特训08 二次函数（一模复习，十四大题型，选填题+第21题）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训08 二次函数（一模复习，十四大题型，选填题+第21题） 目录： 题型1：二次函数的概念及应用 题型2：二次函数的求值 题型3：二次函数的解析式（含待定系数法） 题型4：写出二次函数的顶点、对称轴等 题型5：二次函数的平移 题型6：根据二次函数的图像求参数 题型7：二次函数的性质 题型8：二次函数与一次函数图像问题 题型9：二次函数与x轴（与一元二次方程） 题型10：图表数据题 题型11：二次函数的实际应用 题型12：根据二次函数图像确定代数式的符号 题型13：新定义题 题型14：解答题（难度：第21题） 题型1：二次函数的概念及应用 1．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）下列属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海普陀·期中）下列函数中，一定为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21九年级上·上海静安·课后作业）函数  (a，b，c为常数)是二次函数的条件是（    ）． A．或 B． C．且 D． 4．（23-24九年级下·全国·课后作业）若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 ， ， ． 5．（2020·上海虹口·一模）如果函数是二次函数，那么m= ． 题型2：二次函数的求值 6．（21-22九年级上·上海宝山·期末）已知二次函数，当时，函数的值是 ． 7．（2023·上海金山·一模）已知，那么 ． 8．（20-21九年级上·上海静安·课后作业）当x= 时，二次函数的值为零． 题型3：二次函数的解析式（含待定系数法） 9．（18-19九年级·湖南常德·期末）已知二次函数图象经过点(-1，0)，(1，-8)和(3，0)，则它的解析式为 ． 10．（24-25九年级上·河南三门峡·阶段练习）已知抛物线与的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是的抛物线解析式是 ． 11．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知抛物线顶点位于第三象限内，且其开口向上，请写出一个满足上述特征的抛物线的表达式 ． 12．（24-25九年级上·上海·阶段练习）抛物线关于原点对称的抛物线的解析式为 ． 题型4：写出二次函数的顶点、对称轴等 13．（24-25九年级上·广东珠海·期中）抛物线的顶点坐标是 ；与轴的交点坐标是 ． 14．（24-25九年级上·新疆喀什·期中）抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． 15．（24-25九年级上·天津南开·期中）抛物线经过和两点，则该抛物线的对称轴为直线 ． 16．（24-25九年级上·上海·期中）抛物线的对称轴是直线 ． 17．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如果抛物线的对称轴是直线，那么b的值等于 ． 题型5：二次函数的平移 18．（24-25九年级上·上海宝山·期中）将二次函数的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图像的解析式为 ． 19．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）将抛物线平移，使平移后得到抛物线．则需将原抛物线（    ） A．先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度 B．先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 C．先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度 D．先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 20．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如果抛物线向右平移一个单位后，顶点落在抛物线上，那么的值等于 ． 21．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线：，将抛物线平移得到抛物线，若两条抛物线，关于直线对称，那么应将抛物线向 平移 个单位． 题型6：根据二次函数的图像求参数 22．（22-23九年级上·上海·期中）如果二次函数的图像经过原点，那么 ． 23．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知抛物线有最高点，那么a的取值范围是 ． 24．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的，那么m的取值范围是 ． 25．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线在直线的左侧部分是下降的，那么常数的取值范围是 ． 26．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如果抛物线的开口向下，且直线不经过第四象限，那么的取值范围是 ． 27．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）若抛物线与轴的交点位于轴的负半轴上，则的值不可能是（   ） A． B．0 C．1 D．2 28．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）已知抛物线，点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值等于 ． 题型7：二次函数的性质 29．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如果点、是抛物线上的两个点，那么m和n的大小关系是m n（填“”或“”或“”）． 30．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知，，都是二次函数的图像上的点，当时，随着的增大而增大，则，，按从小到大顺序排列是 ． 31．（24-25九年级上·上海·期中）已知顶点坐标为的抛物线，过点，当时，的取值范围是 ． 题型8：二次函数与一次函数图像问题 32．（24-25九年级上·四川绵阳·阶段练习）一次函数与二次函数在同一平面直角内坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 33．（24-25九年级上·上海普陀·期中）在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（    ） A． B． C． D． 题型9：二次函数与x轴（与一元二次方程） 34．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）抛物线与x轴有交点，则m范围是 ． 35．（24-25九年级上·上海·阶段练习）抛物线与x轴的两个交点之间的距离为 ． 题型10：图表数据题 36．（24-25九年级上·上海宝山·期中）二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则m的值为 ． 0 1 2 3 4 7 2 2 7 37．（2020·上海奉贤·一模）已知二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 3 4 5 … y … … 关于它的图象，下列判断正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．一定经过点 D．在对称轴左侧部分自左至右是下降的 题型11：二次函数的实际应用 38．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）在一个边长为3的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是 ． 39．（2024·内蒙古赤峰·二模）公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．现要使水柱落点距O点，则喷头高应调整为 m． 题型12：根据二次函数图像确定代数式的符号 40．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图所示：抛物线的对称轴是直线，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 41．（24-25九年级上·上海·阶段练习）二次函数的图象如图所示，顶点坐标，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④点是抛物线上任意一点，则，其中，正确的结论是 ． 42．（24-25九年级上·上海青浦·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④（为任意实数）；⑤若，，是抛物线上三点，则；⑥关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的个数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 题型13：新定义题 43．（24-25九年级上·上海·阶段练习）对于一个二次函数（、、是常数）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为 ． 44．（2024九年级下·上海·专题练习）定义：将两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”．如果抛物线与抛物线的“和谐值”为2，试写出一个符合条件的函数解析式： ． 45．（23-24九年级下·上海崇明·期中）新定义：我们把抛物线，（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，抛物线的顶点为P，且抛物与x轴相交于M、N两点，点P关于x轴的对称点为Q，若四边形是正方形，那么抛物线的表达式为 ． 题型14：解答题（难度：第21题） 46．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知二次函数 (1)用配方法把这个二次函数化为顶点式的形式，并写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)将这条抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位．直接写出平移后新抛物线的表达式：________． 47．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点的坐标； (2)该抛物线经过平移后得到新抛物线，求原抛物线平移的方向和距离． 48．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知抛物线的顶点为，它与轴的交点为． (1)求线段的长； (2)平移该抛物线，使其顶点在轴上，且与轴两交点间的距离为4，求平移后所得抛物线的表达式． 49．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道的长为米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于的函数关系式（结果保留），并写出定义域： (2)当直道为________米时，足球场的面积最大． 50．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）已知平面直角坐标系，抛物线经过点和两点. (1)求抛物线的表达式； (2)如果将这个抛物线向右平移个单位，得到新抛物线经过点，求的值. 51．（2020·上海虹口·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线C1：y＝x2﹣2x向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线C2． （1）求新抛物线C2的表达式； （2）如图，将△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′，点A（0，5）的对应点A′落在平移后的新抛物线C2上，求点B与其对应点B′的距离． 52．（23-24九年级上·上海松江·期末）二次函数的图像上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表． x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 ? 3 … (1)由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图像的顶点D的坐标； (2)如果该二次函数图像与y轴交于点A，点是图像上一点，求的面积． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训08 二次函数（一模复习，十四大题型，选填题 第21题） 目录： 题型1：二次函数的概念及应用 题型2：二次函数的求值 题型3：二次函数的解析式（含待定系数法） 题型4：写出二次函数的顶点、对称轴等 题型5：二次函数的平移 题型6：根据二次函数的图像求参数 题型7：二次函数的性质 题型8：二次函数与一次函数图像问题 题型9：二次函数与x轴（与一元二次方程） 题型10：图表数据题 题型11：二次函数的实际应用 题型12：根据二次函数图像确定代数式的符号 题型13：新定义题 题型14：解答题（难度：第21题） 题型1：二次函数的概念及应用 1．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）下列属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键． 利用二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【解析】解：A、中，当时，不是二次函数，该选项不符合题意； B、，不是二次函数，该选项不符合题意； C、，不是二次函数，该选项不符合题意； D、，是二次函数，该选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·上海普陀·期中）下列函数中，一定为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐项分析即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数． 【解析】解：、不是二次函数，不符合题意； 、，是二次函数，符合题意； 、，没有说明，不符合题意； 、，是正比例函数，不是二次函数，不符合题意； 故选：． 3．（20-21九年级上·上海静安·课后作业）函数  (a，b，c为常数)是二次函数的条件是（    ）． A．或 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】结合二次函数的定义判断，即可得到答案． 【解析】由二次函数定义可知，自变量x和应变量y满足  (a，b，c为常数，且)的函数叫做二次函数； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的知识，求解的关键是准确掌握二次函数的定义，从而得到答案． 4．（23-24九年级下·全国·课后作业）若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 ， ， ． 【答案】 0 【分析】本题主要考查了二次函数有关概念．熟练掌握二次函数各项系数的概念，是解决问题的关键． 根据二次函数各项的系数填空． 【解析】∵二次函数为， ∴二次项系数为，一次项系数为0，常数项为， ∴，，． 故答案为：，0，． 5．（2020·上海虹口·一模）如果函数是二次函数，那么m= ． 【答案】2． 【分析】直接利用二次函数的定义得出m的值． 【解析】∵函数是二次函数， ∴m2−m＝2，（m−2）（m＋1）＝0， 解得：m1＝2，m2＝−1， ∵m＋1≠0， ∴m≠−1， 故m＝2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，正确得出m的方程是解题关键． 题型2：二次函数的求值 6．（21-22九年级上·上海宝山·期末）已知二次函数，当时，函数的值是 ． 【答案】-1 【分析】将x的值代入计算即可； 【解析】解：当时 ==-1 故答案为：-1 【点睛】本题考查了二次函数的值，正确计算是解题的关键． 7．（2023·上海金山·一模）已知，那么 ． 【答案】3 【分析】根据把自变量的值代入函数解析式，可得相应的函数值． 【解析】解：． 故答案为：3 【点睛】本题考查了函数值，把自变量的值代入函数解析式是解题关键． 8．（20-21九年级上·上海静安·课后作业）当x= 时，二次函数的值为零． 【答案】或2 【分析】令y=0，求方程的解． 【解析】解：令y=0，，，，． 故答案是：或． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是令因变量为零，去解方程，方程不能解错． 题型3：二次函数的解析式（含待定系数法） 9．（18-19九年级·湖南常德·期末）已知二次函数图象经过点(-1，0)，(1，-8)和(3，0)，则它的解析式为 ． 【答案】y=2x2-4x-6 【分析】设交点式解析式y=a(x+1)(x-3)，然后把点(1，-8)代入求出a的值即可． 【解析】解：设抛物线解析式y=a(x+1)(x-3)， 点(1，-8)代入得，a(1+1)(1-3)=-8， 解得a=2， 所以，y=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6， 故答案为y=2x2-4x-6， 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，设交点式解析式求解更简便． 10．（24-25九年级上·河南三门峡·阶段练习）已知抛物线与的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是的抛物线解析式是 ． 【答案】 【分析】由抛物线的顶点坐标为，可设抛物线解析式为，再根据题意确定出a的值即可. 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据所给条件灵活选用恰当的方法设出解析式是解题的关键. 【解析】解：由抛物线的顶点坐标为，可设抛物线解析式为， ∵抛物线与的图象形状相同，但开口方向不同， ∴， ∴该抛物线的解析式为． 故答案为：． 11．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知抛物线顶点位于第三象限内，且其开口向上，请写出一个满足上述特征的抛物线的表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的解析式，先写出符合条件的二次函数的顶点式，然后化为一般式解题． 【解析】解：抛物线的表达式为：， 故答案为：．（答案不唯一） 12．（24-25九年级上·上海·阶段练习）抛物线关于原点对称的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数解析式，关于原点对称的点坐标的特征．熟练掌握二次函数解析式，关于原点对称的点坐标的特征是解题的关键． 设抛物线关于原点对称的抛物线上的点坐标为，则在抛物线上，，整理作答即可． 【解析】解：设抛物线关于原点对称的抛物线上的点坐标为， ∴在抛物线上， ∴， 整理得，， ∴抛物线关于原点对称的抛物线的解析式为， 故答案为：． 题型4：写出二次函数的顶点、对称轴等 13．（24-25九年级上·广东珠海·期中）抛物线的顶点坐标是 ；与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，和与y轴的交点坐标．根据顶点式求出顶点坐标，令求出y的值，即可求出抛物线与y轴的交点坐标． 【解析】解：抛物线顶点坐标是； 令， ∴与轴的交点坐标是． 故答案为：，． 14．（24-25九年级上·新疆喀什·期中）抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． 【答案】 向下 直线 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握的图象的性质是解题的关键．根据二次函数解析式，根据可知开口朝下，对称轴为直线，顶点坐标为 【解析】解：二次函数解析式， 开口朝下，对称轴为直线，顶点坐标为． 故答案为：向下；直线；． 15．（24-25九年级上·天津南开·期中）抛物线经过和两点，则该抛物线的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，根据两点的纵坐标相同可知两点关于对称轴对称，据此即可求出答案，熟练掌握利用二次函数的对称性求解函数的对称轴是解题的关键． 【解析】解：∵抛物线经过和两点， ∴两点的纵坐标相同， ∴该抛物线的对称轴为直线， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·上海·期中）抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握对称轴为直线是解题的关键；先化为一般式，再根据对称轴为直线求解即可． 【解析】解：， 对称轴是直线， 故答案为：． 17．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如果抛物线的对称轴是直线，那么b的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴，根据二次函数的对称轴为直线即可解答． 【解析】解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型5：二次函数的平移 18．（24-25九年级上·上海宝山·期中）将二次函数的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图像的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键． 根据“左加右减，上加下减”的法则即可得出结论． 【解析】解：二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2单位后，所得二次函数的解析式为． 故答案为：． 19．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）将抛物线平移，使平移后得到抛物线．则需将原抛物线（    ） A．先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度 B．先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度 C．先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度 D．先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．求得两个抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标的平移规律得到抛物线的平移规律． 【解析】解：抛物线的顶点坐标是， 抛物线的顶点坐标是， 所以将点向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点． 所以需要将原抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线． 故选：D． 20．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如果抛物线向右平移一个单位后，顶点落在抛物线上，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，先根据平移的规律：“左加右减，上加下减”求出平移后的抛物线的解析式，然后求出顶点坐标代入即可求得a的值． 【解析】解：∵将抛物线向右平移一个单位后得到， ∴顶点坐标为， ∵抛物线的顶点落在抛物线上， ∴， ∴． 故答案为：． 21．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线：，将抛物线平移得到抛物线，若两条抛物线，关于直线对称，那么应将抛物线向 平移 个单位． 【答案】 右 5 【分析】主要考查了二次函数图象的平移，平移与轴对称的性质，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．找一个点，经过平移后这个点与直线对称．抛物线与轴的交点为，与点关于直线对称的点是．若将抛物线平移到，则点平移后坐标应为．因此将抛物线向右平移5个单位． 【解析】解：抛物线：， 抛物线对称轴为． 抛物线与轴的交点为． 则与点关于直线对称的点是．． 若将抛物线平移到，并且，关于直线对称，就是要将点平移后与点关于直线对称． 则点平移后坐标应为． ∴将抛物线向右平移5个单位． 故答案为：右，5． 题型6：根据二次函数的图像求参数 22．（22-23九年级上·上海·期中）如果二次函数的图像经过原点，那么 ． 【答案】2 【分析】直接把原点坐标代入二次函数解析式中进行求解即可． 【解析】解：∵二次函数的图像经过原点， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，待定系数法求二次函数解析式，熟知二次函数图象上的点一定满足二次函数解析式是解题的关键． 23．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知抛物线有最高点，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线有最高点，可得，计算求解即可． 【解析】解：∵抛物线有最高点， ∴， 解得，， 故答案为：． 24．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，由二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的，可得抛物线开口向下，进而求解． 【解析】解：二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的， 抛物线开口向下， ∴， ， 故答案为：． 25．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线在直线的左侧部分是下降的，那么常数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了本题考二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据题目中的函数解析式和二次函数的性质确定的取值范围即可． 【解析】解：由题意可知是抛物线的对称轴，该函数在的左侧是下降的 那么该函数的开口向上 26．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如果抛物线的开口向下，且直线不经过第四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图像与性质以及一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【解析】解：抛物线的开口向下， ， 直线不经过第四象限， ， ， 故答案为：． 27．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）若抛物线与轴的交点位于轴的负半轴上，则的值不可能是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数图象与y轴的交点问题.先求出抛物线与轴的交点为，根据与轴的交点位于轴的负半轴上得到不等式，解不等式再进行判断即可. 【解析】解：当时，， ∴抛物线与轴的交点为， ∵抛物线与轴的交点位于轴的负半轴上， ∴ 解得， 选项中只有，即的值不可能是， 故选：A 28．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）已知抛物线，点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，由题意得抛物线的对称轴，进而推出，，据此即可求解 【解析】解：抛物线解析式为， 抛物线的对称轴， 点与点关于该抛物线的对称轴对称， ，， 解得， 故的值等于， 故答案为：． 题型7：二次函数的性质 29．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如果点、是抛物线上的两个点，那么m和n的大小关系是m n（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图象的增减性，得到m与n的大小关系即可． 【解析】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， 即：当时，随增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 30．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知，，都是二次函数的图像上的点，当时，随着的增大而增大，则，，按从小到大顺序排列是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象上点的坐标的特征，先判断抛物线的开口方向和对称轴，再求出函数值即可得到结论． 【解析】解：二次函数的对称轴为： 又当时，随着的增大而增大， 所以，该函数的图象开口向上， ∴， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴ 故答案为：． 31．（24-25九年级上·上海·期中）已知顶点坐标为的抛物线，过点，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题查了利用顶点式求抛物线解析式以及抛物线与x轴的交点，正确画出函数图象是解题关键．先利用顶点式求出二次函数解析式，然后求出图象与x轴交点，再利用抛物线图象得出当函数值时，自变量x的取值范围即可． 【解析】解：设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 令，解得，， ∴抛物线与x轴交于，， ∵， ∴抛物线开口向下， 如图， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 题型8：二次函数与一次函数图像问题 32．（24-25九年级上·四川绵阳·阶段练习）一次函数与二次函数在同一平面直角内坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象综合判断．熟练掌握相关函数的性质，是解题的关键．根据一次函数和二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【解析】解：A、由直线可知，，由抛物线可知：，故，不符合题意； B、由直线可知，，由抛物线可知：，故，符合题意； C、由直线可知，，由抛物线可知：，故，不符合题意； D、由直线可知，，由抛物线可知：，故不符合题意； 故选：B． 33．（24-25九年级上·上海普陀·期中）在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与一次函数的图象的综合判断，根据两个函数的性质和图象的特征，结合选项中的图象逐项判断即可． 【解析】解：当时，，则抛物线过原点，故选项B不符合题意， A、直线中，，，抛物线中，，，即，矛盾，故本选项不符合题意； C、直线中，，，抛物线中，，，即，矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，，抛物线中，，，即，一致，故本选项符合题意； 故选：D． 题型9：二次函数与x轴（与一元二次方程） 34．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）抛物线与x轴有交点，则m范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的定义，二次函数与x轴有交点，那么与二次函数对应的一元二次方程有实数根，据此根据一元二次方程的判别式结合二次项系数不为0进行求解即可． 【解析】解：∵抛物线与x轴有交点， ∴， ∴且， 故答案为：且． 35．（24-25九年级上·上海·阶段练习）抛物线与x轴的两个交点之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．令，可以求得相应的x的值，从而可以求得抛物线与x轴的交点坐标，进而求得抛物线与x轴两个交点之间的距离． 【解析】解：∵抛物线， ∴当时，， 解得：，． ∵， ∴抛物线与x轴两个交点之间的距离为5． 故答案为：． 题型10：图表数据题 36．（24-25九年级上·上海宝山·期中）二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则m的值为 ． 0 1 2 3 4 7 2 2 7 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，熟练掌握用待定系数法求出二次函数的解析式的方法是解题的关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解． 【解析】解：把点代入，得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，． 故答案为：． 37．（2020·上海奉贤·一模）已知二次函数的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 3 4 5 … y … … 关于它的图象，下列判断正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．一定经过点 D．在对称轴左侧部分自左至右是下降的 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的解析式，由表格中点，，可知抛物线的对称轴为直线．设抛物线的解析式为，将，分别代入，可解得，再进一步解答即可． 【解析】解：∵点，在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线． 设抛物线的解析式为，将，分别代入， ， 可解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分自左至右是上升的． 将代入，得． 故选C． 题型11：二次函数的实际应用 38．（23-24九年级上·上海浦东新·期末）在一个边长为3的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩余部分的面积大正方形的面积小正方形的面积，即可得出关于的函数解析式． 【解析】解：根据题意得：关于的函数解析式是， 即． 故答案为：． 39．（2024·内蒙古赤峰·二模）公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．现要使水柱落点距O点，则喷头高应调整为 m． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设抛物线形水柱解析式为，将代入解析式得出①；喷头高时，可设抛物线形水柱解析式为；将代入解析式得②，联立①②可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距O点，则此时的解析式为，将代入求解，即可解题． 【解析】解：由题知，喷头高时，水柱落点距O点； 设抛物线形水柱解析式为， 则①， 喷头高时，水柱落点距O点．且抛物线形水柱竖直上下平移， 这时抛物线形水柱解析式为， 则②， 联立①②解得，， 设喷头高应调整为米， 调整后抛物线形水柱解析式为， 要使水柱落点距O点， 过点， 即， 解得， 故答案为：． 题型12：根据二次函数图像确定代数式的符号 40．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如图所示：抛物线的对称轴是直线，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴的负半轴可得，再根据对称轴可得，由此即可判断A错误，D正确；根据当时，可判断C错误；根据当时，可判断B错误． 【解析】解：∵抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴的负半轴， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即，选项D正确； ∴，则选项A错误； 由图象可知，当时，， ∴， ∴，选项C错误； 由图象可知，当时，， ∴，选项B错误； 故选：D． 41．（24-25九年级上·上海·阶段练习）二次函数的图象如图所示，顶点坐标，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④点是抛物线上任意一点，则，其中，正确的结论是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质及其与一元二次方程的关系．由抛物线与轴有两个交点可判断①；由对称轴以及抛物线与轴的交点可判断②；关于的一元二次方程没有实数根，即关于的二次函数与直线没有交点，据此可判断③；由函数顶点坐标，得有最大值，进而得，，即可判断④． 【解析】解：∵抛物线与轴有两个交点，则， ∴故①正确； 根据题意可得：，， ∵顶点坐标， ∴， ∴， ∴故②错误； 由关于的一元二次方程没有实数根，可知， ∴抛物线图象与的图象没有交点，则，故③正确； ∵顶点坐标， ∴当是，有最大值， ∵点是抛物线上任意一点， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 42．（24-25九年级上·上海青浦·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④（为任意实数）；⑤若，，是抛物线上三点，则；⑥关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的个数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系并数形结合是解题的关键． 由图象可知，，对称轴为直线，即，当时，最小，当时，随的增大而减小，当时，，则，可判断①的正误；当时，，可判断②的正误；当时，，可判断③的正误；由，可得（为任意实数），可判断④的正误；关于对称轴对称的点坐标为，由，可得，可判断⑤的正误；由题意知，，有两个不同的交点，即关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；可判断⑥的正误． 【解析】解：由图象可知，，对称轴为直线，即， 当时，最小， 当时，随的增大而减小， 当时，， ∴，①正确，故符合要求； 当时，，②正确，故符合要求； 当时，，③错误，故不符合要求； ∵， ∴（为任意实数），④正确，故符合要求； 关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴，⑤正确，故符合要求； 由题意知，，有两个不同的交点，即关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；⑥正确，故符合要求； 故选：B． 题型13：新定义题 43．（24-25九年级上·上海·阶段练习）对于一个二次函数（、、是常数）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，先化为顶点式，求得、，然后根据题中定义解方程求得值，进而可求解． 【解析】解：由得， 设，则， ∵， ∴， 即 解得，或（不合题意，舍去）， ∴抛物线的“开口大小”为， 故答案为：． 44．（2024九年级下·上海·专题练习）定义：将两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”．如果抛物线与抛物线的“和谐值”为2，试写出一个符合条件的函数解析式： ． 【答案】．（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是理解题意，掌握二次函数图象的平移规律．抛物线向上或向下平移2个单位求解． 【解析】解：将抛物线向上平移2个单位可得抛物线， 故答案为：． 45．（23-24九年级下·上海崇明·期中）新定义：我们把抛物线，（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，抛物线的顶点为P，且抛物与x轴相交于M、N两点，点P关于x轴的对称点为Q，若四边形是正方形，那么抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线新定义问题，正确理解定义，熟练掌握平行坐标轴直线上两点间距离计算方式是解题的关键．根据定义，得到抛物线的表达式，然后利用公式求出顶点坐标和对称点坐标，根据四边形是正方形求出距离，然后利用两点间距离公式和一元二次方程根与系数的关系求出的值，即可求解． 【解析】解： ， “关联抛物线”为：， 设抛物线的顶点，则 ，， 抛物线的顶点， 点P关于x轴的对称点， 连接交轴于，如图所示， 四边形是正方形， ， ， 设抛物线：与轴交点，，，即为方程的根， 则，， ， 解得， 抛物线的表达式为，即， 故答案为：． 题型14：解答题（难度：第21题） 46．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知二次函数 (1)用配方法把这个二次函数化为顶点式的形式，并写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)将这条抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位．直接写出平移后新抛物线的表达式：________． 【答案】(1)，对称轴是直线，顶点坐标 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键． （1）先化为一般式，再配方化为顶点式，然后写出数图象的对称轴和顶点坐标； （2）按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【解析】（1）解：∵ ， ∴对称轴是直线，顶点坐标； （2）解：这条抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得 ． 47．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知抛物线经过、、三点． (1)求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点的坐标； (2)该抛物线经过平移后得到新抛物线，求原抛物线平移的方向和距离． 【答案】(1)抛物线的解析式为，抛物线的顶点的坐标为； (2)原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析，二次函数的平移． （1）根据题意设抛物线的解析式为，将代入求解即可，再配成顶点式，即可写出顶点的坐标； （2）先求得新抛物线顶点的坐标为，利用平移的性质即可求解． 【解析】（1）解：∵抛物线经过、， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点的坐标为； （2）解：∵， ∴新抛物线顶点的坐标为， ∵抛物线的顶点的坐标为， ∴原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线． 48．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知抛物线的顶点为，它与轴的交点为． (1)求线段的长； (2)平移该抛物线，使其顶点在轴上，且与轴两交点间的距离为4，求平移后所得抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的配方求顶点和待定系数法求函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． （1）求出顶点和与轴的交点坐标，利用两点间距离公式解题即可； （2）先设解析式为，然后写出与轴两交点的坐标，代入计算即可． 【解析】（1）解：， ∴顶点的坐标为， 当时，， ∴点B的坐标为， ∴； （2）解：设平移后的解析式为， ∵与轴两交点间的距离为4， ∴与轴两交点为和， 把代入得， 解得， ∴平移后所得抛物线的表达式为． 49．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道的长为米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于的函数关系式（结果保留），并写出定义域： (2)当直道为________米时，足球场的面积最大． 【答案】(1)；定义域为 (2)当直道为100米时，足球场的面积最大 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可得足球场的宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解； （2）根据（1）中的函数关系式可进行求解． 【解析】（1）解：由题意得： ； ∵， ∴； ∴S关于的函数关系式为；定义域为； （2）解：由（1）可知： ， ∵， ∴当直道为100米时，足球场的面积最大． 50．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）已知平面直角坐标系，抛物线经过点和两点. (1)求抛物线的表达式； (2)如果将这个抛物线向右平移个单位，得到新抛物线经过点，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解以及二次函数的平移，注意计算的准确性即可． （1）将点和代入即可求解； （2）由（1）得，设平移后的抛物线表达式为，将点代入即可求解． 【解析】（1）解：将点和代入得： 解得 ∴抛物线的表达式是：. （2）解：由（1）配方得： 根据题意可设平移后的抛物线表达式为 ∵经过点； ∴ 解得：， ∵ ∴. 51．（2020·上海虹口·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线C1：y＝x2﹣2x向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线C2． （1）求新抛物线C2的表达式； （2）如图，将△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′，点A（0，5）的对应点A′落在平移后的新抛物线C2上，求点B与其对应点B′的距离． 【答案】（1）y＝（x+1）2﹣4；（2）4个单位． 【分析】（1）根据平移规律“左加右减，上加下减”解答； （2）把y＝5代入抛物线C2求得相应的x的值，即可求得点A′的坐标，根据平移的性质，线段AA′的长度即为所求． 【解析】解： （1）由抛物线C1：y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1知，将其向左平移2个单位，向下平移3个单位得到新抛物线C2的表达式是：y＝（x﹣1+2）2﹣1﹣3，即y＝（x+1）2﹣4； （2）由平移的性质知，点A与点A′的纵坐标相等， 所以将y＝5代入抛物线C2，得（x+1）2﹣4＝5，则x＝﹣4或x＝2（舍去） 所以AA′＝4， 根据平移的性质知：BB′＝AA′＝4，即点B与其对应点B′的距离为4个单位． 【点睛】本题主要考查了平移的性质、二次函数的图象和性质，掌握平移的性质、二次函数的图象和性质是解题的关键. 52．（23-24九年级上·上海松江·期末）二次函数的图像上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表． x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 ? 3 … (1)由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图像的顶点D的坐标； (2)如果该二次函数图像与y轴交于点A，点是图像上一点，求的面积． 【答案】(1)，顶点D的坐标为 (2) 【分析】本题考查二次函数的解析式，二次函数的图像和性质，掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求出函数解析式，并配方找到顶点坐标即可； （2）求出直线的解析式，过点D作轴交于点E，得到点E的坐标，根据计算即可． 【解析】（1）解：把、、代入得： ，解得， ∴函数关系式为：， ， ∴顶点D的坐标为； （2）解：当时，， ∴点P的坐标为， 设直线的解析式为，把点和代入得： ，解得：， ∴解析式为， 过点D作轴交于点E， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$