专题02 锐角的三角比全章复习（期末复习讲义）九年级数学上学期沪教版五四制

专题02 锐角的三角比（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 锐角三角比的意义 1. 准确理解四种三角比的定义，能规范书写符号语言； 2. 快速区分直角三角形中锐角的对边、邻边、斜边； 3. 熟练运用互余角的三角比关系进行转化 1. 基础必考点，以选择题、填空题为主； 2. 分值4-6分，考查频率高； 3. 易错点：混淆对边与邻边、符号书写错误（如将sinA写成sin∠A的错误形式）、忽略三角比无单位 30°、45°、60°特殊角的三角比数值 1. 熟记特殊角的三角比精准数值； 2. 能按运算顺序完成三角比混合运算，规范进行分母有理化； 3. 已知三角比能求对应锐角或线段长度 1. 高频考点，小题、解答题均有涉及； 2. 分值4-6分，混合运算常结合二次根式、负整数指数幂； 3. 易错点：记错特殊角数值、混合运算顺序错误、分母有理化遗漏 解直角三角形 1. 掌握解直角三角形的分类求解策略（已知两边/一边一角）； 2. 能灵活运用边角关系求未知边或角； 3. 会通过作高将非直角三角形转化为直角三角形求解 1. 重点考点，解答题核心模块； 2. 分值6-8分，常与几何图形（三角形、四边形）综合； 3. 易错点：构造高时破坏特殊角、选择三角函数不当导致计算复杂、忽略结果验证 实际问题中的模型 1. 能识别实际问题中的核心模型（仰角/俯角/坡度等）； 2. 熟练构造直角三角形，运用三角函数求解； 3. 考虑实际情境限制（如单位统一、安全距离） 1. 重点解答题考点，分值8-10分； 2. 命题趋势：结合航拍、建筑、航海等实际场景； 3. 易错点：混淆仰角与俯角、坡度与坡角、方向角基准（正北/正南），忽略实际情境对结果的限制 知识点01 锐角的三角比的意义 锐角三角比的概念 1. 正弦 （1）定义：在中，，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 2.余弦 （1）定义：在中，，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 3.正切 （1）定义：在中，，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 4.余切 （1）定义：在中，，锐角的邻边与对边的比叫做的余切，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 注意： (1)在直角三角形中,锐角的正弦、余弦、正切、余切反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值,它没有单位 (2)在表示正弦、余弦、正切、余切时,单字母表示的角通常省略角的符号,而三个字母表示的角不能省略角的符号.如的正弦、余弦、正切、余切分别记为,,，;的正弦、余弦、正切、余切分别记为,，， (3),,,是完整的符号，不能写成 ,,, (5)在中，，,,的对边分别是,,.由正弦、余弦、正切、余切的定义可知 ，，，. 示例 在中，，，，求的三个三角函数值． 【答案】，， 【分析】由勾股定理求出直角三角形的另一条直角边，利用三角函数的定义即可完成． 【详解】在中， ，，， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了求锐角三角函数值，掌握三个锐角三角函数的定义是关键． 锐角三角比中的相互关系 (1) 直角三角形中要分清锐角的对边和邻边. (2) 在中，，可知,所以互余，即,. 示例 如图，在中，，，垂足为D，，． (1)求的长； (2)求的余切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，再根据三角形面积公式，利用等面积法可得的长，再根据勾股定理求解即可； （2）由（1）得：，从而得到，再由余切值等于邻边与对边的比，即可求解． 【详解】（1）解：∵在Rt中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3， ∴ ， ∵是边上的高， ∴即， ∴， 在中，由勾股定理得 ； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理、三角形的面积，求余切值，熟练掌握勾股定理，利用等面积法求线段长是解答的关键． 知识点02 求锐角的三角比的值 锐角三角函数 对于锐角A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sin A是锐角A的函数.同样地cos A ,tan A，cot A也是锐角A的函数，即锐角A的正弦、余弦、正切、余切都是∠A的锐角三角函数. 30°,45°,60°角的三角函数值 三角比的值 角度 提示 根据上表可直接求得特殊角的锐角三角函数值，并用来计算,反过来,已知一个特殊角的锐角三角函数值,可求出相应的锐角. 示例 在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＝，求cosA、tanA以及∠B的三个三角函数值． 【答案】见解析． 【分析】根据已知角A的正弦设，得出，由勾股定理求出，根据锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】∵sinA＝＝， ∴设，，由勾股定理得：， 则cosA＝， tanA＝， sinB＝， cosB＝， tanB＝． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，熟练掌握定义是关键． 三角函数值的计算 逆用特殊三角函数值进行混合运算，运算顺序与之前学习的有理数运算顺序一致，注意符号和去括号错误，运算结束不要忘记检查. 知识点03 解直角三角形 解直角三角形 1.解直角三角形的概念 一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形. (1) 在直角三角形中,除直角外的五个元素中,已知其中的两个元素(至少有一个是边),可求出其余的三个未知元素(知二求三) (2) 一个直角三角形可解，则其面积和周长可求.但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积和周长 2.直角三角形中五个元素（除直角外的）之间的关系 如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°， （1） 三边之间的关系：.（勾股定理） （2） ∠A＋∠B＝90° （3） 边角之间的关系： ;;; ;;;. 3.解直角三角形的类型和解法 条件 解法步骤 图示 两 边 ①两直角边 由，求； ; ②斜边,一直角边（如） 由，求； ; 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 ③锐角,邻边 如（） ； ④锐角,对边 如（） ； ⑤斜边,锐角 如（） ； 提示 在直角三角形中,计算边时可用以下口诀: 有斜求对乘正弦,有斜求邻乘余弦,有邻求对乘正切 “有斜求对乘正弦”的意思是在直角三角形中,对一个锐角而言,如果已知斜边长，要求出该锐角的对边，那么就用斜边长乘该锐角的正弦值，其他语句的意思可类推. 示例 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝．解这个三角形． 【答案】c=12，∠A=30°，∠B=60°. 【分析】先用勾股定理求出c，再根据边的比得到角的度数. 【详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝， ∴， ∵， ， ∴∠A=30°，∠B=60°. 【点睛】此题考查解直角三角形，即求出三角形未知的边和角，用三角函数求角度时能熟记各角的三角函数值是解题的关键. 4.解非直角三角形 在非直角三角形中,往往通过作三角形的高,构造直角三角形来解决,而作高时,常从非特殊角的顶点作高，一般以不破坏 30°,45°60°角为原则. 对于复杂的图形,往往通过“补形”或“分割”的方法构造出直角二角形,使问题转化为解直角三角形 注意： 在选择作哪一条边上的高时，要尽量保留三角形中的特殊角，这样便于进一步计算. 示例 如图，在中，已知 ，，，求的长． 【答案】 【分析】过点作，垂足为点，设，在中，得出 ，在中，得出 ，根据 ，列出方程求解得出，在中，根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点， 设，在中， ， 在中，， ， ， ， . 解得：，即， 在中，∵， ∴ 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数关系是解题的关键． 知识点04 解直角三角形在实际问题中的应用 解直角三角形在实际问题中的应用 1. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤 (1)将实际问题抽象为数学问题; (2)根据问题中的条件选用合适的锐角三角函数解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案. 2.实际问题中，常见的基本图形及相应的关系式 图形 关系式 图形 关系式 2.解直角三角形的常见类型 (1)仰角和俯角 在测量中,我们把在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角. 视线在水平线下方的叫俯角. 如图所示，PQ 为水平线,视线为PA时，则∠APQ为仰角;视线为PB时,则∠BPQ为俯角. 示例 “科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为，看底部C的俯角为，无人机A到该建筑物的水平距离为10米，求该建筑物的高度．（结果精确到米；参考数据：，）    【答案】该建筑物的高度约为米 【分析】由题意可知，，，，根据三角形内角和定理和等角对等边的性质，得到米，再利用锐角三角函数，求出米，即可得到该建筑物的高度． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， 米， 在中，米， 米， 答：该建筑物BC的高度约为米．    【点睛】本题考查的是解直角三角形——仰俯角问题，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数，熟练掌握直角三角形的特征关键． 方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角,叫方向角. 如图所示，目标方向线OA，OB，OC形成的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西30°，其中南偏东45°习惯上又叫做东南方向,北偏东 45°习惯上又叫做东北方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向,南偏西45习惯上又叫做西南方向. 注意：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解. 示例 一艘轮船自南向北航行，在A处测得北偏东方向有一座小岛C，继续向北航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的北偏东方向上．在小岛C周围35海里有暗礁，若轮船继续向北航行，是否有触确的危险？（参考数据：，，，） 【答案】轮船继续向北航行，有触确的危险，理由见解析 【分析】如图，过作于，由题意可得：，，设海里，而海里，海里，再表示（海里），利用，再建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过作于， 由题意可得：，， 设海里，而海里， ∴海里， ∵， ∴（海里）， ∵， ∴，解得：， 经检验符合题意， ∵， ∴轮船继续向北航行，有触确的危险． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练的借助方位角与三角函数解决触礁问题是解本题的关键． 坡度与坡角 （1）坡角:坡面与水平面所成的夹角.如图中的 （2）坡度:我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度.坡度也可写成的形式,在实际应用中常表示成的形式 （3）坡度与坡角的关系：.坡度是坡角的正切值,坡角越大，坡度也就越大 示例 已知一斜坡的坡度，高度为5米，那么这一斜坡的坡长为 米． 【答案】 【分析】设斜坡的水平宽度为米，根据坡度的定义可求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设斜坡的水平宽度为米，则：：，解得：， 这一斜坡的坡长为（米）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坡度的定义与相关计算，掌握坡度等于垂直距离与水平宽度的比，是解题的根据． 题型一 特殊角的三角函数（重点） 解｜题｜技｜巧 1.混合运算遵循“先乘除后加减，括号优先”，根号运算保持最简，分母需有理化（如）。 2. 利用三角比增减性判断锐角范围：随锐角增大而减小，、随锐角增大而增大。 3. 逆向求角：直接匹配特殊角的三角比数值，若，则（互余关系）。 【典例1】（2025·上海静安·一模）如果锐角A的余弦值为，下列关于锐角A的取值范围的说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出，及的近似值，然后得出结论即可． 【详解】解：，，， 又∵，余弦函数随角增大而减小，且， ∴． 故选：C． 【变式1】（2025·上海长宁·一模）计算：． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角的三角形函数值的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 【变式2】（2025·上海虹口·一模）计算：． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算．把特殊角的三角函数值代入后计算即可． 【详解】解： 【变式3】（2025·上海普陀·一模）计算：． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，将特殊角的三角函数值代入求解． 【详解】解： ． 【变式4】（2025·上海徐汇·一模）小杰在学习了“特殊锐角的三角比”后，认为的三角比不必死记硬背，只需利用一副三角板就可推导出的三角比，相信大家都有这个共识；小杰在这个认识的基础上，他利用一副特制的三角板，研究推导出了，的三角比． (1)计算：； (2)小杰的一副特制的三角板，如图1，在和中，，：小杰的想法是：将和的边和重合，拼接成如图2所示的四边形．请利用图2，求和的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，解直角三角形： （1）将特殊角的三角函数值代入进行计算即可； （2）过点F分别作于点G、于点H，解直角三角形，求出的长，证明，求出的长，在中，利用三角函数进行求解即可． 【详解】（1）原式； （2）过点F分别作于点G、于点H， 在中，， ， 在中，, , 又 又 ∴四边形是矩形， ， 在中， 题型二 正切、正弦和余弦（重点） 解｜题｜技｜巧 1．先定位直角三角形，明确研究的锐角； 2．缺边补边：若斜边未知，用勾股定理先求斜边，再代入三角比定义计算： 3．复杂图形（如网格、含中线／重心）： - 网格中作垂线构造直角三角形，数出边长再计算； - 遇重心、中线时，利用＂重心分中线为＂＂三线合一＂转化线段长度，再求三角比。 4．三角比关系运用：，已知一个三角比何快速求另一个。 【典例2】（2025·上海奉贤·一模）等腰三角形中， 分别是边上的中线，且 ，那么 ． 【答案】3 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、三线合一、求角的正切值、重心的有关性质 【分析】设与交于Q，连接并延长交于点，由题意得，点为的重心，则为中点，，则为等腰直角三角形，设，则，即可求解． 【详解】解：设与交于Q，连接并延长交于点， 由题意得，点为的重心， ∴为中点， ∵， ∴， ∵，为中点 ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴设，则， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了求一个角的正切值，等腰三角形的性质，重心的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式1】（2025·上海宝山·一模）如图，在中，，如果、分别是边，的中点，，的面积是，那么的正切值是 ． 【答案】/ 【知识点】求角的正切值、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形中位线的性质与判定，求正切；根据三角形中位线定理得出的长，再结合的面积得出的长，进而得出的长，最后将转化为即可解决问题． 【详解】解：、分别是边，的中点， 是的中位线， ，． 又，， ，， 垂直平分， ， ． 的面积是， ， 则， ． 在中， ， ∴． 故答案为：． 【变式2】（2025·上海静安·一模）如图，已知的三个顶点均在小正方形的方格顶点上，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】求角的正弦值、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了三角形函数、勾股定理．首先根据网格求出三角形的三边，在三角形中过点作，利用三角形的面积公式求出的长度，再根据正弦的定义求出结果． 【详解】解：如下图所示，过点作， 在中，，， ， 当以为的底边时，对应的高为， ， ， 解得：， ． 故答案为： ． 【变式3】（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，，点分别在边，上，，如果，那么的长是 ． 【答案】3 【知识点】已知正弦值求边长、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形．熟练掌握锐角三角函数和勾股定理，是解题的关键． 根据正弦值求出的长，根据勾股定理求出的长，根据，得到，进而求出的长，再根据，求出的长即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 【变式4】（2025·上海普陀·一模）如图，中，，的中垂线分别与、交于点E、D．如果，，那么的余弦值为 ． 【答案】/ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、求角的余弦值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】连接，先利用等腰三角形的性质可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用等量代换可得：，从而可证，最后利用相似三角形的性质求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ， ∵是的垂直平分线， ， ， ， ， ∴， ， ∴， ∴或（舍去）， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式5】（2025·上海杨浦·一模）在中，，，垂足为点，，，那么的长为 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、已知余弦求边长、余弦的概念辨析 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，余弦的定义，已知余弦求边长等知识点，熟练掌握余弦的定义是解题的关键． 由可得，由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，则，即，由此即可求出的长． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型三 解直角三角形的相关计算（重点） 解｜题｜技｜巧 1．直角三角形求解原则： - 有斜用弦（sin、cos），无斜用切（tan、cot）； - 优先选用含原始数据的关系式，避免复杂换算； - 口诀：有斜求对乘正弦（对边斜边 ⋅），有斜求邻乘余弦（邻边斜边），有邻求对乘正切对边邻边。 2．分类求解策略： - 已知两直角边：先求斜边，再求锐角（或）； - 已知斜边一直角边：先求另一直角边，再求锐角或）； －已知—直角边一锐角：先求另一直角边，再求斜边。 3．非直角三角形＂遇斜化直＂： - 作高构造直角三角形，优先从非特殊角顶点作高，不破坏等特殊角； - 复杂图形河通过＂补形＂＂分割＂拆分出多个直角三逐步求解。 【典例3】（2025·上海青浦·一模）在中，，点D、E分别在边上，且垂直平分．联结，如果，那么 ． 【答案】/0.6 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了解直角三角形及线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质及正切和余弦的定义是解题的关键．根据题意画出示意图，再结合线段垂直平分线的性质及余弦和正切的定义即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 垂直平分， ∵， 设，， 在中， 在中， 故答案为：． 【变式1】（2025·上海长宁·一模）如图，已知在中，高、相交于点，，，那么的长为 ． 【答案】/ 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形 【分析】此题重点考查同角的余角相等、勾股定理、解直角三角形等知识，正确运用勾股定理、解直角三角形是解题的关键． 根据同角的余角相等得到，由解直角三角形的知识得出和的长，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：在中，高、相交于点， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】（2025·上海宝山·一模）为了方便居民出入小区，小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原坡面是矩形（如图1），米，米，斜坡的坡角为．计划将斜坡改造成坡比为的斜坡（如图2所示），坡面的宽度不变． (1)求改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度； (2)改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？ 【答案】(1)改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度为米 (2)改建这条斜坡需要立方米的混凝土材料 【知识点】解直角三角形的相关计算、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，数形结合，正确地作出辅助线利用三角函数定义求解是解题的关键． （1）过作交的延长线于，根据直角三角形的性质得到（米），（米），由，得到（米），于是得到米； （2）根据三角形的面积公式得到平方米，于是得到结论． 【详解】（1）解：过作交的延长线于，如图所示： ∵米， ∴（米），（米）， 在中，， ∴（米）， ∴米， 答：改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度为米； （2）解：∵平方米， ∴立方米， 答：改建这条斜坡需要立方米的混凝土材料． 【变式3】（2025·上海虹口·一模）如图，在中，，，，点、在的延长线上，连接、，且． (1)求的值； (2)如果，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】三线合一、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）过点作于点，根据正弦定义及勾股定理求出，，则，根据等腰三角形的性质求出，再根据正切定义求解即可； （）根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出，再根据相似三角形的性质及线段的和差求解即可； 此题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4】（2025·上海长宁·一模）如果一个锐角的正弦值等于黄金分割数，那么我们称这个角叫做黄金角．如图，在中，，是黄金角，点在边上，且，连接． (1)找出图中相等的线段并说明理由； (2)如果，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】黄金分割、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了黄金分割点、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，掌握黄金分割的定义是解题的关键． （1）由黄金分割结合已知条件可得，再结合黄金分割角的定义可得，则即可解答； （2）先证明可得，然后将代入即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴点是线段的黄金分割点， ∴， 在中，，是黄金角， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵，   ∴， ∴， ∵， ∴． 题型四 坡度坡比问题（重点） 解｜题｜技｜巧 1．明确核心定义： - 坡度； - 坡角：坡面与水平面的夹角，（坡度是坡角的正切值）。 2．构造直角三角形：斜坡为斜边，铅直高度和水平宽度为两直角边，已知其中一个量可通过坡度求另一个量 （如。 3．实际应用（如斜坡改造、大横横截面）： －求水平延伸长度：先根据原坡度求原水平宽度，再根据新坡度求新水平宽度，延伸长度； 4．易错点规避：区分坡度（）与坡角（），避免将坡度等同于坡角的正弦或余弦。 【典例4】如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点处送到离地面3米高的处，则物体从到所经过的路程为（    ） A．米 B．米 C．米 D．9米 【答案】A 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】根据坡比定义求出AC的长度，再根据勾股定理求出AB长度即可. 【详解】解：设BC⊥AC,垂足为C， ∵i=BC：AC=1：3 ∴3：AC=1:3, ∴AC=9, 在Rt△ACB中，由勾股定理得， ∴AB=米. 故选：A. 【点睛】本题考查解直角三角形，明确坡比的概念是解答此题的关键. 【变式1】（2025·上海金山·一模）如图，一座大楼前的残疾人通道是斜坡，用表示，沿着通道走米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高米，那么残疾人通道的坡度为 ．（结果保留根号的形式） 【答案】 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理、坡度，熟练掌握利用正切求坡度是解题关键．先利用勾股定理求出的长，再利用正切求坡度即可得． 【详解】解：由题意得：米，米，， ∴， ∴， ∴残疾人通道的坡度为， 故答案为：． 【变式2】如图，某商场开业，要为一段楼梯铺上红地毯，已知楼梯高，坡面的坡度，则至少需要红地毯 m．    【答案】14 【知识点】利用平移解决实际问题、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】根据坡面的坡度，求出的长度，从而利用平移的知识可得红地毯的长度为，进而得出答案． 【详解】解：∵，坡面的坡度， ∴， ∴红地毯的长度为， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用坡度求出的长度是解答本题的关键，另外要掌握平移性质的运用． 【变式3】（2025·上海青浦·一模）如图，梯形是某水库大坝的横截面．已知坝高，如果将坡度为的斜坡改为坡度为的斜坡，那么大坝底部应加宽 ．（结果保留根号） 【答案】 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．根据垂直的定义得到，根据三角函数的定义得到，于是得到)． 【详解】解：， 大坝底部应加宽． 故答案为： 【变式4】（2025·上海杨浦·一模）定义：如图1，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当时，称点是线段的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点到水平地面的距离为5米，在水平地面的处有一个自动扶梯，点、、在同一直线上．已知自动扶梯的坡度是，点到点的距离是10米．    (1)当行人行走在水平地面时，发现点恰好是屏幕的最佳视野点，且从点测得点的仰角为．求的长；（忽略行人的高度） (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 【答案】(1)的长是10米 (2)不同意，理由见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、因式分解法解一元二次方程、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角． （1）连接，由题意得，，，设为，则为，根据点H恰好是屏幕的最佳视野点列方程求出x即可解答； （2）作的垂直平分线交于，交于点，分别延长与交于点，分别求出，，，计算得出，从而判断点不是屏幕的最佳视野点． 【详解】（1）解：如图，连接，    由题意得，，，， 设，则，， ∵点恰好是屏幕的最佳视野点， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴（米）， ∴（米）， ∴的长是10米； （2）解：不同意．理由如下： 作的垂直平分线交于，交于点，分别延长与交于点，    由题意，可得：，， ∵自动扶梯的坡度是， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点不是自动扶梯上的最佳视野点． 【变式5】（2025·上海长宁·一模）如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让无人机飞到点处，与底板平行，测得米，此时在点处又测得坡道上的点的俯角为．接着让无人机飞到点处，，与底板平行，测得米． (1)求坡道的坡度； (2)已知地面、地下车库的顶板都与底板平行且它们到底板的距离相等，无人机从点飞到点处，，测得米，此时在点处测得点的俯角为，在不考虑其他因素的前提下，有一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2)该货车能进入该地下车库，理由见解析 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）由题意得：，，如图：过点作于点，易证四边形是矩形，则、；然后在和中解直角三角形即可解答； （2）由题意得：，再在中解直角三角形可得，如图：过点作于点，根据勾股定理和解直角三角形可得，设，则，则，解得，进而求得，最后与3米比较即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 如图：过点作于点， ∴ ∴四边形是矩形． ∴， 在中，， ∴  解得：． ∴ 在中，， ∴， ∴． （2）解：由题意得： 在中，，，， ∴， 如图：过点作于点， 在中，，，， 设，则， ∴，解得 ∴， ∵  即该货车能进入该地下车库． 题型五 仰角俯角问题（重点） 解｜题｜技｜巧 1．画水平线定角： - 仰角：视线在水平线上方，与水平线的夹角； - 俯角：视线在水平线下方，与水平线的夹角； - 关键：将仰角、俯角转化为直角三角形的内角。 2．分类求解： - 底部可到达：物体高度测角仪高度 + 直角三角形对边长度（对边水平距离）； - 底部不可到达：构造共竖直边的双直角三角形，设公共边为，列方程求解（如两观测点水平距离）。 3．航海、航拍等场景： －水平距离为直角三角形的邻边，竖直高度差为对边，利用三角函数列方程（优先用，避免开根号）。 【典例5】（2025·上海青浦·一模）如图，点是航拍飞机在某一高度时的位置，是地平线，，，是某大型建筑物的斜面．从点观测点的偏角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用的仰角俯角问题，熟练掌握俯角的定义是解题的关键．根据俯角的定义即可得到结论． 【详解】∵，是地平线， ∴从点观测点的俯角是， 故选：B． 【变式1】（2025·上海普陀·一模）如图，斜坡的长为7米，在斜坡的顶部D处有一棵高为3米的小树（点A、D、C在一直线上），，在坡底B处测得树的顶端A的仰角为，那么这个斜坡的坡度为 ． 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，设米，则米，根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得米，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：设米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， 在中，， ∴米， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴米，（米）， ∴这个斜坡的坡度， 故答案为：． 【变式2】（2025·上海普陀·一模）如图，已知小河两岸各有一栋大楼与，由于小河阻碍无法直接测得大楼的高度．小普同学设计了如下的测量方案：将激光发射器分别置于地面点E和点F处，发射的两束光线都经过大楼顶端A，并分别投射到大楼最高一层的顶端C和其底部G处，并测得，，．（点D、B、E、F在同一水平线上） (1)小普同学发现，根据现有数据就能测出大楼的高度，试求出大楼的高度； (2)为了能测得大楼的高度，小普同学又获信息：这两栋大楼每层的高度都相同，大楼共有五层．据此信息能否测得大楼的高度？如果可以，试求出大楼的高度；如果不可以，说明理由． （参考数据：，，，，，） 【答案】(1)大楼的高度为 (2)能，大楼的高度为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解本题的关键． （1）设大楼的高度为．利用正切函数的定义用表示出和的长，再利用，列式计算即可求解； （2）根据题意先求得，设为，则，利用正切函数的定义用表示出和的长，再利用，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：设大楼的高度为． ∵， ∴，． ∵， ∴． 解得． 答：大楼的高度为15m； （2）解：由大楼的高度为，共有五层，且这两栋大楼每层的高度都相同， 可得， 设为，则， ∵， ∴，． ∵， ∴． 解得． 答：大楼的高度为． 【变式3】（2025·上海黄浦·一模）某校初三学生开展主题为“测量校园内树木高度的方案设计”的数学综合与实践活动． 甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪．取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条长，木条长，长（接头处忽略不计）．为了便于校正竖直位置，在点B处悬挂一个铅垂，如图1所示，这样就制作出一个简易测高仪． 任务：测量校园内某棵大树的高度（树顶端M与树根部N的距离）． 工具：简易测高仪、卷尺（如图2所示）． 要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示． 第一次实践 实践操作 甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的点A经过点C望向树顶端M，调整人到树的距离，使得点M恰好与点C、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点E的位置，如图3所示． 示意图3 获取数据 乙负责测量，得到点B到地面的垂直距离，还需要测量得到的相关数据有：___． 解决问题 利用得到的数据表示树的高度： __________． 反思：这种方法需要能够一直走到大树的底下，有时因为有障碍物，无法走到大树底下．于是三位同学讨论如果不走到大树底下也可以测量出大树的高度，经过讨论得到第二种测量方案，具体如下： 第二次实践 实践操作 甲重复第一次实践操作，然后将测高仪的D端朝上C端朝下，从测高仪的点A经过点D望向树顶端M，向后走调整人到树的距离，使得点M恰好与点D、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点F的位置．丙提醒甲注意：两次测量时点B到地面的垂直距离保持不变；点E、F和树根部N三点要保持在同一直线上，如图4所示． 示意图4 获取数据 点B到地面的垂直距离，乙还需要测量得到的相关数据有：__________． 解决问题 利用得到的数据表示树的高度．（写出求解过程） 【答案】第一次实践需要测量得到的相关数据有：，的高度：．第二次实践需要测量得到的相关数据有：，，过程见解析． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】第一次实践，由，，，，得到， 进而得到，即可求解， 第二次实践，设，由，得到，由，得到，即可求解， 本题考查了三角函数的应用，解题的关键是：根据题意正确列式． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 第一次实践需要测量得到的相关数据有：， 利用得到的数据表达树的高度：． 第二次实践需要测量得到的相关数据有：， 解决问题：设， 由题意可知，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型六 解直角三角形与反比例函数综合（重点） 解｜题｜技｜巧 1．第一步求交点坐标： －联立一次函数与反比例函数解析式（如与），解方程组得交点坐标（注意自变量取值范围，如第一象限交点取正坐标）。 2．构造直角三角形： - 过交点作轴（或轴）垂线，垂足、交点、原点构成直角三角形； - 直角边为交点的横、纵坐标绝对值（），斜边为原点到交点的距离（）。 3．结合三角比计算： - 求锐角三角比：用横、纵坐标作为对边／邻边，代入定义计算（如）； - 求角度：若三角比为特殊值，直接对应特殊角；非特殊角可保留三角比形式。 【典例6】（2025·上海闵行·一模）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线在第一象限分支交于点，过点作轴的平行线，交轴于点，． (1)求点、的坐标； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【知识点】解直角三角形的相关计算、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，勾股定理的应用以及解直角三角形等，求得交点坐标是解题的关键． （1）令和时，代入解析式得出坐标即可； （2）先确定D点的纵坐标，进一步求得C点的坐标，然后利用待定系数法求得k； （3）作于E，利用勾股定理求得、，利用三角形面积公式求得，然后解直角三角函数即可． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 将代入，得到：， ∴， 将代入，得到， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴D的纵坐标为2， 把代入得，， ∴， ∵双曲线过点C， ∴； （3）解：作于E，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2025·上海普陀·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与双曲线交于点，点在射线上，点的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)如果，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】解直角三角形的相关计算、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合运用、锐角三角函数．解决本题的关键是运用待定系数法求出正比例函数的解析式，根据的正确值和正比例函数的解析式求出点的坐标． 根据点在双曲线上，可以求出，把点的坐标代入正比例函数中求出的值即可得到直线的表达式； 因为直线的解析式为，设点的坐标为，根据，可得关于的分式方程，解方程求出即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：点在双曲线上， 把代入， 可得：， 点的坐标为， 设直线的表达式为（）， 把，代入， 可得：， 直线的表达式为； （2）解：如下图所示，过点作轴，垂足为点， 设点的坐标为， 可得：，， 在中，， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ， 可得点的坐标为． 题型七 翻折问题（重难点） 解｜题｜技｜巧 1．利用翻折核心性质： - 对应边相等（折叠前后重合边长度不变，如）； - 对应角相等（折叠前后重合角大小不变，如）； - 折痕垂直平分对应点连线（如折痕且平分）。 2．构造直角三角形： - 过折叠后的对应点作垂线，结合原图形的直角，搭建新的直角三角形； - 设未知数（如某线段长为），利用勾股定理或三角比（）列方程。 3．临界情况分析： －当对应点落在某条边上时，为临界状态，需分情况讨论（如点落在斜边、直角边上），确定未知数的取值范围； －利用等腰三角形性质（如折叠后形成等腰直角三角形，）简化计算。 【例7】（2025·上海虹口·一模）如图，在中，，，，是上的动点，将沿翻折，如果点落到内（不包括边），那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，先解直角三角形得到，再利用勾股定理求出；设点C折叠后的对应点为E，再分点E恰好在上和点E恰好在上两种情况，分别求出对应的的长即可得到结论． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 设点C折叠后的对应点为E， 如图所示，当点E恰好在上时， 由折叠的性质可得，则同理可得； 如图所示，当点E恰好在上时，过点D作于F， 由折叠的性质可得， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点落到内（不包括边）时，， 故答案为：． 【变式1】（2025·上海长宁·一模）如图，在矩形中，，．点在边上，连接，将沿着翻折，点的对应点是点，连接．如果，那么点到的距离为 ． 【答案】 【知识点】矩形与折叠问题、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题），掌握折叠的性质是解题的关键．根据题意画出图形，根据，，得出，再通过相等的角的三角函数值相等，即可求出结果． 【详解】解：过点作于点， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知中，，，，那么的值（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正切值 【分析】此题主要考查了锐角三角函数定义，正确把握其定义是解题关键．根据题意画出图形，先利用勾股定理求出的长，进而利用锐角三角函数定义求出即可． 【详解】解：如图所示： 在中，，，， ， ． 故选A． 2．（2025·上海杨浦·一模）在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求角的正弦值 【分析】本题考查了求角的正弦值，熟练掌握正弦的定义是解题的关键． 由正弦的定义即可直接得出答案． 【详解】解：如图， ， 故选：． 3．如果斜坡的坡度，那么斜坡的坡角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】此题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的定义及求解方法是解题的关键．根据坡角的正切值为坡度求解即可． 【详解】解：设坡角为，则， ∴， 故选：B． 4．（2025·上海奉贤·一模）在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角，图中是俯角的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】根据俯角的定义解答即可．本题考查了仰角，俯角，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，是俯角的是． 故选：C． 5．（上海市松江区2024-2025学年九年级上学期期末质量监控数学试卷）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)在边上取一点，使，连接，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、解直角三角形的相关计算、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）过点作，垂足为，由面积法求得，进而解直角三角形即可得解； （2）过点作，垂足为，由（）得，解直角三角形得，证是等边三角形，得，，，从而求得，，，利用正切定义即可得解． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ，． （2）解：过点作，垂足为 由（）得， ∴，， ， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ，， ∴， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，度直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 6．（2025·上海普陀·一模）已知中，，是边上的高，．如果，那么 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了余切的定义，根据已知可得，进而根据余切的定义，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， 中，，是边上的高， ∴ ∵． ∴ ∵， ∴， 故答案为：． 7．（2025·上海静安·一模）计算：． 【答案】． 【知识点】负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，分母有理化，根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，分母有理化进行化简即可，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 8．（2025·上海崇明·一模）九年级数学活动小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点处竖直上升米到达处，测得实验楼顶部的俯角为，综合楼顶部的俯角为，已知实验楼高度为米，且图中点在同一平面内，求综合楼的高度． （参考数据：；，精确到米．） 【答案】约为米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，作，垂足为，由题意可得，，米，， 米，即得，分别解和，求出、即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作，垂足为，则， 由题意可知：，，米，， 米， ∴米， 在中，， 米 ， ， 在中，， 米， 米， 答：综合楼的高度约为米． 9．（2025·上海静安·一模）舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩垂直于地面，且在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为米，两桩的距离为米． (1)舞狮人从跳跃到，随后再跳跃至，所成的角 ； (2)求桩与桩的距离的长．（结果精确到米，其中，，） 【答案】(1) (2)米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，理解并掌握解直角三角形的计算是解题的关键． （1）根据仰俯角，平角为即可求解； （2）过点作，分别交于点，则四边形、、都是矩形，设米，则米，在中，由函数函数的计算，得到，在中，，得到，由，即可求解． 【详解】（1）解：在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和， ∴， 故答案为：； （2）解：过点作，分别交于点， ∵，，， ∴， ∴四边形、、都是矩形， ∴， 设米，则米， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ ， 解得， （米）， 答：桩与桩的距离的长约为米． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2025·上海长宁·一模）如图，在一副三角尺中，，，，，分别过点、点画、交边、边于点、点，如果分割得到的两个三角形与分割得到的两个三角形分别相似，那么的值为 ． 【答案】1 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查的是三角函数的应用，相似三角形的判定，先证明，，结合，设，可得，，，由可得分的两个三角形与分的两个三角形相似，可得，，过作于，过作于，则为等腰直角三角形；再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， 设， ∴，，， ∵， 如图，分的两个三角形与分的两个三角形相似， ∴，，，， ∴，， 过作于，过作于， 则为等腰直角三角形； 设，， ∴，． 解得：，， ∴，， ∴， 故答案为： 2．（2025·上海宝山·一模）如图，在中，，D是斜边上任意一点，点E、F分别是的重心，那么四边形的面积是 ． 【答案】8 【知识点】解直角三角形的相关计算、重心的有关性质 【分析】本题考查解直角三角形，三角形的重心，先求出的长，进而得出的面积，再分别连接并延长，根据重心的性质得出它们与的交点为同一点，最后得出及的面积分别为和面积的即可解决问题． 【详解】解：在中，． ∴， ∴， ∴． 连接并延长，分别交于点，N， ∵E，F分别为和的重心， ∴点M为中点，点N为中点， ∴M，N重合． ∵点E为的重心， ∴， ∴，， ∴． 同理可得，， ∴， 即四边形的面积为8． 故答案为：8． 3．（2025·上海宝山·一模）如图，已知，，，是边的中点，线段绕点顺时针旋转得到对应线段，线段与分别交于点，如果是直角三角形，那么的长是 ． 【答案】或2 【知识点】解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、根据旋转的性质求解 【分析】由三线合一可得，进而求出各边长，然后根据是直角三角形分类讨论，当时或时，画出图形，利用特殊角求解即可． 【详解】解：连接， ∵，是中点， ∴，即， ∵， ∴，，， ∵线段绕点顺时针旋转得到对应线段， ∴， ∴，，， ①当时， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时， 此时，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，旋转的性质，解直角三角形的计算，掌握等腰三角形的性质，解直角三角形的计算，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 4．（2025·上海静安·一模）如图，在中，是的中线，，，，那么的长为 ． 【答案】8 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，勾股定理，合理构造辅助线得到，证明，是解题的关键． 如图所示，过点作于点，过点作延长线于点，可得，由勾股定理解得（负值舍去），再证明，得到，求出，，则，设，则，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作延长线于点， ∵是的中线，， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，则， 设，则， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 故答案为：8 ． 5．（2025·上海宝山·一模）一副三角尺由两块直角三角尺组成，其中一块是含角的直角三角形，另一块是含角的直角三角形．用这两块三角尺可以拼成一个四边形（如图），设． (1)用含的代数式直接表示： ． (2)求的正切值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质，熟知三角函数的定义及等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）先用表示出的长，再进一步表示出长即可； （2）过点作的垂线，垂足为，用分别表示出及的长，再结合的长及正切的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：在中，，则， ∴， 在中，，则， ∴． 故答案为：； （2）解：过点作的垂线，垂足为，如图所示： ∵，且是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 在中，， ∴， ∴． 在中，． 6．（2025·上海松江·一模）在矩形中，，．点E、F分别在边AB、BC上，，垂足为点． (1)求的值； (2)当时，求的长； (3)连接，如果是等腰三角形，求的正切值． 【答案】(1) (2)5 (3)或或2 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、已知正切值求边长、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）先由矩形的性质证明，即可得； （2）延长、交于，设，由得，则，证明得，进而得，，再由得，进而可得关于x的一元二次方程，解方程即可； （3）分三种情况：①当时；②当时；③当时；根据三种情况分别画图求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ， ， ， ， 又∵，， ； （2）解：延长、交于， 设， ， ， 则， ，， ， ， ，， ， ，即， ∴， 解得，（舍）， ； （3）解：①当时，如图， ， ， ， ， ； ②当时， 过点作，垂足为点，交于（如图），则， ， ， ， 则， ； ③当时， 过点作（如图），则， ， ， ，则，， ，，， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，锐角三角函数与解直角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 锐角的三角比（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 锐角三角比的意义 1. 准确理解四种三角比的定义，能规范书写符号语言； 2. 快速区分直角三角形中锐角的对边、邻边、斜边； 3. 熟练运用互余角的三角比关系进行转化 1. 基础必考点，以选择题、填空题为主； 2. 分值4-6分，考查频率高； 3. 易错点：混淆对边与邻边、符号书写错误（如将sinA写成sin∠A的错误形式）、忽略三角比无单位 30°、45°、60°特殊角的三角比数值 1. 熟记特殊角的三角比精准数值； 2. 能按运算顺序完成三角比混合运算，规范进行分母有理化； 3. 已知三角比能求对应锐角或线段长度 1. 高频考点，小题、解答题均有涉及； 2. 分值4-6分，混合运算常结合二次根式、负整数指数幂； 3. 易错点：记错特殊角数值、混合运算顺序错误、分母有理化遗漏 解直角三角形 1. 掌握解直角三角形的分类求解策略（已知两边/一边一角）； 2. 能灵活运用边角关系求未知边或角； 3. 会通过作高将非直角三角形转化为直角三角形求解 1. 重点考点，解答题核心模块； 2. 分值6-8分，常与几何图形（三角形、四边形）综合； 3. 易错点：构造高时破坏特殊角、选择三角函数不当导致计算复杂、忽略结果验证 实际问题中的模型 1. 能识别实际问题中的核心模型（仰角/俯角/坡度等）； 2. 熟练构造直角三角形，运用三角函数求解； 3. 考虑实际情境限制（如单位统一、安全距离） 1. 重点解答题考点，分值8-10分； 2. 命题趋势：结合航拍、建筑、航海等实际场景； 3. 易错点：混淆仰角与俯角、坡度与坡角、方向角基准（正北/正南），忽略实际情境对结果的限制 知识点01 锐角的三角比的意义 锐角三角比的概念 1. 正弦 （1）定义：在中，，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 2.余弦 （1）定义：在中，，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 3.正切 （1）定义：在中，，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 4.余切 （1）定义：在中，，锐角的邻边与对边的比叫做的余切，记作，即； （2）符号语言:在中,，. 注意： (1)在直角三角形中,锐角的正弦、余弦、正切、余切反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值,它没有单位 (2)在表示正弦、余弦、正切、余切时,单字母表示的角通常省略角的符号,而三个字母表示的角不能省略角的符号.如的正弦、余弦、正切、余切分别记为,,，;的正弦、余弦、正切、余切分别记为,，， (3),,,是完整的符号，不能写成 ,,, (5)在中，，,,的对边分别是,,.由正弦、余弦、正切、余切的定义可知 ，，，. 示例 在中，，，，求的三个三角函数值． 锐角三角比中的相互关系 (1) 直角三角形中要分清锐角的对边和邻边. (2) 在中，，可知,所以互余，即,. 示例 如图，在中，，，垂足为D，，． (1)求的长； (2)求的余切值． 知识点02 求锐角的三角比的值 锐角三角函数 对于锐角A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sin A是锐角A的函数.同样地cos A ,tan A，cot A也是锐角A的函数，即锐角A的正弦、余弦、正切、余切都是∠A的锐角三角函数. 30°,45°,60°角的三角函数值 三角比的值 角度 提示 根据上表可直接求得特殊角的锐角三角函数值，并用来计算,反过来,已知一个特殊角的锐角三角函数值,可求出相应的锐角. 示例 在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＝，求cosA、tanA以及∠B的三个三角函数值． 三角函数值的计算 逆用特殊三角函数值进行混合运算，运算顺序与之前学习的有理数运算顺序一致，注意符号和去括号错误，运算结束不要忘记检查. 知识点03 解直角三角形 解直角三角形 1.解直角三角形的概念 一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形. (1) 在直角三角形中,除直角外的五个元素中,已知其中的两个元素(至少有一个是边),可求出其余的三个未知元素(知二求三) (2) 一个直角三角形可解，则其面积和周长可求.但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积和周长 2.直角三角形中五个元素（除直角外的）之间的关系 如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°， （1） 三边之间的关系：.（勾股定理） （2） ∠A＋∠B＝90° （3） 边角之间的关系： ;;; ;;;. 3.解直角三角形的类型和解法 条件 解法步骤 图示 两 边 ①两直角边 由，求； ; ②斜边,一直角边（如） 由，求； ; 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 ③锐角,邻边 如（） ； ④锐角,对边 如（） ； ⑤斜边,锐角 如（） ； 提示 在直角三角形中,计算边时可用以下口诀: 有斜求对乘正弦,有斜求邻乘余弦,有邻求对乘正切 “有斜求对乘正弦”的意思是在直角三角形中,对一个锐角而言,如果已知斜边长，要求出该锐角的对边，那么就用斜边长乘该锐角的正弦值，其他语句的意思可类推. 示例 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝．解这个三角形． 4.解非直角三角形 在非直角三角形中,往往通过作三角形的高,构造直角三角形来解决,而作高时,常从非特殊角的顶点作高，一般以不破坏 30°,45°60°角为原则. 对于复杂的图形,往往通过“补形”或“分割”的方法构造出直角二角形,使问题转化为解直角三角形 注意： 在选择作哪一条边上的高时，要尽量保留三角形中的特殊角，这样便于进一步计算. 示例 如图，在中，已知 ，，，求的长． 知识点04 解直角三角形在实际问题中的应用 解直角三角形在实际问题中的应用 1. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤 (1)将实际问题抽象为数学问题; (2)根据问题中的条件选用合适的锐角三角函数解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案. 2.实际问题中，常见的基本图形及相应的关系式 图形 关系式 图形 关系式 2.解直角三角形的常见类型 (1)仰角和俯角 在测量中,我们把在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角. 视线在水平线下方的叫俯角. 如图所示，PQ 为水平线,视线为PA时，则∠APQ为仰角;视线为PB时,则∠BPQ为俯角. 示例 “科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为，看底部C的俯角为，无人机A到该建筑物的水平距离为10米，求该建筑物的高度．（结果精确到米；参考数据：，）    方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角,叫. 如图所示，目标方向线OA，OB，OC形成的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西30°，其中南偏东45°习惯上又叫做东南方向,北偏东 45°习惯上又叫做东北方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向,南偏西45习惯上又叫做西南方向. 注意：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解. 示例 一艘轮船自南向北航行，在A处测得北偏东方向有一座小岛C，继续向北航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的北偏东方向上．在小岛C周围35海里有暗礁，若轮船继续向北航行，是否有触确的危险？（参考数据：，，，） 坡度与坡角 （1）坡角:坡面与水平面所成的夹角.如图中的 （2）坡度:我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度.坡度也可写成的形式,在实际应用中常表示成的形式 （3）坡度与坡角的关系：.坡度是坡角的正切值,坡角越大，坡度也就越大 示例 已知一斜坡的坡度，高度为5米，那么这一斜坡的坡长为 米． 题型一 特殊角的三角函数（重点） 解｜题｜技｜巧 1.混合运算遵循“先乘除后加减，括号优先”，根号运算保持最简，分母需有理化（如）。 2. 利用三角比增减性判断锐角范围：随锐角增大而减小，、随锐角增大而增大。 3. 逆向求角：直接匹配特殊角的三角比数值，若，则（互余关系）。 【典例1】（2025·上海静安·一模）如果锐角A的余弦值为，下列关于锐角A的取值范围的说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·上海长宁·一模）计算：． 【变式2】（2025·上海虹口·一模）计算：． 【变式3】（2025·上海普陀·一模）计算：． 【变式4】（2025·上海徐汇·一模）小杰在学习了“特殊锐角的三角比”后，认为的三角比不必死记硬背，只需利用一副三角板就可推导出的三角比，相信大家都有这个共识；小杰在这个认识的基础上，他利用一副特制的三角板，研究推导出了，的三角比． (1)计算：； (2)小杰的一副特制的三角板，如图1，在和中，，：小杰的想法是：将和的边和重合，拼接成如图2所示的四边形．请利用图2，求和的值． 题型二 正切、正弦和余弦（重点） 解｜题｜技｜巧 1．先定位直角三角形，明确研究的锐角； 2．缺边补边：若斜边未知，用勾股定理先求斜边，再代入三角比定义计算： 3．复杂图形（如网格、含中线／重心）： - 网格中作垂线构造直角三角形，数出边长再计算； - 遇重心、中线时，利用＂重心分中线为＂＂三线合一＂转化线段长度，再求三角比。 4．三角比关系运用：，已知一个三角比何快速求另一个。 【典例2】（2025·上海奉贤·一模）等腰三角形中， 分别是边上的中线，且 ，那么 ． 【变式1】（2025·上海宝山·一模）如图，在中，，如果、分别是边，的中点，，的面积是，那么的正切值是 ． 【变式2】（2025·上海静安·一模）如图，已知的三个顶点均在小正方形的方格顶点上，那么的值是 ． 【变式3】（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，，点分别在边，上，，如果，那么的长是 ． 【变式4】（2025·上海普陀·一模）如图，中，，的中垂线分别与、交于点E、D．如果，，那么的余弦值为 ． 【变式5】（2025·上海杨浦·一模）在中，，，垂足为点，，，那么的长为 题型三 解直角三角形的相关计算（重点） 解｜题｜技｜巧 1．直角三角形求解原则： - 有斜用弦（sin、cos），无斜用切（tan、cot）； - 优先选用含原始数据的关系式，避免复杂换算； - 口诀：有斜求对乘正弦（对边斜边 ⋅），有斜求邻乘余弦（邻边斜边），有邻求对乘正切对边邻边。 2．分类求解策略： - 已知两直角边：先求斜边，再求锐角（或）； - 已知斜边一直角边：先求另一直角边，再求锐角或）； －已知—直角边一锐角：先求另一直角边，再求斜边。 3．非直角三角形＂遇斜化直＂： - 作高构造直角三角形，优先从非特殊角顶点作高，不破坏等特殊角； - 复杂图形河通过＂补形＂＂分割＂拆分出多个直角三逐步求解。 【典例3】（2025·上海青浦·一模）在中，，点D、E分别在边上，且垂直平分．联结，如果，那么 ． 【变式1】（2025·上海长宁·一模）如图，已知在中，高、相交于点，，，那么的长为 ． 【变式2】（2025·上海宝山·一模）为了方便居民出入小区，小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原坡面是矩形（如图1），米，米，斜坡的坡角为．计划将斜坡改造成坡比为的斜坡（如图2所示），坡面的宽度不变． (1)求改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度； (2)改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？ 【变式3】（2025·上海虹口·一模）如图，在中，，，，点、在的延长线上，连接、，且． (1)求的值； (2)如果，求的长． 【变式4】（2025·上海长宁·一模）如果一个锐角的正弦值等于黄金分割数，那么我们称这个角叫做黄金角．如图，在中，，是黄金角，点在边上，且，连接． (1)找出图中相等的线段并说明理由； (2)如果，求的长． 题型四 坡度坡比问题（重点） 解｜题｜技｜巧 1．明确核心定义： - 坡度； - 坡角：坡面与水平面的夹角，（坡度是坡角的正切值）。 2．构造直角三角形：斜坡为斜边，铅直高度和水平宽度为两直角边，已知其中一个量可通过坡度求另一个量 （如。 3．实际应用（如斜坡改造、大横横截面）： －求水平延伸长度：先根据原坡度求原水平宽度，再根据新坡度求新水平宽度，延伸长度； 4．易错点规避：区分坡度（）与坡角（），避免将坡度等同于坡角的正弦或余弦。 【典例4】如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点处送到离地面3米高的处，则物体从到所经过的路程为（    ） A．米 B．米 C．米 D．9米 【变式1】（2025·上海金山·一模）如图，一座大楼前的残疾人通道是斜坡，用表示，沿着通道走米可进入楼厅，楼厅比楼外的地面高米，那么残疾人通道的坡度为 ．（结果保留根号的形式） 【变式2】如图，某商场开业，要为一段楼梯铺上红地毯，已知楼梯高，坡面的坡度，则至少需要红地毯 m．    【变式3】（2025·上海青浦·一模）如图，梯形是某水库大坝的横截面．已知坝高，如果将坡度为的斜坡改为坡度为的斜坡，那么大坝底部应加宽 ．（结果保留根号） 【变式4】（2025·上海杨浦·一模）定义：如图1，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当时，称点是线段的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点到水平地面的距离为5米，在水平地面的处有一个自动扶梯，点、、在同一直线上．已知自动扶梯的坡度是，点到点的距离是10米．    (1)当行人行走在水平地面时，发现点恰好是屏幕的最佳视野点，且从点测得点的仰角为．求的长；（忽略行人的高度） (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 【变式5】（2025·上海长宁·一模）如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让无人机飞到点处，与底板平行，测得米，此时在点处又测得坡道上的点的俯角为．接着让无人机飞到点处，，与底板平行，测得米． (1)求坡道的坡度； (2)已知地面、地下车库的顶板都与底板平行且它们到底板的距离相等，无人机从点飞到点处，，测得米，此时在点处测得点的俯角为，在不考虑其他因素的前提下，有一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由． （参考数据：，，） 题型五 仰角俯角问题（重点） 解｜题｜技｜巧 1．画水平线定角： - 仰角：视线在水平线上方，与水平线的夹角； - 俯角：视线在水平线下方，与水平线的夹角； - 关键：将仰角、俯角转化为直角三角形的内角。 2．分类求解： - 底部可到达：物体高度测角仪高度 + 直角三角形对边长度（对边水平距离）； - 底部不可到达：构造共竖直边的双直角三角形，设公共边为，列方程求解（如两观测点水平距离）。 3．航海、航拍等场景： －水平距离为直角三角形的邻边，竖直高度差为对边，利用三角函数列方程（优先用，避免开根号）。 【典例5】（2025·上海青浦·一模）如图，点是航拍飞机在某一高度时的位置，是地平线，，，是某大型建筑物的斜面．从点观测点的偏角是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·上海普陀·一模）如图，斜坡的长为7米，在斜坡的顶部D处有一棵高为3米的小树（点A、D、C在一直线上），，在坡底B处测得树的顶端A的仰角为，那么这个斜坡的坡度为 ． 【变式2】（2025·上海普陀·一模）如图，已知小河两岸各有一栋大楼与，由于小河阻碍无法直接测得大楼的高度．小普同学设计了如下的测量方案：将激光发射器分别置于地面点E和点F处，发射的两束光线都经过大楼顶端A，并分别投射到大楼最高一层的顶端C和其底部G处，并测得，，．（点D、B、E、F在同一水平线上） (1)小普同学发现，根据现有数据就能测出大楼的高度，试求出大楼的高度； (2)为了能测得大楼的高度，小普同学又获信息：这两栋大楼每层的高度都相同，大楼共有五层．据此信息能否测得大楼的高度？如果可以，试求出大楼的高度；如果不可以，说明理由． （参考数据：，，，，，） 【变式3】（2025·上海黄浦·一模）某校初三学生开展主题为“测量校园内树木高度的方案设计”的数学综合与实践活动． 甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪．取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条长，木条长，长（接头处忽略不计）．为了便于校正竖直位置，在点B处悬挂一个铅垂，如图1所示，这样就制作出一个简易测高仪． 任务：测量校园内某棵大树的高度（树顶端M与树根部N的距离）． 工具：简易测高仪、卷尺（如图2所示）． 要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示． 第一次实践 实践操作 甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的点A经过点C望向树顶端M，调整人到树的距离，使得点M恰好与点C、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点E的位置，如图3所示． 示意图3 获取数据 乙负责测量，得到点B到地面的垂直距离，还需要测量得到的相关数据有：___． 解决问题 利用得到的数据表示树的高度： __________． 反思：这种方法需要能够一直走到大树的底下，有时因为有障碍物，无法走到大树底下．于是三位同学讨论如果不走到大树底下也可以测量出大树的高度，经过讨论得到第二种测量方案，具体如下： 第二次实践 实践操作 甲重复第一次实践操作，然后将测高仪的D端朝上C端朝下，从测高仪的点A经过点D望向树顶端M，向后走调整人到树的距离，使得点M恰好与点D、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点F的位置．丙提醒甲注意：两次测量时点B到地面的垂直距离保持不变；点E、F和树根部N三点要保持在同一直线上，如图4所示． 示意图4 获取数据 点B到地面的垂直距离，乙还需要测量得到的相关数据有：__________． 解决问题 利用得到的数据表示树的高度．（写出求解过程） 题型六 解直角三角形与反比例函数综合（重点） 解｜题｜技｜巧 1．第一步求交点坐标： －联立一次函数与反比例函数解析式（如与），解方程组得交点坐标（注意自变量取值范围，如第一象限交点取正坐标）。 2．构造直角三角形： - 过交点作轴（或轴）垂线，垂足、交点、原点构成直角三角形； - 直角边为交点的横、纵坐标绝对值（），斜边为原点到交点的距离（）。 3．结合三角比计算： - 求锐角三角比：用横、纵坐标作为对边／邻边，代入定义计算（如）； - 求角度：若三角比为特殊值，直接对应特殊角；非特殊角可保留三角比形式。 【典例6】（2025·上海闵行·一模）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线在第一象限分支交于点，过点作轴的平行线，交轴于点，． (1)求点、的坐标； (2)求的值； (3)求的值． 【变式1】（2025·上海普陀·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与双曲线交于点，点在射线上，点的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)如果，求点的坐标． 题型七 翻折问题（重难点） 解｜题｜技｜巧 1．利用翻折核心性质： - 对应边相等（折叠前后重合边长度不变，如）； - 对应角相等（折叠前后重合角大小不变，如）； - 折痕垂直平分对应点连线（如折痕且平分）。 2．构造直角三角形： - 过折叠后的对应点作垂线，结合原图形的直角，搭建新的直角三角形； - 设未知数（如某线段长为），利用勾股定理或三角比（）列方程。 3．临界情况分析： －当对应点落在某条边上时，为临界状态，需分情况讨论（如点落在斜边、直角边上），确定未知数的取值范围； －利用等腰三角形性质（如折叠后形成等腰直角三角形，）简化计算。 【例7】（2025·上海虹口·一模）如图，在中，，，，是上的动点，将沿翻折，如果点落到内（不包括边），那么的取值范围是 ． 【变式1】（2025·上海长宁·一模）如图，在矩形中，，．点在边上，连接，将沿着翻折，点的对应点是点，连接．如果，那么点到的距离为 ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知中，，，，那么的值（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海杨浦·一模）在中，，，，那么的值是（   ） A． B． C． D． 3．如果斜坡的坡度，那么斜坡的坡角等于（    ） A． B． C． D． 4．（2025·上海奉贤·一模）在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角，图中是俯角的角是（   ） A． B． C． D． 5．（上海市松江区2024-2025学年九年级上学期期末质量监控数学试卷）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)在边上取一点，使，连接，求的正切值． 6．（2025·上海普陀·一模）已知中，，是边上的高，．如果，那么 ． 7．（2025·上海静安·一模）计算：． 8．（2025·上海崇明·一模）九年级数学活动小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点处竖直上升米到达处，测得实验楼顶部的俯角为，综合楼顶部的俯角为，已知实验楼高度为米，且图中点在同一平面内，求综合楼的高度． （参考数据：；，精确到米．） 9．（2025·上海静安·一模）舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩垂直于地面，且在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为米，两桩的距离为米． (1)舞狮人从跳跃到，随后再跳跃至，所成的角 ； (2)求桩与桩的距离的长．（结果精确到米，其中，，） 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2025·上海长宁·一模）如图，在一副三角尺中，，，，，分别过点、点画、交边、边于点、点，如果分割得到的两个三角形与分割得到的两个三角形分别相似，那么的值为 ． 2．（2025·上海宝山·一模）如图，在中，，D是斜边上任意一点，点E、F分别是的重心，那么四边形的面积是 ． 3．（2025·上海宝山·一模）如图，已知，，，是边的中点，线段绕点顺时针旋转得到对应线段，线段与分别交于点，如果是直角三角形，那么的长是 ． 4．（2025·上海静安·一模）如图，在中，是的中线，，，，那么的长为 ． 5．（2025·上海宝山·一模）一副三角尺由两块直角三角尺组成，其中一块是含角的直角三角形，另一块是含角的直角三角形．用这两块三角尺可以拼成一个四边形（如图），设． (1)用含的代数式直接表示： ． (2)求的正切值． 6．（2025·上海松江·一模）在矩形中，，．点E、F分别在边AB、BC上，，垂足为点． (1)求的值； (2)当时，求的长； (3)连接，如果是等腰三角形，求的正切值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $锐角的三角比 的意义 求锐角的三 角比的值 锐角的三角比 解直角三角形 实际问题中的应 正弦simA=<的对边 斜边 余弦c0sA=∠的邻边 斜边 正切tanA ∠邻边余切一c0tA=的邻边 ∠A的对边 ∠4的对边 锐角三角比中的相互关系 e tan A= =cot B,sinA=d cos B 锐角三角函数 309 45 角度 60o sina 30° ,45° ,60 角的三角函数值 an c 3 ota 三角函数值的计算 解法步 图示 电m4-分，末∠以： ①两直角边 ∠B=90°-∠A 两 c=va+b 色 ②钟边，一直角边（知ca) ∠B=90°-∠A: b=vc-a ∠B=90°-∠A: ③锐角，邻边 a=b. 如（∠A、b) c=cosA B=90°-∠A: 一查角边 ④锐角.对边 b=a-cotA 和一锐角 如（∠A、a) 角 ∠B=90°-∠A: ⑤斜边，锐角 知(c、∠A) a=c.sinA b=c.cosA (1)将实际问题抽象为数学问题： 般步骤 (2)根据问题中的条件选用合适的锐角三角函数解直角三角形： (3)得到数学问题的答案： (4)得到实际问题的答案 图形 关系式 困形 关系式 BD=CE,AC=BC.tana, BC=DC-BD= a d AE=AC+CE AD-(tana-tan B) AB=DE= BD=BC-DC= AE.tanB. AC tand t 1 1 常见的基本图形 CD=CE+DE= 及相应的关系式 AEana+tanp) AG=AC+CG- AC+BE 用 BC=BD+DC= BC=BE+EF+CF BE+AD+CF- 细线 水平线Q (1)仰角和俯角 (2)方向角 解直角三角形的 常见类型 (3)坡度与坡角锐角的三角比 的意义 求锐角的三 角比的值 锐角的三角比 解直角三角形 实际问题中的应 正弦 余弦 正切 余切 锐角三角比中的相互关系 锐角三角函数 三角比的值 30° 45° 60° 角度a 30°，45° ,60° sina 角的三角函数值 cosa tana cota 三角函数值的计算 条件 解法步狼 图示 m-号.s以 ①两直角边 ∠B=90°-∠A: 两 c=va+b 边 ②斜边，一直角边（如C、a) ∠B=90°-∠A: b=vo-a ∠B=90°-∠A: ③锐角，邻边 a=b.tanA; 如（∠A、b) b c=cosA ∠B=90°-∠A: 边 一直角边 ④锐角，对边 和一锐角 b=a.cotA 如（∠A.a) 角 c=sinA ∠B=90°-∠A: ⑤边，锐角 知(c、∠A) a=c.sinA. b=c.cosA (1)将实际问题抽象为数学问题： 般步骤 (②)根据问题中的条件选用合适的锐角三角函数解直角三角形： (3)得到数学问题的答案： (4)得到实际问题的答案. 图形 关系式 图形 关系式 BD=CE,AC=BC.tana, BC=DC-BD- AE=AC+CE AD.(tan a-tan B) D BD=BC-DC= AB=DE= 1 常见的基本图形 AE.tan B, CD=CE+DE= tan a tan B 及相应的关系式 AE.(tana+tanB) AG=AC+CG= AC+BE 用 BC=BD+DC= BC=BE+EF+CF . 1 +1） BE+AD+CF= tan a tan B 1 AD+h 1 视线4 水平线Q (1)仰角和俯角 (2)方向角一西 视线 45 解直角三角形的 常见类型 -h:l (3)坡度与坡角