专题03 锐角的三角比（期中复习讲义）（必备知识+10大题型+分层检测）九年级数学上学期沪教版五四制

专题03 锐角的三角比（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 三角比的基本概念 能结合直角三角形的边角关系，准确写出任意一个锐角的三种三角比表达式。熟记特殊锐角的三角比数值。 基础必考点，在小题和解答题中均有涉及，包括直接默写、代入计算以及结合其他数学知识进行化简计算。 锐角三角比的性质 掌握锐角三角比随角度变化的规律，能根据这一性质比较两个锐角三角比的大小。明确同角三角比的基本关系。 重点考查根据同角三角比的关系求值以及解直角三角形中简单的边长或角度计算。 解直角三角形 熟练掌握解直角三角形的基本类型及解法。能将实际问题转化为解直角三角形的数学问题。 热门考点，以实际生活中的测量、航海、建筑等问题为背景，考查学生的数学建模能力和知识应用能力。题目难度有逐渐提升的趋势，常与其他几何图形结合考查。 知识点01 锐角的三角比 一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比． 定义 表达式 取值范围 相互关系 正 切 （为锐角） 余 切 （为锐角） 正 弦 （为锐角） 余 弦 （为锐角） 知识点02 特殊锐角的三角比的值 1 1 知识点03 锐角的三角比性质 ①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小； ②若，则； ③. 知识点04 解直角三角形的基本类型 在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在中，如果，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系： （2）锐角之间的关系： （3）边角之间的关系： ， ， 知识点05 解直角三角形的应用 1.仰角与俯角 在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°． 3.坡度（坡比）、坡角 在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度． 如图，坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即． 坡度通常写成1 : m的形式，如． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作． 坡度i与坡角之间的关系：． 题型一 角的正弦值及其应用 【典例1】（24-25九年级上·上海黄浦·期中）如图，在中，是边上的高，已知，．下列线段中，其长为的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25九年级上·上海静安·期中）如果是边长为10的菱形的一个锐角，，那么这个菱形的面积是 ． 【典例3】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知点P位于第一象限内，，且与x轴正半轴夹角的正弦值为，那么点P的坐标是 【典例4】（24-25九年级上·上海·期中）以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，、、、均在格点上． (1)如图1，仅利用网格和无刻度的直尺作图，在上找一点，使．小明作出线段（点、均在格点上），得到、的交点就是点，请证明小明的画法是正确的； (2)利用小明的方法，仅利用网格和无刻度的直尺作图，请在图的线段上画点，使，保留作图痕迹，并求的正弦值． 【变式1】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）已知直角三角形两直角边长分别为和，那么较小锐角的正弦值是 ． 【变式2】（24-25九年级上·上海青浦·期中）在中，，，，那么 ． 【变式3】（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知：如图，中，，点是边上的一点，且，，． (1)求的长； (2)作于，求的正弦值． 题型二 角的余弦值及其应用 【典例1】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，，是斜边上的高，下列线段的比值不等于的值的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知在中，，，那么下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么 ． 【变式1】（23-24九年级上·上海闵行·期中）在中，，，如果，那么 ． 【变式2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，，将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处，如果，那么 ． 题型三 角的正切（余切）值及其应用 【典例1】（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知在平面直角坐标系内有一点，那么与轴正半轴的夹角的正切值是(    ) A． B． C． D． 【典例2】（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，在中，，则 ． 【典例3】（24-25九年级上·上海松江·期中）已知：如图，在平行四边形中，，点在的延长线上，连接，交于点．    (1)当时，求的长； (2)当时，求的正切值． 【典例4】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与正比例函数的图象相交于横坐标为2的点A，平移直线，使它经过点，与y轴交于点C． (1)求平移后直线的表达式； (2)求的余切值． 【变式1】（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图，在中，，，，则等于（   ） A． B．2 C． D． 【变式2】（23-24九年级上·上海黄浦·期中）如图已知在中，，正方形的顶点分别在边上，点在斜边上，那么正方形的边长为 ．    题型四 特殊角三角比的混合运算 【典例1】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）计算： 【典例2】（24-25九年级上·上海黄浦·期中）计算：． 【典例3】（24-25九年级上·上海·期中）计算： 【变式1】（24-25九年级上·上海静安·期中） 【变式2】（24-25九年级上·上海·期中）计算： 题型五 解直角三角形的相关计算 【典例1】（24-25九年级上·上海·期中）在锐角中，，那么 【典例2】（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【变式1】（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·上海·期中）如果在等腰中，，那么底角的正弦值为 ． 题型六 解直角三角形中的翻折与旋转问题 【典例1】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在中，，，分别在上，点沿翻折后正好落在射线的点处，射线交射线于点，当时，则 ． 【典例2】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，已知在矩形中，连接，，将矩形绕点C旋转，使点B恰好落在对角线上的点处，点A、D分别落在点处，边分别与边交于点M、N，，那么线段的长为 ． 【变式1】（22-23九年级上·上海嘉定·期中）如图所示，中，，，，且D为上一点，将沿翻折，C落在，边与边交于F，若，则 ．    【变式2】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，．将绕着点顺时针旋转后，点恰好落在直线上的点处，点落在点处，射线与直线相交于点，那么 ． 题型七 仰角俯角问题 【典例1】（24-25九年级上·上海闵行·期中）进博会期间，从一架离地200米的无人机上，测得地面监测点的俯角是，那么此时无人机与地面监测点的距离是 米． 【典例2】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到高度为60米的处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为27米，则2号楼的高度为 米(结果保留根号)． 【典例3】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，小明身高（即）为米，通过地面上的一块平面镜（即点C），刚好能看到前方大树（即）的树梢，此时他测得俯角为，然后他直接抬头观察树梢，测得仰角为，求树的高度．（结果保留整数米，，） 【变式1】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图所示，和表示前后两幢楼，按照有关规定两幢楼问的间距不得小于楼的高度，即图中大于等于．小明想测量一下他家所住楼与前面楼是否符合规定，于是他在间的点M处架了测角仪，测得楼顶D的仰角为，已知米，测角仪距地面米． (1)问：两楼的间距是否符合规定？并说出你的理由； (2)为了知道前面楼的高度，小明又到家里（点P处），用测角仪再次测得楼顶D的仰角为，如果米，，请你来计算一下楼的高度． 【变式2】（24-25九年级上·上海·期中）根据背景素材，探索解决问题： 测算发射塔的高度 背景素材 博雅小组在一幢楼房窗前测算远处小山坡上发射塔的高度（如图1），他们通过自制的测倾仪（如图2）在A、B、C三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示． 测得A、B之间的图上距离为； 测得A、C之间的图上距离为． 测得D、E之间的图上距离为． 经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度． 问题解决 任务1 获取数据 选择两个观察位置： 点______和点______． 任务2 推理计算 直接写出所选位置且需要的观测角的正切值：______________； 直接写出已测得且需要的线段的图上距离：_______________． 计算发射塔的图上高度． 任务3 换算高度 楼房的实际宽度为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度． 题型八 方位角问题 【典例1】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路上有、两个游船码头，观光岛屿在码头的北偏东方向、在码头的北偏西方向，千米那么码头、之间的距离等于 千米结果保留根号 【变式】（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东方向上，且A，P之间的距离为32海里．    (1)若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？ (2)如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自A处开始改变航行方向，沿南偏东度方向航行确保安全通过这一海域，求的取值范围． 题型九 坡度坡比问题 【典例】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如果斜坡的坡比为，那么斜坡的坡角等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图，土坡是一个梯形，，斜坡长130米，坡度是，沿走上平台，可以坐电梯直达矩形观景台顶部，在点观察坡底点，俯角是，则观景台的垂直高度为 米．    【变式2】（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，已知梯形是一水库拦水坝的横断面示意图，坝顶宽米，坝高18米，迎水坡的坡度，背水坡的坡度，求坝底宽． 题型十 解直角三角形其它应用 【典例1】（24-25九年级上·上海·期中）如图，为了测量河宽（假设河的两岸平行），测得，，米，则河宽为 米（结果保留根号）． 【典例2】（24-25九年级上·上海·期中）材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： (1)求的正弦值； (2)求的长（结果精确到，参考数据：，，）． 【变式1】（24-25九年级上·上海·期中）根据以下素材，探索完成任务：，结果精确到0.1cm） 素材1：如图1是上海地铁里常见的一组通道闸机，当乘客扫码或刷卡后，闸机两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图2是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，，半径，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为． 素材2：小磊同学要携带如图3的长方体行李箱进站．（单位：） 问题解决 任务1 确定宽度 求闸机通道的宽度，即与之间的距离． 任务2 确定高度 若点B、E到地面的距离均为，求点A到地面的距离． 任务3 能否通过 小磊同学的行李箱是否可以通过闸机？请说明理由． 【变式2】（24-25九年级上·上海青浦·期中）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．（参考数据：） (1)当时，求点离地的距离约为多少分米：（结果精确到0.1） (2)当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点绕点随之旋转至上的点处，则______． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·上海·期中）在直角中，，那么下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·期中）若，则是多少度（   ） A． B． C． D．任意度数 3．（24-25九年级上·上海·期中）在中，都是锐角，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如果，那么锐角 度． 5.（24-25九年级上·上海静安·期中）如果是锐角，，那么 ． 6．（24-25九年级上·上海闵行·期中）在中，，如果，，那么 ． 7．（24-25九年级上·上海宝山·期中）在中，，，，那么 ．（结果用的锐角三角函数表示） 8．（24-25九年级上·上海普陀·期中）计算：． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在Rt中，，将折叠，使点落在边上的点处，为折痕．若 ． 2．（24-25九年级上·上海黄浦·期中）如图，已知在四边形中，与相交于点，，．若，，则 ． 3．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知在中，，垂足为点D，，点E是边的中点． (1)求边的长； (2)求的值． 4．（22-23九年级上·上海长宁·期中）如图，为测量学校旗杆的高度，小明从旗杆正前方3米处的点C出发，沿坡度为的斜坡前进米到达点D，在点D处放置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为，量得测角仪的高为1.5米．A、B、C、D、E在同一平面内，且旗杆和测角仪都与水平地面垂直． (1)求点D的铅垂高度； (2)求旗杆的高度． （结果保留根号，参考数据：，，．） 5．（24-25九年级上·上海·期中）小华家准备购买一套新房，经过考察小华家发现有的房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距，以增加住宅楼栋数．某市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼，国家规定普通住宅层高宜为2.80米．如果楼间距过小，将影响其他住户的采光（如图所示，窗户高1.0米）．    (1)某市的太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）：夏至日为81.4度，冬至日为34.88度．为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？（保留到0.1米） (2)小华一家决定在该小区B、C两栋楼中选择一套进行购买，现向售楼中心咨询得到如下信息： 1．B，C两栋楼中各套房子的面积均为． 2．三栋楼平行排列，楼在楼正南方且间距68米，楼楼的正南方且间距76米． 3．楼一层每平方米4万8，随着楼层增高单价也随之增高，每增加一层单价增高0.2万元；楼一层每平方米5万，随着楼层增加单价也随之增高．每增加一层单价也增高0.2万元． 请你帮小华家计算一下，在确保全年光照充足情况下，如何购买费用最少？并求出最少费用？ （本题参考值：，，） 6．（24-25九年级上·上海静安·期中）好学的小王同学在学完锐角三角比后，想探究锐角中之间的关系，他想起数学课堂上老师常讲的“特殊到一般”思想，于是决定先研究直角三角形的情况． (1)请帮助小王完成推理过程，填空： 如图①，在中，，， ______，______． ______（填“>”，“<”或“=”）； 小王根据直角三角形时的经验，猜想出锐角三角形时的结论，但证明遇到了困难，于是他找到数学老师求助．老师肯定了他（1）的证明过程和猜想的结论，师生对话如下． 师：（1）证明的关键是什么？ 生：找到了与都有关的边，可是现在不是直角三角形，找不到斜边． 师：并不是找斜边，而是找与都有关的边，可以尝试作辅助线解决这个问题． 生：作高！可是这样也只能说明之间的关系，怎么加入呢？ 师：同理可得． (2)请帮助小王完成锐角三角形时结论的证明： 如图②，在锐角中，____________（填“>”，“<”或“=”） 小王完成证明后又找到数学老师，老师肯定了他的答案，并告诉他实际上钝角也有三角比，并且（2）的结论在钝角三角形中也是成立的．数学老师又给小王出了一道题： (3)请利用已学的特殊锐角的三角比值和（2）的结论求出的值． （要求：1、画出对应的钝角三角形的示意图，并标出角度；2、直接写出结果） 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）在中，，点D、E分别在上，且，若沿翻折，点C恰好落在边上，则的长为 ．    2．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，在正方形中，E是边的中点，将沿直线翻折后，点B落在点M处，连接并延长与边交于点N，那么的值为 ． 3．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在菱形中，点E、点F分别在边边上，，四边形沿EF翻折，点C的对应点恰好落在边AB上，如果，那么的值为 ． 4．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在矩形中，，，点E是边的中点，连接，在直线下方作矩形，如果矩形与矩形相似，那么点C到直线的距离为 ． 5．（24-25九年级上·上海·期中）如图，，，动点P、Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直移动到点A为止． (1)写出的长和的长关于时间t的函数； (2)经过多少时间后，与相似？ (3)在整个过程中，是否存在使的面积恰好为面积一半的情况，若存在，请问此时点Q运动了多少时间？若不存在，请说明理由． 6．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点和点，点． (1)求直线的表达式和线段的长度； (2)连接线段，求的值； (3)设线段与x轴交于点 P，如果点C在x轴上，且 与 相似，求点C的坐标. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03锐角的三角比（期中复习讲义） 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 三角比的基 能结合直角三角形的边角关系，准确 基础必考点，在小题和解答题中均有涉及，包括直 本概念 写出任意一个锐角的三种三角比表达 接默写、代入计算以及结合其他数学知识进行化简 式。熟记特殊锐角的三角比数值。 计算。 锐角三角比 掌握锐角三角比随角度变化的规律， 重点考查根据同角三角比的关系求值以及解直角三 的性质 能根据这一性质比较两个锐角三角比 角形中简单的边长或角度计算。 的大小。明确同角三角比的基本关系。 解直角三角 熟练掌握解直角三角形的基本类型及 热门考点，以实际生活中的测量、航海、建筑等问 形 解法。能将实际问题转化为解直角三 题为背景，考查学生的数学建模能力和知识应用能 角形的数学问题。 力。题目难度有逐渐提升的趋势，常与其他几何图 形结合考查。 记·必备知识 同知识点01锐角的三角比 个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比. 定义 表达式 取值范围 相互关系 正 ∠A的对边 tanA= a tan4>0 tanA= b 切 ∠A的邻边 tanB=b a (∠A为锐角) tan4=- cotA=B cot4 余 ∠A的邻边 cot4>0 cot4= a cotB= a 切 ∠A的对边 b (∠A为锐角) 正 ∠A的对边 sinA=a b 0<sinA<1 sinA=- c sinB= 弦 斜边 (∠A为锐角) sinA=cos(90°-∠A) b 余 ∠A的邻边 CosA= CosB=a 0<cosA<1 cosA=sin(90°-∠A) cos4= 弦 斜边 c (∠A为锐角) 1/63 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 属知识点2特殊锐角的三角比的值 0=30° 0u=60° u=450 tan a 5 1 3 cot a 5 5 1 3 sin a 5 互 2 cos a 1 2 2 2 ®知识点3锐角的三角比性质 ①当锐角增大时，这个锐角的正切与正弦值都增大，这个锐角的余切与余弦值都减小； ②若∠A+∠B=90°，则tanA=cotB;sinA=cosB; ③tanA.cotA=l. 局知识点04解直角三角形的基本类型 在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在Rt△4BC中，如果∠C=90°，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： (1)三边之间的关系： a+b2=c2 (2)锐角之间的关系： ∠A+∠B=90 (3)边角之间的关系： sinA=cosB-4,c0s4=sin B= c 6’cotA=tanB=b tanA=cotB=a, 局知识点05解直角三角形的应用 1.仰角与俯角 在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角，如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视 线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角. 2/63 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ，视线 铅 长警 一水平线 线 、视线 2.方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角. 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45. 北 北偏东30 北偏西70 309 45050 南偏东50° 南偏西45° 3.坡度（坡比)、坡角 在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度， 如图，坡面的铅垂高度h和水平宽废/的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作，即1= 坡度通常写成1：m的形式，如i=1:1.5 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作· 坡度i与坡角x之间的关系：i==anx. 破·重难题型 它题型一角的正弦值及其应用 【典例1】(24-25九年级上·上海黄浦·期中)如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，已知∠ACB=90°， BC=1.下列线段中，其长为sinA的是() 3/63 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.BD B.AC C.BC D.AD 【答案】A 【详解】解：CD是边AB上的高，∠ACB=90°， .∠A+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°， ∠A=∠DCB, BC=1, BD sinA=sin∠DCB= BC =BD, 故选A. 【典例2】(24-25九年级上·上海静安期中)如果α是边长为10的菱形的一个锐角，sinx=,那么这个 菱形的面积是 【答案】80 【详解】解：如图，菱形BCD的边长为10，Sm8-手作E1C交于点B, D 在Rt△ABE中，snB=AE-4 AB5' 4Ae4B=4x10=8, ∴.菱形ABCD的面积=BC·AE=10×8=80 故答案为：80. 【典例3】(24-25九年级上·上海杨浦期中)已知点P位于第一象限内，OP=6,且OP与x轴正半轴夹角 的正弦值为，邦么点P的坐标是 【答案】(25.4 【详解】解：依题意，如图：过点P作PA⊥x轴： 4/63 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A 0心与轴正半轴夹角的正弦值为号 :sin POA=OP3 PA 2 ×0P=6, ∴.PA=4, 则0A=VP02-PA=36-16=25, P(25,4, 故答案为：(25,4)： 【典例4】(24-25九年级上·上海期中)以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，A、B、C、D 均在格点上， D B 图1 图2 (1)如图1，仅利用网格和无刻度的直尺作图，在MN上找一点P,使MP=3,小明作出线段GH（点G、H 均在格点上)，得到GH、MN的交点就是点P,请证明小明的画法是正确的； (2)利用小明的方法，仅利用网格和无刻度的直尺作图，请在图2的线段AB上画点E,使BE=2AE,保留 作图痕迹，并求∠ADE的正弦值. 【详解】(1)解：GN∥MH ∴.△GNP∽△IMP 5/63 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MP MH 3 PN GN =2 MP 3 MN5 又MN=V32+42=5 MP=3, “小明的画法是正确的； (2)解：如图所示，取格点F,连接DF交AB于点E,则点E即为所求： A E D B 图2 连接AD,BF, F D B 图2 .AD∥BF,AD=2,BF=4 .△ADE∽△BFE 6/63 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE AD 1 BE FB2 ∴BE=2AE, 如图所示，取格点H,连接AH,HF, H F 图2 在Rt△HDF中，HF=4,HD=3 DF=VHD2+HF2=V32+43=5 HF 4 sin∠ADE= DF 5 【变式1】(24-25九年级上·上海浦东新·期中)已知直角三角形两直角边长分别为9和40，那么较小锐角 的正弦值是 【答案】9 1 【详解】解：因为直角三角形两直角边长分别为9和40， 所以斜边长为：V92+402=41, 所以较小锐角的正弦值为： 9 故答案为：41 9 【变式2】 24-25九年级·上海青浦期中)在Rt△4BC中，∠C=90°，4AB=10,sn4,邦2 BC= 【答案】8 【详解】解：如图：在Rt△ABC中，∠C=90°， 7/63 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sinA= 4 5’AB=10, ∴.BC=AB.sin A=8, 故答案为：8， 【变式3】(24-25九年级上·上海虹口·期中)已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，点E是边AC上的一 点，且∠ABE=∠C,AB=3,AC=4. A B C (1)求BE的长； (2)作ED⊥BC于D,求∠EBC的正弦值， 【详解】(1)解：∠A=∠A,∠ABE=∠C, AABE∽△ACB, AB AE BE AC AB BC' AB=3,AC=4, 又×∠A=90°， 六BC=VAB+AC2=V3+4=5, 3 BE 45 .BE= 15 (2)解：如图，过点E作ED⊥BC于D, B δ AB AE AC-AB'4B=3,AC=4, 8/63 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE=A' 9 EC-AC-AE= ×∠A=∠EDC=90°，∠C=∠C, △CED∽aCBA, ED EC AB BC .ED=AB-EC 21 BC20' ED 7 在Rt△BED中， sin∠EBC= BE 25' 匚题型二 角的余弦值及其应用 【典例1】（24-25九年级上·上海期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，下列线 段的比值不等于cosA的值的是() D AD AC A. B. AC AB C.BD CD D. BC 【答案】C 【详解】解：~∠C=90°，CD是斜边AB上的高， ∠A+∠B=90°=∠B+∠BCD, ∴.∠A=∠BCD, .Cos A= AC AD AB AC =COS∠BCD=C C 故C不符合题意； 故选：C 【典例2】(24-25九年级上·上海杨浦期中)已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=n,那么下列关系式正 确的是() A.AC=n.sinA B.AC=n.cosA C.AC=n.tanA D.AC=n·cotA 【答案】B 9/63 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：如图， B ACAC '.cos4= AB n C ∴.AC=n.cosA, 故选：B. 【典例3】(24-25九年级上.上海宝山期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,点E是AD 的中点，联结OE.如果AB=3,AC=4,那么cos∠AOE= 【答案 【详解】解：在菱形ABCD中，O是AC的中点， ∴O也是对角线的交点，且AC与BD垂直平分， :O、E分别是AC、AD的中点， ..OE CD, ∴.∠AOE=∠ACD 在Rt△OCD中，OC4C=)X4=2,CD=AB=3 2 .cos∠AOE=cos∠ACD= 0C_2 CD 3 故答案为： 3 【变式1】(23-24九年级上·上海闵行·期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB= 如果AB=14,那么 5 AC= 【答案】4V6 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90,cosB==BC AB=14, 10/63