专题07 解直角三角形及其应用（期中真题汇编，上海专用）九年级数学上学期沪教版上海

专题07 解直角三角形及其应用（期中真题汇编，上海专用） 5大高频考点概览 考点01 解直角三角形的相关计算 考点02 仰角俯角问题 考点03 方位角问题 考点04 坡度坡比问题 考点05 其他问题 地 城 考点01 解直角三角形的相关计算 一、填空题 1．(24-25九上·上海临港实验中学·期中)如果在等腰中，，那么底角的正弦值为 ． 2．(24-25九上·上海民办华曜宝山实验学校·期中)在锐角中，，那么 3．(24-25九上·上海民办华曜宝山实验学校·期中)在中， 如果，那么的重心到顶点A的距离为 ． 4．(24-25九·上海梅陇中学·期中)如图，在中，．将绕着点顺时针旋转后，点恰好落在直线上的点处，点落在点处，射线与直线相交于点，那么 ． 5．(24-25九上·上海宝山实验学校·期中)如图，已知在矩形中，连接，，将矩形绕点C旋转，使点B恰好落在对角线上的点处，点A、D分别落在点处，边分别与边交于点M、N，，那么线段的长为 ． 6．(24-25九上·上海宝山实验中学·期中)如图，在中，，，分别在上，点沿翻折后正好落在射线的点处，射线交射线于点，当时，则 ． 二、解答题 7．(24-25九上·上海西南模范中学·期中)如图，已知在中，，垂足为点D，，点E是边的中点． (1)求边的长； (2)求的值． 8．(24-25九上·上海静安区彭浦初级中学·期中)如图，点在直角边上，，，，求的余切值． 9．(24-25九上·上海宝山实验中学·期中)如图1，已知锐角的正切值等于3，中，，点D在的边上，点P在内，，．直线l经过点P，并绕点P旋转，交射线于点A，交射线于点C．设． (1)求时，点A到的距离； (2)设的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当因l的旋转成为等腰三角形时，求x的值． 10．(24-25九上·上海民办上宝中学·期中)如图，已知正方形，点H是边上的一个动点（不与点B、C重合），点E在上，满足，延长交于点F． (1)求：； (2)点M、N分别是边、的中点，已知点P在线段上，连结、，此时，求：； (3)连结．如果是以为腰的等腰三角形，求的正切值． 地 城 考点02 仰角俯角问题 一、填空题 1．(23-24九上·上海曹杨第二中学附属学校·期中)如图，一束平行的光线从班级教室窗户射入教室，测得光线与教室地面的所成的夹角，如果窗户的高在地面的影长米，那么窗户的高的长为 米．    2．(23-24九上·上海复旦五浦汇实验学校·期中)小明在山坡顶向下看一座农舍的俯角为，如果农舍与山坡底部相距50米，那么山坡的高为 米． 二、解答题 3．(23-24九上·上海罗星中学·期中)如图，在路边安装路灯，灯柱高10m，与灯杆的夹角为．路灯采用锥形灯罩，照射范围长为，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为，．求：    (1)路灯A离地面的高度（即点A到地面的距离）； (2)灯杆的长度．（参考数据：，） 4．(24-25九上·上海浦东新区·期中)如图，在大楼的正前方有一斜坡，米，斜坡的坡度为，高为，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为，其中A、C、E在同一直线上． (1)求的长度； (2)求大楼的高度．（参考数据：，） 5．(24-25九上·上海奉贤区·期中)如图，斜坡的坡度为，坡长为26米，在坡顶处的同一水平面上有一座古塔，在斜坡底处测得该塔的塔顶的仰角为，在坡顶处测得该塔的塔顶的仰角为．求：    (1)坡顶到地面的距离； (2)古塔的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，） 地 城 考点03 方位角问题 一、单选题 1．(24-25九上·上海华育中学·期中)如图，一艘货轮向正北方航行，在点处测得灯塔在北偏西方向，货轮以每小时海里速度航行分钟后正好到达灯塔的正东方向处，问此时货轮与灯塔的距离（   ）海里． A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25九上·上海浦东新区建平中学西校·期中)如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路上有、两个游船码头，观光岛屿在码头的北偏东方向、在码头的北偏西方向，千米那么码头、之间的距离等于 千米结果保留根号 三、解答题 3．(24-25九上·上海华育中学·期中)如图，一艘军舰以每小时海里的速度向东北方向北偏东航行，在处观测灯塔在军舰的北偏东的方向，航行分钟后到达处，这时灯塔恰好在军舰的正东方向．已知距离此灯塔海里以外的海区为航行安全区域，这艘军舰是否可以继续沿东北方向航行？请说明理由．（参考数据：，，，，，）    4．(24-25九上·上海兰生中学·期中)木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 5．(23-24九上·上海闵行区·期中)如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东方向上，且A，P之间的距离为32海里．    (1)若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？ (2)如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自A处开始改变航行方向，沿南偏东度方向航行确保安全通过这一海域，求的取值范围． 地 城 考点04 坡度坡比问题 一、单选题 1．(24-25九上·上海·期中)如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（   ）    A．4米 B．米 C．米 D．米 2．(24-25九·上海梅陇中学·期中)如果斜坡的坡比为，那么斜坡的坡角等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25九上·上海闵行区多校·期中)若某人沿斜坡向上行走了17米，上升高度为8米，则此斜坡的坡度 ． 4．(24-25九上·上海闵行区浦江第一中学·期中)小明沿斜坡坡面向上前进了5米，垂直高度上升了1米，那么这个斜坡的坡比是 ． 根据题意可得：， 根据勾股定理可得：， ∴这个斜坡的坡比， 故答案为：． 5．(24-25九·上海青浦区五浦汇实验学校·期中)有一斜坡的坡角为，坡长为米，那么斜坡的高为 ． 6．(24-25九上·上海民办立达中学·期中)如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若某物体被传送带从地面点A处经过20米传送到B处，则该物体被抬高了 米． 7．(24-25九上·上海西南模范中学·期中)如图所示为某地修建的一座建筑物的横截面（横截面为梯形），高，坡面的坡度为，则的长度为 m． 8．(24-25九上·上海临港实验中学·期中)已知一斜坡的高度为4米，坡长为5米．则坡比为 ． 9．(24-25九上·上海民办华曜宝山实验学校·期中)某滑雪运动员沿着坡比为的斜坡滑行了350米，那么他身体下降的高度为 米． 10．(24-25九上·上海民办尚德实验中学·期中)某人沿一斜坡行走，发现每走3米，则在铅锤方向上上升了1米，那么这个斜坡的坡度为 ． 三、解答题 1．(24-25九上·上海闵行区航华中学·期中)某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为10m，从顶棚的处看处的仰角，竖直的立杆上、两点间的距离为处到观众区底端处的水平距离为3m，求：顶棚的处离地面的高度．（，结果精确到0.1m） 地 城 考点05 其他问题 一、单选题 1．(24-25九上·上海新北郊初级中学·期中)如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（   ）米 A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25九上·上海临港实验中学·期中)如图，为了测量河宽（假设河的两岸平行），测得，，米，则河宽为 米（结果保留根号）． 3．(24-25九上·上海浦东新区建平中学西校·期中)在中，，，．点是边上一点，交边于点，点、分别在线段、上，，，联结，若与相似，则的长为 ． 4．(24-25九上·上海静安区继续教育学校附属学校·期中)如图，太阳与地面成的角，一棵倾斜的大树与地面成角，这时大树在地面的影长约为10米，则此大树约为 米． 三、解答题 5．(24-25九上·上海华东师范大学第二附属中学附属初级中学·期中)小华家准备购买一套新房，经过考察小华家发现有的房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距，以增加住宅楼栋数．某市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼，国家规定普通住宅层高宜为2.80米．如果楼间距过小，将影响其他住户的采光（如图所示，窗户高1.3米）．    (1)某市的太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）：夏至日为81.4度，冬至日为34.88度．为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？（保留到0.1米） (2)小华一家决定在该小区中、两栋楼中选择一套进行购买，现向售楼中心咨询得到如下信息： 1．、两栋楼中各套房子的面积均为． 2．、、三栋楼平行排列，楼在楼正南方且间距68米，楼在楼的正南方且间距76米． 3．楼一层每平方米4万8，随着楼层增高单价也随之增高；楼一层每平方米5万，随着楼层增加单价也随之增高． 若小华家预算有限，但又希望全年光照充足．那你是否能结合计算出的相关数据，给小华家一些选购建议 （本题参考值：，，；，，） 6．(24-25九上·上海民办立达中学·期中)材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： (1)求的正弦值； (2)求的长（结果精确到，参考数据：，，）． 7．(24-25九上·上海民办华曜宝山实验学校·期中)如图，某公园内有一座古塔，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为 此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子． 中午12时太阳光线与地面的夹角为，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上） ，求塔的高度  （结果精确到0.01米）参考数据  ． 8．(24-25九上·上海新北郊初级中学·期中)根据以下素材，探索完成任务：，结果精确到0.1cm） 素材1：如图1是上海地铁里常见的一组通道闸机，当乘客扫码或刷卡后，闸机两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图2是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，，半径，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为． 素材2：小磊同学要携带如图3的长方体行李箱进站．（单位：） 问题解决 任务1 确定宽度 求闸机通道的宽度，即与之间的距离． 任务2 确定高度 若点B、E到地面的距离均为，求点A到地面的距离． 任务3 能否通过 小磊同学的行李箱是否可以通过闸机？请说明理由． 9．(24-25九上·上海青浦区毓秀学校·期中)图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．（参考数据：） (1)当时，求点离地的距离约为多少分米：（结果精确到0.1） (2)当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点绕点随之旋转至上的点处，则______． 10．(24-25九上·上海临港实验中学·期中)小华家准备购买一套新房，经过考察小华家发现有的房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距，以增加住宅楼栋数．某市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼，国家规定普通住宅层高宜为2.80米．如果楼间距过小，将影响其他住户的采光（如图所示，窗户高1.0米）．    (1)某市的太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）：夏至日为81.4度，冬至日为34.88度．为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？（保留到0.1米） (2)小华一家决定在该小区B、C两栋楼中选择一套进行购买，现向售楼中心咨询得到如下信息： 1．B，C两栋楼中各套房子的面积均为． 2．三栋楼平行排列，楼在楼正南方且间距68米，楼楼的正南方且间距76米． 3．楼一层每平方米4万8，随着楼层增高单价也随之增高，每增加一层单价增高0.2万元；楼一层每平方米5万，随着楼层增加单价也随之增高．每增加一层单价也增高0.2万元． 请你帮小华家计算一下，在确保全年光照充足情况下，如何购买费用最少？并求出最少费用？ （本题参考值：，，） 2 / 52 1 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 解直角三角形及其应用（期中真题汇编，上海专用） 5大高频考点概览 考点01 解直角三角形的相关计算 考点02 仰角俯角问题 考点03 方位角问题 考点04 坡度坡比问题 考点05 其他问题 地 城 考点01 解直角三角形的相关计算 一、填空题 1．(24-25九上·上海临港实验中学·期中)如果在等腰中，，那么底角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值，也考查了等腰三角形的性质．过A作于D点，根据等腰三角形的性质得到，由勾股定理求出，而，在中，根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：过A作于D点，如图， ， ， ∴． 在中， ， 故答案为：．    2．(24-25九上·上海民办华曜宝山实验学校·期中)在锐角中，，那么 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，过点作，根据，得到，勾股定理求出，再根据正弦的定义进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作，则：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．(24-25九上·上海民办华曜宝山实验学校·期中)在中， 如果，那么的重心到顶点A的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，重心的性质，过点作，根据余弦的定义，得到，勾股定理求出，根据重心的性质，进行求解即可． 【详解】解：过点作，设重心为点，如图，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为4． 4．(24-25九·上海梅陇中学·期中)如图，在中，．将绕着点顺时针旋转后，点恰好落在直线上的点处，点落在点处，射线与直线相交于点，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质及解直角三角形，熟知图形旋转的性质及正切的定义是解题的关键．根据题意画出示意图，对点在延长线和延长线上的情况进行分类，再结合正切的定义进行计算即可解决问题． 【详解】解：当点在延长线上时，如图所示， 过点作的垂线，垂足为， ，， ， ， ． 令 由旋转可知，，， ，． 在中， 解得： 在中， 同理可得， 当点在延长线上时， 综上所述， 故答案为：． 5．(24-25九上·上海宝山实验学校·期中)如图，已知在矩形中，连接，，将矩形绕点C旋转，使点B恰好落在对角线上的点处，点A、D分别落在点处，边分别与边交于点M、N，，那么线段的长为 ． 【答案】15 【分析】连接，作于，设，，则，由旋转的性质可得：，，，证明，得出，由勾股定理得出，推出，证明，求出，，得到，证明，得出，求出，结合得到关于的方程，求出的值即可得解． 【详解】解：如图，连接，作于， 四边形为矩形， ，，， ， 设，， ，， ， 由旋转的性质可得：，，， ，， ， ∴ ， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ，， ， ，， ∴ ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 6．(24-25九上·上海宝山实验中学·期中)如图，在中，，，分别在上，点沿翻折后正好落在射线的点处，射线交射线于点，当时，则 ． 【答案】或 【分析】过点作于，解得，则，依题意有以下两种情况：当点在线段上时，则点在的延长线上，则，由翻折性质得，，，解得，则，设，，则，，证明和相似，利用相似三角形的性质求出，则，，由此可得 ；当点在的延长线上时，则点在线段上， 则，同理得，，，解得，则，设设，，则 ，， 同理证明和相似，利用相似三角形的性质求出，则 ，，由此可得，综上所述即可得的值． 【详解】解：过点作于，如图所示， ∵， ∴，，即， 在中，， ∴， ∴， 依题意有以下两种情况： 当点在线段上时，则点在的延长线上，如图所示， ∵，， ∴， 由翻折的性质得：是的垂直平分线， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，， ∴，， ∵，，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， 由，得， 由，得， ∴ 解得：， ∴，， ∴， 当点在的延长线上时，则点在线段上，如图所示， ∵，， ∴， 同理：，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴，， 同理证明：， ∴， ∴， 由，得， 由，得， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了图形的翻折变换及其性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，理解图形的翻折变换及其性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数和相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键． 二、解答题 7．(24-25九上·上海西南模范中学·期中)如图，已知在中，，垂足为点D，，点E是边的中点． (1)求边的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定： （1）解直角三角形求出，再利用勾股定理求出即可； （2）过点E作于点H．求出，，可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点E作于点H． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵E是边的中点． ∴， ∴，， ∴， ∴． 8．(24-25九上·上海静安区彭浦初级中学·期中)如图，点在直角边上，，，，求的余切值． 【答案】2 【分析】本题考查了解直角三角形、相似三角形的性质与判定、勾股定理，掌握锐角三角函数的定义，学会添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．作交于点，根据正切的定义得到，利用勾股定理得到，通过证明得到、的长，再利用余切的定义即可解答． 【详解】解：如图，作交于点， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ，， ， 在中，， 的余切值为2． 9．(24-25九上·上海宝山实验中学·期中)如图1，已知锐角的正切值等于3，中，，点D在的边上，点P在内，，．直线l经过点P，并绕点P旋转，交射线于点A，交射线于点C．设． (1)求时，点A到的距离； (2)设的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)当因l的旋转成为等腰三角形时，求x的值． 【答案】(1)点A到的距离为； (2)； (3)为等腰三角形时，或或． 【分析】此题是几何变换的综合题，主要考查相似三角形的判定和性质和锐角三角函数，由相似三角形的性质建立方程是解本题的关键． （1）由得到，推出，即可求解； （2）由得到，再由，比例式表示出，，即可； （3）为等腰三角形时，分三种情况①，②，③利用，建立方程即可求解． 【详解】（1）解：如图1， 过点A作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图2， 过点C作， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时， ， ∴， ∴为等腰三角形时，或或． 10．(24-25九上·上海民办上宝中学·期中)如图，已知正方形，点H是边上的一个动点（不与点B、C重合），点E在上，满足，延长交于点F． (1)求：； (2)点M、N分别是边、的中点，已知点P在线段上，连结、，此时，求：； (3)连结．如果是以为腰的等腰三角形，求的正切值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）由正方形的性质得 ，，则，所以，，则，所以，进而得到，即可得到的值； （2）连接交于点，作，，设正方形的边长为2， 根据题意可得到，为等腰直角三角形，所以，由直角三角形中线的性质可得，在中，由勾股定理得：，可求出，在中，由勾股定理求出，进而得到，在中，由勾股定理求出，由平行线的性质得到，从而得到，代入即可得到答案； （3）分两种情况：①，则，可推出，所以，作于点，可证明，所以，则，可求得，在上取一点，连接，使，则，所以，，；②，则，可证明点在正方形的对角线上，则，求得，则，进而证明，得到，可证明，则，即可求得． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：由题可得，连接交于点，作，，如图： 设正方形的边长为2， ∵点M、N分别是边、的中点， ∴为等腰直角三角形， ∴，, ∵， ∴, ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴． （3）解：由题可得，①当是等腰三角形，且，如图： ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在上取一点，连接，使，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ②是等腰三角形，且，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在正方形的对角线上， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：的正切值为或． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，平行线分线段成比例定理，勾股定理，锐角三角函数与解直角三角形，数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，熟练掌握正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数和数形结合是解题的关键． 地 城 考点02 仰角俯角问题 一、填空题 1．(23-24九上·上海曹杨第二中学附属学校·期中)如图，一束平行的光线从班级教室窗户射入教室，测得光线与教室地面的所成的夹角，如果窗户的高在地面的影长米，那么窗户的高的长为 米．    【答案】/ 【分析】根据题意得出相关角度，再设得出，利用光线平行得出对应比例成立求解即可． 【详解】解：由已知得，得 设，有，， 由题意得， 得，解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行的性质即对应线段成比例，根据已知线段求得关联线段，巧妙解方程是解题的关键． 2．(23-24九上·上海复旦五浦汇实验学校·期中)小明在山坡顶向下看一座农舍的俯角为，如果农舍与山坡底部相距50米，那么山坡的高为 米． 【答案】/ 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，根据题意画出图形，根据含的直角三角形的性质以及勾股定理解得即可． 【详解】解：根据题意画出图形，点代表山坡，点代表农舍， 由题意知，， ， ， 在中，， ， 解得． 故答案为：米． 二、解答题 3．(23-24九上·上海罗星中学·期中)如图，在路边安装路灯，灯柱高10m，与灯杆的夹角为．路灯采用锥形灯罩，照射范围长为，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为，．求：    (1)路灯A离地面的高度（即点A到地面的距离）； (2)灯杆的长度．（参考数据：，） 【答案】(1)路灯A离地面的高度为 (2)灯杆的长度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定和性质． （1）过点作，设，则：，在中，表示出的长，在，利用，列出方程求解即可； （2）过点作，易得四边形为矩形，得到，进而求出的长，再利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可． 【详解】（1）解：过点作，则：，    设，则：， 在中，，则：， 在中，，则：， ∴，解得：， ∴； 答：路灯A离地面的高度为； （2）过点作，    ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 答：灯杆的长度为． 4．(24-25九上·上海浦东新区·期中)如图，在大楼的正前方有一斜坡，米，斜坡的坡度为，高为，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为，其中A、C、E在同一直线上． (1)求的长度； (2)求大楼的高度．（参考数据：，） 【答案】(1)米； (2)34米； 【分析】（1）根据在大楼的正前方有一斜坡，米，坡度为，高为，可以求得的高度； （2）根据锐角三角函数和题目中的数据可以求得大楼的高度． 【详解】（1）解：∵在大楼的正前方有一斜坡，米，坡度为， ∴， 设米，则米， ∴， 解得， ∴，， 即米，米， 故斜坡的高度是5米； （2）解：∵，，米，米， ∴，， 解得，米，米， 即大楼的高度是34米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用坡度和锐角三角函数解答问题． 5．(24-25九上·上海奉贤区·期中)如图，斜坡的坡度为，坡长为26米，在坡顶处的同一水平面上有一座古塔，在斜坡底处测得该塔的塔顶的仰角为，在坡顶处测得该塔的塔顶的仰角为．