精品解析：广西壮族自治区 南宁市银海三雅学校2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

南宁市银海三雅学校2025-2026学年度秋季学期初 三年级数学综合训练（二） （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、单选题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 在下列四款国产汽车的车标图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念即可判断 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故不符合题意； B、该图形是中心对称图形，故符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 抛物线y=x2+6x+8与y轴交点坐标（ ） A. （0，8） B. （0，-8） C. （0，6） D. （-2，0）（-4，0） 【答案】A 【解析】 【详解】由抛物线的性质知与y轴的交点x=0，代入得y=8， 故交点为（0,8），选A. 考点：二次函数的图像与性质 3. 如图，⊙是△的外接圆，，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查了圆周角定理，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半解答． 【详解】解：∵和是所对的圆心角和圆周角，， ∴． 故选：A． 4. “抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为3的面朝上”，这个事件是（ ） A. 确定事件 B. 必然事件 C. 随机事件 D. 不可能事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，事件分为必然事件、随机事件与不可能事件；一定发生的事件是必然事件；可能发生也可能不发生的事件是随机事件；一定不发生的事件是不可能事件；根据三类事件的含义进行判断即可． 【详解】解：“抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为3的面朝上”这个事件是随机事件． 故选：C． 5. 某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是103分，方差分别是，，，，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查方差，掌握方差的意义是解题的关键；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．据此判定即可． 【详解】解：由题知，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是103分，且甲的方差最小， 所以这4名同学3次数学成绩最稳定的是甲． 故选：A． 6. 瑞瑞在研究一元二次方程的根与系数关系时，得到的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数：，据此把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 7. 抛物线的顶点坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：A 8. 如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（ ） A. 46° B. 48° C. 56° D. 58° 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，旋转之后图形完全不变是解题的关键．根据旋转的性质，来求解的度数． 【详解】解：将绕着点顺时针旋转后，得到， ，， ， ， 故选：． 9. 在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是关键．由题意可知该抛物线的开口向上，对称轴为直线，根据二次函数图象的性质，图象上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴图象上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， 故选：C． 10. 《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练运用实际问题列一元二次方程是解题的关键．由题意可得这匹锦卖掉三尺后的长和一尺锦的价格，再列出方程即可． 【详解】这匹锦的长为x尺，则这匹锦卖掉三尺后的长为尺，一尺锦的价格为文， 根据题意，得． 故选：D． 11. 我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆，已知圆心 O在水面的上方，被水面截得的弦长为 8 米，点 C 是运行轨道的最低点，点 C 到弦 AB 的距离为 2 米，则 的半径长为（ ） A. 4 米 B. 5 米 C. 6 米 D. 8 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，设的半径长为，由垂径定理得（米），再由勾股定理列方程求出的值即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点，设的半径长为， ∵点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径长为米． 故选：B． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及分式方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．由一元二次方程有两个不相等的实数根得到根的判别式大于，求出的范围，表示出分式方程的解，由解为正整数确定出的值，再求出所有满足条件的整数的值之和即可． 【详解】解：由条件可知：，解得， 分式方程， 去分母得， 解得， 分式方程的解为正整数， 为负整数， ， ， 或或， 整数或或， 当时，，则有，产生增根，故舍去， 当或时，，满足条件 则所有满足条件的整数的值之和为． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 要使分式有意义，则x需满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 14. 正九边形的中心角等于______度． 【答案】40 【解析】 【分析】用度除以边数，即可求解． 【详解】解：正九边形的中心角等于：． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了正多边形中心角的计算，理解正多边形的中心角相等是关键． 15. 中国历来有“制扇王国”之称，中国扇文化是民族文化的重要组成部分．如图，已知折扇的骨柄长为a，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为，将折扇抽象为扇形，则折扇的扇面面积用含a的代数式表示为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列代数式，扇形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据图形可知：折扇的扇面面积大扇形的面积小扇形的面积，然后代入数据计算即可． 【详解】解：由图可得，折扇的扇面面积为： ． 故答案为： 16. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、D、F共线且F在B、D之间时BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长度即可． 【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示， 可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值， ∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴BC=6， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=， ∴BF=BD－DF=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2）解方程： 【答案】（1） （2），． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解方程、算术平方根，立方根，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简算术平方根，立方根，以及绝对值，再运算加法，即可作答． （2）利用因式分解法解方程即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：因式分解得， ∴，， ∴，． 18. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）与关于原点中心对称，画出，并直接写出点的坐标． （2）绕原点顺时针旋转得到，画出． （3）求（2）中点在旋转过程中所形成的弧长长度． 【答案】（1）即为所求． （2）如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，弧长公式，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （3）利用弧长公式即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，则在中， ． 19. 2024年4月23日是第29个“世界读书日”，成都市某校组织读书征文比赛活动，评出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图． 请你根据图中信息解答下列问题： （1）本次比赛获奖的总人数共有 人；补全条形统计图 （2）扇形统计图中“三等奖”所对应扇形的圆心角度数是 ； （3）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率． 【答案】（1）； 图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，列表法或画树状图求概率，理解题意准确获取统计图信息是解题的关键． （1）根据统计图可知一等奖的人数为4人，占比，据此可得总人数；利用总人数减去一等奖和二等奖的人数得到三等奖的人数，据此补全条形统计图即可； （2）利用“三等奖”的人数占比乘以360度即可得到答案； （3）画出树状图得到从四人中随机抽取两人的等可能结果数和恰好是甲和乙的结果数，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次比赛获奖的总人数共有（人）， 三等奖人数：（人）， 补全条形统计图如下图： 【小问2详解】 解：扇形统计图中“三等奖”所对应扇形的圆心角度数是， 【小问3详解】 解：树状图如图所示， ∵从四人中随机抽取两人有12种等可能结果，恰好是甲和乙的有2种可能， ∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是． 20. 已知：如图，过正方形的顶点，且与边相切于点．点是与的交点，连接，，，点是延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）如果正方形边长为，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据四边形是正方形，可得是的直径，根据圆周角定理可得，再根据，可得，可证，由此即可求证； （2）如图所示，连接，过作于，可得四边形是矩形，可求出的长，设，可用含的式子表示，在中，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴是的直径， ∵，， ∴， ∴，即 ∴是的切线． 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵与相切于点，即是的切线， ∴，且（圆的半径相等）， 过作于，则四边形是矩形，， ∴， ∵，即分别是的中点， ∴， 设， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆与正方形的综合，掌握正方形的性质，切线的证明和性质，勾股定理等知识是解题的关键． 21. 某蛋糕店有线下和网上两种销售方式，每天共销售50个，已知线下和网上销售的纯利润分别为24元/个，20元/个，每天的总纯利润为1120元． （1）求线下和网上的销售量分别是多少． （2）该店为了扩大业务，增加了销售量．调查发现，线下销售的每个蛋糕的纯利润保持不变；网上销售在原来的基础上每降低1元的纯利润，销售量增加2个． ①该店当天线下和网上销售量均为34个，求当天的总纯利润？ ②若线下增加的销售量不超过原来线下销售量的，该店每天生产多少个蛋糕，可使当天的总纯利润最大？ 【答案】（1）线下的销售量为30个，则网上的销售量为20个；（2）①7元；②当每天生产70个蛋糕时，当天总利润最大 【解析】 【分析】（1）根据题意设线下的销售量为x个，则网上的销售量为（50-x）个，依据每天的总纯利润为1120元建立方程求解即可； （2）①由题意直接根据总纯利润等于单个利润乘以销售量进行计算即可； ②根据题意设网上销售在原来的基础上降低x元的纯利润，得到，进而设线下的销售量m个，则进行分析即可. 【详解】解：（1）设线下的销售量为x个，则网上的销售量为（50-x）个， x=30 ∴线下的销售量为30个，则网上的销售量为20个； （2）① 总纯利润=34×24+34×（20-7）=1258（元） ②设网上销售在原来的基础上降低x元的纯利润 ∵ ∴当时，网上销售量为20+2×5=30个 有最大值 设线下的销售量m个，则 ∵k=24，随着m的增大而增大 ∵线下增加的销售量不超过原来线下销售量的 ∴m个 ∴当m=40时，有最大值 ∴当每天生产40+30=70个蛋糕时，当天总利润最大 【点睛】本题考查一元一次方程和二次函数的实际应用，解答本题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程组或函数关系式进行分析． 22. 阅读下列材料，完成相应学习任务：四点共圆的条件 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的过程： 已知：在四边形中，． 求证：过点可作一个圆． 证明：假设过点四点不能作一个圆，过、三点作圆．如图1，若点在圆外，设与圆相交于点，连接，则______，而已知，所以，而是的外角，，出现矛盾，故假设不成立，因此点在过三点的圆上． 如图2，若点在圆内，（请同学们补充完成省略的部分证明过程） 因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆． 学习任务： （1）材料中划线部分的结论是______，依据是______； （2）请将图2的证明过程补全； （3）如图3，在四边形中，，，，则的大小为______ （4）如图4，已知正方形的边长为6，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为边作正方形，顶点在线段上，对角线相交于点．当点从运动到时，点也随之运动，求经过的路径长． 【答案】（1），圆内接四边形对角互补 （2） （3）32 （4）点经过的路径为． 【解析】 【分析】本题考查了对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，反证法，圆内接四边形，圆周角定理，勾股定理． （1）根据材料得出结论，依据圆内接四边形对角互补； （2）同（1）利用反证法结合圆内接四边形对角互补证明即可； （3）利用题中结论，结合直径的性质及等腰三角形的性质即可求解； （4）连接连接，由勾股定理求出，由圆周角定理得出，点在上，当运动到点时，为的中点，即可求解． 【小问1详解】 解：材料中划线部分的结论是：， 依据：圆内接四边形对角互补， 故答案为：，圆内接四边形对角互补； 【小问2详解】 证明：假设过点四点不能作一个圆，过、三点作圆，如图2， 若点在圆内，设延长与圆相交于点，连接，则， ∵， ∴， ∴是的外角， ∴，出现矛盾，故假设不成立， ∴点在过三点的圆上； 【小问3详解】 解：∵， ∴过四边形的四个顶点能作一个圆，如图： ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：32； 【小问4详解】 解：连接如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四点共圆， ∴， ∴点在上， 当运动到点时，为的中点， ∴， ∴点经过的路径为． 23. 如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②该抛物线上存在点P，使得，请直接写出所有点P的坐标． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，解题的关键是需要利用分类讨论的思想求解； （1）将点、坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）①利用待定系数法可得直线的解析式为，如图1，过点作轴的平行线交于点，设点，则点，，根据，即可求解； ②分点在直线下方、上方两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：将点、代入抛物线， 得：， 解得：， 该抛物线的表达式为：①； 【小问2详解】 解：①令，得， 解得：，， 点， 设直线的解析式为，将点、的坐标代入得：， 解得：， 直线的解析式为②， 如图1，过点作轴的平行线交于点， 设点，则点， ， ， ， 有最大值，当时，其最大值为，此时； ②， 顶点， 设直线与交于点， 当点在直线下方时， ， 点在的中垂线上， 线段的中点坐标为，过该点与垂直的直线的值为， 设中垂线的表达式为：，将点代入上式得， 解得：， 直线中垂线的表达式为：③， 设直线的解析式为，把，代入得：， 解得：， 直线的解析式为：④， 联立③④得：， 解得：， 点， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为：⑤， 联立①⑤得， 解得：，（舍去）， 故点； 当点在直线上方时， ， ， 则直线的表达式为：，将点坐标代入上式并解得：， 即直线的表达式为：⑥， 联立①⑥并解得：或（舍去， 故点； 综上所述，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁市银海三雅学校2025-2026学年度秋季学期初 三年级数学综合训练（二） （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、单选题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 在下列四款国产汽车的车标图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线y=x2+6x+8与y轴交点坐标（ ） A. （0，8） B. （0，-8） C. （0，6） D. （-2，0）（-4，0） 3. 如图，⊙是△的外接圆，，则的大小为（　　） A. B. C. D. 4. “抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为3的面朝上”，这个事件是（ ） A. 确定事件 B. 必然事件 C. 随机事件 D. 不可能事件 5. 某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是103分，方差分别是，，，，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 瑞瑞在研究一元二次方程的根与系数关系时，得到的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 7. 抛物线的顶点坐标为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（ ） A. 46° B. 48° C. 56° D. 58° 9. 在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O为圆心的圆，已知圆心 O在水面的上方，被水面截得的弦长为 8 米，点 C 是运行轨道的最低点，点 C 到弦 AB 的距离为 2 米，则 的半径长为（ ） A. 4 米 B. 5 米 C. 6 米 D. 8 米 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是（    ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 要使分式有意义，则x需满足的条件是______． 14. 正九边形的中心角等于______度． 15. 中国历来有“制扇王国”之称，中国扇文化是民族文化的重要组成部分．如图，已知折扇的骨柄长为a，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为，将折扇抽象为扇形，则折扇的扇面面积用含a的代数式表示为______（结果保留）． 16. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2）解方程： 18. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）与关于原点中心对称，画出，并直接写出点的坐标． （2）绕原点顺时针旋转得到，画出． （3）求（2）中点在旋转过程中所形成的弧长长度． 19. 2024年4月23日是第29个“世界读书日”，成都市某校组织读书征文比赛活动，评出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图． 请你根据图中信息解答下列问题： （1）本次比赛获奖的总人数共有 人；补全条形统计图 （2）扇形统计图中“三等奖”所对应扇形的圆心角度数是 ； （3）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率． 20. 已知：如图，过正方形的顶点，且与边相切于点．点是与的交点，连接，，，点是延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）如果正方形边长为，求的半径． 21. 某蛋糕店有线下和网上两种销售方式，每天共销售50个，已知线下和网上销售的纯利润分别为24元/个，20元/个，每天的总纯利润为1120元． （1）求线下和网上的销售量分别是多少． （2）该店为了扩大业务，增加了销售量．调查发现，线下销售的每个蛋糕的纯利润保持不变；网上销售在原来的基础上每降低1元的纯利润，销售量增加2个． ①该店当天线下和网上销售量均为34个，求当天的总纯利润？ ②若线下增加的销售量不超过原来线下销售量的，该店每天生产多少个蛋糕，可使当天的总纯利润最大？ 22. 阅读下列材料，完成相应学习任务：四点共圆的条件 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的过程： 已知：在四边形中，． 求证：过点可作一个圆． 证明：假设过点四点不能作一个圆，过、三点作圆．如图1，若点在圆外，设与圆相交于点，连接，则______，而已知，所以，而是的外角，，出现矛盾，故假设不成立，因此点在过三点的圆上． 如图2，若点在圆内，（请同学们补充完成省略的部分证明过程） 因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆． 学习任务： （1）材料中划线部分的结论是______，依据是______； （2）请将图2的证明过程补全； （3）如图3，在四边形中，，，，则的大小为______ （4）如图4，已知正方形的边长为6，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为边作正方形，顶点在线段上，对角线相交于点．当点从运动到时，点也随之运动，求经过的路径长． 23. 如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②该抛物线上存在点P，使得，请直接写出所有点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $