专题02 锐角的三角比全章14大题型（期末复习专项训练，14题型）九年级数学上学期沪教版五四制

专题02 锐角的三角比 题型1 求角的正弦值（常考点） 题型8 特殊角三角函数值的混合运算（常考点） 题型2 已知正弦值求边长 题型9 三角函数综合（难点） 题型3 求角的余弦值 题型10 解直角三角形的相关计算（重点） 题型4 已知余弦求边长 题型11 仰角俯角问题(解直角三角形的应用)（常考点） 题型5 求角的正切值（常考点） 题型12 方位角问题(解直角三角形的应用) 题型6 已知正切值求边长 题型13 坡度坡比问题(解直角三角形的应用)（常考点） 题型7 特殊三角形的三角函数 题型14 其他问题(解直角三角形的应用)（难点） 题型1 求角的正弦值（共6题）（常考点） 例1（2025·上海杨浦区一模）在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：如图， ， 故选：． 【变式1-1】（2025·上海金山区一模）已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值 【分析】本题考查求锐角三角函数值，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，，，； 故选A． 【变式1-2】（2025·上海长宁区一模）已知在中，，，那么的正弦值等于 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、求角的正弦值 【分析】本题主要考查了正弦的定义，等腰三角形的性质等知识，过点A作于点H，过点C作于点K．根据等腰三角形的性质和勾股定理得出，再根据等面积法求出，再根据三角形正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于点H，过点C作于点K． ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为∶． 【变式1-3】（2025·上海长宁区一模）在直角坐标平面内有一点，那么射线与轴正半轴的夹角的正弦值等于（） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值、坐标与图形综合 【分析】此题考查直角三角形的边角关系、勾股定理，通过作辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．构造直角三角形，由坐标得出线段的长，再根据勾股定理求出斜边的长，根据余弦的意义求出结果即可． 【详解】解：过点作轴，垂足为， 在中，由题意得：， ， ，， ， ， 故选：A． 【变式1-4】（2025·上海嘉定区一模）在等腰中，，如果，那么的值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值 【分析】本题考查求角的正弦值，勾股定理．过点作，根据，不妨设，，设，勾股定理列出方程求出的长，进而求出的长，再根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：过点作，如图，设， ∵， ∴不妨设，则：， 在中，， 在中，， ∴，即：， 解得：， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 【变式1-5】（2025·上海松江区一模）在中，，，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值 【分析】本题考查锐角三角函数定义，根据锐角三角函数的定义即可求得答案． 【详解】解：已知，，， ∴， ∴A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项错误； A、，故选项正确； 故选： 题型2 已知正弦值求边长（共3题） 例2（2025·上海奉贤区一模）在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与x轴正半轴的夹角为，如果，那么点P坐标为 ． 【详解】解：如图，过点P作轴于点M， ∵，， ∴， ∴， ∴点． 故答案为：． 【变式2-1】（2025·上海浦东新区期末）将平行四边形的边沿直线l翻折后，点B、C的对应点、落在直线上．如果，，那么此平行四边形四个内角中，锐角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，求角的余弦值等知识，证明设证明，可得，，，可列式为，求出进而可求出的余弦值． 【详解】解：如图， 要想落在上，应为与平行的线，且到的距离相等， ， ∴ ∵ ∴， 设则，， ∴，， ∴， 整理得， 解得，， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】（2025·上海杨浦区一模）如图，已知在梯形中，，，，，． (1)求的长； (2)求的正切值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、已知正弦值求边长、已知余弦求边长、求角的正切值 【分析】（1）由两直线平行同旁内角互补可得，在中，根据即可求出的长，在中，由勾股定理可得，由此即可求出的长； （2）由（1）可得，，由勾股定理可得，可求得，过点作，垂足为点，则，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，在中，根据可求得的长，由勾股定理可得，由此可求得的长，在中，根据可求得的长，然后根据即可求出的正切值． 【详解】（1）解：梯形，，， ， 在中， ，， ， 在中，，， 由勾股定理得： ； （2）解：由（1）可得：，， ， ， 如图，过点作，垂足为点， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题主要考查了求角的余弦值，求角的正切值，已知余弦求边长，已知正弦值求边长，勾股定理，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，线段的和与差等知识点，熟练掌握勾股定理及解直角三角形的相关计算是解题的关键． 题型3 求角的余弦值（共4题） 例3（2025·上海普陀区一模）在中，，如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故选：B． 【变式3-1】（2025·上海黄浦区一模）在直角坐标平面内有一点，那么与x轴正半轴夹角的余弦值是 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】求点到坐标轴的距离、用勾股定理解三角形、求角的余弦值 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识点．作轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解． 【详解】解：如图，作轴于点M，， 根据勾股定理可得， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（2025·上海普陀区一模）如图，中，，的中垂线分别与、交于点E、D．如果，，那么的余弦值为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、求角的余弦值 【分析】连接，先利用等腰三角形的性质可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用等量代换可得：，从而可证，最后利用相似三角形的性质求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ， ∵是的垂直平分线， ， ， ， ， ∴， ， ∴， ∴或（舍去）， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式3-3】（2025·上海徐汇区一模）如图，在中，于，如果，那么的值是 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的余弦值 【分析】此题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数定义是解题的关键．根据直角三角形的性质求出，则，再根据锐角三角函数定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， 设，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型4 已知余弦求边长（共3题） 例4（2025·上海杨浦区一模）在中，，，垂足为点，，，那么的长为 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式4-1】（2025·上海闵行区一模）在中，，，，那么直角边长为 ． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】已知余弦求边长 【分析】本题考查解直角三角形．先根据余弦定义求得即可． 【详解】解：如图， ∵在中，，，， ∴， 故答案为：4． 【变式4-2】（2024·上海静安期末）如图，中，，，.点、分别在边、上，，那么的长为 .（用含的代数式表示）    【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，余弦的定义，过点作于点，设，则， ，，过点作交的延长线于点，根据平行线分线段成比例得出，得出，证明，得出，则，进而求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，    ∵ ∴， ∵， ∴，设，则，， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点， ∴， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴，即 ∴ 解得： 又∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∵，，， ∴，则 故答案为：． 题型5 求角的正切值（共5题）（常考点） 例5（2025·上海虹口区一模）在中，已知，，，那么的正切值为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵在中，已知， ∴， ∴， 故选：D． 【变式5-1】（2025·上海宝山区一模）如图，在中，，如果、分别是边，的中点，，的面积是，那么的正切值是 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、求角的正切值 【分析】本题考查了三角形中位线的性质与判定，求正切；根据三角形中位线定理得出的长，再结合的面积得出的长，进而得出的长，最后将转化为即可解决问题． 【详解】解：、分别是边，的中点， 是的中位线， ，． 又，， ，， 垂直平分， ， ． 的面积是， ， 则， ． 在中， ， ∴． 故答案为：． 【变式5-2】（2025·上海奉贤区一模）等腰三角形中， 分别是边上的中线，且 ，那么 ． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】重心的有关性质、三线合一、斜边的中线等于斜边的一半、求角的正切值 【分析】设与交于Q，连接并延长交于点，由题意得，点为的重心，则为中点，，则为等腰直角三角形，设，则，即可求解． 【详解】解：设与交于Q，连接并延长交于点， 由题意得，点为的重心， ∴为中点， ∵， ∴， ∵，为中点 ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴设，则， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了求一个角的正切值，等腰三角形的性质，重心的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式5-3】（2025·上海徐汇区一模）在矩形中连接，过点D作的垂线交于E，于F． (1)证明：； (2)若，，连接，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用矩形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质． （1）由矩形的性质得，再由垂直得，由角的等量代换推出，即可得出结论； （2）先证明得，进而得，再由平行得，，最后由可得答案． 【详解】（1）证明：∵是矩形， ∴， ∵于点E， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， 由（1）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值舍去）， ∵是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式5-4】（2025·上海金山区一模）如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，点在边上，且．    (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据等角对等边求边长、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】（1）根据矩形的性质得，，利用勾股定理求得，即可得，结合等腰三角形的性质得即可； （2）过点作垂足为，根据矩形的性质得和，则，即，求得，利用勾股定理求得，即可求得，再次利用解直角三角形即可求得． 【详解】（1）解：在矩形中， ，， 在中，，， ， ， ， ； （2）解：过点作垂足为，如图，   在矩形中， ，， ， ， ∴， ， ∵， ， 在中，，， ， ∵ ， 在中，，， ． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、平行线的性质和解直角三角形，解题的关键是熟悉矩形的性质和解直角三角形． 题型6 已知正切值求边长（共3题） 例6（2024·上海奉贤期末）在中，，，，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意，画出图形如下： 则，即， 解得， 故选：A． 【变式6-1】（2025·上海黄浦区一模）如图，在四边形中，，，，对角线、交于点． (1)设，，试用、的线性组合表示向量． (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】向量的线性运算、已知正切值求边长、求角的正弦值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）证明，即得，得到，进而得到，，再根据向量的加减法则计算即可； （）由正切可得，得到，再由勾股定理得，进而由，得到，即得，最后由正弦的定义计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，向量的线性运算，锐角三角函数，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式6-2】（2025·上海松江区一模）在矩形中，，．点E、F分别在边AB、BC上，，垂足为点． (1)求的值； (2)当时，求的长； (3)连接，如果是等腰三角形，求的正切值． 【答案】(1) (2)5 (3)或或2 【难度】0.4 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、已知正切值求边长 【分析】（1）先由矩形的性质证明，即可得； （2）延长、交于，设，由得，则，证明得，进而得，，再由得，进而可得关于x的一元二次方程，解方程即可； （3）分三种情况：①当时；②当时；③当时；根据三种情况分别画图求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ， ， ， ， 又∵，， ； （2）解：延长、交于， 设， ， ， 则， ，， ， ， ，， ， ，即， ∴， 解得，（舍）， ； （3）解：①当时，如图， ， ， ， ， ； ②当时， 过点作，垂足为点，交于（如图），则， ， ， ， 则， ； ③当时， 过点作（如图），则， ， ， ，则，， ，，， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，锐角三角函数与解直角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． 题型7 特殊三角形的三角函数（共3题） 例7在Rt中，，如果，那么 【详解】解：在Rt中，，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：60° 【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键． 【变式7-1】（2025·上海静安区一模）如果锐角A的余弦值为，下列关于锐角A的取值范围的说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出，及的近似值，然后得出结论即可． 【详解】解：，，， 又∵，余弦函数随角增大而减小，且， ∴． 故选：C． 【变式7-2】（2025·上海闵行区一模）用含特殊锐角的三角比的式子表示： ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据的正弦值等于求解即可． 【详解】解∶∵， ∴， 故答案为：． 题型8 特殊角三角函数值的混合运算（共7题）（常考点） 例8（2025·上海长宁区一模）计算：． 【详解】解：原式 ． 【变式8-1】（2025·上海虹口区一模）计算：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算．把特殊角的三角函数值代入后计算即可． 【详解】解： 【变式8-2】（2025·上海普陀区一模）计算：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，将特殊角的三角函数值代入求解． 【详解】解： ． 【变式8-3】（2025·上海金山区一模）计算：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 根据特殊角的三角函数值和实数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式                                      ． 【变式8-4】（2025·上海奉贤区一模）计算： 【答案】 【难度】0.85 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算和二次根式的运算，根据特殊角的三角函数值逐个求解，再利用二次根式运算，最后根据有理数加减运算求解即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式8-5】（2025·上海闵行区一模）计算：． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、分母有理化、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】先根据分母有理化、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、零指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了分母有理化、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式8-6】（2025·上海静安区一模）计算：． 【答案】． 【难度】0.65 【知识点】负整数指数幂、分母有理化、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，分母有理化，根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，分母有理化进行化简即可，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 题型9 三角函数综合（共4题）（难点） 例9如图，在中，，点为斜边上一点，且，将沿直线翻折，点的对应点为，则 ．    【详解】解：，， ， 由折叠性质得， ， 、、、四点共圆， ， 过点作于点，   ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 在中，， ， 故答案为： 【变式9-1】如图，在梯形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且． (1)求证：； (2)如果，，求FC的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据，可得△EAD∽△ECB，从而得到，再由，可得△ABE∽△DFE，从而得到 ，进而得到，即可求证； （2）根据锐角三角函数，可得AC=9，从而得到，再由，可得AD=3，根据，可得 ，再由△EAD∽△ECB，可得 ， ，从而得到EC=6， ，再由，可得EF=4，即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴△EAD∽△ECB， ∴ ，即， ∵，∠AEB=∠DEF， ∴△ABE∽△DFE， ∴ ， ∴， ∴； （2）解：∵， ，， ∴ ，即AC=9， ∴ ， ∵， ∴AD=3， ∵， ∴∠BAD=90°， ∴ ， ∵△EAD∽△ECB， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ，， ∴EC=6， ， ∵， ∴ ， ∴EF=4， ∴FC=EC-EF=6-4=2． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，勾股定理等知识，根据题意，准确得到相似三角形是解题的关键． 【变式9-2】（2025·上海金山区一模）已知的顶点E在的内部，点D、点E在直线同侧． (1)如图1，联结，若和是等边三角形时，点C、点E、点D三点共线．，求的比值； (2)如图2，联结，，若求的值（用含n的代数式表示）； (3)在等腰三角形中，，，，点E在高上，点D在的延长线上，联结并延长交边于点F，联结，若，与相似时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)EH或0 【难度】0.15 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、三角函数综合 【分析】（1）过点A作于点H，可得，，根据勾股定理求出，根据，可以求出； （2）先证明，得到，再证明，即可求出； （3）先求出，，①当时，证明 ，进而证明，∴设，则，根据求出，﹒过点F作于点G，求出，，即可求出；②当时，则，证明，即可证明，即可得到E、H重合，C、F重合，从而得到﹒ 【详解】（1）解：如图，过点A作于点H， ∵是等边三角形， ∴， 设，则，， 在中，， ∵和是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ①如图， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 即， ∴， ∴﹒ 过点F作于点G， ， ∴﹒ ∵， ∴， 解得； ②如图， 当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴E、H重合，C、F重合， ∴﹒ 综上，或﹒ 【点睛】本题为相似三角形的综合应用，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数应用等知识，理解相关知识，根据题意正确添加辅助线，是解题关键，第（2）步注意分类思想运用． 【变式9-3】（2025·上海嘉定区一模）如图1，在中，，过点作，垂足为点，点在边上（不与点重合），点是边上的点，且满足，设． (1)求证：； (2)如图2，过点作，垂足为点，求证：； (3)设点是的中点，连接并延长交边于点，当与相似时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或 【难度】0.15 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】（1）设，则，在结合等腰三角形的性质即可推出结论； （2）过点作于点，过作于点，证明，得出，可推出结论； （3）分两种情况①当时，②当时，分别求解即可． 【详解】（1）证明：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，过点作于点，过作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵与相似， ①当时，如图所示 则， ∴， ∵点是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴的值为或． 【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了等边对等角，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质等知识点．正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型10 解直角三角形的相关计算（共16题）（重点） 例10（2025·上海长宁区一模）如图，在矩形中，，．点在边上，连接，将沿着翻折，点的对应点是点，连接．如果，那么点到的距离为 ． 【详解】解：过点作于点， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式10-1】（2025·上海长宁区一模）如图，已知在中，高、相交于点，，，那么的长为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】此题重点考查同角的余角相等、勾股定理、解直角三角形等知识，正确运用勾股定理、解直角三角形是解题的关键． 根据同角的余角相等得到，由解直角三角形的知识得出和的长，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：在中，高、相交于点， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式10-2】（2025·上海长宁区一模）如图，在一副三角尺中，，，，，分别过点、点画、交边、边于点、点，如果分割得到的两个三角形与分割得到的两个三角形分别相似，那么的值为 ． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查的是三角函数的应用，相似三角形的判定，先证明，，结合，设，可得，，，由可得分的两个三角形与分的两个三角形相似，可得，，过作于，过作于，则为等腰直角三角形；再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， 设， ∴，，， ∵， 如图，分的两个三角形与分的两个三角形相似， ∴，，，， ∴，， 过作于，过作于， 则为等腰直角三角形； 设，， ∴，． 解得：，， ∴，， ∴， 故答案为： 【变式10-3】（2025·上海黄浦区一模）如图，已知点O是的重心，，，如果，那么点A、O的距离为 ． 【答案】10 【难度】0.65 【知识点】解直角三角形的相关计算、由平行判断成比例的线段、重心的有关性质 【分析】此题主要考查了三角形的重心，解直角三角形，平行线分线段成比例．连接并延长交于点E，在的延长线上取一点H，使，连接，延长交于点F，解得，，证明四边形是矩形得，，然后利用平行线分线段成比例求得得，据此可得点A、O的距离． 【详解】解：连接并延长交于点E，在的延长线上取一点H，使，连接，延长交于点F，如图所示： ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵点O是的重心， ∴，都是的中线， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴点A、O的距离为10． 故答案为：10． 【变式10-4】（2025·上海宝山区一模）如图，已知，，，是边的中点，线段绕点顺时针旋转得到对应线段，线段与分别交于点，如果是直角三角形，那么的长是 ． 【答案】或2 【难度】0.65 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】由三线合一可得，进而求出各边长，然后根据是直角三角形分类讨论，当时或时，画出图形，利用特殊角求解即可． 【详解】解：连接， ∵，是中点， ∴，即， ∵， ∴，，， ∵线段绕点顺时针旋转得到对应线段， ∴， ∴，，， ①当时， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时， 此时，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，旋转的性质，解直角三角形的计算，掌握等腰三角形的性质，解直角三角形的计算，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 【变式10-5】（2025·上海虹口区一模）如图，在中，，，，是上的动点，将沿翻折，如果点落到内（不包括边），那么的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，先解直角三角形得到，再利用勾股定理求出；设点C折叠后的对应点为E，再分点E恰好在上和点E恰好在上两种情况，分别求出对应的的长即可得到结论． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 设点C折叠后的对应点为E， 如图所示，当点E恰好在上时， 由折叠的性质可得，则同理可得； 如图所示，当点E恰好在上时，过点D作于F， 由折叠的性质可得， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点落到内（不包括边）时，， 故答案为：． 【变式10-6】（2025·上海青浦区一模）如图，在菱形中，，． (1)求对角线的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，灵活运用相关知识是解决问题的关键． （1）连接，交于，在中，解直角三角形求出即可； （2）过点作于，根据菱形的面积公式求出，根据三角函数的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：连接，交于， 四边形是菱形， ，，， 在中， ，， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是菱形，，， 菱形的面积， 过点作于， 则， ， ． 【变式10-7】（2025·上海虹口区一模）如图，在中，，，，点、在的延长线上，连接、，且． (1)求的值； (2)如果，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.65 【知识点】三线合一、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（）过点作于点，根据正弦定义及勾股定理求出，，则，根据等腰三角形的性质求出，再根据正切定义求解即可； （）根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出，再根据相似三角形的性质及线段的和差求解即可； 此题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式10-8】（2025·上海松江区一模）在中，． (1)求的长； (2)在边上取一点D，使，连接，求的正切值． 【答案】(1)4 (2) 【难度】0.65 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、求角的正切值、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了三角函数，等边三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过A点作，先根据面积求出，再根据三角函数求解即可； （2）过点C作，先根据三角函数求出，再证明是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质求出，再根据三角函数求出，再根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：过A点作，垂足为H， ， ， ， ， ； （2）解：过点C作，垂足为E， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式10-9】（2025·上海金山区一模）如图，和都是直角三角形纸片，且和不相似．其中，，，（）．是否存在经过锐角顶点的一条直线，能把和分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为）与没有分割的三角形相似． (1)如果存在，请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性； (2)按照你写出的分割方案，求出的值（可以用或或或的代数式表示）． 【答案】(1)存在，见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形： （1）根据锐角的正切值可以得到，故过点的直线交边于点，使得，即可； （2）根据相似的性质，求出的长，利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：存在，分割方案：（答案不唯一）如图： 过点的直线交边于点，使得，         证明：，，，，， ，，，， ， 即， ，                      ，， ； （2） ，                                               ，，， ，                                               ． 【变式10-10】（2025·上海宝山区一模）一副三角尺由两块直角三角尺组成，其中一块是含角的直角三角形，另一块是含角的直角三角形．用这两块三角尺可以拼成一个四边形（如图），设． (1)用含的代数式直接表示： ． (2)求的正切值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质，熟知三角函数的定义及等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）先用表示出的长，再进一步表示出长即可； （2）过点作的垂线，垂足为，用分别表示出及的长，再结合的长及正切的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：在中，，则， ∴， 在中，，则， ∴． 故答案为：； （2）解：过点作的垂线，垂足为，如图所示： ∵，且是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 在中，， ∴， ∴． 在中，． 【变式10-11】（2025·上海崇明区一模）已知中，，，，，垂足为，点是线段上一点（不与、重合），过点作交的延长线于点与交于点，连接．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的定义 【分析】（1）根据题意，，证明即可求证； （2）根据题意可得，则有，由，得到，如图所示，作，垂足是，由勾股定理、三角函数的计算得到，在中，，则有，得到，再根据，即可求解； （3）根据等腰三角形的判定和性质分类讨论：第一种情况：当时，可证平分，根据角平分线的性质，锐角三角函数即的计算可解得；第二种情况：当时，可得，则，即，即可求解；第三种情况：当时，结合（2）的计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 即； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 如图所示，作，垂足是，    ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ，即， ； （3）解：若是等腰三角形，那么或或， 第一种情况：当时， ， ， 又， ， ，即  ， ， ∵， ∴， ∴， ， 在中，， ，即 第二种情况：当时 ， ， ， ，即， ； 第三种情况：当时， ， ， 又， ， ， ， 由（2）可知，在中，， ， ， ，即； 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质，锐角三角函数的计算，掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 【变式10-12】（2025·上海普陀区一模）如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与双曲线交于点，点在射线上，点的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)如果，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.65 【知识点】解直角三角形的相关计算、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合运用、锐角三角函数．解决本题的关键是运用待定系数法求出正比例函数的解析式，根据的正确值和正比例函数的解析式求出点的坐标． 根据点在双曲线上，可以求出，把点的坐标代入正比例函数中求出的值即可得到直线的表达式； 因为直线的解析式为，设点的坐标为，根据，可得关于的分式方程，解方程求出即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：点在双曲线上， 把代入， 可得：， 点的坐标为， 设直线的表达式为（）， 把，代入， 可得：， 直线的表达式为； （2）解：如下图所示，过点作轴，垂足为点， 设点的坐标为， 可得：，， 在中，， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ， 可得点的坐标为． 【变式10-13】（2025·上海闵行区一模）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线在第一象限分支交于点，过点作轴的平行线，交轴于点，． (1)求点、的坐标； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【难度】0.65 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，勾股定理的应用以及解直角三角形等，求得交点坐标是解题的关键． （1）令和时，代入解析式得出坐标即可； （2）先确定D点的纵坐标，进一步求得C点的坐标，然后利用待定系数法求得k； （3）作于E，利用勾股定理求得、，利用三角形面积公式求得，然后解直角三角函数即可． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 将代入，得到：， ∴， 将代入，得到， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴D的纵坐标为2， 把代入得，， ∴， ∵双曲线过点C， ∴； （3）解：作于E，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式10-14】（2025·上海徐汇区一模）如图，，且和之间的距离是和之间的距离是的三个顶点分别在上，与交于点，如果，那么的长是 ． 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查平行线分线段成比例，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，过点作，，交于点，根据平行线分线段成比例，得到，证明，求出的长，勾股定理求出的长，锐角三角形函数求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作，，交于点，则：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：； 故答案为：5． 【变式10-15】（2025·上海虹口区一模）如图，在梯形中，，，，是的中点，、交于点，且． (1)求证：； (2)如果，求的值； (3)如果，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）设，根据题意进行角度计算，得出，即可得证； （2）延长交延长线于H，求出的长度，即可得出的值； （3）过A作于M，设，根据相似三角形和勾股定理，得出结果． 【详解】（1）解：证明：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：延长交延长线于H，过A作于M， ∵E是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过A作于M， ∵， ∴， ∴， 由（2）可设，则 ∴， ∵， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 题型11 仰角俯角问题(解直角三角形的应用)（共10题）（常考点） 例11（2025·上海奉贤区一模）在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角，图中是俯角的角是（   ） A． B． C． D． 【分析】根据俯角的定义解答即可．本题考查了仰角，俯角，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，是俯角的是． 故选：C． 【变式11-1】（2025·上海长宁区一模）如图，点A位于点的北偏西方向，点位于点的东北方向，线段为一条东西向的公路的一部分，如果点到公路的距离是米，那么公路的长为 ． 【答案】米 【难度】0.65 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，从实际问题中抽象出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解是解题的关键． 如图：过点C作于点D，由题意得，，在和中解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图：过点C作于点D， 由题意得：米，， 在中，米， 在中，米， ∴，即公路的长为米． 故答案为：米． 【变式11-2】（2025·上海普陀区一模）如图，斜坡的长为7米，在斜坡的顶部D处有一棵高为3米的小树（点A、D、C在一直线上），，在坡底B处测得树的顶端A的仰角为，那么这个斜坡的坡度为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，设米，则米，根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得米，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：设米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， 在中，， ∴米， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴米，（米）， ∴这个斜坡的坡度， 故答案为：． 【变式11-3】（2025·上海杨浦区一模）小海在距离地面高60米的热气球中测得地面上的着落点的俯角为，那么此时热气球离着落点的距离约是（   ）（参考数据：，，） A．75米 B．80米 C．100米 D．米 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意画出图形，根据平行线的性质得出，根据正弦函数定义得出（米）即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 在中，米， ∴（米）， 此时热气球离着落点的距离约是100米， 故选：C． 【变式11-4】（2025·上海徐汇区一模）如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 米（精确到0.1米）．（参考数据：，） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、锐角三角函数，解答此类问题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 过点作于点， 则米， 在中和中， 根据锐角三角函数中的正切可以分别求得和的长，从而可以求得的长，本题得以解决． 【详解】解：过点作于点，由题意可得， 米， ， 在中， ， ∴(米)， 在中， ， (米)， 即这栋楼的高度是米. 故答案为： ． 【变式11-5】（2025·上海青浦区一模）如图，点是航拍飞机在某一高度时的位置，是地平线，，，是某大型建筑物的斜面．从点观测点的偏角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用的仰角俯角问题，熟练掌握俯角的定义是解题的关键．根据俯角的定义即可得到结论． 【详解】∵，是地平线， ∴从点观测点的俯角是， 故选：B． 【变式11-6】（2025·上海徐汇区一模）小华（考虑为线段垂直于地面）家门口的一条笔直街道上有两棵竖直生长的树．他站在街道上的A处抬头看点E，发现刚好能看到点C，此时仰角为，他向前走之后，站在点D处仰望点E，仰角为．已知小华身高，求的高度．（近似值：，精确到两位小数） 【答案】树的高分别为和 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形实际应用、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用及相似三角形的应用，勾股定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．作于M交于N，连结．先求得，再由，可得，求得，再用勾股定理得，得出．再由，可得，再列比例式求解即可， 【详解】解：作于M交于N，连结． 由题可知，． ． , ∴, ∵， ， ，即， ∴， ∴， ∴． ∵， ， ∴， 即， ． ∴． ∴． 答：树的高分别为和． 【变式11-7】（2025·上海崇明区一模）九年级数学活动小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点处竖直上升米到达处，测得实验楼顶部的俯角为，综合楼顶部的俯角为，已知实验楼高度为米，且图中点在同一平面内，求综合楼的高度． （参考数据：；，精确到米．） 【答案】约为米 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，作，垂足为，由题意可得，，米，， 米，即得，分别解和，求出、即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作，垂足为，则， 由题意可知：，，米，， 米， ∴米， 在中，， 米 ， ， 在中，， 米， 米， 答：综合楼的高度约为米． 【变式11-8】（2025·上海普陀区一模）如图，已知小河两岸各有一栋大楼与，由于小河阻碍无法直接测得大楼的高度．小普同学设计了如下的测量方案：将激光发射器分别置于地面点E和点F处，发射的两束光线都经过大楼顶端A，并分别投射到大楼最高一层的顶端C和其底部G处，并测得，，．（点D、B、E、F在同一水平线上） (1)小普同学发现，根据现有数据就能测出大楼的高度，试求出大楼的高度； (2)为了能测得大楼的高度，小普同学又获信息：这两栋大楼每层的高度都相同，大楼共有五层．据此信息能否测得大楼的高度？如果可以，试求出大楼的高度；如果不可以，说明理由． （参考数据：，，，，，） 【答案】(1)大楼的高度为 (2)能，大楼的高度为 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解本题的关键． （1）设大楼的高度为．利用正切函数的定义用表示出和的长，再利用，列式计算即可求解； （2）根据题意先求得，设为，则，利用正切函数的定义用表示出和的长，再利用，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：设大楼的高度为． ∵， ∴，． ∵， ∴． 解得． 答：大楼的高度为15m； （2）解：由大楼的高度为，共有五层，且这两栋大楼每层的高度都相同， 可得， 设为，则， ∵， ∴，． ∵， ∴． 解得． 答：大楼的高度为． 【变式11-9】（2025·上海黄浦区一模）某校初三学生开展主题为“测量校园内树木高度的方案设计”的数学综合与实践活动． 甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪．取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条长，木条长，长（接头处忽略不计）．为了便于校正竖直位置，在点B处悬挂一个铅垂，如图1所示，这样就制作出一个简易测高仪． 任务：测量校园内某棵大树的高度（树顶端M与树根部N的距离）． 工具：简易测高仪、卷尺（如图2所示）． 要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示． 第一次实践 实践操作 甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的点A经过点C望向树顶端M，调整人到树的距离，使得点M恰好与点C、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点E的位置，如图3所示． 示意图3 获取数据 乙负责测量，得到点B到地面的垂直距离，还需要测量得到的相关数据有：___． 解决问题 利用得到的数据表示树的高度： __________． 反思：这种方法需要能够一直走到大树的底下，有时因为有障碍物，无法走到大树底下．于是三位同学讨论如果不走到大树底下也可以测量出大树的高度，经过讨论得到第二种测量方案，具体如下： 第二次实践 实践操作 甲重复第一次实践操作，然后将测高仪的D端朝上C端朝下，从测高仪的点A经过点D望向树顶端M，向后走调整人到树的距离，使得点M恰好与点D、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点F的位置．丙提醒甲注意：两次测量时点B到地面的垂直距离保持不变；点E、F和树根部N三点要保持在同一直线上，如图4所示． 示意图4 获取数据 点B到地面的垂直距离，乙还需要测量得到的相关数据有：__________． 解决问题 利用得到的数据表示树的高度．（写出求解过程） 【答案】第一次实践需要测量得到的相关数据有：，的高度：．第二次实践需要测量得到的相关数据有：，，过程见解析． 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】第一次实践，由，，，，得到， 进而得到，即可求解， 第二次实践，设，由，得到，由，得到，即可求解， 本题考查了三角函数的应用，解题的关键是：根据题意正确列式． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 第一次实践需要测量得到的相关数据有：， 利用得到的数据表达树的高度：． 第二次实践需要测量得到的相关数据有：， 解决问题：设， 由题意可知，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型12 方位角问题(解直角三角形的应用)（86-88，共3题） 例12（2025·上海杨浦区一模）如图，小岛在港口的西南方向，一艘船从港口沿正南方向航行12海里后到达处，在处测得小岛在它的南偏西方向，那么小岛离港口有 海里．（结果保留根号） 【详解】解：过点A作于点D， 根据题意得：（海里）， ， 设海里，则海里， ∴, 解得：， ∴， ∵， ∴， 解得，． 【变式12-1】（2025·上海徐汇区一模）如图，货船在灯塔的北偏西方向，客船在灯塔的东北方向，客船在货船的正东方向，如果货船与客船相距50千米，那么客船与灯塔的距离约是 千米（结果保留根号）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，过点P作于点C，则，由题意得，，在和中解直角三角形即可解答． 【详解】解：过点P作于点C， 则， 由题意得， ∴， ∴， 设千米，则千米， 在中，， 即， 解得， ∴千米． 故答案为：． 【变式12-2】（2025·上海宝山区一模）为了方便居民出入小区，小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原坡面是矩形（如图1），米，米，斜坡的坡角为．计划将斜坡改造成坡比为的斜坡（如图2所示），坡面的宽度不变． (1)求改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度； (2)改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？ 【答案】(1)改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度为米 (2)改建这条斜坡需要立方米的混凝土材料 【难度】0.65 【知识点】含30度角的直角三角形、解直角三角形的相关计算、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，数形结合，正确地作出辅助线利用三角函数定义求解是解题的关键． （1）过作交的延长线于，根据直角三角形的性质得到（米），（米），由，得到（米），于是得到米； （2）根据三角形的面积公式得到平方米，于是得到结论． 【详解】（1）解：过作交的延长线于，如图所示： ∵米， ∴（米），（米）， 在中，， ∴（米）， ∴米， 答：改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度为米； （2）解：∵平方米， ∴立方米， 答：改建这条斜坡需要立方米的混凝土材料． 题型13 坡度坡比问题(解直角三角形的应用)（共6题）（常考点） 例13（2025·上海静安区一模）已知一坡面的坡度，那么这个坡角等于 ． 【详解】解：设坡角为， ∴， ∴, 故答案为： ． 【变式13-1】（2025·上海闵行区一模）如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高为2米，平台的长为1米，用7米长的地毯从点到点正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡的坡比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 过点作于，根据矩形的性质求出，根据题意求出，再根据坡比的概念计算即可． 【详解】解：如图，过点作于，则四边形为矩形， 米， 由题意得： (米)， ∴斜坡的坡比是： 故选： B． 【变式13-2】（2025·上海金山区一模）如图，一座大楼前的残疾人通道是斜坡，用表示，沿着通道走米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高米，那么残疾人通道的坡度为 ．（结果保留根号的形式） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了勾股定理、坡度，熟练掌握利用正切求坡度是解题关键．先利用勾股定理求出的长，再利用正切求坡度即可得． 【详解】解：由题意得：米，米，， ∴， ∴， ∴残疾人通道的坡度为， 故答案为：． 【变式13-3】（2025·上海青浦区一模）如图，梯形是某水库大坝的横截面．已知坝高，如果将坡度为的斜坡改为坡度为的斜坡，那么大坝底部应加宽 ．（结果保留根号） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．根据垂直的定义得到，根据三角函数的定义得到，于是得到)． 【详解】解：， 大坝底部应加宽． 故答案为： 【变式13-4】（2025·上海长宁区一模）如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让无人机飞到点处，与底板平行，测得米，此时在点处又测得坡道上的点的俯角为．接着让无人机飞到点处，，与底板平行，测得米． (1)求坡道的坡度； (2)已知地面、地下车库的顶板都与底板平行且它们到底板的距离相等，无人机从点飞到点处，，测得米，此时在点处测得点的俯角为，在不考虑其他因素的前提下，有一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2)该货车能进入该地下车库，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）由题意得：，，如图：过点作于点，易证四边形是矩形，则、；然后在和中解直角三角形即可解答； （2）由题意得：，再在中解直角三角形可得，如图：过点作于点，根据勾股定理和解直角三角形可得，设，则，则，解得，进而求得，最后与3米比较即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 如图：过点作于点， ∴ ∴四边形是矩形． ∴， 在中，， ∴  解得：． ∴ 在中，， ∴， ∴． （2）解：由题意得： 在中，，，， ∴， 如图：过点作于点， 在中，，，， 设，则， ∴，解得 ∴， ∵  即该货车能进入该地下车库． 【变式13-5】（2025·上海杨浦区一模）定义：如图1，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当时，称点是线段的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点到水平地面的距离为5米，在水平地面的处有一个自动扶梯，点、、在同一直线上．已知自动扶梯的坡度是，点到点的距离是10米．    (1)当行人行走在水平地面时，发现点恰好是屏幕的最佳视野点，且从点测得点的仰角为．求的长；（忽略行人的高度） (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 【答案】(1)的长是10米 (2)不同意，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】因式分解法解一元二次方程、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角． （1）连接，由题意得，，，设为，则为，根据点H恰好是屏幕的最佳视野点列方程求出x即可解答； （2）作的垂直平分线交于，交于点，分别延长与交于点，分别求出，，，计算得出，从而判断点不是屏幕的最佳视野点． 【详解】（1）解：如图，连接，    由题意得，，，， 设，则，， ∵点恰好是屏幕的最佳视野点， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴（米）， ∴（米）， ∴的长是10米； （2）解：不同意．理由如下： 作的垂直平分线交于，交于点，分别延长与交于点，    由题意，可得：，， ∵自动扶梯的坡度是， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点不是自动扶梯上的最佳视野点． 题型14 其他问题(解直角三角形的应用)（共5题）（难点） 例14（2025·上海虹口区一模）根据以下素材，完成任务． 探究淋浴喷头的位置 素材1 图1是一种淋浴喷头，淋浴喷头固定器装在升降杆上的某处，手柄与固定器的连接处记为点（点与墙之间的距离忽略不计）．图2视作淋浴喷头喷水后的截面示意图，线段为手柄，射线为水流，与的夹角为，手柄与墙的夹角为淋浴喷头的“调整角”，记为．已知长为． 素材2 图3中的矩形是淋浴房的截面图，，．为了方便在淋浴房里淋浴，规定淋浴时，人一直站在处，． 素材3 我们把人竖直站立时，头顶以下处记为这个人的“舒适喷淋点”，即“舒适喷淋点”到地面的距离等于人的身高减．已知小明的身高是，他爸爸和妈妈的身高分别是和．某次爸爸洗澡时，将淋浴喷头固定器调整至如图12的点处，“调整角”为，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”处（即爸爸身高-30）． 素材4 参考数据：，，，． 问题解决 任务一 （1）求图3中，淋浴喷头手柄与固定器的连接处点到地面的距离． 任务二 （2）爸爸洗完澡后，不改变固定器的位置（即不变），把淋浴喷头的“调整角”调整至，然后小明进淋浴房洗澡．①小明发现水流无法喷在他的“舒适喷淋点”处，请通过计算说明理由；②下降固定器（将固定器下降后的位置记为点）后，小明发现水流可以喷在他的“舒适喷淋点”处，求此时固定器下降的距离（精确到）． 【详解】解：（1）作于点N，延长交于点M，则， ∵爸爸身高是，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：点A到地面的距离约为； （2）①当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵小明的身高是， ∴小明的舒适距离， ∵， ∴水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处； ②设点A移动到了点，此时在小明的“舒适喷淋点”， ∴， 由题意得：， ∴， ∴． 答：固定器下降的距离约为． 【变式14-1】（2025·上海嘉定区一模）火车作为我国重要的交通运输形式之一，其轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究： 阅读概述 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离． 发现原理 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点与点之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像． 建立模型 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，． 探究（1） 设，请用含和的式子表示点到直线的距离． 探究（2） 已知，，，求的长度．（结果精确到个位，，，） 【答案】（1）（2）60 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键： （1）过点作于点，对顶角结合同角的余角相等，得到，解直角三角形，求出的长即可； （2）作，交于点，解直角三角形，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：过点作于点，则：，， ∵， ∴， ∴， 在中，； （2）作，交于点 ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式14-2】（2025·上海闵行区一模）如图，一种遮阳伞的截面由主伞骨和、支伞骨和以及伞柄组成，伞柄垂直于地面且平分，厘米，，厘米．使用遮阳伞时，可以通过调节点在伞柄上的位置来确定的大小．当点、、三点在同一直线上时，遮阳伞完全打开，此时达到最大为．（参考数据：，，，计算结果保留根号） (1)当厘米， ⅰ）在遮阳伞完全打开时，求、之间的距离． ⅱ）在伞打开的过程中（从变到），点上升了_____厘米． (2)设的度数为，在平行的太阳光照射下，遮阳伞能遮住的地面长为_____（用式子表示）；如果想通过只改变一个条件来增大遮阳伞遮住地面的长，你的建议是_____． 【答案】(1)i）； (2)；增大主伞骨的长度 【难度】0.65 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、相似三角形的判定与性质综合、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，解直角三角形等，理解题意，正确作出辅助线是解题关键． （1）i）连接，由题意得：，根据三角函数求出的长度，再利用，求出的长； ii）分别求出时和时的长度，作差即可得到点M上升的高度； （2）用l和α表示的长度，即可得到的长；如可以通过增大主伞骨的长度，来增大遮阳伞遮住地面的长． 【详解】（1）解：i）连接，由题意得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即、之间的距离为； ii）当时，， 当时，， ∴上升的高度为：， 故答案为：； （2）解：连接，遮阳伞完全打开，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如果想通过只改变一个条件来增大遮阳伞遮住地面的长，我的建议是增大主伞骨的长度， 故答案为：；增大主伞骨的长度． 【变式14-3】（2025·上海松江区一模）图1是一款高清视频设备．图2是该设备放置在水平桌面上的示意图，垂直于水平桌面，垂足为点，点处有一个摄像头．经测量，厘米，厘米，． (1)求摄像头到桌面的距离； (2)如果摄像头可拍摄的视角，且，求桌面上可拍摄区域的宽度（的长）． （参考数据：，．） 【答案】(1)摄像头到桌面的距离是 (2)桌面上可拍摄区域的宽度为 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识，构造直角三角形，正确运用锐角三角函数的计算及相似三角形的判定的方法及性质是解题的关键． （1）过点作，过点作，垂足分别为点、，可得，由可算出，由即可求解； （2）过点作，垂足为，则有，设，，则，，，再证，由相似三角形的性质可得，由即可求解． 【详解】（1）解：过点作，过点作，垂足分别为点、， ，， ， ，， ， ， ． 答：摄像头到桌面的距离是． （2）解：过点作，垂足为， ，， 设，，则，，， ，， ， ， 解得：， ， 答：桌面上可拍摄区域的宽度为． 【变式14-4】（2025·上海青浦区一模）图1是某商场地下车库的出入口，车辆出入时，通常情况下只需升起“出口”或“入口”的道闸．特殊情况，两个道闸也可以同时升起．图2是其示意图，道闸升起过程中对边始终保持平行（如图中升起的道闸），升起的最高点不超过顶部．矩形门的高米，宽米．矩形闸机的宽米，矩形道闸的宽米，道闸底部距地面的高度米．顶点G、M、Q、P在同一条直线上，边，边与之间的缝隙可以忽略不计． (1)求道闸升起的最大角的正切值； (2)一辆高为1.8米、宽为1.9米的小货车想进入这个地下车库，是否需要同时升起两个道闸？请说明理由． 【答案】(1) (2)需要同时升起两个道闸，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用： （1）设道闸升起的最高点为点，当点在线段上时，道闸升起的角最大．延长交于点，在中，勾股定理求出，正切的定义求出，平行线的性质，得到，即可得出结果； （2）设只升起一个道闸，当最高点在线段上时，在线段上取车宽（米），过点作，交于，垂足为，交于点，在中，求出的值，进而求出的值，与车高进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设道闸升起的最高点为点，当点在线段上时，道闸升起的角最大．延长交于点．根据题意，可知： （米）． （米）． 在中， （米）， ． ． ． 即道闸升起的最大角的正切值为． （2）设只升起一个道闸，当最高点在线段上时， 在线段上取车宽（米），过点作，交于，垂足为，交于点．则（米），（米）． ∵， ∴， 在中， （米）， （米）． 车高1.8米米米， 只起一个道闸，小轿车不能通过． 需要同时升起两个道闸． 试卷第1页，共3页 1 / 146 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 锐角的三角比 题型1 求角的正弦值（常考点） 题型8 特殊角三角函数值的混合运算（常考点） 题型2 已知正弦值求边长 题型9 三角函数综合（难点） 题型3 求角的余弦值 题型10 解直角三角形的相关计算（重点） 题型4 已知余弦求边长 题型11 仰角俯角问题(解直角三角形的应用)（常考点） 题型5 求角的正切值（常考点） 题型12 方位角问题(解直角三角形的应用) 题型6 已知正切值求边长 题型13 坡度坡比问题(解直角三角形的应用)（常考点） 题型7 特殊三角形的三角函数 题型14 其他问题(解直角三角形的应用)（难点） 题型1 求角的正弦值（共6题）（常考点） 例1（2025·上海杨浦区一模）在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·上海金山区一模）已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·上海长宁区一模）已知在中，，，那么的正弦值等于 ． 【变式1-3】（2025·上海长宁区一模）在直角坐标平面内有一点，那么射线与轴正半轴的夹角的正弦值等于（） A． B． C． D． 【变式1-4】（2025·上海嘉定区一模）在等腰中，，如果，那么的值是 ． 【变式1-5】（2025·上海松江区一模）在中，，，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型2 已知正弦值求边长（共3题） 例2（2025·上海奉贤区一模）在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与x轴正半轴的夹角为，如果，那么点P坐标为 ． 【变式2-1】（2025·上海浦东新区期末）将平行四边形的边沿直线l翻折后，点B、C的对应点、落在直线上．如果，，那么此平行四边形四个内角中，锐角的余弦值为 ． 【变式2-2】（2025·上海杨浦区一模）如图，已知在梯形中，，，，，． (1)求的长； (2)求的正切值． 题型3 求角的余弦值（共4题） 例3（2025·上海普陀区一模）在中，，如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·上海黄浦区一模）在直角坐标平面内有一点，那么与x轴正半轴夹角的余弦值是 ． 【变式3-2】（2025·上海普陀区一模）如图，中，，的中垂线分别与、交于点E、D．如果，，那么的余弦值为 ． 【变式3-3】（2025·上海徐汇区一模）如图，在中，于，如果，那么的值是 ． 题型4 已知余弦求边长（共3题） 例4（2025·上海杨浦区一模）在中，，，垂足为点，，，那么的长为 【变式4-1】（2025·上海闵行区一模）在中，，，，那么直角边长为 ． 【变式4-2】（2024·上海静安期末）如图，中，，，.点、分别在边、上，，那么的长为 .（用含的代数式表示）    题型5 求角的正切值（共5题）（常考点） 例5（2025·上海虹口区一模）在中，已知，，，那么的正切值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·上海宝山区一模）如图，在中，，如果、分别是边，的中点，，的面积是，那么的正切值是 ． 【变式5-2】（2025·上海奉贤区一模）等腰三角形中， 分别是边上的中线，且 ，那么 ． 【变式5-3】（2025·上海徐汇区一模）在矩形中连接，过点D作的垂线交于E，于F． (1)证明：； (2)若，，连接，求的值． 【变式5-4】（2025·上海金山区一模）如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，点在边上，且．    (1)求的长； (2)求的值． 题型6 已知正切值求边长（共3题） 例6（2024·上海奉贤期末）在中，，，，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·上海黄浦区一模）如图，在四边形中，，，，对角线、交于点． (1)设，，试用、的线性组合表示向量． (2)已知，，求的值． 【变式6-2】（2025·上海松江区一模）在矩形中，，．点E、F分别在边AB、BC上，，垂足为点． (1)求的值； (2)当时，求的长； (3)连接，如果是等腰三角形，求的正切值． 题型7 特殊三角形的三角函数（共3题） 例7在Rt中，，如果，那么 【变式7-1】（2025·上海静安区一模）如果锐角A的余弦值为，下列关于锐角A的取值范围的说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·上海闵行区一模）用含特殊锐角的三角比的式子表示： ． 题型8 特殊角三角函数值的混合运算（共7题）（常考点） 例8（2025·上海长宁区一模）计算：． 【变式8-1】（2025·上海虹口区一模）计算：． 【变式8-2】（2025·上海普陀区一模）计算：． 【变式8-3】（2025·上海金山区一模）计算：． 【变式8-4】（2025·上海奉贤区一模）计算： 【变式8-5】（2025·上海闵行区一模）计算：． 【变式8-6】（2025·上海静安区一模）计算：． 题型9 三角函数综合（共4题）（难点） 例9如图，在中，，点为斜边上一点，且，将沿直线翻折，点的对应点为，则 ．    【变式9-1】如图，在梯形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且． (1)求证：； (2)如果，，求FC的长． 【变式9-2】（2025·上海金山区一模）已知的顶点E在的内部，点D、点E在直线同侧． (1)如图1，联结，若和是等边三角形时，点C、点E、点D三点共线．，求的比值； (2)如图2，联结，，若求的值（用含n的代数式表示）； (3)在等腰三角形中，，，，点E在高上，点D在的延长线上，联结并延长交边于点F，联结，若，与相似时，求的长． 【变式9-3】（2025·上海嘉定区一模）如图1，在中，，过点作，垂足为点，点在边上（不与点重合），点是边上的点，且满足，设． (1)求证：； (2)如图2，过点作，垂足为点，求证：； (3)设点是的中点，连接并延长交边于点，当与相似时，求的值． 题型10 解直角三角形的相关计算（共16题）（重点） 例10（2025·上海长宁区一模）如图，在矩形中，，．点在边上，连接，将沿着翻折，点的对应点是点，连接．如果，那么点到的距离为 ． 【变式10-1】（2025·上海长宁区一模）如图，已知在中，高、相交于点，，，那么的长为 ． 【变式10-2】（2025·上海长宁区一模）如图，在一副三角尺中，，，，，分别过点、点画、交边、边于点、点，如果分割得到的两个三角形与分割得到的两个三角形分别相似，那么的值为 ． 【变式10-3】（2025·上海黄浦区一模）如图，已知点O是的重心，，，如果，那么点A、O的距离为 ． 【变式10-4】（2025·上海宝山区一模）如图，已知，，，是边的中点，线段绕点顺时针旋转得到对应线段，线段与分别交于点，如果是直角三角形，那么的长是 ． 【变式10-5】（2025·上海虹口区一模）如图，在中，，，，是上的动点，将沿翻折，如果点落到内（不包括边），那么的取值范围是 ． 【变式10-6】（2025·上海青浦区一模）如图，在菱形中，，． (1)求对角线的长； (2)求的值． 【变式10-7】（2025·上海虹口区一模）如图，在中，，，，点、在的延长线上，连接、，且． (1)求的值； (2)如果，求的长． 【变式10-8】（2025·上海松江区一模）在中，． (1)求的长； (2)在边上取一点D，使，连接，求的正切值． 【变式10-9】（2025·上海金山区一模）如图，和都是直角三角形纸片，且和不相似．其中，，，（）．是否存在经过锐角顶点的一条直线，能把和分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为）与没有分割的三角形相似． (1)如果存在，请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性； (2)按照你写出的分割方案，求出的值（可以用或或或的代数式表示）． 【变式10-10】（2025·上海宝山区一模）一副三角尺由两块直角三角尺组成，其中一块是含角的直角三角形，另一块是含角的直角三角形．用这两块三角尺可以拼成一个四边形（如图），设． (1)用含的代数式直接表示： ． (2)求的正切值． 【变式10-11】（2025·上海崇明区一模）已知中，，，，，垂足为，点是线段上一点（不与、重合），过点作交的延长线于点与交于点，连接．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)当是等腰三角形时，求的长． 【变式10-12】（2025·上海普陀区一模）如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与双曲线交于点，点在射线上，点的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)如果，求点的坐标． 【变式10-13】（2025·上海闵行区一模）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线在第一象限分支交于点，过点作轴的平行线，交轴于点，． (1)求点、的坐标； (2)求的值； (3)求的值． 【变式10-14】（2025·上海徐汇区一模）如图，，且和之间的距离是和之间的距离是的三个顶点分别在上，与交于点，如果，那么的长是 ． 【变式10-15】（2025·上海虹口区一模）如图，在梯形中，，，，是的中点，、交于点，且． (1)求证：； (2)如果，求的值； (3)如果，求的值． 题型11 仰角俯角问题(解直角三角形的应用)（共10题）（常考点） 例11（2025·上海奉贤区一模）在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角，图中是俯角的角是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2025·上海长宁区一模）如图，点A位于点的北偏西方向，点位于点的东北方向，线段为一条东西向的公路的一部分，如果点到公路的距离是米，那么公路的长为 ． 【变式11-2】（2025·上海普陀区一模）如图，斜坡的长为7米，在斜坡的顶部D处有一棵高为3米的小树（点A、D、C在一直线上），，在坡底B处测得树的顶端A的仰角为，那么这个斜坡的坡度为 ． 【变式11-3】（2025·上海杨浦区一模）小海在距离地面高60米的热气球中测得地面上的着落点的俯角为，那么此时热气球离着落点的距离约是（   ）（参考数据：，，） A．75米 B．80米 C．100米 D．米 【变式11-4】（2025·上海徐汇区一模）如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 米（精确到0.1米）．（参考数据：，） 【变式11-5】（2025·上海青浦区一模）如图，点是航拍飞机在某一高度时的位置，是地平线，，，是某大型建筑物的斜面．从点观测点的偏角是（   ） A． B． C． D． 【变式11-6】（2025·上海徐汇区一模）小华（考虑为线段垂直于地面）家门口的一条笔直街道上有两棵竖直生长的树．他站在街道上的A处抬头看点E，发现刚好能看到点C，此时仰角为，他向前走之后，站在点D处仰望点E，仰角为．已知小华身高，求的高度．（近似值：，精确到两位小数） 【变式11-7】（2025·上海崇明区一模）九年级数学活动小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点处竖直上升米到达处，测得实验楼顶部的俯角为，综合楼顶部的俯角为，已知实验楼高度为米，且图中点在同一平面内，求综合楼的高度． （参考数据：；，精确到米．） 【变式11-8】（2025·上海普陀区一模）如图，已知小河两岸各有一栋大楼与，由于小河阻碍无法直接测得大楼的高度．小普同学设计了如下的测量方案：将激光发射器分别置于地面点E和点F处，发射的两束光线都经过大楼顶端A，并分别投射到大楼最高一层的顶端C和其底部G处，并测得，，．（点D、B、E、F在同一水平线上） (1)小普同学发现，根据现有数据就能测出大楼的高度，试求出大楼的高度； (2)为了能测得大楼的高度，小普同学又获信息：这两栋大楼每层的高度都相同，大楼共有五层．据此信息能否测得大楼的高度？如果可以，试求出大楼的高度；如果不可以，说明理由． （参考数据：，，，，，） 【变式11-9】（2025·上海黄浦区一模）某校初三学生开展主题为“测量校园内树木高度的方案设计”的数学综合与实践活动． 甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪．取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条长，木条长，长（接头处忽略不计）．为了便于校正竖直位置，在点B处悬挂一个铅垂，如图1所示，这样就制作出一个简易测高仪． 任务：测量校园内某棵大树的高度（树顶端M与树根部N的距离）． 工具：简易测高仪、卷尺（如图2所示）． 要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示． 第一次实践 实践操作 甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的点A经过点C望向树顶端M，调整人到树的距离，使得点M恰好与点C、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点E的位置，如图3所示． 示意图3 获取数据 乙负责测量，得到点B到地面的垂直距离，还需要测量得到的相关数据有：___． 解决问题 利用得到的数据表示树的高度： __________． 反思：这种方法需要能够一直走到大树的底下，有时因为有障碍物，无法走到大树底下．于是三位同学讨论如果不走到大树底下也可以测量出大树的高度，经过讨论得到第二种测量方案，具体如下： 第二次实践 实践操作 甲重复第一次实践操作，然后将测高仪的D端朝上C端朝下，从测高仪的点A经过点D望向树顶端M，向后走调整人到树的距离，使得点M恰好与点D、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点F的位置．丙提醒甲注意：两次测量时点B到地面的垂直距离保持不变；点E、F和树根部N三点要保持在同一直线上，如图4所示． 示意图4 获取数据 点B到地面的垂直距离，乙还需要测量得到的相关数据有：__________． 解决问题 利用得到的数据表示树的高度．（写出求解过程） 题型12 方位角问题(解直角三角形的应用)（86-88，共3题） 例12（2025·上海杨浦区一模）如图，小岛在港口的西南方向，一艘船从港口沿正南方向航行12海里后到达处，在处测得小岛在它的南偏西方向，那么小岛离港口有 海里．（结果保留根号） 【变式12-1】（2025·上海徐汇区一模）如图，货船在灯塔的北偏西方向，客船在灯塔的东北方向，客船在货船的正东方向，如果货船与客船相距50千米，那么客船与灯塔的距离约是 千米（结果保留根号）． 【变式12-2】（2025·上海宝山区一模）为了方便居民出入小区，小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原坡面是矩形（如图1），米，米，斜坡的坡角为．计划将斜坡改造成坡比为的斜坡（如图2所示），坡面的宽度不变． (1)求改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度； (2)改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？ 题型13 坡度坡比问题(解直角三角形的应用)（共6题）（常考点） 例13（2025·上海静安区一模）已知一坡面的坡度，那么这个坡角等于 ． 【变式13-1】（2025·上海闵行区一模）如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高为2米，平台的长为1米，用7米长的地毯从点到点正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡的坡比是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（2025·上海金山区一模）如图，一座大楼前的残疾人通道是斜坡，用表示，沿着通道走米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高米，那么残疾人通道的坡度为 ．（结果保留根号的形式） 【变式13-3】（2025·上海青浦区一模）如图，梯形是某水库大坝的横截面．已知坝高，如果将坡度为的斜坡改为坡度为的斜坡，那么大坝底部应加宽 ．（结果保留根号） 【变式13-4】（2025·上海长宁区一模）如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让无人机飞到点处，与底板平行，测得米，此时在点处又测得坡道上的点的俯角为．接着让无人机飞到点处，，与底板平行，测得米． (1)求坡道的坡度； (2)已知地面、地下车库的顶板都与底板平行且它们到底板的距离相等，无人机从点飞到点处，，测得米，此时在点处测得点的俯角为，在不考虑其他因素的前提下，有一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由． （参考数据：，，） 【变式13-5】（2025·上海杨浦区一模）定义：如图1，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当时，称点是线段的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点到水平地面的距离为5米，在水平地面的处有一个自动扶梯，点、、在同一直线上．已知自动扶梯的坡度是，点到点的距离是10米．    (1)当行人行走在水平地面时，发现点恰好是屏幕的最佳视野点，且从点测得点的仰角为．求的长；（忽略行人的高度） (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 题型14 其他问题(解直角三角形的应用)（共5题）（难点） 例14（2025·上海虹口区一模）根据以下素材，完成任务． 探究淋浴喷头的位置 素材1 图1是一种淋浴喷头，淋浴喷头固定器装在升降杆上的某处，手柄与固定器的连接处记为点（点与墙之间的距离忽略不计）．图2视作淋浴喷头喷水后的截面示意图，线段为手柄，射线为水流，与的夹角为，手柄与墙的夹角为淋浴喷头的“调整角”，记为．已知长为． 素材2 图3中的矩形是淋浴房的截面图，，．为了方便在淋浴房里淋浴，规定淋浴时，人一直站在处，． 素材3 我们把人竖直站立时，头顶以下处记为这个人的“舒适喷淋点”，即“舒适喷淋点”到地面的距离等于人的身高减．已知小明的身高是，他爸爸和妈妈的身高分别是和．某次爸爸洗澡时，将淋浴喷头固定器调整至如图12的点处，“调整角”为，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”处（即爸爸身高-30）． 素材4 参考数据：，，，． 问题解决 任务一 （1）求图3中，淋浴喷头手柄与固定器的连接处点到地面的距离． 任务二 （2）爸爸洗完澡后，不改变固定器的位置（即不变），把淋浴喷头的“调整角”调整至，然后小明进淋浴房洗澡．①小明发现水流无法喷在他的“舒适喷淋点”处，请通过计算说明理由；②下降固定器（将固定器下降后的位置记为点）后，小明发现水流可以喷在他的“舒适喷淋点”处，求此时固定器下降的距离（精确到）． 【变式14-1】（2025·上海嘉定区一模）火车作为我国重要的交通运输形式之一，其轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究： 阅读概述 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离． 发现原理 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点与点之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像． 建立模型 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，． 探究（1） 设，请用含和的式子表示点到直线的距离． 探究（2） 已知，，，求的长度．（结果精确到个位，，，） 【变式14-2】（2025·上海闵行区一模）如图，一种遮阳伞的截面由主伞骨和、支伞骨和以及伞柄组成，伞柄垂直于地面且平分，厘米，，厘米．使用遮阳伞时，可以通过调节点在伞柄上的位置来确定的大小．当点、、三点在同一直线上时，遮阳伞完全打开，此时达到最大为．（参考数据：，，，计算结果保留根号） (1)当厘米， ⅰ）在遮阳伞完全打开时，求、之间的距离． ⅱ）在伞打开的过程中（从变到），点上升了_____厘米． (2)设的度数为，在平行的太阳光照射下，遮阳伞能遮住的地面长为_____（用式子表示）；如果想通过只改变一个条件来增大遮阳伞遮住地面的长，你的建议是_____． 【变式14-3】（2025·上海松江区一模）图1是一款高清视频设备．图2是该设备放置在水平桌面上的示意图，垂直于水平桌面，垂足为点，点处有一个摄像头．经测量，厘米，厘米，． (1)求摄像头到桌面的距离； (2)如果摄像头可拍摄的视角，且，求桌面上可拍摄区域的宽度（的长）． （参考数据：，．） 【变式14-4】（2025·上海青浦区一模）图1是某商场地下车库的出入口，车辆出入时，通常情况下只需升起“出口”或“入口”的道闸．特殊情况，两个道闸也可以同时升起．图2是其示意图，道闸升起过程中对边始终保持平行（如图中升起的道闸），升起的最高点不超过顶部．矩形门的高米，宽米．矩形闸机的宽米，矩形道闸的宽米，道闸底部距地面的高度米．顶点G、M、Q、P在同一条直线上，边，边与之间的缝隙可以忽略不计． (1)求道闸升起的最大角的正切值； (2)一辆高为1.8米、宽为1.9米的小货车想进入这个地下车库，是否需要同时升起两个道闸？请说明理由． 试卷第1页，共3页 1 / 146 学科网（北京）股份有限公司 $