距离为，列出方程求解即可 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵轴，且点C在y轴上， ∴； （2）解：∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动， ∴当点P运动4秒时，点P的运动路程为， ∵， ∴， ∴当点P运动4秒时，点P在上，且， ∴； （3）解：存在： ①当P在上运动时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； ②当P在上运动时，， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 综上可知，点P的坐标为或． 2．如图，四边形为长方形，以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．已知点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求点B的坐标为______； (2)有一动点D从原点O出发，以1个单位长度/秒的速度沿线段向终点A运动．当直线将长方形的周长分为两部分时，求点D的运动时间t的值； (3)在（2）的条件下，E为坐标轴上一点，若三角形的面积是24，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点E的坐标为，，或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，灵活运用方程的思想方法是解题的关键． （1）根据长方形的性质和点的坐标的意义确定点坐标； （2）把进行分成和，而后者比前者大，所以，即，然后解方程得到的值； （3）先得到点坐标为，点C为，再分类讨论即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形为长方形， 而点的坐标为，点的坐标为， ∴点坐标为； 故答案为：； （2）解：由题意得：，，，，． ∵直线将长方形的周长分为两部分， ∴， 即， ∴． （3）解：由（2）知点D的坐标为，点C为 ， 当点E在x轴上时，设点E的坐标为． ∵三角形的面积是24， ∴， ∴或20， ∴点E为或． 当点E在y轴上时，设点E的坐标为． ∵三角形的面积是24， ∴， ∴或10， 则E的坐标为或， 由上可得点E的坐标为或． 3．如图，在平面直角坐标系中有一点，将点A向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点B，直线l过点A、B，交x轴于点C，交y轴于点D．通过研究发现直线l上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程的解． 例如：若点E在直线上，横坐标，则其纵坐标为； 若点F在直线上，纵坐标，则其横坐标为． (1)直接写出点B，C，D的坐标：B______，C______，D______； (2)求； (3)若点是直线l上的一个动点，当时．求出a的值，并写出P点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)当时，；当时， 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据平移的性质，得，再根据直线l上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程的解，分别求出时，y的值和时，x的值即可得到答案； （2）连接，，根据列式求解即可； （3）依题意，点，分点P在线段上、点P在点B的左侧、点P在点A的右侧三种情况，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：点向左平移5个单位再向上平移5个单位得到点B， ∴，即 ∵直线l上所有点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程的解， ∴当时，，即， 当时，，即， 故答案为：，，； （2）解：如图，连接，， 由（1）得，，， ∴， ∵ ∴； （3）解： 如图，当点P在线段上时， 由（2）得 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点 当点P在点B的左侧时， ∵，且 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点 当点P在点A的右侧时，得 ∴点P在点A的右侧不符合题意； 综上所述， 当时，；当时，． 4．如图，长方形放置在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，c是4的算术平方根．点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路运动一周． (1)_______，_______，_______，点D的坐标为_______； (2)当点P运动4秒时，求点P的坐标； (3)在点P运动的过程中，当点P到x轴的距离为1个单位长度时，求点P运动的时间； (4)若点Q在y轴上，且的面积为6，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)；2；2； (2) (3)秒或秒 (4)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，求一个数的算术平方根，非负数的性质，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义可求出c，再利用非负性的性质可得a、b，据此求出A、C坐标，再由长方形的性质可得D的坐标； （2）根据（1）所求可得，求出点P运动4秒的路程，可确定点P运动4秒时，点P在上，且与点C的距离为，据此可得答案； （3）在移动过程中，当点到轴的距离为1个单位长度时，点在线段或线段上，据此讨论求解即可； （4）设，根据三角形面积计算公式额快递，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵c是4的算术平方根， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由长方形的性质可得， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵点P运动4秒， ∴点P运动的路程为， ∴点P运动4秒时，点P在上，且与点C的距离为， ∴点P的坐标为； （3）解：解：在移动过程中，当点到轴的距离为1个单位长度时，点在线段或线段上， 当点在线段时，； 当点在线段时， 点移动的时间为秒或秒； （4）解；设， ∵的面积为6， ∴， ∴， ∴或， ∴点Q的坐标为或． 类型九、坐标系中的动点问题 1. 建立方程：根据动点的运动规律，建立其坐标与参数之间的关系。 2. 利用几何性质：结合图形的几何性质（如平行、垂直、对称）求解。 3. 分类讨论：在动点运动过程中，可能出现多种情况，需分类讨论。 4. 数形结合：将代数与几何结合起来，利用图形直观理解代数表达式。 1．知图，在平面直角坐标系中，已知点，点C在y轴正半轴上，． (1)求点C的坐标； (2)设点P为x轴上的一点，若，试求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查坐标与图形，掌握数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）先得出，再根据，进行求解即可； （2）设，根据列出方程，整理得，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点P为x轴上的一点， ∴设， 则， ∵， ∴， ∴， 解得：或； ∴或． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点B在第一象限，点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿长方形的边逆时针移动一周（即沿着的路线移动）后停止． (1)点B的坐标为______；当点P移动时，点P的坐标为_______； (2)在点P移动过程中，当移动时，求三角形的面积． 【答案】(1)； (2)3 【分析】本题考查平面直角坐标系中长方形的坐标特征与点的运动，以及三角形面积计算，解题关键是利用长方形性质确定点坐标，结合路程分析点位置，进而求解． （1）利用长方形对边相等的性质，由、，直接得出点坐标；根据点移动速度和时间算出移动路程，结合长方形边长，确定时在上的位置，从而得到坐标 ． （2）根据移动时间和速度算出时移动路程，对比长方形各边长度和，确定在上，求出长度，再以为底、为高，用三角形面积公式算出面积 ． 【详解】（1）∵四边形是长方形，，，长方形对边相等， ∴点坐标为 ． ∵点速度是每秒个单位长度， ∴点P移动时，移动的路程是个单位． 长方形中，，，点从出发沿移动，长，，即点在上且距离点个单位， 所以坐标为 ． 故答案为：，； （2）解：如图 ∵点移动， ∴移动路程为个单位． 长方形周长为，，， ∴点在上， ∴， ． 3．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，x轴，轴，点B的坐标为，且． (1)直接写出点A的坐标为________，点B的坐标为________． (2)若动点P从原O出发，沿y轴以每秒2个长度单位的速度向上运动，在运动过程中形成的三角形的面积与长方形面积相等时，点P停止运动，求点P的运动时间； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使三角形的面积是长方形的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)4秒 (3)或 【分析】本题考查了绝对值，平方的非负性，坐标与图形，一元一次方程的应用，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由，可得，解得，则，； （2）设，则，由题意知，，得到，进一即可求出答案； （3）由（2）可知，设，得，由列方程，求出n的值即可． 【详解】（1）解：， ， 解得， ，． 故答案为：，． （2）解：设，则， 由题意知，， ， 解得， （秒）， 点P的运动时间为4秒； （3）解：由（2）可知 设，则，， ， 解得或， 或 4．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足． (1)填空：_____，_____； (2)若在第三象限内有一点，用含的式子表示的面积． (3)在（2）条件下，当时，点是x轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查了算术平方根和平方的非负性、三角形的面积、列代数式、坐标与图形，熟练掌握坐标与图形、分类讨论是解题的关键． （1）利用算术平方根和平方的非负性，得出，，求出、的值即可； （2）根据点A、的坐标，求出，根据坐标与图形，得出的边上的高，根据三角形的面积公式，得出答案即可； （3）根据坐标与图形，结合三角形的面积公式，由的面积是的面积的2倍，得出，分“当点在点的左侧时”和“当点在点的右侧时”两种情况，根据坐标与图形，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， 故答案为：；； （2）解：由（1）得，， ，， ∴， ∵在第三象限内有一点， ∴， ∴的边上的高， ∴； （3）解：∵，，点是轴上的动点， ∴的边上的高和的边上的高相等， 又∵三角形的面积底高，的面积是的面积的2倍， ∴， ∴当点在点的左侧时， ，则点的坐标为， 当点在点的右侧时， ，则点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 1．已知平面直角坐标系中有和两点，且点位于第三象限，且直线轴，则（   ） A．3 B． C． D．或3 【答案】A 【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据直线轴，得出、两点的纵坐标相等，进而得出的值，再根据点位于第三象限，，得出的值，代入即可得出答案． 【详解】解：直线轴， 、两点的纵坐标相等， ， ， 或1， 点位于第三象限， ， ． 故选：A． 2．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标是，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，易证，得出，，再结合点和点的坐标即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F， ∴，． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，．　 ∵点的坐标为，点的坐标是， ∴，，， ∴，， ∴点的坐标为． 故选A． 3．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点的一对“和谐点”．例如，点的一对“和谐点”是点与点， （1）若点的一对“和谐点”重合，则的值为 （2）若点的一个“和谐点”坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 6 或 【分析】本题是新定义问题，考查了坐标与图形，关键是理解题中“和谐点”的含义． （1）根据“和谐点”的含义及两点重合即可完成； （2）设点C的坐标为，根据“和谐点”的含义分两种情况即可完成． 【详解】解：（1）由题意得：， 点的一对“和谐点”坐标是与， 又点的一对“和谐点”重合， ， ， 故答案为：6； （2）设点C的坐标为， 若点的一个“和谐点”坐标为， 则， ， ； 若点的另一个“和谐点”坐标为， 则， ， ； 综上所述，点C的坐标为或． 4．在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：如果那么称点为点的“关联点”，例如：点的“关联点”为点，的“关联点”为点． （1）点的“关联点”为，则 ． （2）如果点是一次函数图象上点的“关联点”，那么点的坐标为 ． 【答案】 0 或． 【分析】此题主要考查一次函数的性质，解题的关键是熟知关联点的定义． （1）由关联点的定义可知，由可得出，再代入代数式计算即可． （2）由关联点的定义可知点P的坐标为或，分情况分别把和代入一次函数解析式，求出a的值，即可得出点P的坐标． 【详解】解：（1）由“关联点”的定义可知：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：0． （2）∵点是一次函数图象上点的“关联点”， ∴点P的坐标为或， 当点P的坐标为时， ∵点P在一次函数图象上， ∴， 解得∶， ∴点P的坐标为； 当点P的坐标为时， ∵点P在一次函数图象上， ∴， 解得∶， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或， 故答案为∶ 或． 5．已知点，且． (1)直接写出两点坐标； (2)将线段平移至线段（点与对应，点与对应）， ①如图（1），若点坐标为，点在轴上，求线段与轴交点的坐标； ②如图（2），若点坐标为，点在坐标轴上，三角形的面积是三角形面积的2倍，直接写出点坐标． 【答案】(1)； (2)①；②或或或． 【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标图形与平移、动点面积问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由非负数的性质即可得解； （2）①连接，根据等面积建立关于的方程求解即可； ②分类讨论，当点在轴上：直接可利用面积公式建立方程求解；当点在轴上时，需用割补法表示出三角形的面积，进而建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴， ， ∴； （2）解：①由平移可得，， ∴， 连接，如图所示： ， ∴， ∴， ∴； ②由题可知线段向右平移6个单位，向下平移3个单位， ， 当点在轴上时，设， 此时与是等高的， ∵的面积是面积的2倍， ， ， 解得或， ∴或； 当点在轴上时，设， i当点在直线上方时，连接，如图所示： ， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴， 解得， ∴； ii当点在直线下方时，连接，如图所示： ， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 6．定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：点的“最佳间距”是1． （1）点的“最佳间距”是 ； （2）当点的“最佳间距”为1时，点P的横坐标为 ． 【答案】 3 或2或4 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，垂线段最短． （1）分别计算出，，的长度，比较得出最小值即可； （2）分别计算出，的长度，由于斜边大于直角边，故，，所以“最佳间距”为或者的长度，由于“最佳间距”为1，分两种情况讨论，即可求解点的横坐标． 【详解】解：（1）点，，， ，，， 垂线段最短， ， 点，，的“最佳间距”是3． 故答案为：3； （2）点， ∴， ∴，， 垂线段最短， ，， 点，，的“最佳间距”是1， ∴或， ∵，， ∴或， 当时，，点，，的“最佳间距”是1，，符合题意； 当时，，点，，的“最佳间距”是1，符合题意； 当时，，点，，的“最佳间距”是1，符合题意； 当时，，点，，的“最佳间距”是1，符合题意； 点的“最佳间距”为1时，点P的横坐标为或2或4． 故答案为：或2或4． 7．如图，一只蚂蚁在网格(每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从格点A(1，2)处出发去看望格点B、C、D等处的蚂蚁，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如：从A到B记为：A→B（ +1，+3 ），从B到A记为：B→A （ －1，－3 )，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． 填空： (1)图中A→C（ ， ）   C→ （ ， ） (2)若这只蚂蚁从A处去M处的蚂蚁的行走路线依次为(+3，+3)，(+2，－1)，(－3，－3)，(+4，+2)，则点M的坐标为（ ， ） (3)若图中另有两个格点P、Q，且P→A ( m+3，n+2)，P→Q(m+1， n－2)，则从Q到A记为（ ， ） 【答案】(1) +3，-1；D，+1，+3；(2)7，3；(3)+2，+4 【分析】(1)根据规定“向上向右走均为正，向下向左走均为负”即可求解； (2)将从A处到M处的行走路线的第一个数相加后等于+6，表明是向右走了6个单位，将行走路程的第二个数相加后等于+1，表明是向上走了1个单位，由此即可求解； (3)根据P→A ( m+3，n+2)，P→Q(m+1， n－2)可知m+1-(m+3)=-2，n-2-(n+2)=-4，相当于向左走了2个单位，向下走了4个单位，由此即可求解． 【详解】解：(1)∵规定：向上向右走为正，向下向左走为负， ∴A→C记为（+3，-1）；C→D记为（1，+3）； 故答案为：+3，-1；D，+1，+3； (2)若这只蚂蚁从A处去M处的蚂蚁的行走路线依次为(+3，+3)，(+2，－1)，(－3，－3)，(+4，+2)， ∵+3+(+2)+(-3)+(+4)=+6，∴相当于向右走了6个单位， ∵+3+(-1)+(-3)+(+2)=1，∴相当于向上走了1个单位， 又A点的坐标为(1,2)，故点M的坐标为（7，3）， 故答案为：7，3； (3)∵P→A ( m+3，n+2)，P→Q(m+1， n－2)， ∴m+1-(m+3)=-2，n-2-(n+2)=-4， ∴点A向左走2个格点，向下走4个格点到点N， ∴Q→A应记为(+2，+4)． 故答案为：+2，+4． 【点睛】本题主要考查了利用坐标确定点的位置的方法．解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示． 8．在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点． (1)若点P的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为__________； (2)若点P的“5阶派生点”的坐标为，求点P的坐标； (3)若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点．点的“阶派生点”位于坐标轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查点的坐标，“派生点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据派生点的定义，结合点的坐标即可得出结论． （2）根据派生点的定义，结合点的坐标即可得出结论． （3）判断出的坐标，构建方程求出即可． 【详解】（1）；， 点的坐标为，则它的“3级派生点”的坐标为． 故答案为：； （2）设点的坐标为， 由题意可知， 解得：， 点的坐标为； （3）由题意，， 的“阶派生点“为：，，即， 在坐标轴上， 或， 或， 或，． 9．如图，在长方形中，点O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足．点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→C→B→A→O的线路移动． (1)点B的坐标为__________；当点P移动5秒时，点P的坐标为__________； (2)在移动过程中，当点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间； (3)在的线路移动过程中，是否存在点P使的面积是20，若存在，直接写出点P移动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)2秒或14秒 (3)秒或秒 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的图形与坐标、非负数的性质、三角形的面积、动点问题等知识点，正确地用代数式表示点P移动的距离是解题的关键． （1）先根据非负数的性质求得a，b，可得A，C的坐标，进而可求得点B的坐标，然后计算点P的坐标即可； （2）设点P移动的时间为t秒，点P到x轴的距离为4个单位长度，则点P在边上或边上，分别列方程求出t的值即可； （3）设点P移动的时间为t秒，当点P在边上时；当点P在边上时，分别解方程求出相应的值即可． 【详解】（1）解：∵，，， ，， ，，即， ∵四边形是长方形， ，， ∴点B的坐标为； 当点P移动5秒时，则移动的距离是， 此时点P在边上，且， 点P的坐标为． 故答案为：，． （2）解：设点P移动的时间为t秒， 当点P到x轴的距离为4个单位长度时，有以下两种情况： ①点P在边上时，，解得：； ②点P在边上时，，解得：． 综上所述，点P移动的时间为2秒或14秒． （3）解：存在，设点P移动的时间为t秒， 如图1，当点P在边上时， ，且，， ，解得：； 如图2，当点P在边上时， ，且，， ，解得：． 综上所述，点P移动的时间为秒或秒． 10．如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0）、点A2的坐标为（2， 0）、点A3的坐标为（3，0）、…，过点A1、A2、A3、…、别作x轴垂线，交直线＝x于点B1、B2、B3、…，△OA1B1覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为P1，面积的值记为S1；△OA2B2覆盖的整点的个数记为P2，面积的值记为S2；△OA3B3覆盖的整点的个数记为P3，面积的值记为S3；…； 【注：连续x个正整数和的计算公式：1＋2＋3＋…＋x－1＋x＝】 (1)由题意可知：P1＝3、S1＝；P2＝6、S2＝2；P3＝10、S3＝；则P4＝ 、S4＝ ； (2)P7－S7＝ ； (3)Pn－Sn的值是否会等于2022？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由． 【答案】(1)15；8 (2) (3)不能，理由见解析 【分析】(1)根据点的变化规律得到，，由此进行解答； (2)根据变化规律计算出P7和S7的值，再进行解答即可； (3)根据规律计算出n的值，即可得知结果． 【详解】（1）解：∵，，=1+2+3=6，，=1+2+3+4=10， …… ∴根据规律发现=1+2+3+4+…+(n+1)=, ∴=1+2+3+4+5=15， 故答案为：15；8． （2）解：∵ 故答案为：． （3）解：不能， ∵Pn－Sn＝＝2022，n＝， ∵n不是整数， ∴Pn－Sn的值不会等于2022． 【点睛】本题考查归纳推理的应用，根据条件寻找规律是解决本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$