精品解析：新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县第九中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

莎车县第九中学2025-2026学年第一学期 高二第一次月考试卷（数学） 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（8×5=40分） 1. 已知直线方程，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线l与平面所成的角等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知M(1,2,3),N(2,3,4),P(-1,2,-3)，若且，则Q点的坐标为（ ） A. (2,5,0) B. (-4,-1,-6)或(2,5,0) C. (3,4,1) D. (3,4,1) 或(-3,-2,-5） 7. 已知直线过点，两点，则直线斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 以点，，为顶点的三角形是（ ） A. 等边 B. 等腰直角 C. 等腰 D. 直角 二、多选题（3×6=18分） 9. 若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的是（ ） A. 的一个方向向量为 B. 的一个法向量为 C. 与直线平行 D. 与直线垂直 11. 已知空间向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题（3×5=15分） 12. 若直线与直线平行，则与之间的距离为________． 13. 若，，则________. 14. 已知空间直线的方向向量是，平面的法向量．若，则______；若，则______． 四、解答题 15. 已知点和直线． （1）若直线经过点P，且，求直线的方程； （2）若直线过原点，且点P到直线，l的距离相等，求直线的方程． 16. 根据下列条件分别写出直线的一般式方程： （1）斜率是，且经过点； （2）与直线垂直，且在轴上截距为. 17. 已知的三个顶点分别为，，． （1）求边上中线的长； （2）证明：为等腰直角三角形． 18. 已知向量，. （1）求的值； （2）若，求实数k的值； （3）求向量与夹角余弦值. 19. 如图，在直三棱柱中，，M、N分别是中点，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莎车县第九中学2025-2026学年第一学期 高二第一次月考试卷（数学） 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（8×5=40分） 1. 已知直线方程，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，进而得到直线的倾斜角. 【详解】解：直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则， 因为，所以. 故选：A. 2. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方向向量的定义即可求解. 【详解】的一个方向向量是. 故选：C. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直坐标表示直接构造方程求解即可. 【详解】，，解得：. 故选：B. 4. 已知向量，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】在方向上的投影向量是. 故选：A. 5. 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线l与平面所成的角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面角的正弦值等于线与面法向量夹角余弦值的绝对值求解即可. 【详解】令直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的夹角为， ，，. 故选：C 6. 已知M(1,2,3),N(2,3,4),P(-1,2,-3)，若且，则Q点的坐标为（ ） A. (2,5,0) B. (-4,-1,-6)或(2,5,0) C. (3,4,1) D. (3,4,1) 或(-3,-2,-5） 【答案】B 【解析】 【详解】设 ∵ ， ∴ ∵且 ∴或 ∴或 ∴ 或 ∴点的坐标为或，故答案选B 7. 已知直线过点，两点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线斜率的坐标公式，即得解 【详解】设直线的斜率为，则. 故选：A 8. 以点，，为顶点的三角形是（ ） A. 等边 B. 等腰直角 C. 等腰 D. 直角 【答案】D 【解析】 【分析】 计算出三边边长，结合勾股定理可判断出该三角形的形状. 【详解】由已知可得，， ，所以，. 因此，为直角三角形. 故选：D. 二、多选题（3×6=18分） 9. 若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用空间向量的基底的概念结合空间向量的共面定理一一判定即可. 【详解】对于A项，易知，则A项中向量共面，不符合； 对于B项，易知，则B项中向量共面，不符合； 对于C项，易知不共面，能作为空间的一个基底，即C正确. 对于D项，设不能作为空间的一个基底， 则存在实数，使得， 由于是空间的一组基底，则满足， 故不存在使得， 故能作为空间的一个基底，D正确， 故选： CD 10. 已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的是（ ） A. 的一个方向向量为 B. 的一个法向量为 C. 与直线平行 D. 与直线垂直 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件，结合方向向量，法向量的定义，以及直线平行、垂直的性质，即可求解. 【详解】直线的倾斜角等于， 则直线的斜率为， 对于A，因为直线的斜率为， 则的一个方向向量为，A正确； 对于B，， 法向量与直线不垂直，B错； 对于C，直线的斜率为，且不过，C正确； 对于D，直线的斜率为， 则斜率之积为，故两直线垂直，D正确. 故选：ACD 11. 已知空间向量，，则下列说法正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用空间向量的模长公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，， 则，所以，，A对； 对于B选项，，， 因为，所以，与不共线，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（3×5=15分） 12. 若直线与直线平行，则与之间的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线平行求出a，然后由平行直线间的距离公式可得. 【详解】据两直线平行，可得，解得， 所以两直线的方程，， 整理得， 根据平行线间的距离公式可得，两平行线间的距离． 故答案为： 13. 若，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法、数量积的坐标运算进行计算. 【详解】由，，所以； 所以. 故答案为： 14. 已知空间直线的方向向量是，平面的法向量．若，则______；若，则______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】根据空间向量垂直和平行的坐标表示列方程求参数. 【详解】由是直线的方向向量，是平面的法向量， 若，则，即，解得，则， 若，则，即，解得. 故答案为：2， 四、解答题 15. 已知点和直线． （1）若直线经过点P，且，求直线的方程； （2）若直线过原点，且点P到直线，l的距离相等，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据两直线垂直可求出直线的斜率为2，然后利用点斜式即可求解； (2)先求出点P到直线l的距离，然后分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 由直线l的方程可知它的斜率为， 因为，所以直线的斜率为2． 又直线经过点，所以直线的方程为：， 即． 【小问2详解】 点P到直线l的距离为：， ①当直线的斜率不存在时，的方程为：，点P到直线的距离为2，与已知矛盾； ②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为：， 则，解得． 所以，直线的方程为：． 16. 根据下列条件分别写出直线的一般式方程： （1）斜率是，且经过点； （2）与直线垂直，且在轴上的截距为. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出所求直线的点斜式方程，化为一般式方程即可； （2）根据两直线垂直得出所求直线的斜率，可得出所求直线的斜截式方程，再化为一般式方程即可. 【小问1详解】 由点斜式，该直线的方程为，即， 故该直线的一般式方程为. 小问2详解】 直线的斜率为，因为所求直线与它垂直，所以所求直线斜率为， 因此所求直线方程为，化为一般式方程可得， 故所求直线的一般式方程为. 17. 已知的三个顶点分别为，，． （1）求边上的中线的长； （2）证明：为等腰直角三角形． 【答案】（1） （2）答案及解析 【解析】 【分析】（1）首先求出线段的中点的坐标，利用平面直角坐标系中两点的距离公式计算可得； （2）利用距离公式求出，，，再由勾股定理逆定理证明即可. 【小问1详解】 因为，，所以线段的中点的坐标为， 又，则． 【小问2详解】 因为， ， ， 因为，且， 所以等腰直角三角形． 18. 已知向量，. （1）求的值； （2）若，求实数k的值； （3）求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据向量模的坐标表示计算； （2）由向量垂直的数量积为0求解； （3）由向量夹角公式计算． 【小问1详解】 由题可得，则. 小问2详解】 ，， ，， 即，则. 【小问3详解】 ，，，， ， 向量与夹角的余弦值为. 19. 如图，在直三棱柱中，，M、N分别是的中点，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，利用线面垂直的性质定理即可证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量方法即可求得直线与平面所成角的正弦值；（3）首先求得两平面的法向量，用向量法即可求得平面与平面所成角的余弦值. 【小问1详解】 连接，如下图所示， 由于是直三棱柱，易知， 又因为，且， 所以平面 M、N分别是中点，所以，因此平面； 又平面，所以； 易知，所以， 满足，由勾股定理可知，， 又因为，所以平面， 又平面， 所以，. 【小问2详解】 由（1）可知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易得， ； 设平面的一个法向量为， 则，令得，，即； 设直线与平面所成的角为， 所以； 即直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）知，平面的一个法向量为， 易知，平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的角（锐角）为， 所以，； 所以，平面与平面所成角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $