专题11 相似三角形基本模型之旋转模型（压轴题专项训练）数学北师大版九年级上册

专题11 相似三角形基本模型之旋转模型 【基本模型】 ①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[ ②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为． 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似． ③如图所示，，则，，且． 例1．（直角三角形旋转）【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是　 ，位置关系是　 ； 【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）画出图形见解析，线段的长度为． 【分析】（1）由题意易得，，从而可证，然后根据三角形全等的性质可求解； （2）连接，由题意易得，进而可证，最后根据三角形全等的性质及角的等量关系可求证； （3）如图，过A作，由题意可知，，然后根据相似三角形的性质及题意易证，最后根据勾股定理及等积法进行求解即可． 【详解】解：（1）在中，， ， ， ，即， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， 理由：如图2，连接， ∵在和中，，，， ， ， ∵，， ， ， ， ∴； （3）如图3，过A作AF⊥EC， 由题意可知，， ∴，即， ， ， ，， ， ， 在中，，， ，， ，， ，2×， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，关键是根据题意得到三角形的全等，然后利用全等三角形的性质得到相似三角形，进而求解． 例2．（等腰直角三角形旋转）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F． （1）探究发现： 如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝　 　； （2）数学思考： ①如图2，若点E在线段AC上，则＝　 　（用含m，n的代数式表示）； ②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； （3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长． 【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或 【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可； （2）方法和一样，先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可； （3）由的结论得出∽，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可． 【详解】解：当时，即：， ， ， ， ， ， ， ， 即， ∽， ， ，， ∽， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ∽， ， ，， ∽， ， 成立如图3， ， ， 又， ， ， ， ， 即， ∽， ， ，， ∽， ， ． 由有，∽， ， ， ， 如图4图5图6，连接EF． 在中，，， ， 如图4，当E在线段AC上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ，或舍 如图5，当E在AC延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或舍， ③如图6，当E在CA延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或（舍）， 综上：或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点． 例3．（正方形旋转）某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）根据已知条件利用边角边证明，再利用全等三角形的性质即可得到和的数量关系； （2）根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到和的数量关系； （3）连接，先由正方形的性质判断出和都是等腰直角三角形，再利用与第二问同样的方法证出，由对应边成比例，依据相似比求出线段的长，接着设正方形的边长为x，运用勾股定理列出方程即可求得答案． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， 在中，，， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：结论：， 理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，如图所示， ∵四边形与四边形是正方形，与交于点， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，设，则， 又∵正方形的边长为， ∴， ∴， 解得（舍去），． ∴正方形的边长为6． 【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键． 例4．（矩形旋转）（1）如图1，正方形和正方形，连接并延长交于点．求证：； （2）如图2，若将（1）中正方形改为菱形，且，求的度数； （3）如图3，若将（1）中正方形改为矩形，且，，．连接，，将矩形绕点旋转，旋转过程中发现的值为定值，请求出这个定值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）260 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形，矩形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，勾股定理等；掌握判定方法及性质，作出恰当的辅助线，构建直角三角形，利用勾股定理解答是解题关键． （1）如图，交于，由正方形的性质及可判定，由全等三角形及性质得，即可得证； （2）同（1）可证，得，再结合三角形的内角定理，即可求得； （3）连接、，交于，交于，由矩形的性质及三角形相似判定方法得，由三角形相似的性质得，由勾股定理得，，，，即可求解； 【详解】解：（1）如图，交于， 四边形与四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中，， ， ∴， ， ，则 ， ； （2）如图，交于， 四边形与四边形是菱形，， ，， ， ， 在和中，， ， ，， ， ； （3）如图，连接、，交于，交于， 四边形和四边矩形是矩形， ， ， ， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 例5．（旋转最值）如图，在等腰直角中，，其中点P为高上的一个动点，连接，将绕点B顺时针旋转，同时满足，连接、，则周长的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】以为边向下作正方形，连接，先证出，根据相似三角形的性质可得，再根据正方形的性质可得，垂直平分，则可得点在上，然后根据线段垂直平分线的性质可得，最后根据两点之间线段最短可得当点共线时，取得最小值，最小值为，由此即可得． 【详解】解：如图，以为边向下作正方形，连接， ∵在等腰直角中，，，是的高， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点在上，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，垂直平分， ∴，， ∴点在上， ∴， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，最小值为， ∴周长的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，通过作辅助线，构造正方形和相似三角形是解题关键． 1．【问题发现】 （1）如图1，在和中，，，，连接交于点M．求出的值及的度数； 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，连接，交的延长线于点M，求出的值及的度数； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．当D、C、B三点共线时时，直接写出的长为__________； 【答案】（1），；（2），；（3）或 【分析】（1）直接根据两个共顶点的等腰三角形证明，可以证明，最后在和中导角直接可以求解； （2）改变三角形结构，直接通过判定和相似，同样可以用第一问的方式证明，根据相似比，求线段比例，最后在和中导角直接可以求解的度数； （3）分点在直线的左侧和右侧两种情况讨论，利用相似三角形对应边的比设未知数，在中利用勾股定理构造方程即可求出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，设与交于点F， ∵， ∴， ∵， ， ∴； （2）解：如下图，在和中，设与交于点， ∵∠，， ∴； ∵， 即， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （3）①如下图所示，点C在线段上时， 在中，，， ， 在中，， 由（2）知，，且， 设，则， 在中，， ， 解得，，舍去， ， ②如下图，当点C在线段延长线上时， 在中，，， ， 在中，， 由（2）知，，且， 设，则， 在中，， ， 解得，，舍去， ； 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，相似的判定与性质，解直角三角形，利用勾股定理构造方程等，解题的关键是在图形的变换中要能够以不变应万变，找出图形中不变的特征． 2．（1）【观察发现】如图（1），在，点D是边的中点，延长BA到点E，使，连接，可得与的数量关系是______，位置关系是______． （2）【探究迁移】如图（2），在中，，，点为平面内一点，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，，点为的中点，连接、，试判断和的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，，当时，请直接写出的长． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）或． 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质和旋转相似模型；解题关键是构造旋转相似模型转换线段关系． （1）根据三角形中位线可直接得出结论； （2）延长至点，使，连接、，根据旋转相似模型证明，即可得出结论； （3）根据当时，可得点在直线，点在直线，再由不同位置分两种情况讨论，结合（2）的结论即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）结论：， 理由∶如图2-1，延长至点，使，连接、， ∵点为的中点， ∴ 由题意∶， ∴， 由旋转知 ∴ ， ∴， ∴ ∵，， ∴ ，即：， ∴， ∴， ∴ ∴ （3）当时， ∵，即：， ∴， 又∵， ∴点在直线， 当点在线段上时，如图2-2， ∵， ∴点在直线， ∵，，， ∴，， ∴， ∴； 当点在线段延长线上时，如图2-2， 同理可证：点在直线，点在直线， ，， ∴， ∴； 综上所述：的长为或． 3．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； (2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)4 【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答； （2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可； （3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）问题发现：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）变式探究：， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解决问题：如图3，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵Q是正方形的中心， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则 ， 在中，，即， 解得，（舍去），， ∴正方形的边长为：． 4．如图1，正方形和正方形，连接． (1)[发现]：当正方形绕点旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由； (3)[应用]：在(2)情况下，连接点在上方，若，且，，求的长． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3) 【分析】（1）先判断出，进而得出，，再利用等角的余角相等即可得出结论； （2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出，得出，，再利用等角的余角相等即可得出结论； （3）先求出，进而得出，即可得出四边形是平行四边形，进而得出，求出的长，借助（2）得出的相似，即可得出结论． 【详解】（1）解：，，理由如下： 四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， ； 如图2，延长交于，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2），，理由如下： 如图3，延长交于，交于， 四边形与四边形都为矩形， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图4，设与的交点为， ， ， 在中，， ， 根据勾股定理得：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 点，，在同一条直线上，如图5， ， 在中，根据勾股定理得， ， 由（2）知，， ， 即， ． 【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握正方形得性质和矩形的性质，证明和是解本题的关键． 5．【问题情境】已知矩形和矩形，点E在边上，矩形在边的上方，且，连接． 【特例发现】（1）如图1，当时，那么的值为______；（提示：在边上取一点M，使得，连接） 【拓展延伸】（2）如图2，当时，连接，． ①求证：； ②若，且，求的长． 【答案】（1）；（2）①见解析；②5 【分析】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键； （1）在边上取一点M，使，连接，则，根据证明即可； （2）①对图形进行标注，如图，证明，由，可得，进一步可得结论，即可得出结论； ②过F作于H，结合，证明，求出，，再运用勾股定理求出． 【详解】．解：（1）如图，在边上取一点M，使，连接，则， ∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）①证明：对图形进行标注，如图， ∵，， ∴， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∴． ②如图，过点F作于点H， 由①知，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，而， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 即，解得，， ∴， ∴． 6．【初步尝试】 （1）如图1，在中，，点，分别在边，上，且，则与的数量关系是______． （2）如图2，将图1中的绕点顺时针旋转（为锐角），连接，．求证：． 【特例研讨】 （3）如图3，和是等腰直角三角形，，，，绕点顺时针旋转至点，，在同一条直线上，与交于点，连接． ①求的度数； ②求的长． 【深入探究】 （4）如图4，在四边形中，，，，若，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；② （4） 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形相似等，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； （1）利用平行线的性质和等腰三角形的性质与判定求解； （2）先证，推出，结合旋转得，可证； （3）①与（2）同理，得，推出，利用勾股定理和直角三角形的性质推出，所以； ②过点D作于G，设，利用勾股定理求出，从而可求的长； （4）作，且，连接，，，依次证明，， 利用相似三角形的性质和直角三角形的性质，勾股定理，推出，，过点M作于点N，再利用勾股定理求解． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）由（1）知，， ， ， 由旋转得，， ． （3）①和是等腰直角三角形， ， 与（2）同理，得， ， ，，， ， ，解得， ，点，，在同一条直线上， ， 又，满足， ， ． ②如图3，过点D作于G，则， 为等腰直角三角形，， ， ， ， 设，由勾股定理可求得， 又， ，， 由可得，解得， ， ． （4）如图4，作，且，连接，，， ， ，， ， ， ， 由得， ， 由，， 可得，由勾股定理得， ，解得， ，， ， 过点M作于点N，则， 又， ，， ， ． 7．在中，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，，． (1)猜想观察：如图1，当时，的值是______，直线与直线相交所成的较小角的度数是______． (2)类比探究：如图2，当时， ①求的值；②求直线与直线相交所成的较小角的度数． (3)解决问题：如图3，当时，若点E、F分别是、的中点，点P在的延长线上，P、D、C三点在同一直线上，与相交于点M． ①求证：； ②若，求的长． 【答案】(1)1， (2)， (3)①见解析；② 【分析】（1）如图1中，延长交的延长线于E，设交于点O．证明，即可解决问题； （2）如图2中，设交于点O，交于点E．证明，即可解决问题； （3）①先根据三角形的中位线性质得到，，则．再根据直角三角形斜边上的中线性质得到，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质求得，然后根据等角对等边可得结论； ②设得，在中，由勾股定理得，，，证明，得，列方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）如图1中，延长交的延长线于E，设交于点O． 由题意，当时，、是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ，线与直线相交所成的较小角的度数是， 故答案为1，． （2）解：如图2中，设交于点O，交于点E． 由题意，当时，、是等腰直角三角形， ，，， ，， ， ，， ， ， 直线与直线相交所成的较小角的度数为． （3）①证明：∵点 E，F 分别是、 的中点， ∴，， ∴． ∵P，D，C三点在同一直线上，， ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∴． ②解：设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴．由（2）知， ∴． ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴．解得，(不合题意，舍去)， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、直角三角形的性质、旋转的性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 相似三角形基本模型之旋转模型 【基本模型】 ①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[ ②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为． 总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似． ③如图所示，，则，，且． 例1．（直角三角形旋转）【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是　 ，位置关系是　 ； 【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度． 例2．（等腰直角三角形旋转）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F． （1）探究发现： 如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝　 　； （2）数学思考： ①如图2，若点E在线段AC上，则＝　 　（用含m，n的代数式表示）； ②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； （3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长． 例3．（正方形旋转）某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 例4．（矩形旋转）（1）如图1，正方形和正方形，连接并延长交于点．求证：； （2）如图2，若将（1）中正方形改为菱形，且，求的度数； （3）如图3，若将（1）中正方形改为矩形，且，，．连接，，将矩形绕点旋转，旋转过程中发现的值为定值，请求出这个定值. 例5．（旋转最值）如图，在等腰直角中，，其中点P为高上的一个动点，连接，将绕点B顺时针旋转，同时满足，连接、，则周长的最小值是 ． 1．【问题发现】 （1）如图1，在和中，，，，连接交于点M．求出的值及的度数； 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，连接，交的延长线于点M，求出的值及的度数； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．当D、C、B三点共线时时，直接写出的长为__________； 2．（1）【观察发现】如图（1），在，点D是边的中点，延长BA到点E，使，连接，可得与的数量关系是______，位置关系是______． （2）【探究迁移】如图（2），在中，，，点为平面内一点，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，，点为的中点，连接、，试判断和的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，，当时，请直接写出的长． 3．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； (2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 4．如图1，正方形和正方形，连接． (1)[发现]：当正方形绕点旋转，如图2，线段与之间有怎样的关系？请说明理由； (2)[探究]：如图3，若四边形与四边形都为矩形，且，，猜想与的关系，并说明理由； (3)[应用]：在(2)情况下，连接点在上方，若，且，，求的长． 5．【问题情境】已知矩形和矩形，点E在边上，矩形在边的上方，且，连接． 【特例发现】（1）如图1，当时，那么的值为______；（提示：在边上取一点M，使得，连接） 【拓展延伸】（2）如图2，当时，连接，． ①求证：； ②若，且，求的长． 6．【初步尝试】 （1）如图1，在中，，点，分别在边，上，且，则与的数量关系是______． （2）如图2，将图1中的绕点顺时针旋转（为锐角），连接，．求证：． 【特例研讨】 （3）如图3，和是等腰直角三角形，，，，绕点顺时针旋转至点，，在同一条直线上，与交于点，连接． ①求的度数； ②求的长． 【深入探究】 （4）如图4，在四边形中，，，，若，请直接写出的长． 7．在中，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，，． (1)猜想观察：如图1，当时，的值是______，直线与直线相交所成的较小角的度数是______． (2)类比探究：如图2，当时， ①求的值；②求直线与直线相交所成的较小角的度数． (3)解决问题：如图3，当时，若点E、F分别是、的中点，点P在的延长线上，P、D、C三点在同一直线上，与相交于点M． ①求证：； ②若，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$