专题09 一元二次方程的相关概念（期中真题汇编，上海专用）八年级数学上学期沪教版五四制2024

专题09 一元二次方程的相关概念（期中真题汇编） 3大高频考点概览 考点01 一元二次方程的定义 考点02 一元二次方程的一般形式 考点03 一元二次方程的解 地 城 考点01 一元二次方程的定义 一、单选题 1．(24-25八上·上海崇明区九校联考（五四制）·期中)下列方程中是关于的一元二次方程的是（   ） A． B．（其中、、是常数） C． D． 2．(24-25八上·上海青浦区第一中学·期中)下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·上海嘉定区中科院上海实验学校·期中)下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·上海天山中学·期中)下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（   ） A．（a、b、c是实数） B． C． D． 5．(24-25八上·上海闵行区鑫都实验中学·期中)下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．(24-25八上·上海世外中学·期中)一元二次方程的一次项系数是 ． 7．(24-25八上·上海延安初级中学·期中)如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ． 三、解答题 8．(24-25八上·上海青浦区第一中学·期中)已知方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 地 城 考点02 一元二次方程的一般形式 一、填空题 1．(24-25八上·上海建青实验学校·期中)一元二次方程的一次项系数是 ． 2．(23-24八上·上海奉贤区·期中)一元二次方程的一次项系数是 ． 3．(24-25八上·上海建青实验学校·期中)已知关于的一元二次方程的常数项是0，则 ． 4．(23-24八上·上海青浦区珠溪中学·期中)方程的二次项系数是 ；一次项是 ． 5．(23-24八上·上海青浦区珠溪中学·期中)方程化成一般式是 ． 6．(24-25八上·上海闵行区·期中)已知一个一元二次方程有一个根是1，且它的一次项系数是，写出一个符合要求的方程： ． 7．(24-25八上·上海宝山实验学校·期中)若一元二次方程的二次项系数为3，则该方程的常数项是 ． 地 城 考点03 一元二次方程的解 一、单选题 1．(24-25八上·上海风华初级中学·期中)关于的一元二次方程的一个根是0，则的值（   ） A．1或 B． C．1 D． 2．(24-25八上·上海浦东新区建平中学西校·期中)若是方程的根，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D． 3．(24-25八上·上海张江集团学校·期中)以关于的方程的两根的相反数为根的一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·上海建青实验学校·期中)已知是一元二次方程的一个解，则的值是（   ） A．或1 B．0 C．0或1 D．0或 二、填空题 5．(24-25八上·上海普陀区·期中)已知一个一元二次方程有一个根为，且常数项为0，请写出一个满足要求的方程： ． 6．(24-25八上·上海华育中学·期中)关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为 ． 7．(24-25八上·上海天山中学·期中)关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为 ． 8．(24-25八上·上海淞谊实验学校·期中)“两个一元二次方程有且只有一个公共根，这两个方程叫做互为好友方程，这两个公共根叫做好友根．”例如和就是互为好友方程，好友根为．如果和就是互为好友方程，那么 ． 9．(24-25八上·上海梅陇中学·期中)写出一个一元二次方程，使它的一个根为1，另一个根为，这个方程的一般式是 ． 10．(24-25八上·上海闵行区上海交通大学附属第二中学·期中)已知方程和方程的根完全相同，则 ． 11．(24-25八上·上海徐汇中学·期中)如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；现有下列结论： （1）若关于x的方程是倍根方程，； （2）方程是倍根方程； （3）若关于x的方程，（）是倍根方程，则； （4）若，则关于x的方程（）是倍根方程． 其中正确的结论有 ．（写出所有正确说法的序号） 12．(24-25八上·上海张江集团学校·期中)若、是两个不相等的素数，且，那么的值为 ． 13．(24-25八上·上海张江集团学校·期中)设、是方程的两个有理根，已知，那么的值为 ． 14．(24-25八上·上海嘉定区中科院上海实验学校·期中)定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程互为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则n= ． 15．(24-25八上·上海建青实验学校·期中)如果关于的一元二次方程的两根为1和，那么多项式可分解为 ． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 一元二次方程的相关概念（期中真题汇编） 3大高频考点概览 考点01 一元二次方程的定义 考点02 一元二次方程的一般形式 考点03 一元二次方程的解 地 城 考点01 一元二次方程的定义 一、单选题 1．(24-25八上·上海崇明区九校联考（五四制）·期中)下列方程中是关于的一元二次方程的是（   ） A． B．（其中、、是常数） C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是一元二次方程的判断，掌握一元二次方程的定义及一般形式是解题关键．先将各选项一元二次方程不是一般形式的化为一般形式，然后根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，是一元二次方程，故符合题意； B．当时，（其中、、是常数）不是一元二次方程，故不符合题意； C．不是整式方程，所以不是一元二次方程，故不符合题意； D．，整理，得，不是一元二次方程，故不符合题意． 故选：A． 2．(24-25八上·上海青浦区第一中学·期中)下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A、未知数的最高次数是1，故不是一元二次方程，不符合题意； B、方程化为，是一元二次方程，符合题意； C、含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D、不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意． 故选：B． 3．(24-25八上·上海嘉定区中科院上海实验学校·期中)下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理；如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程． 【详解】解： A、当时，不是一元二次方程，故不符合题意； B、符合一元二次方程的定义，故符合题意 C、原方程整理得：，是一元一次方程，故不符合题意； D、是分式方程，故不符合题意． 故选：B． 4．(24-25八上·上海天山中学·期中)下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（   ） A．（a、b、c是实数） B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程”，由此问题可求解． 【详解】解：A、当时，则就不是一元二次方程，故不符合题意； B、把化简为，不是一元二次方程，故不符合题意； C、含分式，不是一元二次方程，故不符合题意； D、是一元二次方程，故符合题意． 故选D． 5．(24-25八上·上海闵行区鑫都实验中学·期中)下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、中方程含有两个未知数，故选项错误； B、不是整式方程，故选项错误； C、符合一元二次方程的定义，故选项正确； D、方程整理后未知数的最高次数是1，是一元一次方程，故选项错误． 故选：C． 二、填空题 6．(24-25八上·上海世外中学·期中)一元二次方程的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式：（a，b，c为常数且），即可解答． 【详解】解：， ， ，即 ∴一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 7．(24-25八上·上海延安初级中学·期中)如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此根据判别式求出a的取值范围，再由二次项系数不为0即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 又∵二次项系数不为0， ∴， 综上所述，且． 三、解答题 8．(24-25八上·上海青浦区第一中学·期中)已知方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了根的判别式与一元二次方程的定义．根据一元二次方程有两个不相等的实数根时，，以及二次项系数不为0，建立式子，求出m的取值范围即可． 【详解】解： . 方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得， 综上所述，m的取值范围为且． 地 城 考点02 一元二次方程的一般形式 一、填空题 1．(24-25八上·上海建青实验学校·期中)一元二次方程的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程一般形式的一次项系数的概念进行解答即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故答案为： 2．(23-24八上·上海奉贤区·期中)一元二次方程的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一次项系数．熟练掌握一元二次方程，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项是解题的关键． 【详解】解：由题意知，一次项系数是， 故答案为：． 3．(24-25八上·上海建青实验学校·期中)已知关于的一元二次方程的常数项是0，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及相关概念，解题的关键是确定常数项，并注意二次项系数不为零的前提条件． 根据一元二次方程的定义以及常数项为0，列出方程解答即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴解得：或， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．(23-24八上·上海青浦区珠溪中学·期中)方程的二次项系数是 ；一次项是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的相关定义，根据“一元二次方程中，a是二次项系数，是一次项系数，c是常数项”即可解答． 【详解】解：整理为：， ∴二次项系数为，一次项为， 故答案为：，． 5．(23-24八上·上海青浦区珠溪中学·期中)方程化成一般式是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，即（a，b，c是常数且）．将方程左边展开，通过移项、合并同类项化为（a，b，c是常数且）的形式即可．解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式． 【详解】 ． 故答案为：． 6．(24-25八上·上海闵行区·期中)已知一个一元二次方程有一个根是1，且它的一次项系数是，写出一个符合要求的方程： ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义，本题属于基础题型．根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意可设：， 将代入，得， ∴， 故该方程可为：． 故答案为：（答案不唯一）． 7．(24-25八上·上海宝山实验学校·期中)若一元二次方程的二次项系数为3，则该方程的常数项是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．把原方程变形为，若二次项系数为3，则该方程的常数项是． 【详解】解：变成一般形式为：， 若二次项系数为3，则该方程的常数项是， 故答案为：． 地 城 考点03 一元二次方程的解 一、单选题 1．(24-25八上·上海风华初级中学·期中)关于的一元二次方程的一个根是0，则的值（   ） A．1或 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念与根的概念以及解一元二次方程，关键是掌握以上概念，本题要注意二次项系数不为零，将根代入后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：将代入方程得， ∴， ∵， ∴ 故选：D ． 2．(24-25八上·上海浦东新区建平中学西校·期中)若是方程的根，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根以及代数式求值， 把代入方程可得出，结合已知可得出，进而可得出答案． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∵， ∴， 则， 故选：C． 3．(24-25八上·上海张江集团学校·期中)以关于的方程的两根的相反数为根的一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关计算公式是解题的关键； 以，，为根的一元二次方程的形式为，根据这个公式代入即可求解； 【详解】解：， ， 关于的方程的两根的相反数为根， 则应满足，， A、中，，，符合题意； B、中，，，不符合题意； C、中，，，不符合题意； D、中，，，不符合题意； 故选：A 4．(24-25八上·上海建青实验学校·期中)已知是一元二次方程的一个解，则的值是（   ） A．或1 B．0 C．0或1 D．0或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意可得：把代入方程中得：，从而整理得：，然后解方程即可． 【详解】解：把代入方程中得： ， 整理得：， ， 解得：或， 故选：A． 二、填空题 5．(24-25八上·上海普陀区·期中)已知一个一元二次方程有一个根为，且常数项为0，请写出一个满足要求的方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义即可求出答案． 【详解】解∶∵一元二次方程的常数项为0， ∴设一元二次方程为， ∵一元二次方程有一个根为， ∴， ∴， 故该方程为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 6．(24-25八上·上海华育中学·期中)关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解即可． 【详解】解：把 代入，得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 7．(24-25八上·上海天山中学·期中)关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的二次项系数不为0． 将代入方程得到，求出，然后由得到，求出． 【详解】解：将代入， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：2． 8．(24-25八上·上海淞谊实验学校·期中)“两个一元二次方程有且只有一个公共根，这两个方程叫做互为好友方程，这两个公共根叫做好友根．”例如和就是互为好友方程，好友根为．如果和就是互为好友方程，那么 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查了一元二次方程的解及解一元二次方程，正确理解“互为好友方程”的定义是解题关键． 先解出，然后分为和两种情况，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 当好友根为时，则， 即； 当好友根为时，则， 即； 故答案为：或3． 9．(24-25八上·上海梅陇中学·期中)写出一个一元二次方程，使它的一个根为1，另一个根为，这个方程的一般式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，先得出一元二次方程的一个根为1，另一个根为得出关于的方程，再化为一般式即可． 【详解】解：一元二次方程的一个根为1，另一个根为， 该方程可以为，即． 故答案为：（答案不唯一）． 10．(24-25八上·上海闵行区上海交通大学附属第二中学·期中)已知方程和方程的根完全相同，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及解一元二次方程：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先解方程得到，，再把代入方程中求出，接着解方程方程可得到，然后计算的值． 【详解】解：， ，， 把代入方程得，解得， 解方程方程，解得，， ， ． 故答案为． 11．(24-25八上·上海徐汇中学·期中)如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；现有下列结论： （1）若关于x的方程是倍根方程，； （2）方程是倍根方程； （3）若关于x的方程，（）是倍根方程，则； （4）若，则关于x的方程（）是倍根方程． 其中正确的结论有 ．（写出所有正确说法的序号） 【答案】（1）（3） 【分析】本题考查了新定义方程，一元二次方程的解，根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）把代入原方程，再求出方程的解，根据“倍根方程”的定义即可判断； （2）求出方程的解，根据“倍根方程”的定义即可判断； （3）由，解得，，由方程是“倍根方程”，得到，，即可求解； （4）把代入原方程中，求解即可判断． 【详解】解：（1）当时，， 解得：，， ∴是“倍根方程”， 当时，， 解得：，， ∴是“倍根方程”，故（1）符合题意； （2）方程， 解得：，， ∴方程不是“倍根方程”，故（2）不符合题意； （3）， ∴，， ∵方程是“倍根方程”， ∴或， ∴，， ∴，故（3）符合题意； （4）∵，， ∴方程， ∴， ∴，， ∴不是“倍根方程”，故（4）不符合题意； ∴符合题意的有（1）（3）， 故答案为：（1）（3）． 12．(24-25八上·上海张江集团学校·期中)若、是两个不相等的素数，且，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】由题意得、是方程的两个根，则，由、是两个不相等的素数确定出或，继而代入求解即可． 【详解】解：由题意得、是方程的两个根， ∴， ∵、是两个不相等的素数， ∴或， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，素数的概念，分式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 13．(24-25八上·上海张江集团学校·期中)设、是方程的两个有理根，已知，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，熟练掌握相关计算公式是解题的关键； 若一元二次方程（、、为常数，）的两根为、，则，，根据相关计算公式求解即可． 【详解】解：、是方程的两个有理根， ，， ， ，， 解得：，， ，， ， 故答案为： 14．(24-25八上·上海嘉定区中科院上海实验学校·期中)定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程互为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则n= ． 【答案】或2/2或 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及新定义，解题的关键是由和，可得关于x的方程两个实数根为，，由，可得的根为或，根据与互为“同伴方程”，即得或． 【详解】解：∵同时满足和， ∴关于x的方程两个实数根为，， ∵， ∴或， ∴的根为或， ∵与互为“同伴方程”， ∴或， 故答案为：或2． 15．(24-25八上·上海建青实验学校·期中)如果关于的一元二次方程的两根为1和，那么多项式可分解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及因式分解，将代入原方程，求出的值，然后再进行因式分解是解决问题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是1， ∴把代入，得， 解得：． 则 故答案为：． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $