专题06 锐角三角函数（期中真题汇编，上海专用）九年级数学上学期沪教版上海

专题06 锐角三角函数（期中真题汇编，上海专用） 4大高频考点概览 考点01 正弦 考点02 余弦 考点03 正切 考点04 特殊角的三角函数 地 城 考点01 正弦 一、单选题 1．(24-25九上·上海浦东新区多校联考·期中)在中，，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 2．(24-25九上·上海民办尚德实验中学·期中)已知在中，，那么的正弦值是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·上海黄浦区·期中)如图，在中，是边上的高，已知，．下列线段中，其长为的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25九上·上海嘉定区部分学校·期中)在中，已知，那么的正弦值等于 5．(24-25九上·上海杨浦区·期中)已知点P位于第一象限内，，且与x轴正半轴夹角的正弦值为，那么点P的坐标是 6．(24-25九上·上海民办明珠中学·期中)已知在中，，如果的正弦值为，那么的正弦值为 ． 7．(24-25九上·上海浦东新区建平中学西校·期中)已知直角三角形两直角边长分别为和，那么较小锐角的正弦值是 ． 8．(24-25九上·上海青浦区毓秀学校·期中)在中，，，，那么 ． 9．(24-25九上·上海静安区彭浦初级中学·期中)如果是边长为10的菱形的一个锐角，，那么这个菱形的面积是 ． 10．(24-25九上·上海黄浦区·期中)如图，已知在四边形中，与相交于点，，．若，，则 ． 地 城 考点02 余弦 一、单选题 1．(24-25九上·上海虹口区·期中)在中，，，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·上海杨浦区·期中)已知在中，，，那么下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·上海民办尚德实验中学·期中)如图，在中，，是斜边上的高，下列线段的比值不等于的值的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·上海闵行区浦江第一中学·期中)中，，，，那么的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．(24-25九上·上海宝山实验学校·期中)在中，，，，那么 ．（结果用的锐角三角函数表示） 6．(24-25九上·上海浦东新区·期中)等腰三角形中，如果腰与底边之比为，那么底角的余弦值为 ． 7．(24-25九上·上海宝山区·期中)如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么 ． 8．(24-25九上·上海静安区继续教育学校附属学校·期中)如果是锐角，，那么 ． 9．(24-25九上·上海·期中)如图，中，，将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处，如果，那么 ． 10．(24-25九上·上海宝山中学·期中)在锐角中，锐角A的正切值是，如果将这个三角形三边的长都扩大为原来的2倍，那么锐角A的余弦值是 ． 三、解答题 11．(24-25九上·上海崇明区·期中)如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 地 城 考点03 正切 一、单选题 1．(24-25九上·上海第三女子初级中学·期中)在中，，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·上海虹口区·期中)如图，在中，，，，则等于（   ） A． B．2 C． D． 3．(24-25九·上海梅陇中学·期中)已知在平面直角坐标系内有一点，那么与轴正半轴的夹角的正切值是(    ) A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25九上·上海闵行区浦江第一中学·期中)在中，，如果，，那么 ． 5．(24-25九上·上海松江区·期中)已知，在中，，则 ． 6．(24-25九上·上海奉贤区·期中)如图，在中，，是斜边上的高，若，则 ． 7．(24-25九上·上海黄浦区·期中)如图，中，，，，，，则 ． 8．(24-25九上·上海静安区彭浦初级中学·期中)如图，在中，，，，是边上一点，，连接，过作的垂线交边于点，连接，则 ． 三、解答题 9．(24-25九上·上海延安初级中学·期中)如图，在中，．点D在边上，． (1)求的长； (2)求的正切值． 10．(24-25九上·上海松江区·期中)已知：如图，在平行四边形中，，点在的延长线上，连接，交于点．    (1)当时，求的长； (2)当时，求的正切值． 一、计算题地 城 考点04 特殊角的三角函数 1．(24-25九上·上海崇明区·期中)计算：． 2．(24-25九上·上海青浦区徐泾中学·期中)计算： 3．(24-25九上·上海延安初级中学·期中)计算： 4．(24-25九上·上海黄浦区·期中)计算：． 5．(24-25九上·上海静安区继续教育学校附属学校·期中) 6．(24-25九·上海梅陇中学·期中)计算：． 7．(24-25九上·上海民办明珠中学·期中)计算：． 8．(24-25九上·上海青浦区·期中)计算: 9．(24-25九上·上海徐汇区部分学校联考·期中)计算： 10．(24-25九上·上海第三女子初级中学·期中)计算：． 11．(24-25九上·上海华东政法大学附属中学·期中)计算：． 12．(24-25九上·上海进才中学北校·期中)计算：． 13．(24-25九上·上海民办华曜宝山实验学校·期中)计算： 14．(24-25九上·上海静安区彭浦初级中学·期中)好学的小王同学在学完锐角三角比后，想探究锐角中之间的关系，他想起数学课堂上老师常讲的“特殊到一般”思想，于是决定先研究直角三角形的情况． (1)请帮助小王完成推理过程，填空： 如图①，在中，，， ______，______． ______（填“>”，“<”或“=”）； 小王根据直角三角形时的经验，猜想出锐角三角形时的结论，但证明遇到了困难，于是他找到数学老师求助．老师肯定了他（1）的证明过程和猜想的结论，师生对话如下． 师：（1）证明的关键是什么？ 生：找到了与都有关的边，可是现在不是直角三角形，找不到斜边． 师：并不是找斜边，而是找与都有关的边，可以尝试作辅助线解决这个问题． 生：作高！可是这样也只能说明之间的关系，怎么加入呢？ 师：同理可得． (2)请帮助小王完成锐角三角形时结论的证明： 如图②，在锐角中，____________（填“>”，“<”或“=”） 小王完成证明后又找到数学老师，老师肯定了他的答案，并告诉他实际上钝角也有三角比，并且（2）的结论在钝角三角形中也是成立的．数学老师又给小王出了一道题： (3)请利用已学的特殊锐角的三角比值和（2）的结论求出的值． （要求：1、画出对应的钝角三角形的示意图，并标出角度；2、直接写出结果） 2 / 28 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 锐角三角函数（期中真题汇编，上海专用） 4大高频考点概览 考点01 正弦 考点02 余弦 考点03 正切 考点04 特殊角的三角函数 地 城 考点01 正弦 一、单选题 1．(24-25九上·上海浦东新区多校联考·期中)在中，，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求角的正弦值，根据即可求解； 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴， 故选：C 2．(24-25九上·上海民办尚德实验中学·期中)已知在中，，那么的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦、余弦、正切是解题的关键．根据锐角三角函数正弦的定义求解即可． 【详解】解：在中，， ∴． 故选：D． 3．(24-25九上·上海黄浦区·期中)如图，在中，是边上的高，已知，．下列线段中，其长为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正弦的定义及同角的余角相等，掌握是解题的关键． 【详解】解：∵是边上的高， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选A． 二、填空题 4．(24-25九上·上海嘉定区部分学校·期中)在中，已知，那么的正弦值等于 【答案】/ 【分析】本题考查了求一个角的正弦，三角形的内角和定理，求出度数是解题的关键．根据三角形内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．(24-25九上·上海杨浦区·期中)已知点P位于第一象限内，，且与x轴正半轴夹角的正弦值为，那么点P的坐标是 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及坐标与图形，解直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出，代入，则，然后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，如图：过点P作轴： ∵与x轴正半轴夹角的正弦值为， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 6．(24-25九上·上海民办明珠中学·期中)已知在中，，如果的正弦值为，那么的正弦值为 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数、勾股定理，根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可．掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提． 【详解】解：中，， 的正弦值是，即， ∴设，则，由勾股定理得， ∴， 故答案为∶． 7．(24-25九上·上海浦东新区建平中学西校·期中)已知直角三角形两直角边长分别为和，那么较小锐角的正弦值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，首先根据勾股定理求出斜边长为，如果根据正弦的定义即可解决问题． 本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知勾股定理及正弦的定义是解题的关键． 【详解】解：因为直角三角形两直角边长分别为和， 所以斜边长为：， 所以较小锐角的正弦值为：． 故答案为：． 8．(24-25九上·上海青浦区毓秀学校·期中)在中，，，，那么 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了解直角三角形．根据，，，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：如图：在中，， ，， ， 故答案为：8． 9．(24-25九上·上海静安区彭浦初级中学·期中)如果是边长为10的菱形的一个锐角，，那么这个菱形的面积是 ． 【答案】80 【分析】本题考查了锐角三角函数、菱形的性质，掌握正弦的定义是解题的关键．先画出符合题意的菱形，作交于点，利用正弦的定义求出，再利用菱形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图，菱形的边长为10，，作交于点， 在中，， ， 菱形的面积． 故答案为：80． 10．(24-25九上·上海黄浦区·期中)如图，已知在四边形中，与相交于点，，．若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数的定义，垂线定义．解题时要注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，有两角对应相等的三角形相似与有两边对应成比例且夹角相等三角形相似的性质的应用．由、可得，又由对顶角相等，根据有两角对应相等的三角形相似，易得，即可得到比例线段，再由，即可证得；由可得，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 地 城 考点02 余弦 一、单选题 1．(24-25九上·上海虹口区·期中)在中，，，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，结合题意再根据直角三角形中余弦的定义得，代值计算即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 2．(24-25九上·上海杨浦区·期中)已知在中，，，那么下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求角的余弦值，等式的性质等知识点，牢记余弦的定义是解题的关键． 根据余弦的定义可得，然后利用等式的性质即可得出答案． 【详解】解：如图， ， ， 故选：． 3．(24-25九上·上海民办尚德实验中学·期中)如图，在中，，是斜边上的高，下列线段的比值不等于的值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，三角形的内角和定理的应用，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．先证明，再结合锐角的余弦可得答案． 【详解】解：∵，是斜边上的高， ∴， ∴， ∴， 故C不符合题意； 故选：C 4．(24-25九上·上海闵行区浦江第一中学·期中)中，，，，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余弦的定义，勾股定理，明确：在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值．先利用勾股定理求出，再根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， ． 故选：C． 二、填空题 5．(24-25九上·上海宝山实验学校·期中)在中，，，，那么 ．（结果用的锐角三角函数表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据余弦的定义可得． 【详解】解：在中，，，， ∴， 故答案为：． 6．(24-25九上·上海浦东新区·期中)等腰三角形中，如果腰与底边之比为，那么底角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，余弦函数的定义．设腰长为，底边长，作于E，则，在中，根据，即可解决问题． 【详解】解：如图，中，，作于点， ∵等腰三角形的腰与底边的比是， 设腰长为，底边长， ∴， 在中， ∴， 故答案为：． 7．(24-25九上·上海宝山区·期中)如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了求角的余弦根据、分别是、的中点，知是中位线得，连接，根据菱形的性质知与垂直平分，根据余弦的定义，即可求解. 【详解】解：在菱形中，是的中点， 也是对角线的交点，且与垂直平分， 、分别是、的中点， ∴， ∴ 在中，，, ∴ 故答案为： 8．(24-25九上·上海静安区继续教育学校附属学校·期中)如果是锐角，，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，先求出，再代入即可求出答案． 【详解】解：∵是锐角，， ∴， ∴， 故答案为： 9．(24-25九上·上海·期中)如图，中，，将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的翻折变换，设，，根据折叠的性质得，再利用勾股定理求出，最后根据余弦的定义即可得解．解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等． 【详解】解：设，， ∴， ∵将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．(24-25九上·上海宝山中学·期中)在锐角中，锐角A的正切值是，如果将这个三角形三边的长都扩大为原来的2倍，那么锐角A的余弦值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正切的定义，余弦的定义，勾股定理，解题的关键是掌握在直角三角形中，一个锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．由于锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A的大小没改变，根据余弦的定义得到锐角的余弦函数值也不变． 【详解】解：根据题意画出示意图，如图所示，过点C作于点D， ∵是锐角三角形，且， ∴， 设， 在中，， ∴ ∵将这个三角形三边的长都扩大为原来的2倍，得到锐角A的大小没改变，根据余弦的定义得到锐角的余弦函数值也不变， ∴ 故答案为：． 三、解答题 11．(24-25九上·上海崇明区·期中)如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义． （1）根据锐角三角函数的定义即可求出答案； （2）根据勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴，即 ∴； （2）∵，， ∴ ∴． 地 城 考点03 正切 一、单选题 1．(24-25九上·上海第三女子初级中学·期中)在中，，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角的余切值，根据余切的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选A． 2．(24-25九上·上海虹口区·期中)如图，在中，，，，则等于（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正切的定义，根据正切的定义计算即可得解，熟练掌握正切的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：B． 3．(24-25九·上海梅陇中学·期中)已知在平面直角坐标系内有一点，那么与轴正半轴的夹角的正切值是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作轴，垂足为，根据已知易得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作轴，垂足为， 点 ，， 在中，， 故选：B． 二、填空题 4．(24-25九上·上海闵行区浦江第一中学·期中)在中，，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，利用正切的定义计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 5．(24-25九上·上海松江区·期中)已知，在中，，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义得，再根据，即可得出的长． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴． 故答案为：8． 6．(24-25九上·上海奉贤区·期中)如图，在中，，是斜边上的高，若，则 ． 【答案】/0.75 【分析】此题考查的是锐角三角函数的定义及互余角的三角函数值，正确得出各边之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：如图：∵垂足为，， 令，，则， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 7．(24-25九上·上海黄浦区·期中)如图，中，，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，熟练掌握解直角三角形是解题的关键，由勾股定理和解直角三角形得，，进而得，，利用面积法求得，进而即可得解． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴, ∴． 8．(24-25九上·上海静安区彭浦初级中学·期中)如图，在中，，，，是边上一点，，连接，过作的垂线交边于点，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、相似三角形的性质与判定，掌握相关知识点，结合图形找到合适的相似三角形是解题的关键．通过证明，利用相似三角形的性质得到，再根据正切的定义得到，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ，即， ， ， 在中，， ， ． 故答案为：． 三、解答题 9．(24-25九上·上海延安初级中学·期中)如图，在中，．点D在边上，． (1)求的长； (2)求的正切值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查解直角三角形及相似三角形的性质与判定． （1）过D作于点E，由等腰三角形的性质可得，再结合求出，，最后根据求解即可； （2）过点B作于点F，则，得到，求出，，再证明，得到，最后根据求解． 【详解】（1）解：如图，过D作于点E， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图，过点B作于点F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．(24-25九上·上海松江区·期中)已知：如图，在平行四边形中，，点在的延长线上，连接，交于点．    (1)当时，求的长； (2)当时，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、解直角三角形、平行线分线段成比例定理等知识点，准确作出辅助线是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理求解即可； （2）如图：过点F作于点G，根据平行四边形的性质证明，然后求出，最后根据正切的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，解得∶ ． （2）解：如图：过点F作于点G，    ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的正切值． 一、计算题地 城 考点04 特殊角的三角函数 1．(24-25九上·上海崇明区·期中)计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键，先代入特殊角的三角函数值，再计算即可. 【详解】解： 2．(24-25九上·上海青浦区徐泾中学·期中)计算： 【答案】 【分析】本题考查了特殊三角函数值及运算，熟记特殊三角函数值是解题关键． 【详解】解：原式， ， ， ． 3．(24-25九上·上海延安初级中学·期中)计算： 【答案】 【分析】本题主要考查特殊角三角函数值的混合运算，二次根式的性质和混合运算，先整理为，再根据二次根式的性质和混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 4．(24-25九上·上海黄浦区·期中)计算：． 【答案】2 【分析】本题考查的是特殊角的锐角三角函数值的混合运算，化简绝对值，掌握“的三角函数值”是解题的关键．先分别求解特殊角的三角函数值，再进行二次根式的乘法运算，化简绝对值，计算乘方，再合并即可． 【详解】解： ． 5．(24-25九上·上海静安区继续教育学校附属学校·期中) 【答案】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，代入特殊角三角函数值进行计算即可． 【详解】解： 6．(24-25九·上海梅陇中学·期中)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 7．(24-25九上·上海民办明珠中学·期中)计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数特殊值的运用以及四则运算的顺序．关键在于牢记三角函数特殊值． 先明确三角函数的特殊值：，，，， ．然后按照先算乘方、再算乘除、最后算加减的顺序计算即可． 【详解】解：原式 ． 8．(24-25九上·上海青浦区·期中)计算: 【答案】 【分析】将特殊角的三角函数值代入原式进行计算即可． 本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解： ． 9．(24-25九上·上海徐汇区部分学校联考·期中)计算： 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，把特殊角的三角函数值代入算式计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 10．(24-25九上·上海第三女子初级中学·期中)计算：． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入，进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 11．(24-25九上·上海华东政法大学附属中学·期中)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，以及特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握运算法则． 根据二次根式、特殊角的三角函数值、分数指数幂的法则，先化简，再进行运算． 【详解】解： ． 12．(24-25九上·上海进才中学北校·期中)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，分母有理化等知识．熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 先计算各特殊角的三角函数值，然后分母有理化，计算乘方与乘法，最后进行减法运算即可． 【详解】解： ． 13．(24-25九上·上海民办华曜宝山实验学校·期中)计算： 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入，再根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 14．(24-25九上·上海静安区彭浦初级中学·期中)好学的小王同学在学完锐角三角比后，想探究锐角中之间的关系，他想起数学课堂上老师常讲的“特殊到一般”思想，于是决定先研究直角三角形的情况． (1)请帮助小王完成推理过程，填空： 如图①，在中，，， ______，______． ______（填“>”，“<”或“=”）； 小王根据直角三角形时的经验，猜想出锐角三角形时的结论，但证明遇到了困难，于是他找到数学老师求助．老师肯定了他（1）的证明过程和猜想的结论，师生对话如下． 师：（1）证明的关键是什么？ 生：找到了与都有关的边，可是现在不是直角三角形，找不到斜边． 师：并不是找斜边，而是找与都有关的边，可以尝试作辅助线解决这个问题． 生：作高！可是这样也只能说明之间的关系，怎么加入呢？ 师：同理可得． (2)请帮助小王完成锐角三角形时结论的证明： 如图②，在锐角中，____________（填“>”，“<”或“=”） 小王完成证明后又找到数学老师，老师肯定了他的答案，并告诉他实际上钝角也有三角比，并且（2）的结论在钝角三角形中也是成立的．数学老师又给小王出了一道题： (3)请利用已学的特殊锐角的三角比值和（2）的结论求出的值． （要求：1、画出对应的钝角三角形的示意图，并标出角度；2、直接写出结果） 【答案】(1)；； (2)；；证明见解析 (3)图见解析， 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，掌握正弦的定义，学会添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）结合题意，完成推理过程即可； （2）作于点，则，分别在和中利用正弦的定义得到，，等量代换即可得出答案； （3）作使得，，则，作于点，利用特殊锐角的三角比值得到，，设，表示出、的长，再由（2）得结论可得，代入数据即可求出的值． 【详解】（1）解：如图①，在中，，， ，． ． 故答案为：；；． （2）证明：如图，作于点，则， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 同理可得：， ． 故答案为：；． （3）解：作使得，，则，如图所示，钝角三角形的示意图即为所求： 作于点，则， ， ， ， ， 在中，，， ，， 设，则，， ， 由（2）的结论得，， ， 解得：． 2 / 28 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $