11.2.3 锥体的表面积（题型专练）数学沪教版2020必修第三册

11.2.3锥体的表面积 题型一 椎体体积的直接应用 1．已知圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为，若圆锥与圆柱的表面积之比为，则（    ） A． B． C． D． 2．已知某圆锥底面的半径为，体积为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 3．某圆锥母线长为，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为（    ） A． B． C． D． 4．堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》.如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）.如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得到四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑.则在图2中，下列说法正确的个数为（    ）    ①阳马的四个侧面中恰有3个是直角三角形 ②鳖臑的四个面均为直角三角形 ③堑堵的表面积是阳马的表面积的2倍 ④堑堵的体积是鳖臑的体积的2倍 A．0 B．1 C．2 D．3 5．粽子古称“角黍”，由粽叶包裹糯米等食材蒸煮而成，是中国传统节庆食物之一，因各地饮食习惯不同，粽子的形状和味道也不同.如图所示的是我国南方流行的“广式五角粽”，其形状可以近似看成正四棱锥.若一个广式五角粽的底面棱长为，并测得其侧面与底面夹角的正切值为，则该广式五角粽的侧面积为（   ） A． B． C． D． 6．已知圆锥的顶点为S，母线，所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 7．若圆锥甲和等边圆柱乙（轴截面是正方形的圆柱）的体积相等，底面积分别为和，侧面积分别为和.若，则（ ） A． B． C． D． 8．已知一个圆锥的底面半径为3，侧面积为，该圆锥与一个圆柱的下底面圆心重合，且圆柱上底面与圆锥侧面相切，若圆柱的高为3，则圆柱的表面积为 ． 9．若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为的扇形，则这个圆锥的侧面积与表面积的比是 ． 10．如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥. (1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比； (2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积. 11．如图，三棱锥的各顶点都在球的表面上，底面中，，，侧棱底面ABC. (1)求三棱锥的表面积； (2)求球的体积. 12．如图，在圆柱中，圆柱轴截面是一个边长为4的正方形，为弧中点，为中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面； (3)求与平面所成角的正弦值. 题型一 求简单组合体的侧面积与表面积 1．如图茶杯的形状是一个上宽下窄的正四棱台，上底面边长为下底面边长的2倍，容积为28ml，厚度忽略不计.当倒入14ml茶水时，茶水的高度与茶杯的高度之比为（   ） A． B． C． D． 2．蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 3．毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为2.5米；上半部分圆锥的母线长为米，轴截面（过圆锥轴的截面）是面积为平方米的等腰钝角三角形，则建造该毡帐（不含底面）需要毛毡（    ）平方米． A． B． C． D． 4．如图是两个底面半径都为1的圆锥底面重合在一起构成的几何体，上面圆锥的侧面积是下面圆锥侧面积的2倍，，则（    ）    A． B． C． D．3 5．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，如图所示，某陀螺可以视为由圆锥和圆柱组合而成，点在圆锥的底面圆周上，且的面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的母线长为3，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 6．中和殿是故宫外朝三大殿之一.位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°.若取，则下列结论不正确的是（    ） A．正四棱锥的底面边长为24m B．正四棱锥的高为 C．正四棱锥的体积为 D．正四棱锥的侧面积为 7．位于徐州园博园中心位置的国际馆（一云落雨），使用现代科技雾化“造云”，打造温室客厅，如图，这个国际馆中3个展馆的顶部均采用正四棱锥这种经典几何形式，表达了理性主义与浪漫主义的对立与统一.其中最大的是3号展馆，其顶部所对应的正四棱锥底面边长为19.2m，高为9m，则该正四棱锥的侧面面积与底面面积之比约为（    ）（参考数据：） A．2 B．1.71 C．1.37 D．1 8．如图为某企业的产品包装盒的设计图，其设计方案为：将圆锥SO截去一小圆锥作包装盒的盖子，再将剩下的圆台挖去以O为顶点，以圆为底面的圆锥.若圆O半径为3，，不计损耗，当圆锥的体积最大时，圆的半径为 ，此时，去掉盖子的几何体的表面积为 . 三、解答题 9．现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. (1)若，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为，，现欲粉刷仓库上部屋顶和下部外墙，上部需增加防水处理，每平方米粉刷费用是100元，下部每平方米粉刷费用是80元，问粉刷总费用是多少元（结果精确到0.1元）？ (3)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 10．如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面边长为2，高为3.圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处. (1)求该几何体的体积； (2)求该几何体的表面积. 题型二 椎体的展开图与截面问题 1．如图，在正四面体木块中，点在内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线，，若截面的周长为4，则正四面体的表面积为（   ）    A． B． C． D．2 2．如图，过圆锥的轴的截面边长为4的正三角形，过的中点作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．福建省清流县书法家刘建煌老先生曾为三明绿道“怡亭”题字：四面风光长入画，一亭绿意最怡人. “怡亭”的顶部可近似看作一个正四棱锥，已知过侧棱且垂直于底面的截面是边长为 的等腰直角三角形，则该正四棱锥的侧面积约为（    ） A． B． C． D． 4．已知甲、乙两个圆锥的底面半径相等，侧面积分别为和，体积分别为和．若甲圆锥的侧面展开图为半圆，且，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．有一正四面体木料，现欲对其进行加工处理，将木料固定并将其过中心完整切开，若所得截面是边长为2的正方形，则该木料的表面积为 ． 6．如图，圆锥PO的底面直径和高均是2，过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积为 ；表面积为 . 7．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，若一个正方体在该圆锥内可以任意转动，则该正方体棱长的最大值为 ． 三、解答题 8．如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴的截面是等边三角形，点为半圆弧的中点，点为母线的中点．    (1)求此圆锥的表面积和体积； (2)求异面直线与所成角的大小． 一、单选题 1．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，三角形是底边和腰长分别为和的等腰三角形的纸片，将它沿虚线（中位线）折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球）.则蛋黄的半径的最大值为（   ）. A． B． C． D． 2．如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（    ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥的体积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 二、填空题 3．已知等边的边长为2，将其绕着边旋转角度，使点旋转到位置.记四面体的内切球半径和外接球半径依次为，当四面体的表面积最大时， ； . 4．图1所示几何体是一个星形正多面体，称为星形十二面体，是由对（个）平行五角星面组成的，每对平行五角星面角度关系如图2所示．一个星形十二面体有 个星芒（凸起的正五棱锥），将所有的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比是 ．（参考数据：） 5．两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入棱长为2的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，且八面体的各顶点均在正方体的表面上，将满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”.则此正子体的表面积S的取值范围是 三、解答题 6．如图1，设半圆的直径为 ，点、三等分半圆，点、分别是、的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥（如图2）．在图2中完成下列各题： (1)求圆锥中线段的长； (2)求四面体的体积； (3)求三棱锥与三棱锥公共部分的体积． 7．如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，母线长为6，边长为的等边内接于底面圆，射线与圆交于点，直线，且点满足，. (1)求此圆锥的侧面积； (2)若，，，求证：平面； (3)当为中点，且二面角的余弦值为时，求点到平面的距离. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.2.3锥体的表面积 题型一 椎体体积的直接应用 1．已知圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为，若圆锥与圆柱的表面积之比为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中的圆锥和圆柱的表面积的比值可得答案. 【详解】设圆锥的表面积为，圆柱的表面积为，由圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为， 则圆锥的母线，圆柱的母线为， 则，. 由，得， 化简得，即， 所以或（舍去），所以，即. 故选：C. 2．已知某圆锥底面的半径为，体积为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的体积公式，求出圆锥的高，从而求出圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】设圆锥的高为，因为底面半径，由体积，解得， 圆锥的母线长，所以圆锥的侧面积为. 故选：B 3．某圆锥母线长为，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出圆锥的高及底面半径，进而求出体积. 【详解】设该圆锥的高为，底面半径为，则， 由圆锥侧面积与轴截面面积的比值为，得，解得， 所以该圆锥体积为. 故选：B 4．堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》.如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）.如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得到四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑.则在图2中，下列说法正确的个数为（    ）    ①阳马的四个侧面中恰有3个是直角三角形 ②鳖臑的四个面均为直角三角形 ③堑堵的表面积是阳马的表面积的2倍 ④堑堵的体积是鳖臑的体积的2倍 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】对于①，根据阳马的定义结合线面垂直的判定与性质分析判断；对于②，根据鳖臑的定义结合线面垂直的判定与性质分析判断；对于③，根据棱柱与棱锥的表面积公式结合已知条件分析判断；对于④，根据棱柱与棱锥的体积公式结合已知条件分析判断. 【详解】对于①，如图，由题意可知平面，平面，则， 因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以阳马的四个侧面都是直角三角形，故①错误； 对于②，如图，由题意可知平面，平面，则， 因为平面，平面，则， 所以鳖臑的四个面均为直角三角形，所以②正确； 对于③，设长方体的长，宽，高分别为，则， 所以堑堵的表面积， ， 阳马的表面积， ， 由于 ， 所以堑堵的表面积不是阳马的表面积的2倍，即③错误； 对于④，设长方体的长，宽，高分别为，则， 所以堑堵的体积，鳖臑的体积， 所以堑堵的体积是鳖臑的体积的三倍，所以④错误. 故选：B    5．粽子古称“角黍”，由粽叶包裹糯米等食材蒸煮而成，是中国传统节庆食物之一，因各地饮食习惯不同，粽子的形状和味道也不同.如图所示的是我国南方流行的“广式五角粽”，其形状可以近似看成正四棱锥.若一个广式五角粽的底面棱长为，并测得其侧面与底面夹角的正切值为，则该广式五角粽的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知该广式五角粽的直观图为正四棱锥，取底面的中心，棱的中点，连接、、、，由二面角的定义可知即为侧面与底面的夹角，求出的长，结合勾股定理求出的长，进而可求得该正四棱锥的侧面积. 【详解】设该广式五角粽的直观图为如图所示的正四棱锥， 则， 取底面的中心，棱的中点，连接、、、， 则，为的中点， 因为为的中点，所以，且， 因为，故， 所以即为侧面与底面的夹角，所以. 由正棱锥的几何性质可知平面， 所以，则， 故该广式五角粽的侧面积为. 故选：C. 6．已知圆锥的顶点为S，母线，所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算出母线，所成角的正弦值，利用三角形面积公式得到方程，求出母线长，从而得到底面半径，利用圆锥侧面积公式得到答案. 【详解】母线，所成角的正弦值为， 设圆锥的母线长为，则，解得， 故底面半径为， 故该圆锥的侧面积为. 故选：C 7．若圆锥甲和等边圆柱乙（轴截面是正方形的圆柱）的体积相等，底面积分别为和，侧面积分别为和.若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出圆锥与圆柱的底面半径与高，利用体积公式与侧面积公式计算即可得. 【详解】设圆锥甲的底面圆半径为，高为，圆柱乙的底面圆半径为，高为， 则，， 又，则，圆锥的母线， . 