求：    (1)坡顶到地面的距离； (2)古塔的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，） 【答案】(1)10米 (2)19米 【分析】（1）延长交于点，过点作，由题意可得，设，，利用勾股定理建立方程求解即可； （2）在中，，设，，，，根据求解即可． 【详解】（1）解：如图，延长交于点，过点作，    由题意可知：，，． 在中，， 设，， ， ． ，． 答：坡顶到地面的距离为10米． （2）解：在中，， 设，，则，， 在中，， ， ． 经检验，是原方程的解且符合题意， ． 答：古塔的高度约为19米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡比问题和仰俯角问题，根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键． 地 城 考点03 方位角问题 一、单选题 1．(24-25九上·上海华育中学·期中)如图，一艘货轮向正北方航行，在点处测得灯塔在北偏西方向，货轮以每小时海里速度航行分钟后正好到达灯塔的正东方向处，问此时货轮与灯塔的距离（   ）海里． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解直角三角的应用，正确识别图形是解题的关键．根据题意得到，，，再根据三角函数的定义求值即可． 【详解】根据题意可得，， ， （海里）， 此时货轮与灯塔的距离海里， 故选：C． 二、填空题 2．(24-25九上·上海浦东新区建平中学西校·期中)如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路上有、两个游船码头，观光岛屿在码头的北偏东方向、在码头的北偏西方向，千米那么码头、之间的距离等于 千米结果保留根号 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形的应用——方向角问题，解题的关键是构造直角三角形．过点作于点，在中根据三角函数求出、的值，再在中求出，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点． 在中，， ，， 在中，， ， ． 码头，之间的距离是． 故答案为：． 三、解答题 3．(24-25九上·上海华育中学·期中)如图，一艘军舰以每小时海里的速度向东北方向北偏东航行，在处观测灯塔在军舰的北偏东的方向，航行分钟后到达处，这时灯塔恰好在军舰的正东方向．已知距离此灯塔海里以外的海区为航行安全区域，这艘军舰是否可以继续沿东北方向航行？请说明理由．（参考数据：，，，，，）    【答案】可以，见解析 【分析】过点作，交的延长线于点，依题意可得：（海里），，，，设海里，则利用解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：可以，理由如下： 过点作，交的延长线于点，    依题意得：，，海里 ∴， 设海里， 在直角中，， 在直角中，， ， ， ， ， 可以继续沿东北方向航行． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用方向角问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意能借助于方向角构造直角三角形并解此直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用． 4．(24-25九上·上海兰生中学·期中)木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．    航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)填空：________，________， ________海里； (2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明． （参考数据：） 【答案】(1)30；75；5 (2)该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区 【分析】本题主要考查了方位角的计算，解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理： （1）根据方位角的描述和三角形内角和定理可求出两个角的度数，根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段的长度； （2）设海里，先解得到，再解得到海里，海里，据此可得，解得海里；证明，则海里；再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点P作于D， 由题意得， ， ∴； ∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B， ∴海里． （2）解：设海里， 在中，海里， 在中，海里，海里， ∵， ∴， 解得， ∴海里， ∵， ∴， ∴海里； 上午9时时，船距离A的距离为海里， ∵， ∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区． 5．(23-24九上·上海闵行区·期中)如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东方向上，且A，P之间的距离为32海里．    (1)若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？ (2)如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自A处开始改变航行方向，沿南偏东度方向航行确保安全通过这一海域，求的取值范围． 【答案】(1)有危险 (2)时，轮船能安全通过这一区域 【分析】（1）过P作于B，则的长是A沿方向距离P点的最短距离，求出最短距离，再比较比较即可； （2）设轮船沿南偏东航向是射线，过点P作于D，利用特殊角的三角函数值确定答案． 【详解】（1）解：过点P作轮船航线于B，则的长是A沿方向距离P点的最短距离， 由题意得，， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， 答：若轮船继续向正东方向航行有触礁危险． （2）解：设轮船沿南偏东航向是射线，过点P作于D， 当时，角的度数最大， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴沿南偏东最大角度为方向航行确保安全通过这一海域， 即时，轮船能安全通过这一区域． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是如何构造直角三角形并知道求哪一条线段的长． 地 城 考点04 坡度坡比问题 一、单选题 1．(24-25九上·上海·期中)如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（   ）    A．4米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，解决问题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 【详解】解：过点B作于点C， ∵传送带和地面所成斜坡的坡度为，米 ∴ ， ∴米， 在中，， 由勾股定理得米 ， 故选：D．    2．(24-25九·上海梅陇中学·期中)如果斜坡的坡比为，那么斜坡的坡角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角函数的应用，掌握特殊角的正切值是解题的关键．坡角的正切值等于坡比，即可求解． 【详解】解：设斜坡的坡角为，依题意， ∴斜坡的坡角等于 故选：A． 二、填空题 3．(24-25九上·上海闵行区多校·期中)若某人沿斜坡向上行走了17米，上升高度为8米，则此斜坡的坡度 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形，先利用勾股定理求得水平距离，再根据铅垂距离水平距离求解即可． 【详解】解：如图，在中，， 由题意，米，米， ∴， ∴， 故答案为：． 4．(24-25九上·上海闵行区浦江第一中学·期中)小明沿斜坡坡面向上前进了5米，垂直高度上升了1米，那么这个斜坡的坡比是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求正切值，勾股定理，解题的关键是掌握坡比等于坡角的正切值，先根据勾股定理求出前进的水平距离，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意可得：， 根据勾股定理可得：， ∴这个斜坡的坡比， 故答案为：． 5．(24-25九·上海青浦区五浦汇实验学校·期中)有一斜坡的坡角为，坡长为米，那么斜坡的高为 ． 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．熟练掌握是解题的关键． 如图，由题意知，，，则，计算求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， ∴， 故答案为：米． 6．(24-25九上·上海民办立达中学·期中)如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若某物体被传送带从地面点A处经过20米传送到B处，则该物体被抬高了 米． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，先由坡度为得出，再设，运用勾股定理列式，解出的值，即可作答． 【详解】解：如图： ∵传送带和地面所成斜坡的坡度为， ∴， ∴设， ∵某物体被传送带从地面点A处经过20米传送到B处， ∴米， ∴在中，， 则， 解得， ∴该物体被抬高了米． 故答案为：． 7．(24-25九上·上海西南模范中学·期中)如图所示为某地修建的一座建筑物的横截面（横截面为梯形），高，坡面的坡度为，则的长度为 m． 【答案】10 【分析】本题主要考查坡比，熟练掌握坡比的概念是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由坡面的坡度为，可知：， ∵， ∴， ∴； 故答案为10． 8．(24-25九上·上海临港实验中学·期中)已知一斜坡的高度为4米，坡长为5米．则坡比为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形．先利用勾股定理求出水平方向上前进的距离，然后根据坡比斜坡的垂直高度与水平宽度的比，把相关数值代入整理为的形式即可． 【详解】解：如图所示：   米，米，则米， 则坡比， 故答案为：． 9．(24-25九上·上海民办华曜宝山实验学校·期中)某滑雪运动员沿着坡比为的斜坡滑行了350米，那么他身体下降的高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，设运动员身体下降的高度为米，根据坡比得到运动员水平方向移动了米，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设运动员身体下降的高度为米， ∵坡比为， ∴运动员水平方向移动了米， 由勾股定理，得：，解得：（负值已舍去）； 故答案为：． 10．(24-25九上·上海民办尚德实验中学·期中)某人沿一斜坡行走，发现每走3米，则在铅锤方向上上升了1米，那么这个斜坡的坡度为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用以及坡度的定义，理解并掌握坡度的定义和计算方法是解题关键．先求出这个人走的水平距离，再根据坡度的定义即可求解．坡度通常写成的形式． 【详解】解：如图，由题意可得：，，， ∴， ∴这个斜坡的坡度为； 故答案为： 三、解答题 1．(24-25九上·上海闵行区航华中学·期中)某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为10m，从顶棚的处看处的仰角，竖直的立杆上、两点间的距离为处到观众区底端处的水平距离为3m，求：顶棚的处离地面的高度．（，结果精确到0.1m） 【答案】约 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——俯仰角问题，涉及到了对坡度概念的理解，解题关键是掌握相关概念，正确构造直角三角形利用三角函数值求解． （1）利用坡度的计算公式即可直接求解； （2）按如图所示构造直角三角形，利用三角函数值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 如图，过D点作与平行，交于点G， , 四边形是矩形， ∴，, ∵， ∴ ∴， 答：的高度约为． 地 城 考点05 其他问题 一、单选题 1．(24-25九上·上海新北郊初级中学·期中)如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（   ）米 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要题考查了解直角三角形的应用，在中，由，即可得出的长度． 【详解】解：在中，， ∵坡面米，坡角， ∴该山坡的高度， 故选：D． 二、填空题 2．(24-25九上·上海临港实验中学·期中)如图，为了测量河宽（假设河的两岸平行），测得，，米，则河宽为 米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用．先根据三角形外角的性质求出的度数，判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出的值． 【详解】解：，， ， 米， 在中， (米)． 故答案是：． 3．(24-25九上·上海浦东新区建平中学西校·期中)在中，，，．点是边上一点，交边于点，点、分别在线段、上，，，联结，若与相似，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、余切等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数，构建方程解决问题．利用勾股定理可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，据此分两种情况：①若，则，根据等腰三角形的判定可得，再根据等腰三角形的三线合一即可得；②若，则，根据余切的定义可设，则，，再证出，根据相似三角形的定义可得，从而可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：∵如图，在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 则分以下两种情况： ①若，则， ∴， ∵， ∴（等腰三角形的三线合一）； ②若，则， ，， ， ∵， ∴设，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴由得：， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 综上，的长为5或． 故答案为：5或． 4．(24-25九上·上海静安区继续教育学校附属学校·期中)如图，太阳与地面成的角，一棵倾斜的大树与地面成角，这时大树在地面的影长约为10米，则此大树约为 米． 【答案】 【分析】此题考查了等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识．作交的延长线于Q，，，设米，则米，由题意可知，米，在中，米，，得到米，则，解方程后即可求出答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于Q，则， ，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， 设米，则米，由题意可知，米， 在中，米，， ∴米， ∴， 解得， ∴米， 即此大树约为米． 故答案为：． 三、解答题 5．(24-25九上·上海华东师范大学第二附属中学附属初级中学·期中)小华家准备购买一套新房，经过考察小华家发现有的房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距，以增加住宅楼栋数．某市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼，国家规定普通住宅层高宜为2.80米．如果楼间距过小，将影响其他住户的采光（如图所示，窗户高1.3米）．    (1)某市的太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）：夏至日为81.4度，冬至日为34.88度．为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？（保留到0.1米） (2)小华一家决定在该小区中、两栋楼中选择一套进行购买，现向售楼中心咨询得到如下信息： 1．、两栋楼中各套房子的面积均为． 2．、、三栋楼平行排列，楼在楼正南方且间距68米，楼在楼的正南方且间距76米． 3．楼一层每平方米4万8，随着楼层增高单价也随之增高；楼一层每平方米5万，随着楼层增加单价也随之增高． 若小华家预算有限，但又希望全年光照充足．那你是否能结合计算出的相关数据，给小华家一些选购建议 （本题参考值：，，；，，） 【答案】(1)两栋住宅楼的楼间距至少为米 (2)见解析 【分析】（1）由题意得出为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的度，即，楼高米，窗台米，作于，证明四边形是矩形，得出，米，求出米，在中，解直角三角形即可得解； （2）设每增加一层楼，单价增加万元，分别表示出在、两栋购买房子所花的费用，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示： ，为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的度，即， 楼高米， 窗台米， 作于，则， ∴四边形是矩形， ∴，米， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴两栋住宅楼的楼间距至少为米； （2）解：如图所示：、为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的度，即， 楼高米， 由题意得：米，米， 如图，作于，于， ， 则， ∴四边形、是矩形， ∴米，，米，， 在中，米， ∴米， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴米， 设每增加一层楼，单价增加万元， 在栋购买所花的费用为， 在栋购买所花的费用为， 当，解得时，此时在栋购买和栋购买所花的费用相同； 当，解得时，此时在栋购买所花的费用少， 当，解得时，此时在栋购买所花的费用少； 综上所述，当每增加一层楼，单价增加万元时，在栋购买和栋购买所花的费用相同；当每增加一层楼，单价增加小于万时，在栋购买所花的费用少；当每增加一层楼，单价增加大于万时，在栋购买所花的费用少． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 6．(24-25九上·上海民办立达中学·期中)材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： (1)求的正弦值； (2)求的长（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据已知易得：，从而根据对顶角相等可得； （2）然后在中，根据锐角三角函数的定义可设，则，从而利用勾股定理进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，，， ， ∵我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． ∴， ； （2）解：， ， ∴在中，， 设，则， ， ， 解得：， ， ， 答：的长约为． 7．(24-25九上·上海民办华曜宝山实验学校·期中)如图，某公园内有一座古塔，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为 此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子． 中午12时太阳光线与地面的夹角为，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上） ，求塔的高度  （结果精确到0.01米）参考数据  ． 【答案】塔高约为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，如图：过点作 ， 垂足为点，设，则，然后解直角三角形即可解答；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【详解】解∶ 过点作 ， 垂足为点． 由题意，得 ． 设，则． 在中，，， ∴， ． 在 中，． ∴，即：， 解得： 故塔高约为米． 8．(24-25九上·上海新北郊初级中学·期中)根据以下素材，探索完成任务：，结果精确到0.1cm） 素材1：如图1是上海地铁里常见的一组通道闸机，当乘客扫码或刷卡后，闸机两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图2是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，，半径，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为． 素材2：小磊同学要携带如图3的长方体行李箱进站．（单位：） 问题解决 任务1 确定宽度 求闸机通道的宽度，即与之间的距离． 任务2 确定高度 若点B、E到地面的距离均为，求点A到地面的距离． 任务3 能否通过 小磊同学的行李箱是否可以通过闸机？请说明理由． 【答案】任务1：  任务2：   任务3：小磊同学推着“”的箱子时，可以通过闸机 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形． 任务1：连接，并向两边延长，分别交，于点，，由两圆弧翼成轴对称可得，在中， ，进而作答即可； 任务2：过点作垂直于地面于点，过点作交于点，在中， ，即可求出距离； 任务3：根据与之间的距离约为，即可说明小磊的行李箱是否可以通过闸机. 【详解】任务1：如图，连接，并向两边延长，分别交，于点，， 由题意得 ∴的长度就是与之间的距离， 由两圆弧翼成轴对称可得， 在中， ， ， ∴与之间的距离约为； 任务2：如图，过点作垂直于地面于点，过点作交于点， 可得， 在中，， ∴ ∵点，到地面的距离均为， ∴， ∴， 答：点到地面的距离约为； 任务3：∵与之间的距离约为， ∴当小磊同学推着“”的箱子时，可以通过闸机． 9．(24-25九上·上海青浦区毓秀学校·期中)图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．（参考数据：） (1)当时，求点离地的距离约为多少分米：（结果精确到0.1） (2)当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点绕点随之旋转至上的点处，则______． 【答案】(1)13.7分米 (2)分米 【分析】（1）作于P，于Q，于K，于J，解直角三角形求出即可求出的长； （2）在（1）所作辅助线的基础上，借助三角函数解、、、，求出即可． 【详解】（1）解：如图，作于P，于Q，于K，于J， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴（分米）， ∵，即， ∴， ∴（分米）， ∴（分米）； 即点A离地面的距离约为13.7分米； （2）∵， ∴， ∴在中，（分米）， （分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）， 在中，（分米）， （分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 10．(24-25九上·上海临港实验中学·期中)小华家准备购买一套新房，经过考察小华家发现有的房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距，以增加住宅楼栋数．某市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼，国家规定普通住宅层高宜为2.80米．如果楼间距过小，将影响其他住户的采光（如图所示，窗户高1.0米）．    (1)某市的太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）：夏至日为81.4度，冬至日为34.88度．为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？（保留到0.1米） (2)小华一家决定在该小区B、C两栋楼中选择一套进行购买，现向售楼中心咨询得到如下信息： 1．B，C两栋楼中各套房子的面积均为． 2．三栋楼平行排列，楼在楼正南方且间距68米，楼楼的正南方且间距76米． 3．楼一层每平方米4万8，随着楼层增高单价也随之增高，每增加一层单价增高0.2万元；楼一层每平方米5万，随着楼层增加单价也随之增高．每增加一层单价也增高0.2万元． 请你帮小华家计算一下，在确保全年光照充足情况下，如何购买费用最少？并求出最少费用？ （本题参考值：，，） 【答案】(1)78.6米 (2)买C栋2层所花费用最少，最少费用为520万元 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质． （1）由题意得出为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的34.88度，即，楼高米，窗台米，作于E，证明四边形是矩形，得出，米，求出米，在中，解直角三角形即可得解； （2）根据题意，分别算出在B、C两栋购买房子所花的费用，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：   为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的34.88度，即， 楼高米， 窗台米， 作于E，则， ∴四边形是矩形， ∴，米， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴两栋住宅楼的楼间距至少为78.6米； （2）解：如图所示：、为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的34.88度，即， 楼高米， 由题意得：米，米， 如图，作于H，于N，    则， ∴四边形、是矩形， ∴米，，米，， 在中，（米）， ∴（米）， ∴米， 在中，（米）， ∴（米）， ∴米， ∵楼一层每平方米4万8，每增加一层单价增高0.2万元， ∴在B栋购买所花的费用为（万元）， ∵楼一层每平方米5万，每增加一层单价也增高0.2万元， ∴在C栋购买所花的费用为（万元）， ∵， ∴买C栋2层所花费用最少，最少费用为520万元． 2 / 52 1 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $