专题04 整式的乘法公式（期中真题汇编，上海专用）七年级数学上学期沪教版五四制2024

专题04 整式的乘法公式（期中真题汇编） 7大高频考点概览 考点01 运用平方差公式进行运算 考点02 平方差公式与几何图形 考点03 运用完全平方公式进行运算 考点04 通过完全平方公式变形求值 考点05 完全平方公式在几何图形中的应用 考点06 求完全平方式中的字母系数 考点07 整式的混合运算 地 城 考点01 运用平方差公式进行运算 一、单选题 1．(24-25七上·上海闵行区19校联考·期中)下列多项式中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七上·上海松江区·期中)下列各式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25七上·上海淞谊中学·期中)简便运算： ． 4．(24-25七上·上海龙茗中学·期中)观察下列等式：；；；； 根据上述规律，计算 ． 三、解答题 5．(24-25七上·上海西延安中学·期中)简便计算：． 6．(24-25七上·上海西初级中学·期中)简便方法计算：． 7．(24-25七上·上海崇明区九校联考（五四制）·期中)计算：（结果保留幂的形式）． 8．(24-25七上·上海嘉定区五校联考·期中)计算： 9．(24-25七上·上海松江区·期中)已知整式的值与的大小无关，求代数式的值． 10．(24-25七上·上海嘉定区五校联考·期中)计算：． 地 城 考点02 平方差公式与几何图形 一、单选题 1．(24-25七上·上海青浦区·期中)如图1，在长为，宽为b的长方形中去掉两个边长为a的小正方形得到图2．然后将图2中的阴影部分剪下，并将剪下的阴影部分从中间剪开，得到两个形状，大小完全相同的小长方形，将这两个小长方形与剩下的图形拼成如图3中的长方形，上述操作能够验证的等式是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25七上·上海金山区·期中)根据图中的图形面积关系可以说明的公式是（　　）      A． B． C． D． 3．(24-25七上·上海嘉定区部分学校·期中)我们可以通过拼图、推演得到了整式的乘法法则和公式，通过逆向思考得到了多项式因式分解的方法．如图，将边长为的正方形剪去一个边长为的正方形，再将剩余图形沿虚线剪开，拼成一个长方形，依据这一过程可得到的公式是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25七上·上海实验学校西校·期中)如图，在边长为的正方形正中间剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 5．(24-25七上·上海莘光学校·期中)如图，正方形与正方形的面积之差为，那么阴影部分的面积 ． 6．(24-25七上·上海淞谊中学·期中)如图，正方形与正方形的面积之差是6，则阴影部分的面积是 ． 三、解答题 7．(24-25七上·上海黄浦区·期中)如图1，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是 ；（填写正确的序号） ①；②；③ (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，计算代数式的值． ②计算：． 地 城 考点03 运用完全平方公式进行运算 一、单选题 1．(24-25七上·上海奉贤区·期中)的运算结果是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25七上·上海杨浦区·期中)若，是正整数，那么整式是（   ） A．正数 B．非负数 C．负数 D．可能是正数，也可能是负数 二、填空题 3．(24-25七上·上海延安初级中学·期中)利用完全平方公式和平方差公式都能对进行简便计算，请你写出相应的计算过程： ；（运用完全平方公式） ．（运用平方差公式） 4．(24-25七上·上海虹口区·期中)计算： ． 5．(24-25七上·上海松江区·期中)已知，，那么的值是 ． 6．(24-25七上·上海西延安中学·期中)请同学运用计算，解决问题：已知x、y、z满足，求的最大值是 ． 三、解答题 7．(24-25七上·上海延安初级中学·期中)计算： 8．(24-25七上·上海松江区·期中)简便计算：； 9．(24-25七上·上海崇明区九校联考（五四制）·期中)计算： 10．(24-25七上·上海嘉定区五校联考·期中)先化简，再求值：，其中，． 地 城 考点04 通过完全平方公式变形求值 一、填空题 1．(24-25七上·上海徐汇区民办南模中学·期中)已知，则 ． 2．(24-25七上·上海杨浦区·期中)已知，，则 ． 3．(24-25七上·上海田家炳中学·期中)已知：，，则代数式的值为 4．(24-25七上·上海虹口区·期中)已知，那么的值为 ． 5．(24-25七上·上海杨浦区·期中)若，求 ． 6．(24-25七上·上海奉贤区上海师范大学附属奉贤实验中学·期中)已知，．则的值是 ． 二、解答题 7．(24-25七上·上海嘉定区五校联考·期中)已知，，求代数式的值． 8．(24-25七上·上海西初级中学·期中)已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 9．(24-25七上·上海田家炳中学·期中)已知，，求的值． 10．(24-25七上·上海崇明区九校联考（五四制）·期中)已知，求的值． 地 城 考点05 完全平方公式在几何图形中的应用 一、填空题 1．(24-25七上·上海西延安中学·期中)如图，点D是线段上一点，以为边向两边作正方形，面积分别是和，设，两个正方形的面积之和，则的面积为 ． 二、解答题 2．(24-25七上·上海杨浦区·期中)我们知道，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题： (1)如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形的面积．可以得到代数恒等式：______； (2)若、满足：，，求的值． 3．(24-25七上·上海莘光学校·期中)【阅读材料】 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 类比应用： 请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)已知正方形的边长为，、分别为、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边长作正方形和正方形，求正方形和正方形的面积和． 4．(24-25七上·上海彭浦初级中学·期中)（1）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出之间的等量关系：_______ （2）若，则_______． （3）如图3，正方形的边长为，长方形的面积是200，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 5．(24-25七上·上海松江区·期中)现有、、三种不同型号的卡片若干张（如图（1）），其中型卡片是边长为的正方形．型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，且．我们可以选取一些卡片，无重叠、无缝隙地拼成不同形状的长方形 (1)用型卡片1张，型卡片2张，型卡片1张可以拼成一个正方形如图（2），该正方形的边长为______，试根据该图形写出一个表示、数量关系的等式：______． (2)现有型卡片2张，型卡片2张，型卡片2张，从这6张卡片中去掉2张．用余下的4张卡片，拼出一个长方形，请画出大致的拼图，并写出拼成的长方形的边长（请给出所有可能的方案）． (3)如果要拼一个长为、宽为的长方形，设需要型卡片张，型卡片张，型卡片张，那么______． 6．(24-25七上·上海虹口区·期中)如图3，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为的正方形卡片； 2号卡片：边长为的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为、的长方形卡片，其中． (1)填空：如图4，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_____． (2)填空：小明同学想用张1号卡片，张2号卡片，张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_____． (3)现有1号、2号、3号卡片各5张，请你设计：从这15张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图5放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图6放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 地 城 考点06 求完全平方式中的字母系数 一、填空题 1．(24-25七上·上海宝山国际学校·期中)如果关于x的二次三项式是完全平方式，那么 ． 2．(24-25七上·上海青浦区·期中)如果（、n都是常数），那么n的值是 ． 3．(24-25七上·上海普陀区·期中)已知二项式A和单项式B满足，那么 ． 4．(24-25七上·上海浦东新区·期中)关于x的整式是一个完全平方式，则 5．(24-25七上·上海徐汇区民办南模中学·期中)已知是一个完全平方式，则k的值为 ． 6．(24-25七上·上海建平实验中学·期中)如果是一个完全平方式，那么常数 ． 7．(24-25七上·上海实验学校附属东滩学校·期中)若关于x的整式是某个整式的平方，则m的值是 ． 8．(24-25七上·上海普陀区·期中)如果关于的整式是某个整式的平方，那么的值是 ． 地 城 考点07 整式的混合运算 一、解答题 1．(24-25七上·上海西延安学校·期中)计算： 2．(24-25七上·上海七宝实验中学·月考)计算： 3．(24-25七上·上海宝山国际学校·期中)计算：． 4．(24-25七上·上海宝山国际学校·期中)先化简，再求值：，其中． 5．(24-25七上·上海世外教育附属浦江外国语学校·期中)计算（直接写出答案） （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 6．(24-25七上·上海世外教育附属浦江外国语学校·期中)设，是否存在有理数m，使得总是成立？若存在，求出满足条件的m；若不存在，说明理由． 7．(24-25七上·上海实验学校西校·期中)计算： 8．(24-25七上·上海徐汇区民办南模中学·期中)计算：． 9．(24-25七上·上海奉贤区上海师范大学附属奉贤实验中学·期中)计算： 2 / 38 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式的乘法公式（期中真题汇编） 7大高频考点概览 考点01 运用平方差公式进行运算 考点02 平方差公式与几何图形 考点03 运用完全平方公式进行运算 考点04 通过完全平方公式变形求值 考点05 完全平方公式在几何图形中的应用 考点06 求完全平方式中的字母系数 考点07 整式的混合运算 地 城 考点01 运用平方差公式进行运算 一、单选题 1．(24-25七上·上海闵行区19校联考·期中)下列多项式中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式、完全平方公式分别计算判断即可． 本题考查了平方差公式、完全平方公式，熟记这两个公式是解题的关键． 【详解】解：A、，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； B、，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； C、，不能用平方差公式计算，故此选项符合题意； D、，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．(24-25七上·上海松江区·期中)下列各式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、乘法公式，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题关键．根据积的乘方与幂的乘方、乘法公式逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，，所以，则此项正确，符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 3．(24-25七上·上海淞谊中学·期中)简便运算： ． 【答案】39996 【分析】本题考查了平方差公式，牢记平方差公式的结构特点是解题的关键．利用平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．(24-25七上·上海龙茗中学·期中)观察下列等式：；；；； 根据上述规律，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，认真观察各式，根据指数的变化情况总结规律是解决本题的关键． 观察已知等式得到一般规律：，据此即可计算求值． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 三、解答题 5．(24-25七上·上海西延安中学·期中)简便计算：． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式的运算，先将算式转化为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】解： 6．(24-25七上·上海西初级中学·期中)简便方法计算：． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平方差公式进行简便运算，熟练掌握知识点是解题的关键．将变形为，利用平方差公式即可求解． 【详解】解： ． 7．(24-25七上·上海崇明区九校联考（五四制）·期中)计算：（结果保留幂的形式）． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，先添加因式，然后连续多次运用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：原式 8．(24-25七上·上海嘉定区五校联考·期中)计算： 【答案】1 【分析】此题考查了平方差公式，变形后根据平方差公式计算即可． 【详解】解； ． 9．(24-25七上·上海松江区·期中)已知整式的值与的大小无关，求代数式的值． 【答案】3 【分析】此题考查了整式加减的无关性问题，平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先化简为，然后根据题意得到，求出，然后利用平方差公式化简为，然后代入求解即可． 【详解】 ∵整式的值与的大小无关， ∴ ∴ ∴ ． 10．(24-25七上·上海嘉定区五校联考·期中)计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，先把原式变形为，再利用乘法公式求解即可． 【详解】解：原式 ． 地 城 考点02 平方差公式与几何图形 一、单选题 1．(24-25七上·上海青浦区·期中)如图1，在长为，宽为b的长方形中去掉两个边长为a的小正方形得到图2．然后将图2中的阴影部分剪下，并将剪下的阴影部分从中间剪开，得到两个形状，大小完全相同的小长方形，将这两个小长方形与剩下的图形拼成如图3中的长方形，上述操作能够验证的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图1易得去掉两个边长为a的小正方形的面积为，然后根据图3可得新的长方形的面积为，进而问题可求解． 【详解】解：由图1得：去掉两个边长为a的小正方形的面积为， 由图3得：新的长方形的面积为， ∴能够验证的等式为； 故选B． 【点睛】本题主要考查乘法公式与图形的关系，熟练掌握乘法公式是解题的关键． 2．(24-25七上·上海金山区·期中)根据图中的图形面积关系可以说明的公式是（　　）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据拼图中各个部分面积之间的关系可得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ， ∴， 故选：C．    【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握拼图中各个部分面积之间的关系是解决问题的关键． 3．(24-25七上·上海嘉定区部分学校·期中)我们可以通过拼图、推演得到了整式的乘法法则和公式，通过逆向思考得到了多项式因式分解的方法．如图，将边长为的正方形剪去一个边长为的正方形，再将剩余图形沿虚线剪开，拼成一个长方形，依据这一过程可得到的公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，左边一幅图剩下的图形面积等于边长为的正方形面积剪去一个边长为的正方形面积，右边一幅图的面积为一个长为，宽为的长方形面积，再根据左边一幅图剩下的图形面积与右边一幅图的面积相等即可得到结论． 【详解】解：左边一幅图剩下的图形面积为， 右边一幅图的面积为， ∵左边一幅图剩下的图形面积与右边一幅图的面积相等， ∴， 故选：D． 4．(24-25七上·上海实验学校西校·期中)如图，在边长为的正方形正中间剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，利用两种方法表示出图形的面积即可． 【详解】解：第一个图形的面积是， 第二个图形的大平行四边形的面积为， ． 故选：C． 二、填空题 5．(24-25七上·上海莘光学校·期中)如图，正方形与正方形的面积之差为，那么阴影部分的面积 ． 【答案】4 【分析】本题考查平方差公式在几何图形中的应用．设正方形与正方形的边长分别为和，根据两者面积差为8，可得．利用含、的代数式表示出阴影部分的面积，将整体代入即可求解． 【详解】解：设正方形与正方形的边长分别为和， 由题意得：． 由图形可得： ． 故答案为：4． 6．(24-25七上·上海淞谊中学·期中)如图，正方形与正方形的面积之差是6，则阴影部分的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题考查平方差公式在几何图形中的应用，解题的关键是用含、的代数式表示出阴影部分的面积．设正方形与正方形的边长分别为和，根据两者面积差为6，可得．利用含、的代数式表示出阴影部分的面积，将整体代入即可求解． 【详解】解：设正方形与正方形的边长分别为和， 由题意得：． 由图形可得： ． 故阴影部分的面积为3． 故答案为：． 三、解答题 7．(24-25七上·上海黄浦区·期中)如图1，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是 ；（填写正确的序号） ①；②；③ (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，计算代数式的值． ②计算：． 【答案】(1)① (2)①4；②5050 【分析】（1）分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案； （2）①利用平方差公式将4a2-b2=（2a+b）（2a-b），再代入计算即可； ②利用平方差公式将原式转化为1+2+3+…+99+100即可． 【详解】（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2-b2， 图2中的阴影部分是长为（a+b），宽为（a-b）的长方形，因此面积为（a+b）（a-b）， 所以有a2-b2=（a+b）（a-b）， 故答案为：①； （2）①， ， 又， ， 即 ； ②， ， ， 原式． 【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提． 地 城 考点03 运用完全平方公式进行运算 一、单选题 1．(24-25七上·上海奉贤区·期中)的运算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式．变形后根据完全平方公式计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 2．(24-25七上·上海杨浦区·期中)若，是正整数，那么整式是（   ） A．正数 B．非负数 C．负数 D．可能是正数，也可能是负数 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和完全平方公式，解题的关键是掌握同底数幂的乘法运算法则和完全平方公式的应用． 利用幂的运算法则和完全平方公式计算． 【详解】解：∵是正整数， ， ∴整式是非负数． 故选：B． 二、填空题 3．(24-25七上·上海延安初级中学·期中)利用完全平方公式和平方差公式都能对进行简便计算，请你写出相应的计算过程： ；（运用完全平方公式） ．（运用平方差公式） 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法公式，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （）根据完全平方公式即可求解； （）根据平方差公式即可求解． 【详解】解：； ； 故答案为：；． 4．(24-25七上·上海虹口区·期中)计算： ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，先将看成整体利用完全平方公式化简，然后再次运用完全平方公式和去括号法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．(24-25七上·上海松江区·期中)已知，，那么的值是 ． 【答案】21 【分析】本题考查完全平方公式，将式子变形为，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：21． 6．(24-25七上·上海西延安中学·期中)请同学运用计算，解决问题：已知x、y、z满足，求的最大值是 ． 【答案】15 【分析】本题考查运用已知公式，及平方的非负性，掌握灵活运用题中给的公式是解题的关键．根据已知条件化简，根据完全平方公式的非负性求得原式的最大值，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ； ∵， ∴ ∴ = ， ， ∴原式． 故原式的最大值是15； 故答案为：15． 三、解答题 7．(24-25七上·上海延安初级中学·期中)计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方、平方差公式、完全平方公式．首先逆用积的乘方可得，运用平方差公式计算可得，再利用完全平方公式展开即可． 【详解】解： ． 8．(24-25七上·上海松江区·期中)简便计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，把前三项用完全平方公式计算，后两项先变形为，再利用平方差公式计算，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 9．(24-25七上·上海崇明区九校联考（五四制）·期中)计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，先把原式变形为，然后根据平方差计算后，再根据完全平方公式计算，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 10．(24-25七上·上海嘉定区五校联考·期中)先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 地 城 考点04 通过完全平方公式变形求值 一、填空题 1．(24-25七上·上海徐汇区民办南模中学·期中)已知，则 ． 【答案】21 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，先求出的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，此时不满足题意， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．(24-25七上·上海杨浦区·期中)已知，，则 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．根据，结合，，进行求值即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：20． 3．(24-25七上·上海田家炳中学·期中)已知：，，则代数式的值为 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．根据题意得出，求得，将化简为，再整体代入，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 4．(24-25七上·上海虹口区·期中)已知，那么的值为 ． 【答案】65 【分析】该题主要考查了多项式乘多项式，完全平方公式的变形，代入求值，解题的关键是掌握以上运算法则． 将变形后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：65． 5．(24-25七上·上海杨浦区·期中)若，求 ． 【答案】3 【分析】本题考查分式的基本性质、完全平方公式变形求值，解答的关键是分式的基本性质的灵活运用．先将化为，进而求得，将分子、分母同除以得到，进而代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴，则， 两边平方，得，则， ∵ ． 故答案为：3． 6．(24-25七上·上海奉贤区上海师范大学附属奉贤实验中学·期中)已知，．则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求整式的值，完全平方公式的应用，非负数的和为零；将两个式子相减得，化为，即可求解；理解非负数的和为零的特征，能将式子化为完全平方和的形式是解题的关键． 【详解】解：①， ② ②①得： ， ， ， ，，，， ，，，， ； 故答案为：． 二、解答题 7．(24-25七上·上海嘉定区五校联考·期中)已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，多形式与多项式的乘法计算，先根据完全平方公式求出，，然后根据多相式的乘法法则把化简后代入计算即可． 【详解】解：当，时 原式 ． 8．(24-25七上·上海西初级中学·期中)已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1)13 (2)97 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形求值，即可求解． （2）根据完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解： ，， ，， ； 9．(24-25七上·上海田家炳中学·期中)已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，整式乘法的应用．先利用完全平方公式求得，再利用和结合即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ． 10．(24-25七上·上海崇明区九校联考（五四制）·期中)已知，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了完全平方公式的应用及平方的非负性；解题的关键是掌握完全平方公式．根据完全平方公式求的，根据非负数的性质求出，，然后把变形为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 地 城 考点05 完全平方公式在几何图形中的应用 一、填空题 1．(24-25七上·上海西延安中学·期中)如图，点D是线段上一点，以为边向两边作正方形，面积分别是和，设，两个正方形的面积之和，则的面积为 ． 【答案】7 【分析】本题考查完全平方公式的几何应用，找到边与边关系是解答的关键．设，，根据题意得到，，利用完全平方公式求得，进而利用三角形的面积公式可求解． 【详解】解：设，， ∵，两个正方形的面积之和， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴， 故答案为：7． 二、解答题 2．(24-25七上·上海杨浦区·期中)我们知道，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题： (1)如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形的面积．可以得到代数恒等式：______； (2)若、满足：，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用，代数恒等式与图形的面积，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的几何背景． （1）利用面积相等求解即可； （2）利用（1）的结论，得到方程，求出t的值，再由，求符合条件的t的值即可． 【详解】（1）解：∵图中3个正方形的边长分别为a、b、c， ∴面积分别为， ∵边长为a、b的长方形有两个，边长为a、c的长方形有两个，边长为b、c的长方形有两个， ∴面积分别为， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 解得， ∵， ∴舍去， ∴． 3．(24-25七上·上海莘光学校·期中)【阅读材料】 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ． 类比应用： 请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)已知正方形的边长为，、分别为、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边长作正方形和正方形，求正方形和正方形的面积和． 【答案】(1)3 (2) (3)正方形和正方形的面积和为． 【分析】本题主要考查乘法公式与图形的综合，掌握乘法公式中完全平方公式的变形，整式的混合运算方法是解题的关键． （1）根据材料提示，设，，则，，由此即可求解； （2）根据材料提示，设，，则，，再表示出，由此即可求解； （3）由题意可得，，，则，，，再根据材料提示方法即可求解． 【详解】（1）解：（1）设，， 则，， ∴ ； （2）解：设，， 则，， ∴， ∴ ； （3）解：由题意可得，，， ∴，，， 设，，则，， ∴ ， 即正方形和正方形的面积和为． 4．(24-25七上·上海彭浦初级中学·期中)（1）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出之间的等量关系：_______ （2）若，则_______． （3）如图3，正方形的边长为，长方形的面积是200，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式的变形应用． （1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积，可得答案； （2）将，代入（1）中公式即可； （3）由正方形的边长为x，则，得，设，得，则，代入即可． 【详解】解：（1）由图形知，大正方形的面积为，中间小正方形的面积为， 大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， 将代入得：， ∴， ∴， 故答案为：； （3）∵正方形的边长为x， ∴， ∴， 设， ∴， ∴ ， ∴图中阴影部分的面积为． 5．(24-25七上·上海松江区·期中)现有、、三种不同型号的卡片若干张（如图（1）），其中型卡片是边长为的正方形．型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，且．我们可以选取一些卡片，无重叠、无缝隙地拼成不同形状的长方形 (1)用型卡片1张，型卡片2张，型卡片1张可以拼成一个正方形如图（2），该正方形的边长为______，试根据该图形写出一个表示、数量关系的等式：______． (2)现有型卡片2张，型卡片2张，型卡片2张，从这6张卡片中去掉2张．用余下的4张卡片，拼出一个长方形，请画出大致的拼图，并写出拼成的长方形的边长（请给出所有可能的方案）． (3)如果要拼一个长为、宽为的长方形，设需要型卡片张，型卡片张，型卡片张，那么______． 【答案】(1)； (2)图见解析，长方形的长和宽分别为或或或或 (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，完全平方公式在几何图形中的应用： （1）根据图形之间的关系，结合图形面积之间的关系进行求解即可； （2）当2张A，2张B时，当2张B，2张C时，当1张A，2张B，1张C时，三种情况画出示意图求解即可； （3）根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，该正方形的边长为，则该正方形的面积为， ∵该正方形是由型卡片1张，型卡片2张，型卡片1张拼成的， ∴该正方形的面积为， ∴， 故答案为：；； （2）解：当2张A，2张B时，此时长方形的长和宽分别为或 当2张B，2张C时，此时长方形的长和宽分别为或 当1张A    ，2张B，1张C时，此时长方形的长和宽分别为； 综上所述，长方形的长和宽分别为或或或或； （3）解：， ∴需要A卡片2张，B卡片5张，C卡片2张， ∴， ∴． 6．(24-25七上·上海虹口区·期中)如图3，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为的正方形卡片； 2号卡片：边长为的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为、的长方形卡片，其中． (1)填空：如图4，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_____． (2)填空：小明同学想用张1号卡片，张2号卡片，张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_____． (3)现有1号、2号、3号卡片各5张，请你设计：从这15张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图5放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图6放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 【答案】(1) (2)84 (3) (4) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征以及多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图形的面积即可； （2）根据多项式乘多项式的计算方法求出，再根据各种卡片的面积得出答案； （3）根据完全平方公式以及各个卡片的面积进行解答即可； （4）设长方形的长为，则宽为，分别求出与，再求得，从而得解． 【详解】（1）解：拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）解：1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为， 所以需要1号卡片20张，2号卡片21张，3号卡片43张， 即，，， ， 故答案为：84； （3）解：可以拼成边长为的正方形， 答：拼成最大面积的正方形边长为． （4）解：设长方形的长为，则宽为． 由题意：， ， ， ，即2号卡片的边长为． 地 城 考点06 求完全平方式中的字母系数 一、填空题 1．(24-25七上·上海宝山国际学校·期中)如果关于x的二次三项式是完全平方式，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 根据题意利用完全平方公式的结构特征，即可确定出a的值． 【详解】解：∵关于x的二次三项式是完全平方式， ∴． 故答案为：． 2．(24-25七上·上海青浦区·期中)如果（、n都是常数），那么n的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式，熟记完全平方公式的公式结构是解题的关键．根据，，得出，即可得出，，求出结果即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：． 3．(24-25七上·上海普陀区·期中)已知二项式A和单项式B满足，那么 ． 【答案】， 【分析】本题考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．完全平方式：的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央，据此求解即可． 【详解】解：∵A是二项式， ∴是一个二项式的完全平方， ∴可以写成一个二项式的完全平方， ∴，． 故答案为：，． 4．(24-25七上·上海浦东新区·期中)关于x的整式是一个完全平方式，则 【答案】4或 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 解得． 故答案为：或． 5．(24-25七上·上海徐汇区民办南模中学·期中)已知是一个完全平方式，则k的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了求完全平方式，根据题意可知两平方项为、，据此可确定一次项，进而求出k的值即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 6．(24-25七上·上海建平实验中学·期中)如果是一个完全平方式，那么常数 ． 【答案】21或/或21 【分析】本题考查完全平方公式，熟记公式的形式，找出首项和尾项的底数是关键．根据完全平方式的形式可知，该式子首项为的平方，尾项为5的平方，则中间项为，可得结果． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得：或． 故答案为：21或． 7．(24-25七上·上海实验学校附属东滩学校·期中)若关于x的整式是某个整式的平方，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式“”，熟记完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式可得，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， 即， 所以， 故答案为：． 8．(24-25七上·上海普陀区·期中)如果关于的整式是某个整式的平方，那么的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查完全平方式，根据是某个整式的平方，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵是某个整式的平方， ∴， ∴， ∴或； 故答案为：或． 地 城 考点07 整式的混合运算 一、解答题 1．(24-25七上·上海西延安学校·期中)计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键． 先算乘方和除法，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 2．(24-25七上·上海七宝实验中学·月考)计算： 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，原式运用平方差公式和完全平方公式进行计算即可得到答案． 【详解】解： ． 3．(24-25七上·上海宝山国际学校·期中)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式、多项式项式乘多项式及整式的加减，熟练掌握多项式项式乘多项式的运算法则是解题的关键，根据平方差公式、多项式项式乘多项式及整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解： ． 4．(24-25七上·上海宝山国际学校·期中)先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的运算，先根据完全平方公式和平方差公式展开，再算整式加减，然后将已知的a、b值入即可求出答案． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 5．(24-25七上·上海世外教育附属浦江外国语学校·期中)计算（直接写出答案） （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式等，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）运用单项式乘单项式的法则计算即可； （2）运用积的乘方计算即可； （3）运用平方差公式计算即可； （4）运用多项式除以单项式的法则计算即可； （5）运用平方差公式计算即可； （6）运用完全平方公式计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）； 故答案为： （4）； 故答案为： （5）； 故答案为： （6） ． 故答案为： 6．(24-25七上·上海世外教育附属浦江外国语学校·期中)设，是否存在有理数m，使得总是成立？若存在，求出满足条件的m；若不存在，说明理由． 【答案】存在， 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，整式的混合运算． 先化简，并把代入后得到，因此根据题意得到，求解即可解答． 【详解】解：当时， ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，总成立． 7．(24-25七上·上海实验学校西校·期中)计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，先进行完全平方公式和单项式乘以多项式的运算，然后合并同类项，再进行除法运算即可． 【详解】解：原式 ． 8．(24-25七上·上海徐汇区民办南模中学·期中)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，涉及多项式乘多项式，完全平方公式及平方差公式等知识，正确计算是解题的关键；先用平方差公式、多项式乘多项式展开，再用完全平方公式展开，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 9．(24-25七上·上海奉贤区上海师范大学附属奉贤实验中学·期中)计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键在于正确掌握整式的混合运算法则．根据整式混合运算步骤计算求解，即可解题． 【详解】解： ． 2 / 38 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $