专题10 二次函数压轴题（期中真题汇编，上海专用）九年级数学上学期沪教版上海

专题10 二次函数压轴题 （期中真题汇编，上海专用） 1．(24-25九上·上海浦东新区·期中)如图1是一条平直道路，道路限速路口停车线和路口停车线之间相距两路口各有一个红绿灯．在停车线后面停着一辆汽车，该汽车的车头恰好与停车线平齐，已知汽车启动后开始加速，加速后汽车行驶的路程、速度与时间的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图2、3所示，某时刻路口绿灯亮起，该汽车立即启动．（车身长忽略不计） (1)求该汽车从停车线出发加速到限速所需的时间以及最快需要多少时间可以通过停车线． (2)若路口绿灯亮起后路口绿灯亮起，且路口绿灯的持续时间为．该汽车先加速行驶，然后一直匀速行驶若该汽车在路口绿灯期间能顺利通过停车线．该汽车匀速行驶过程中速度的取值范围． 2．(24-25九上·上海青浦区·期中)已知：在矩形中，，分别以所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数的图象与边交于点E． (1)求证：与的面积相等． (2)记，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？ (3)请探索：是否存在这样的点F，使得将沿对折后，C点恰好落在上？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由． 3．(24-25九上·上海奉贤区·期中)在平面直角坐标系xOy中，抛物线交 y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H． （1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）； （2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线的位置，求平移的方向和距离； （3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH=∠AHO，求m的值． 4．(24-25九上·上海华育中学·期中)如图：梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=4， AB=3，，在线段BC上取一点P（不与B、C重合），联结DP，作射线PQ⊥DP，PQ与直线AB交于点Q． （1）求出梯形ABCD的面积； （2）若点Q在边AB上，设CP=x，AQ=y，试写出y关于自变量x的函数关系式，并写出定义域． （3）△DPC是等腰三角形，求AQ的长． 5．(24-25九上·上海黄浦区·期中)如图，抛物线经过点A（﹣2，0），点B（0，4）. （1）求这条抛物线的表达式； （2）P是抛物线对称轴上的点，连结AB、PB，如果∠PBO=∠BAO，求点P的坐标； （3）将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DE∥x轴交新抛物线于点E，射线EO交新抛物线于点F，如果EO=2OF，求m的值. 6．(24-25九上·上海兰生中学·期中)如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接与抛物线的对称轴l交于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接，当时，求点P的坐标； （3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 7．(24-25九上·上海奉贤区·期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接． (1)求线段AC的长； (2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标； (3)若点M为该抛物线上的一个动点，当为直角三角形时，求点M的坐标． 8．(24-25九上·上海普陀区·期中)在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，直线与轴交于点，与抛物线的对称轴直线交于点． (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)如果该抛物线平移后经过点，其顶点在原抛物线上，且点在直线的右侧，求点的坐标； (3)点在直线上，若，求点的坐标． 9．(24-25九上·上海民办华曜宝山实验学校·期中)如如图，在直角坐标平面中，点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，，抛物线经过A、B、C三点． (1)求点A、B的坐标； (2)联结、、，当时， ①求抛物线表达式： ②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得?如果存在，求出所有符合条件的点P坐标；如果不存在，请说明理由． 10．(24-25九上·上海西南模范中学·期中)如图，抛物线经过，两点，于轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； (3)是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 11．(24-25九上·上海第三女子初级中学·期中)如图，抛物线交轴于点、(点在点的左侧)，与轴交于点，点、的坐标分别为，，对称轴交轴于，点为抛物线顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上一点，且．求的坐标； (3)为抛物线对称轴上一点，是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 12．(24-25九上·上海宋庆龄学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标为、、，点D是线段的一动点，它以每秒2个单位速度从A点向O点运动，连接过点D作的垂线交于E点，设D点的运动时间为t秒（）． (1)当D点到达的中点时，________； (2)请用t的代数式表示的长度，并求出t为何值时，有最小值，是多少？ (3)若已知F点在直线上，，P为x轴上一点且于点P，请直接写出满足此条件的P点坐标． 13．(24-25九上·上海新北郊初级中学·期中)如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，且与轴的交点为点．    (1)求此抛物线的表达式及对称轴； (2)求的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 14．(24-25九上·上海宝山实验学校·期中)已知，如图，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)P为抛物线上异于A、C的一点，若点P关于直线的对称点Q落在y轴上，求P点坐标； (3)现将抛物线平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与直线交于M、N两点． ①求：的长度； ②结合（2）的条件，直接写出的周长的最小值 ． 15．(24-25九上·上海普陀区·期中)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)如果点是二次函数图像对称轴上的一点，连接、，求的面积； (3)如果点P是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且，求点P的横坐标． 16．(24-25九上·上海曹杨第二中学附属学校·期中)如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)求的值； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； 17．(24-25九·上海青浦区五浦汇实验学校·期中)定义：已知一次函数与二次函数，我们把函数称为与的“复合函数”． 例如：一次函数与二次函数的“复合函数”为． 已知一次函数与二次函数，函数为与的“复合函数”． (1)如果的图像上存在不同的两点与，求的值； (2)如果的图像经过原点，那的图像是否经过某一定点？若经过，求出点坐标，若不经过，请说明理由； (3)如果的图像同时满足（1）（2）的条件，记的图像与轴的另一个交点为点A，记的图像与轴的交点为点B，则的图像上是否存在点C，使得以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形？若存在，求出所有满足条件的中心对称图形的对称中心坐标，若不存在，请说明理由． 18．(24-25九上·上海嘉定区部分学校·期中)如图，在矩形中，，点E是线段上一点，，F是上的动点，连接，是上一点且（为常数，），分别过点，作，的垂线，交点为．设的长为，的长为． (1)若，则k的值是_____ (2)若时，求y关于x的函数解析式. (3)在点F从点B到点C的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点G，求此时k的值. 19．(24-25九上·上海静安区久隆模范中学·期中)如图，已知抛物线与x轴交于，的两点，与y轴交于点，D为顶点，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点M，与交于点E． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标； (2)设点P的横坐标为， ①当t为何值时，线段的长最大； ②连接，求的正弦值； (3)是否存在点P，使得以点P，M、B为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20．(24-25九·上海梅陇中学·期中)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，其对称轴与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)如果．当时，二次函数的最大值为，求的值； (3)直线经过点，将点向右平移7个单位长度，得到点，若抛物线与线段只有一个公共点，结合函数图象，请直接写出的取值范围． 2 / 53 1 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 二次函数压轴题 （期中真题汇编，上海专用） 1．(24-25九上·上海浦东新区·期中)如图1是一条平直道路，道路限速路口停车线和路口停车线之间相距两路口各有一个红绿灯．在停车线后面停着一辆汽车，该汽车的车头恰好与停车线平齐，已知汽车启动后开始加速，加速后汽车行驶的路程、速度与时间的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图2、3所示，某时刻路口绿灯亮起，该汽车立即启动．（车身长忽略不计） (1)求该汽车从停车线出发加速到限速所需的时间以及最快需要多少时间可以通过停车线． (2)若路口绿灯亮起后路口绿灯亮起，且路口绿灯的持续时间为．该汽车先加速行驶，然后一直匀速行驶若该汽车在路口绿灯期间能顺利通过停车线．该汽车匀速行驶过程中速度的取值范围． 【答案】(1)该汽车从停车线出发加速到限速所需的时间为，最快需要可以通过停车线． (2) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合，解分式方程，解一元二次方程，理解题意出关系式或方程是解题的关键． （1）先将限速单位化为，根据图3求得，代入求解即可；进而求得加速时间，根据题意求得运算时间，分别求得两段时间内的路程，进而即可求得答案； （2）设该汽车匀速行驶过程中速度的为,根据题意根据（2）的方法求得两段路程所用时间，结合题意中绿灯等亮起期间所用时间，分别列出方程，即可该汽车匀速行驶过程中速度的取值范围． 【详解】（1）解：∵限速为 由图3可知当时，，设，解得 s 由图2可知当时，，且，设 解得， ∵汽车从停车线出发加速到限速所需的时间s 则 以行驶的时间为 该汽车最快需要可以通过停车线 （2）设该汽车匀速行驶过程中速度的为,即汽车加速到． 由（1）可得汽车加速到所用的时间为， 则汽车从停车线出发加速到的路程为，匀速所用时间为， 根据题意可得当路口绿灯亮起时通过则， 整理得： 解得：（舍），经检验,是原方程的解, 可得当路口绿灯熄灭时候通过， 解得：（舍），经检验,是原方程的解, 综上所述，该汽车匀速行驶过程中速度的为的范围为： 答：该汽车匀速行驶过程中速度的为的范围为： 2．(24-25九上·上海青浦区·期中)已知：在矩形中，，分别以所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数的图象与边交于点E． (1)求证：与的面积相等． (2)记，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？ (3)请探索：是否存在这样的点F，使得将沿对折后，C点恰好落在上？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，S有最大值3 (3)存在符合条件的点F，它的坐标为 【分析】（1）分别用点E，F的坐标表示出与的面积，再用，进行求解； （2）应分别用矩形面积和能用图中的点表示出的三角形的面积表示出所求的面积，利用二次函数求出最值即可； （3）由（2）点F的纵坐标已求，利用折叠以及相似求得点F的横坐标即可得出答案． 【详解】（1）证明：设，与的面积分别为， 由题意得， ∴，， ∴，即与的面积相等； （2）由题意知：E、F两点坐标分别为， ∴， ∴， ∴ ∴， 当时，S有最大值3． （3）设存在这样的点F，将沿对折后，C点恰好落在上的点M处，过点E作，垂足为N， 由题意得，，， ∵， ， ， ， ， ， ， ∵， 解得， ， ∴存在符合条件的点F，它的坐标为． 【点睛】此题综合性比较强，把反比例函数的图象和性质，图形的面积计算，二次函数最值的计算放在矩形的背景中，综合利用这些知识解决问题，在求坐标系内求一般三角形的面积，通常整理为矩形面积减去若干直角三角形的面积的形式． 3．(24-25九上·上海奉贤区·期中)在平面直角坐标系xOy中，抛物线交 y轴于点为A，顶点为D，对称轴与x轴交于点H． （1）求顶点D的坐标（用含m的代数式表示）； （2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线的位置，求平移的方向和距离； （3）当抛物线顶点D在第二象限时，如果∠ADH=∠AHO，求m的值． 【答案】（1）顶点D（m，1-m）；（2）向左平移了1个单位，向上平移了2个单位；（3）m=－1或m=－2． 【详解】试题分析：把抛物线的方程配成顶点式，即可求得顶点坐标. 把点代入求出抛物线方程，根据平移规律，即可求解. 分两种情况进行讨论. 试题解析：（1）∵， ∴顶点D（m，1-m）． （2）∵抛物线过点（1，-2）， ∴． 即， ∴或（舍去）， ∴抛物线的顶点是（2，-1）． ∵抛物线的顶点是（1，1），∴向左平移了1个单位，向上平移了2个单位． （3）∵顶点D在第二象限，∴． 情况1，点A在轴的正半轴上，如图（1）．作于点G， ∵A（0，），D（m，-m+1）， ∴H（），G（）， ∴．∴． 整理得：．∴或（舍）． 情况2，点A在轴的负半轴上，如图（2）．作于点G， ∵A（0，），D（m，-m+1），∴H（），G（）， ∴．∴． 整理得：．∴或（舍）， 或 4．(24-25九上·上海华育中学·期中)如图：梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=4， AB=3，，在线段BC上取一点P（不与B、C重合），联结DP，作射线PQ⊥DP，PQ与直线AB交于点Q． （1）求出梯形ABCD的面积； （2）若点Q在边AB上，设CP=x，AQ=y，试写出y关于自变量x的函数关系式，并写出定义域． （3）△DPC是等腰三角形，求AQ的长． 【答案】（1）21；（2），（6≤x<10)；（3）或. 【分析】（1）作DH⊥BC，在Rt△DHC中，根据，可求出HC=6，然后按照梯形的面积公式求解即可； （2）先证明△QBP∽△PHD，根据相似三角形的性质可得,由 PC=x，所以PH=x-6，BBP=10-x，代入整理即可； （3）分△DPC是锐角三角形和钝角三角形两种情况求解即可. 【详解】解：（1）作DH⊥BC， ∵DH⊥BC， ∴∠DHP= ∠DHC =90°. 由题意得：AB=DH=3，AD=BH=4 ， ∵Rt△DHC中，， ∴，∴HC=6， ∴BC=10 ， ∴梯形ABCD的面积； （2）∵PQ⊥DP，∠ABC=90°， ∴∠BQP=90°﹣∠QPB=∠DPH， ∵∠ABC=∠DHP=90°， ∴△QBP∽△PHD， ∴， ∵PC=x，∴PH=x-6，BP=10-x， ∵AQ=y，∴BQ= 3-y， ∴， ∴，（6≤x<10) ， （3）当点Q在边AB上， 6≤x<10，△DPC是锐角三角形， DP=DC，舍去， DP=PC，舍去， DC=PC，则，    ， 当点Q在射线AB上， 0<x<6，△DPC是钝角三角形， 只有：DP=PC，设DP=PC=x， ∵Rt△DHP中，   ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：或 . 【点睛】本题考查了梯形的面积公式，锐角三角函数的概念，相似三角形的判定与性质，勾股定理，动点的函数问题及分类讨论的数学思想.正确做出辅助线是解（1）的关键；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解（2）的关键；分类讨论是解（3）的关键. 5．(24-25九上·上海黄浦区·期中)如图，抛物线经过点A（﹣2，0），点B（0，4）. （1）求这条抛物线的表达式； （2）P是抛物线对称轴上的点，连结AB、PB，如果∠PBO=∠BAO，求点P的坐标； （3）将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DE∥x轴交新抛物线于点E，射线EO交新抛物线于点F，如果EO=2OF，求m的值. 【答案】（1）;（2）P（1，）; （3）3或5. 【分析】（1）将点A、B代入抛物线，用待定系数法求出解析式. （2）对称轴为直线x=1，过点P作PG⊥y轴，垂足为G, 由∠PBO=∠BAO，得tan∠PBO=tan∠BAO，即，可求出P的坐标. （3）新抛物线的表达式为，由题意可得DE=2，过点F作FH⊥y轴，垂足为H，∵DE∥FH，EO=2OF，∴，∴FH=1.然后分情况讨论点D在y轴的正半轴上和在y轴的负半轴上，可求得m的值为3或5. 【详解】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣2，0），点B（0，4） ∴，解得, ∴抛物线解析式为, （2）, ∴对称轴为直线x=1，过点P作PG⊥y轴，垂足为G, ∵∠PBO=∠BAO，∴tan∠PBO=tan∠BAO， ∴, ∴， ∴, ， ∴P（1，）, （3）设新抛物线的表达式为 则,，DE=2 过点F作FH⊥y轴，垂足为H，∵DE∥FH，EO=2OF ∴， ∴FH=1. 点D在y轴的正半轴上，则， ∴, ∴， ∴m=3, 点D在y轴的负半轴上，则， ∴, ∴， ∴m=5, ∴综上所述m的值为3或5. 【点睛】本题是二次函数和相似三角形的综合题目，整体难度不大，但是非常巧妙，学会灵活运用是关键. 6．(24-25九上·上海兰生中学·期中)如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接与抛物线的对称轴l交于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接，当时，求点P的坐标； （3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）在射线上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似，点M的坐标为：，或． 【分析】（1）直接将和点代入，解出a，b的值即可得出答案； （2）先求出点C的坐标及直线BC的解析式，再根据图及题意得出三角形PBC的面积；过点P作PG轴，交轴于点G，交BC于点F，设，根据三角形PBC的面积列关于t的方程，解出t的值，即可得出点P的坐标； （3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN=EM，MN=NE，NE=EM三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案． 【详解】（1）抛物线过点和点 抛物线解析式为： （2）当时， 直线BC解析式为： 过点P作PG轴，交轴于点G，交BC于点F 设 即 （3） 为等腰直角三角形 抛物线的对称轴为 点E的横坐标为3 又点E在直线BC上 点E的纵坐标为5 设 ①当MN=EM，,时 解得或（舍去） 此时点M的坐标为 ②当ME=EN，时 解得：或（舍去） 此时点M的坐标为 ③当MN=EN，时 连接CM，易知当N为C关于对称轴l的对称点时，， 此时四边形CMNE为正方形 解得：（舍去） 此时点M的坐标为 在射线上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似，点M的坐标为：，或． 【点睛】本题是一道综合题，涉及到二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线． 7．(24-25九上·上海奉贤区·期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接． (1)求线段AC的长； (2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标； (3)若点M为该抛物线上的一个动点，当为直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据解析式求出A，B，C的坐标，然后用勾股定理求得AC的长； （2）求出对称轴为x=1，设P（1，t），用t表示出PA2和PC2的长度，列出等式求解即可； （3）设点M（m,m2-2m-3），分情况讨论，当，，分别列出等式求解即可． 【详解】（1）与x轴交点： 令y=0，解得， 即A（-1，0），B（3，0）， 与y轴交点： 令x=0，解得y=-3， 即C（0，-3）， ∴AO=1,CO=3, ∴; （2）抛物线的对称轴为：x=1， 设P（1，t）， ∴，， ∴ ∴t=-1， ∴P（1，-1）； （3）设点M（m,m2-2m-3）， ， ， , ①当时， ， 解得，（舍），， ∴M（1，-4）； ②当时， ， 解得，，（舍）， ∴M（-2，5）； ③当时， ， 解得，， ∴M或； 综上所述：满足条件的M为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题． 8．(24-25九上·上海普陀区·期中)在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，直线与轴交于点，与抛物线的对称轴直线交于点． (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)如果该抛物线平移后经过点，其顶点在原抛物线上，且点在直线的右侧，求点的坐标； (3)点在直线上，若，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，进一步即可求出抛物线的对称轴； （2）求出直线的解析式，进而求出C点坐标，设平移后的顶点坐标为，则有平移后的解析式为，把点C坐标代入求出解题即可； （3）分点E在点D的上方时和点E在点D的下方两种情况解题，过E作于点F，利用正切求出与的关系进行解题． 【详解】（1）解：把点和点代入得： ， 解得， ∴ 对称轴为直线， （2）设直线的解析式为,代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴C点坐标为， 设平移后的顶点坐标为， 则解析式为， 把代入得：或（舍）， ∴， （3）∵, ∴， 对于，当时，， ∴点D的坐标为， ∴， 当点E在点D的上方时，过E作于点F， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 当点E在点D的下方时，过E作于点F， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查三角函数，待定系数法求解析式，平移，二次函数的图象和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 9．(24-25九上·上海民办华曜宝山实验学校·期中)如如图，在直角坐标平面中，点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，，抛物线经过A、B、C三点． (1)求点A、B的坐标； (2)联结、、，当时， ①求抛物线表达式： ②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得?如果存在，求出所有符合条件的点P坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②存在，或 【分析】（1）求出抛物线的对称轴为，再根据A的坐标为，，即可作答； （2）①证明，即有，进而可得，问题得解；②先求出，设点P的坐标为，设抛物线对称轴交于N点，利用待定系数法可求出直线的解析式为：，，则有：，则有，进而可得，解方程即可求解． 【详解】（1）该抛物线的表达式为， ， 该抛物线的对称轴为， 抛物线经过点A，且点A在y轴的负半轴上， 点A的坐标为， ，对称轴为， 点B的坐标为； （2）①，， ，，， ， ， ， ，，， ，， 即：， ， 点C在x轴的正半轴上， 点C的坐标为， 将代入中，解得， 该抛物线的表达式为； ②存在，理由如下： ，， ， ， 设点P的坐标为， 如图，抛物线对称轴交于N点， ，， 利用待定系数法可求出直线的解析式为：， 即时，， 即， 则有：， ， 即有：， 解得，或者， 点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 10．(24-25九上·上海西南模范中学·期中)如图，抛物线经过，两点，于轴交于点，为第一象限抛物线上的动点，连接，，，，与相交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； (3)是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将，代入，利用待定系数法确定函数解析式； （2）根据图形得到：，即．运用三角形的面积公式求得点的纵坐标，然后由二次函数图象上点的坐标特征求得点的横坐标即可； （3）过点作轴于点，根据得到，可推出，进入即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴． 令， 则， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴． 设， ∴， ∴或， ∴或 （3）解：存在，点的坐标是． 理由：过点作轴于点，    ∵ ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 设点， ∴，， ∴， 整理得， 解得或（不符合题意）， ∴ ． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，勾股定理的应用以及三角形面积公式，相似三角形的性质等知识点． 11．(24-25九上·上海第三女子初级中学·期中)如图，抛物线交轴于点、(点在点的左侧)，与轴交于点，点、的坐标分别为，，对称轴交轴于，点为抛物线顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上一点，且．求的坐标； (3)为抛物线对称轴上一点，是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【分析】（1）由点、点的坐标和对称轴的值列出方程组，即可求出抛物线解析式． （2）由抛物线解析式可求出顶点的坐标，进而求出和的面积，由面积可推出的边上的高，求出到距离等于的直线解析式，联立直线解析式和抛物线解析式，即可求出点的坐标． （3）若是等腰三角形，通过作图画两圆一线来确定点的位置，再根据半径的长度及勾股定理求出点的坐标． 【详解】（1）解：将点，点代入抛物线解析式，由对称轴， 得 解得， 抛物线解析式为：． （2）将代入抛物线解析式得：， 顶点 ， ， 设直线解析式为：， 将点，点代入， 得 解得， 直线的解析式为： 如图，设直线与对称轴的交点为，将代入 点， ， ， 设中边上的高为，则， 如图，设在直线下方的轴上有一点到的距离为，且， ，， 是等腰直角三角形 ， 点在过点与直线平行的直线上， 即将直线向下平移个单位长度即可得到直线， 直线的解析式为： 联立， 解得：或 点的坐标为，．    （3）点与点关于对称轴对称，点， 点， ①如图，连接，以点为圆心，的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点，此时，为等腰三角形． 由图知：点位于点上方时，、、三点共线，所以此点舍去； 点位于点下方时，点与点重合，此时点的坐标为．    ②如图，以点为圆心，的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点，此时， 为等腰三角形． 在中，，， 此时点的坐标为或．    ③如图，作线段的垂直平分线，与交于点，与轴交于点，与对称轴的交点即为所求点，此时，为等腰三角形． 连接， 为线段的垂直平分线， ，点为中点， ，，由中点坐标公式得点 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 点 设直线的解析式为：， 将，代入解析式， 得， 解得， 直线解析式为： 将代入直线解析式得：， 此时点．   综上所述：点Ｍ的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查求二次函数解析式、二次函数因动点产生的三角形面积问题、因动点产生的等腰三角形问题，求出到底边的距离等于高的直线解析式，利用画“两圆一线”构造等腰三角形是解题的关键． 12．(24-25九上·上海宋庆龄学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标为、、，点D是线段的一动点，它以每秒2个单位速度从A点向O点运动，连接过点D作的垂线交于E点，设D点的运动时间为t秒（）． (1)当D点到达的中点时，________； (2)请用t的代数式表示的长度，并求出t为何值时，有最小值，是多少？ (3)若已知F点在直线上，，P为x轴上一点且于点P，请直接写出满足此条件的P点坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)或或 【分析】（1）先证明，再根据相似三角形的性质即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质即可求解，然后得出，由，根据二次函数的性质即可求解； （3）分点F在线段上，在的延长线上，在的延长线上，进行分类讨论，结合根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵A、B、C三点的坐标为、、， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， 解得：， ∴． （2）解：∵， ∴ ∴， ∴ ∵， 所以当时，有最大值，最大值为2 此时的值最小，最小值为6； （3）解：设，则． 如图，当点F在线段上时， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 当点F在的延长线上时，即为，连接，， 因为， 所以， 则, 即， 所以这种情况不符合条件， 当点F在的延长线上时，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（如图中的点）， 即或 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质与判定，坐标与图形，根据题意分类讨论是解题的关键． 13．(24-25九上·上海新北郊初级中学·期中)如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，且与轴的交点为点．    (1)求此抛物线的表达式及对称轴； (2)求的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，对称轴为：直线 (2)7 (3)存在，或 【分析】（1）将点，的坐标代入解析式，解方程组即可得出结论； （2）作轴，垂足为．作，交的延长线于点．将放在中，根据余切的定义即可表达； （3）根据题意，需要分两种情况进行讨论：或，分别作出图形求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：， 解得， 抛物线表达式为， 抛物线的对称轴为：直线； （2）解： 抛物线与轴相交于点， 点坐标是， 作轴，垂足为．作，交的延长线于点．   ， ，， ． ， ． ． ； （3）解：存在，理由如下： 为直角边， 只可能有两种情况：或． 设点坐标为 ①当，作，垂足为，作，垂足为．   ，． ，， ， ； ，可求得，（舍． ； ②当，作轴，垂足为． ，．   ，， ， ； ，可求得（舍，． ； 综上所述，点的坐标是或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 14．(24-25九上·上海宝山实验学校·期中)已知，如图，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)P为抛物线上异于A、C的一点，若点P关于直线的对称点Q落在y轴上，求P点坐标； (3)现将抛物线平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与直线交于M、N两点． ①求：的长度； ②结合（2）的条件，直接写出的周长的最小值 ． 【答案】(1)； (2)P点坐标为； (3)①，②． 【分析】（1）求出A、C点的坐标，再将点代入，即可得解； （2）先求，再由对称性可知轴，即可求出点P的纵坐标，最后利用二次函数的解析式求出结果； （3）①先求出平移后的抛物线，再利用，得出，最后利用两点之间的距离公式求解； ②作，连接，，先得出即求的最小值，即的长，最后根据的周长的最小值即，得解． 【详解】（1）解：在中，令，； 令，； ，， 代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图， ， ， ∵点P关于直线的对称点Q在y轴上， ， 轴， ∴P的纵坐标为， 由； 解得，(舍去)， ∴P点坐标为； （3）解：①设顶点为，平移后抛物线解析式为， 则， ， 设， 则， ∴， ∴的长度为定值； ②如图，作，并令，连接，， 由题知，，， 则只需求的最小值即可， ∵ 即求的最小值，即的长， ， ， 作于K， 则， ，， ∴， ， ， ， 的周长的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，算了掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，正确作出图形是解题的关键． 15．(24-25九上·上海普陀区·期中)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)如果点是二次函数图像对称轴上的一点，连接、，求的面积； (3)如果点P是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且，求点P的横坐标． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数与面积问题，相似三角形的判定与性质； （1）把，代入计算即可； （2）先求出点D坐标，再求出抛物线的对称轴与直线交点E坐标，即可根据求解； （3）过点P作轴，垂足为H，证明，得到，设点，得到， ，列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点是二次函数图像对称轴上的一点， 又∵二次函数图像的对称轴为直线， ∴，点D坐标为， 设直线的表达式为， ∵直线经过，，得， 解得， ∴直线的表达式为， 设抛物线的对称轴与直线交于点E， ∴点E坐标为， ∴， ∴； （3）解：过点P作轴，垂足为H， 设点， ∴，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去），， 即点P的横坐标是． 16．(24-25九上·上海曹杨第二中学附属学校·期中)如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)求的值； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)； (2)； (3)存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，且或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得顶点坐标，利用勾股定理求得各边的长，证明是直角三角形，利用正切函数的定义求解即可； （3）根据，，分，，计算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得． 解得， 故，． ∴； （2）解：令，则， ∴， ， ∴顶点坐标为， ∵，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （3）解：令，则， 解得或， ∴， ∵，点，， ∴，，， ∴， 当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点F， 则， ∴， ∴． 当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点G， 则， ∴， ∴； 综上所述，存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，且或． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了待定系数法求解析式，勾股定理及其逆定理，三角形相似的判定，正切函数的定义，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定定理是解题的关键． 17．(24-25九·上海青浦区五浦汇实验学校·期中)定义：已知一次函数与二次函数，我们把函数称为与的“复合函数”． 例如：一次函数与二次函数的“复合函数”为． 已知一次函数与二次函数，函数为与的“复合函数”． (1)如果的图像上存在不同的两点与，求的值； (2)如果的图像经过原点，那的图像是否经过某一定点？若经过，求出点坐标，若不经过，请说明理由； (3)如果的图像同时满足（1）（2）的条件，记的图像与轴的另一个交点为点A，记的图像与轴的交点为点B，则的图像上是否存在点C，使得以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形？若存在，求出所有满足条件的中心对称图形的对称中心坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)经过， (3)存在，对称中心坐标为或 【分析】（1）由的图像上存在不同的两点与，可得函数的对称轴为直线，由题意知，，则，计算求解即可； （2）由题意知，，由的图像经过原点，可得，即，可求，则，当时，，然后作答即可； （3）由（1）（2）可知，，，则，，可求，由的图像与轴的交点为点B，可求，由题意知，当以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形时，该四边形为平行四边形；当为对角线时，则的中点为对称中心，则，当时，，此时不存在；当为边时，，，则，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵的图像上存在不同的两点与， ∴函数的对称轴为直线， 由题意知，， ∴， 解得，； （2）解：由题意知，， ∵的图像经过原点， ∴，即， ∴， ∴， 当时，， ∴的图像经过一定点，； （3）解：由（1）（2）可知，，， ∴， ∴， 令， 解得，或， ∴， ∵的图像与轴的交点为点B， ∴， 由题意知，当以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形时，该四边形为平行四边形； 当为对角线时，则的中点为对称中心， ∴， 当时，，此时不存在； 当为边时，，， ∴， 当时，，此时对称中心坐标为，即； 当时，，此时对称中心坐标为，即； 综上所述，存在，对称中心坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，中心对称的性质，二次函数与平行四边形的综合．熟练掌握二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，中心对称的性质，二次函数与平行四边形的综合是解题的关键． 18．(24-25九上·上海嘉定区部分学校·期中)如图，在矩形中，，点E是线段上一点，，F是上的动点，连接，是上一点且（为常数，），分别过点，作，的垂线，交点为．设的长为，的长为． (1)若，则k的值是_____ (2)若时，求y关于x的函数解析式. (3)在点F从点B到点C的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点G，求此时k的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先证明，由相似三角形的性质得到，再把与的值代入得到关于的方程，求解即可； （2）由（1）知：，当时，代入即可； （3）根据题意可得的最大值是3，再由（1）知：，根据二次函数的最值可得，当时，的最大值是，从而得到关于的方程，求解即可． 【详解】（1）∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，设的长为，的长为， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：； （2）解：由（1）得， ∴当， ∴； （3）解：∵在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点， ∴的最大值是3， 由（1）知：， 当时，即，有最大值， 当时，的最大值是， ∴， ∴． ∴此时的值为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，求函数关系式，直角三角形两锐角互余，二次函数的最值． 19．(24-25九上·上海静安区久隆模范中学·期中)如图，已知抛物线与x轴交于，的两点，与y轴交于点，D为顶点，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点M，与交于点E． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标； (2)设点P的横坐标为， ①当t为何值时，线段的长最大； ②连接，求的正弦值； (3)是否存在点P，使得以点P，M、B为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线所对应的函数关系式，顶点为 (2)①；② (3)存在，或 【分析】（1）设抛物线解析式为，将点代入求得函数解析式，再化为顶点式即可； （2）① 利用待定系数法求得直线的函数关系式为．设，则．那么，，结合二次函数得性质即可求得答案； ② 根据点的坐标利用两点之间的公式和勾股定理逆定理即可判定为直角三角形，进而利用解答即可； （3）由（2）知是直角三角形，且，，．分两种情况(Ⅰ) ，则；(Ⅱ) ，则，分别求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线所对应的函数关系式， 经配方，得，则抛物线的顶点为． （2）解：① 抛物线与x轴交点坐标为． 设直线的函数关系式为， 则，解得， 直线的函数关系式为． 设，则． ∴， ∵，且， ∴ 当时，线段的长最大值为． ② 证明：∵，， 则，，， ∵， ∴为直角三角形， 如图1， ∴； （3）解：存在． 由（2）知是直角三角形，且，，． (Ⅰ) 如图2，若，则， 即， 整理，得，解得，（舍去）． ∴． (Ⅱ) 如图3，若， 则， 即， 整理，得，解得，（舍去）． ∴ ． 故符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数、两点之间距离公式和相似三角形的判定和性质，正弦等知识，解题的关键是熟悉二次函数的性质和相似三角形的性质． 20．(24-25九·上海梅陇中学·期中)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，其对称轴与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)如果．当时，二次函数的最大值为，求的值； (3)直线经过点，将点向右平移7个单位长度，得到点，若抛物线与线段只有一个公共点，结合函数图象，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)的值为或 (3)或或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与坐标轴交点问题，平移的性质等，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论，数形结合是解题的关键． （1）取，求得的值，即可求得点的坐标，求得抛物线的对称轴，则可以得到点的横坐标，得点的纵坐标为，即可求得点的坐标； （2）把二次函数整理为顶点式，可得二次函数本身的最大值为，那么分类探讨所给的取值范围都在对称轴的左侧或右侧时的最高点即可得到的值； （3）得出点和点的坐标，分类探讨抛物线的开口向上，顶点在线段上；抛物线的开口向上，点在抛物线的内部；抛物线的开口向下，点在抛物线的外部，三种情况下的值即可． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标为； 由题意得：抛物线的对称轴为：直线， 抛物线的对称轴与轴交于点， 点的坐标为； （2）解：时，二次函数为：， 二次函数的开口方向向下，最大值为， ①时，对应的最高点为：， ， 解得：， 不合题意，舍去， ②时，对应的最高点为：， ， 解得： 不合题意，舍去，， 综上：的值为或； （3）解：直线经过点， 点的坐标为， 点的坐标为， ①抛物线的顶点在线段上，此时，抛物线与线段只有一个公共点，则抛物线的顶点坐标为， ， ， 解得：； ②如图，抛物线的开口向上，点在抛物线的内部， 当时，， ， 解得：； ③如图，抛物线的开口向下，点在抛物线的外部， 当时，， ， 解得：． 综上：抛物线与线段只有一个公共点，则或或． 2 / 53 1 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $