11.4球的体积和表面积（第2课时）（课件）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020必修第三册）

11.4球的体积和表面积（第2课时） 沪教版2020必修第三册 第 11章 简单几何体 1.球的体积 设有一个半径为R的球．和柱体、锥体一样，我们也可以应用祖暅原理推导球的体积公式．我们先只考虑半球，即由球的一个大圆把球切成两部分中的一部分（图１１-４-６（１））．作为对比的几何体，我们取底面半径为R、高为R的圆柱，并从中切去一个倒置的底面半径为R、高为R的圆锥（圆锥的底面置于圆柱的上底面，圆锥的顶点置于圆柱下底面的圆心）（图１１-４-６（２））． 由此可见，球的体积是 例3.有一种空心钢球，质量为１４２ｇ，测得球的外直径 等于５．０ｃｍ．求它的内直径．（钢的密度是７．９ｇ／ｃｍ３，结果精确到０．１ｃｍ） 解　设空心钢球的内直径为２r，那么钢球的质量是 答：空心钢球的内直径约为４．５ｃｍ． 2.球的表面积 球的表面积就是球面的面积．由球的定义可以看出，球面是由一条半圆弧绕其直径旋转一周而成的曲面，它不能像圆柱面、圆锥面那样展开为平面图，求它的面积就不能化为平面的问题．实际上，球面面积公式的严格推导或证明需要用到极限与微积分等工具，本教材中无法完整给出．作为替代，本小节给出球面面积公式，并描述一种证明的思路，等同学们学了更多数学知识后，就有可能对这种思路有更深的理解，甚至可以自己把它补成严格的数学证明． 以R为半径的球面面积是 如图１１-４-７（１）所示，把球面剖分成许多小区域．取其中一个区域，把它近似地看成平面的三角形或多边形，从而它与球心组成了一个侧棱是R的棱锥，当这个区域足够小时，棱锥的高也近似于R，棱锥的体积ΔV≈⅓R ΔS，其中ΔS为棱锥底面积（图１１-４-７（２））．当取遍剖分中的所有小区域时，ΔS的总和近似于球面的面积S球，而ΔV的总和近似于球的体积V球，于是我们得到球面面积与球的体积之间的关系 这个关系式与剖分过程无关．可以想象，当剖分做得越来越精细时，推导过程中的“近似”越来越趋向于“精确”，于是上述近似关系最终成为相等关系，再把球的体积公式代入，得到 整理即得球面面积公式． 证明　（１）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为２R．得 课本练习 １．已知地球的半径约为６３７１ｋｍ，计算地球的表面积．（结果精确到 １００００ｋｍ２） ２．把一个半径为R的实心铁球熔化铸成两个小球，两个小球的半径之 比为１∶２．求其中较小球的半径 ３．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高８ｃｍ，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为６ｃｍ．若不计容器的厚度，求球的体积． 随堂检测 1、圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比V球∶V柱为( ) A．1∶2 B．2∶3 C．3∶4 D．1∶3 B 2、如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的（ ） A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 C 3、若一个球的直径是12 cm，则它的体积为________cm3. 288π 4、火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积是火星体积的________倍 8 5、已知两个球的半径之比为1∶2，则这两个球的表面积之比（ ） A．1∶2 B．1∶4 C．1∶6 D．1∶8 B 6、若一个球的直径为 2，则此球的表面积为 【答案】4π； 【解析】因为球的直径为 2，所以球的半径为 1，所以球的表面积 S＝4πR2＝4π； 7、设正方体的表面积为24，求其内切球的体积及外接球的体积； 【解析】设正方体的棱长为a，则6a2＝24，∴a＝2， 正方体内切球的直径等于其棱长，∴2r＝2，r＝1， 外接球的直径等于正方体的体对角线长， 8、如图为长方体与半球拼接的组合体，已知长方体的长、宽、高分别 为10，8，15(单位：cm)，球的直径为5 cm，求该组合体的体积和表面积； 【解析】根据该组合体是由一个长方体和一个半球组合而成； 由已知可得V长方体＝10×8×15＝1 200(cm3)， 所以所求几何体体积为 因为S长方体全＝2×(10×8＋8×15＋10×15)＝700(cm2)， THANKS “ ” $