故选：D. 8．已知一个圆锥的底面半径为3，侧面积为，该圆锥与一个圆柱的下底面圆心重合，且圆柱上底面与圆锥侧面相切，若圆柱的高为3，则圆柱的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据圆锥的侧面积公式求出圆锥的高，由圆柱上底面与圆锥侧面相切，可得，从而求出圆柱的半径，再由圆柱表面积公式求解即可. 【详解】设圆锥底面半径为R，母线长为l，高为h， 则，解得，故．设圆柱的底面半径为r，高为，则，解得，故圆柱的表面积为． 故答案为： 9．若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为的扇形，则这个圆锥的侧面积与表面积的比是 ． 【答案】 【分析】利用扇形弧长公式，即可求出底面圆半径，再分别算出圆锥表面积与侧面积即可得到比值. 【详解】设圆锥底面圆的半径为，圆锥的侧面展开图扇形的半径为， 由题意可得，， 圆锥的侧面积为，圆锥的表面积， 故 故答案为： 10．如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥. (1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比； (2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积. 【答案】(1) (2)侧面积；表面积. 【分析】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，从而可得出大棱锥的底面边长和斜高，然后可分别求出大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积，从而可求出大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比； （2）根据条件可求出大棱锥的底面边长和斜高，从而可求出大棱锥的侧面积；根据（1）的结论可求出棱台的侧面积；再求出棱台的上下底面的面积，从而可求出棱台的表面积. 【详解】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，则大棱锥的底面边长为，斜高为， 所以大棱锥的侧面积为，小棱锥的侧面积为， 棱台的侧面积为， 所以大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比. （2）因为小棱锥的底面边长为4cm，所以大棱锥的底面边长为8cm， 因为大棱锥的侧棱长为12cm，所以大棱锥的斜高为cm， 所以大棱锥的侧面积为， 所以棱台的侧面积为， 棱台的上，下底面的面积和为， 所以棱台的表面积为. 11．如图，三棱锥的各顶点都在球的表面上，底面中，，，侧棱底面ABC. (1)求三棱锥的表面积； (2)求球的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据余弦定理求出，然后求出底面三角形的面积，然后根据垂直关系求出其它三角形的面积，进而得到三棱锥的表面积. （2）首先求出球的半径，然后根据球的体积公式进而可求出球的体积. 【详解】（1）在底面中，由，可得， 又，由余弦定理可得，， 所以，即， 故. 又，侧棱底面， 所以， . 又，且， 则为等腰三角形，设边上的高为， 则， 所以三棱锥的表面积为. （2）设球的半径为.因为，，， 所以三棱锥外接球与以为棱的长方体的外接球是同一个球， 即球O的直径恰好是以为棱的长方体的体对角线， 故，故球的半径， 所以球的体积为. 12．如图，在圆柱中，圆柱轴截面是一个边长为4的正方形，为弧中点，为中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面； (3)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据线面垂直得出线线关系及边长再应用即可得解； （2）应用平面性质，结合线面垂直判定定理即可证明； （3）结合平面，应用线面角定义计算求解正弦值即可. 【详解】（1）因为，又因为平面，平面， 所以所以， 所以三棱锥的表面积为 （2）因为平面，平面， 所以，又因为是圆的直径，所以， 平面，，所以平面； （3）由平面，即得平面， 所以与平面所成角为， 与平面所成角的正弦值为 题型一 求简单组合体的侧面积与表面积 1．如图茶杯的形状是一个上宽下窄的正四棱台，上底面边长为下底面边长的2倍，容积为28ml，厚度忽略不计.当倒入14ml茶水时，茶水的高度与茶杯的高度之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长正四棱台的各条侧棱，交于一点，设正四棱台的下底面边长为，则上底面边长为，高为，求得，结合题意，得到，即可求得茶水的高度与茶杯的高度之比. 【详解】如图所示，延长正四棱台的各条侧棱，交于一点， 设正四棱台的下底面边长为，则上底面边长为，高为，四棱锥的高， 可得，所以, 设茶水的高为，可得， 即，所以. 故选：D. 2．蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为，底面半径为是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以为球心，半径为的球相切，则圆锥的侧面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合圆柱、圆锥以及球的结构特征解得圆锥母线长，进而可求圆锥的侧面积. 【详解】设为圆锥高，为圆锥母线长   以为球心，半径为4的球与圆锥侧面相切，则， 在中，，可得， 且，则，解得， 所以圆锥的侧面积为. 故选：C. 3．毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为2.5米；上半部分圆锥的母线长为米，轴截面（过圆锥轴的截面）是面积为平方米的等腰钝角三角形，则建造该毡帐（不含底面）需要毛毡（    ）平方米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用圆锥的结构特征求出圆锥的高和底面半径，由此求出上半部分圆锥和下半部分圆柱的侧面积，进而计算可得答案. 【详解】根据题意，如图所示为该组合体上半部分为圆锥， 由于其母线长为米，轴截面是面积为平方米的等腰钝角三角形， 设其高为，底面半径为， 则有，解可得， 则上半部分圆锥的侧面积 下半部分圆柱的侧面积 则该组合体的表面积(不含底面) . 故选：A 4．如图是两个底面半径都为1的圆锥底面重合在一起构成的几何体，上面圆锥的侧面积是下面圆锥侧面积的2倍，，则（    ）    A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】设两圆锥的高，，由可推出，由上面圆锥的侧面积是下面圆锥侧面积的2倍，推得，即得，求出的值，即可求得答案. 【详解】设两圆锥的高，，则，， 由，有， 可得，可得， 又由上下圆锥侧面积之比为，即， 可得，则有，即， 代入整理为，解得（负值舍）， 可得，． 故选：C． 5．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，如图所示，某陀螺可以视为由圆锥和圆柱组合而成，点在圆锥的底面圆周上，且的面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的母线长为3，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该几何体是由一个圆锥和一个圆柱组成的，由可得圆锥母线，结合圆锥的侧面积可得圆锥半径、高，而圆柱底面半径等于圆锥底面半径，圆柱高已知，由圆锥、圆柱体积公式即可得解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，则的面积为，解得， 因为圆锥的侧面积为，所以． 故该几何体的体积为． 故选：B. 6．中和殿是故宫外朝三大殿之一.位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°.若取，则下列结论不正确的是（    ） A．正四棱锥的底面边长为24m B．正四棱锥的高为 C．正四棱锥的体积为 D．正四棱锥的侧面积为 【答案】D 【分析】在正四棱锥中，设底面边长为，根据侧棱长和侧面与底面所成的二面角可求底边的边长，从而可求体高、侧面积以及体积，据此可判断各项的正误． 【详解】如图，在正四棱锥中，为正方形的中心，， 则为的中点，连接，，， 则平面，， 则为侧面与底面所成的锐二面角， 设底面边长为，正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为， 这个角接近，取，， 则． 在中，，解得，故底面边长为， 正四棱锥的高为， 侧面积为， 体积， 故ABC正确，D错误. 故选：D． 7．位于徐州园博园中心位置的国际馆（一云落雨），使用现代科技雾化“造云”，打造温室客厅，如图，这个国际馆中3个展馆的顶部均采用正四棱锥这种经典几何形式，表达了理性主义与浪漫主义的对立与统一.其中最大的是3号展馆，其顶部所对应的正四棱锥底面边长为19.2m，高为9m，则该正四棱锥的侧面面积与底面面积之比约为（    ）（参考数据：） A．2 B．1.71 C．1.37 D．1 【答案】C 【分析】根据图形,作出直观图,利用正四棱锥的相关性质即可求解. 【详解】如图，设H为底面正方形ABCD的中心，G为BC的中点，连接PH，HG，PG， 则，， 所以， 则， 故选：C. 8．如图为某企业的产品包装盒的设计图，其设计方案为：将圆锥SO截去一小圆锥作包装盒的盖子，再将剩下的圆台挖去以O为顶点，以圆为底面的圆锥.若圆O半径为3，，不计损耗，当圆锥的体积最大时，圆的半径为 ，此时，去掉盖子的几何体的表面积为 . 【答案】 2 【分析】利用比例求解上底面半径与圆台高的关系，写出圆锥的体积的表达式，通过导数分析其单调性，即可求解体积最大时的半径值，再运用面积公式即可求解表面积． 【详解】设圆的半径为，， ，则，得 圆锥的体积为 由得 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减 则当，即时，取最大值； 圆台的母线长为 圆台的侧面积为 下底面的面积为， 被挖的圆锥的侧面积为 故去掉盖子的几何体的表面积为 故答案为：2， 三、解答题 9．现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥，下部的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. (1)若，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为，，现欲粉刷仓库上部屋顶和下部外墙，上部需增加防水处理，每平方米粉刷费用是100元，下部每平方米粉刷费用是80元，问粉刷总费用是多少元（结果精确到0.1元）？ (3)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)元 (3)时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是 【分析】（1）根据条件，可得，根据体积公式，分别求得正四棱锥的体积和正四棱柱的体积，相加即可得答案. （2）根据条件，求得各个长度，进而可得正四棱锥的侧面积和正四棱柱的侧面积，根据单价，即可得答案. （3）设，可表示出各个长度，进而可得下部分的侧面积为的表达式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）由知. 因为， 所以正四棱锥的体积， 正四棱柱的体积. 所以仓库的容积. （2）如图，连接，取的中点，连接. 在正四棱锥中，， 所以. 因为，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以正四棱锥的侧面积为：. 正四棱柱的侧面积为： 则粉刷总费用为： 元. （3）设，下部分的侧面积为，连接， 则， 则， 设， 当，即时，， 故当时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大侧面积是. 10．如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面边长为2，高为3.圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处. (1)求该几何体的体积； (2)求该几何体的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由棱柱、圆锥的体积公式即可求解； （2）由棱柱、圆锥的表面积公式即可求解. 【详解】（1）正三棱柱的底面积为. ∴正三棱柱的体积为. 设正三角形的内切圆半径为， ∴，∴， ∴圆锥的体积为，该几何体的体积为. （2）∵正三棱柱的表面积为， 倒圆锥的底面圆面积为， 倒圆锥的母线长为. 倒圆锥的侧面积为. ∴该几何体的表面积为. 题型二 椎体的展开图与截面问题 1．如图，在正四面体木块中，点在内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线，，若截面的周长为4，则正四面体的表面积为（   ）    A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】作出示意图，由题意可求得，进而求得正面体的棱长，根据正三角形面积公式求解正四面体的表面积. 【详解】作出截面如图所示：    因为截面平行于直线，，由线面平行的性质定理可得，所以， 从而截面是平行四边形，所以， 所以，又，所以， 又因为截面的周长为4，所以，所以， 所以正四面体的表面积为. 故选：A 2．如图，过圆锥的轴的截面边长为4的正三角形，过的中点作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，作出组合体的轴截面，求出圆柱的底面圆半径和高，计算表面积作答. 【详解】作出圆锥PO的轴截面，此截面截挖去的圆柱得圆柱的轴截面矩形，如图， 矩形是等腰内接矩形，圆柱底面圆直径在圆锥底面圆直径上， 依题意，截面是边长为4的正三角形，所以， 因为是PO中点，则，，圆锥母线， 圆柱的侧面积，圆锥PO的表面积， 剩余几何体的表面中，圆锥底面圆挖去以CF为直径的圆（圆柱下底面圆），而挖去圆柱后， 圆柱上底面圆（以DE为直径的圆）成了表面的一部分，它与圆柱下底面圆全等， 所以剩余几何体的表面积是. 故选：D. 3．福建省清流县书法家刘建煌老先生曾为三明绿道“怡亭”题字：四面风光长入画，一亭绿意最怡人. “怡亭”的顶部可近似看作一个正四棱锥，已知过侧棱且垂直于底面的截面是边长为 的等腰直角三角形，则该正四棱锥的侧面积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意画出示意图，求出底边正方形的边长，得出正四棱锥的侧面是四个全等的等边三角形，再根据等边三角形的面积即可求解. 【详解】如图，正四棱锥，截面为等腰直角三角形， 因为， 所以， 又因为四边形为正方形，设边长为， 由勾股定理得，， 解得，， 所以正四棱锥的侧面是四个全等的等边三角形， 所以. 故选：D.    4．已知甲、乙两个圆锥的底面半径相等，侧面积分别为和，体积分别为和．若甲圆锥的侧面展开图为半圆，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥的侧面积和体积的公式计算即可． 【详解】设甲、乙两个圆锥的底面半径为，母线长分别为， 因为，所以． 因为甲圆锥的侧面展开图为半圆，所以，即，所以， 则甲圆锥的高，乙圆锥的高． 所以． 故选：A． 二、填空题 5．有一正四面体木料，现欲对其进行加工处理，将木料固定并将其过中心完整切开，若所得截面是边长为2的正方形，则该木料的表面积为 ． 【答案】 【分析】由截面是边长为2正方形，可得正四面体的棱长为4，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】如图正四面体，截面正方形由4条边的中点构成， 由于正四面体的对称性，这4个中点共面且形成正方形， 即四边形是边长为2的正方形， 所以正四面体的棱长为4. 又因为正四面体每个面都是等边三角形， 所以. 故答案为：. 6．如图，圆锥PO的底面直径和高均是2，过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积为 ；表面积为 . 【答案】 【分析】求得圆柱的底面半径和高，进而结合圆锥、圆柱的表面积和体积公式求解即可. 【详解】由于是的中点，圆锥PO的底面直径和高均是2， 所以圆柱的高，圆柱的底面半径为， 则圆锥的体积为，圆柱的体积为， 所以剩下几何体的体积为； 剩下部分的表面积等于圆锥的面积加上圆柱的侧面积， 即. 故答案为：；. 7．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，若一个正方体在该圆锥内可以任意转动，则该正方体棱长的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】理解题意，先求出圆锥的内切球半径，题中棱长最大的正方体的外接球即圆锥的内切球，由此求得正方体棱长最大值. 【详解】设圆锥的母线长为，依题意，，解得，故圆锥的轴截面为正三角形. 因正方体在该圆锥内可以任意转动，故棱长最大的正方体的外接球是圆锥的内切球.    如图,作出圆锥和内切球的轴截面图，设内切球的半径为,球的内接正方体的棱长为. 由三角形面积相等可得，，解得， 又因，解得，即该正方体棱长的最大值为. 故答案为：. 三、解答题 8．如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴的截面是等边三角形，点为半圆弧的中点，点为母线的中点．    (1)求此圆锥的表面积和体积； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)表面积，体积. (2) 【分析】（1）由轴截面为等边三角形确定母线长和圆锥的高，再由圆锥的表面积和体积公式进行求解； （2）取的中点，连接，利用三角形的中位线得到，得到为异面直线与所成的角或其补角，再利用两个直角三角形和进行求解． 【详解】（1）圆锥的底面半径，经过旋转轴的截面是等边三角形， 所以，， 所以圆锥的表面积， 圆锥的体积为. （2）取的中点，连接、，    又点为母线的中点，所以， 故为异面直线与所成的角或其补角． 由点为半圆弧的中点，得， 在中，因为，，所以， 因为，且平面，所以平面， 又，平面，所以，， 因为， 在中，， 所以． 即异面直线与所成角的大小为． 一、单选题 1．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，三角形是底边和腰长分别为和的等腰三角形的纸片，将它沿虚线（中位线）折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球）.则蛋黄的半径的最大值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三棱锥放入长方体中，三棱锥的各边为长方体的面对角线，计算出三棱锥的体积与表面积，结合等体积法可求出其内切球的半径. 【详解】如图所示，对折叠之前的平面图形中各点进行标记，同时将折叠后的几何体置于长方体中. 设长方体的长宽高分别为、、， 则，解得， 四面体体积为， 在中，，同理可得， 由余弦定理可得， 所以， 所以， 四面体的表面积为, 设内切球半径，则，所以， 所以蛋黄半径的最大值为. 故选：B. 2．如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（    ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥的体积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】D 【分析】先求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断A；当时，的面积最大，此时三棱锥体积也最大，利用圆锥体积公式求解即可判断B；先用取极限的思想求出的范围，再利用，求的范围，即可判断C；利用图形展开及两点之间线段最短即可判断选项D. 【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径， 对于A，圆锥的侧面积为：，故A错误； 对于B，当时，的面积最大，此时， 则三棱锥体积的最大值为，故B错误； 对于C，因为为等腰三角形，，又，所以， 当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，达到最大值， 又因为与不重合，则，又，可得，故C错误； 对于D，由，得，又， 则为等边三角形，则， 将以为轴旋转到与共面，得到， 则为等边三角形，，如图可知， 因为， ， 则，故D正确； 故选：D. 二、填空题 3．已知等边的边长为2，将其绕着边旋转角度，使点旋转到位置.记四面体的内切球半径和外接球半径依次为，当四面体的表面积最大时， ； . 【答案】 / 【分析】第一空：通过图形关系得到的面积为定值，当时，面积最大，进而得到； 第二空：通过设的中点为，得到，即为四面体的外接球球心；通过线面垂直的判定定理得到平面，进而计算四面体体积，结合等体积法求得内切球半径，即可得到答案. 【详解】易得的面积为定值， 又因为， 显然当时，面积最大，即四面体的表面积最大， 此时； 当四面体的表面积最大时，易知四面体的表面积最大值为， 如图，设的中点为，易知，所以， 即为四面体的外接球球心，四面体的外接球半径， 因为，且，所以，即， 因为，平面，， 所以平面， 四面体的体积为， 又因为， 所以，解得，所以. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：本题考查棱锥表面积求法与球的内切、外接问题.通过图形关系的转化，结合相关的公式进而求解表面积；外接球常找出球心即可解得外接球半径，而内切球半径往往通过等体积法进行转化求解. 4．图1所示几何体是一个星形正多面体，称为星形十二面体，是由对（个）平行五角星面组成的，每对平行五角星面角度关系如图2所示．一个星形十二面体有 个星芒（凸起的正五棱锥），将所有的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比是 ．（参考数据：） 【答案】 【分析】结合图形可判断出星芒的个数；将每个正五棱锥沿着侧面展开与底面在同一个平面上，形成一个正五角星，计算出正五棱锥侧面积和底面积之比即可. 【详解】由图可知，每个星形十二面体有个星芒， 将每个正五棱锥沿着侧面展开与底面在同一个平面上，形成一个正五角星， 则这个正五角星的五个顶点在圆上，连接，则垂直平分，设， 正五棱锥的侧面积等于，底面积等于， 正五边形的每个内角为，则，故， 则，所以，，， 设，则，则， ，则， 所以，将所有的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比为 ， 故答案为：；. 5．两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入棱长为2的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，且八面体的各顶点均在正方体的表面上，将满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”.则此正子体的表面积S的取值范围是 【答案】 【分析】如图正子体，设AB=a，由正四棱锥的性质可求，再结合条件及二次函数的性质可求，进而即得. 【详解】 如图正子体，由题可知PQ=2，取PQ,BC的中点分别为O，E，连接OE，PE，设AB=a， 由正四棱锥的性质可知，，PO=1， ∴， ∴， ∴此正子体的表面积， 如图设平面ABCD截正方体所得截面为，设，则， 由，可得， 由可知， ∴. 故答案为： 三、解答题 6．如图1，设半圆的直径为 ，点、三等分半圆，点、分别是、的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥（如图2）．在图2中完成下列各题： (1)求圆锥中线段的长； (2)求四面体的体积； (3)求三棱锥与三棱锥公共部分的体积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出圆锥的底面圆半径，再利用正弦定理求出，进而可得出答案； （2）根据求解即可； （3）连接交于点，连接并延长交于点，由此得到三棱锥与三棱锥公共部分即为三棱锥，由题得，则，得解. 【详解】（1）在图中，设圆锥的底面圆半径为，则，解得. 因为在图1中，点、三等分半圆， 所以在图2中，点、为圆锥的底面圆周的三等分点，则为等边三角形， 所以，所以. 又因为点、分别是、的中点， 所以. （2）因为，圆锥的高， 所以， 所以， 即四面体的体积为. （3）连接交于点，连接并延长交于点， 则三棱锥与三棱锥公共部分即为三棱锥.           因为点、分别是、的中点， 所以为的中点，且， 所以， 所以三棱锥与三棱锥公共部分的体积为. 7．如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，母线长为6，边长为的等边内接于底面圆，射线与圆交于点，直线，且点满足，. (1)求此圆锥的侧面积； (2)若，，，求证：平面； (3)当为中点，且二面角的余弦值为时，求点到平面的距离. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题可求得底面圆半径，再结合圆锥侧面积公式即可求解. （2）取中点，连接，，由面面平行证明平面平面，从而可求解； （3）作交于点，连接，由几何知识可得则就是二面角，再利用余弦定理及三角形等面积法求得，再利用等体积法即，从而可求解. 【详解】（1）由题意可得的边长为，则其外接圆半径， 所以此圆锥侧面积为：. （2）取中点，连接，，如图，因，所以可得， 又，，，所以可得，， 又因平面，因平面，所以平面， 又因平面，因平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. （3）连接，，由题可知底面圆的直径，点与点关于平面对称， 作交于点，连接，则由点，则就是二面角，且，则， 在中，由余弦定理得，解得， 连接，由，， 所以， 即，解得，负值舍去， 所以可得， 连接，由为底面圆的直径，则， 所以，， 设点到平面的距离为， 所以，即， 即，解得. 故点到平面的距离为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $