11.2 锥体的表面积(第3课时）（课件）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020必修第三册）

11.2 锥体的表面积(第3课时） 沪教版2020必修第三册 第 11章 简单几何体 与柱体类似，锥体的表面积也等于侧面积与底面积之和．对于棱锥或圆锥来说，由于底面是一个平面多边形或一个圆，可以用平面几何的方法计算面积，因此求侧面积是关键．对于一般的棱锥来说，每个侧面都是三角形，其侧面积也易于求出，但难以写出一个一般的公式．对于圆锥来说，求其侧面积则是一个新的问题，下面我们只讨论正棱锥和圆锥的表面积． 依据定义，正棱锥的每个侧面都是全等的等腰三角形，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高，记为h′．如果棱锥底面多边形的周长是c，底面面积是S底，那么容易求得棱锥的侧面积和表面积分别是： 对于圆锥，我们可以采用求圆柱侧面积的方法，将其沿一条母线剪开，展开在一个平面内．可以看到，圆锥侧面的平面展开图是一个以圆锥母线l为半径的扇形，扇形的弧长就等于圆锥底面的圆周长，如图１１２１３所示．设圆锥的底面圆半径为r，则扇形的中心角θ＝ （弧度）．由扇形的面积公式，可得 所以，圆锥的表面积公式为： 例6.已知正三棱锥O-ABC的底面边长为２ｃｍ，高为１ｃｍ．求该三棱锥的表面积． 例7.有一个圆锥形漏斗，其底面直径是１０ｃｍ，母线长为２０ｃｍ．在漏斗口的点P处用一根绳子将漏斗挂在墙面上，当绳子的长度最短时，可以紧紧地箍住漏斗，不会上下滑动．求此时绳子的长度．（结果精确到１ｃｍ） 课本练习 １．已知圆锥侧面展开图中扇形的中心角为 ，底面周长为２π． 求这个圆锥的侧面积和表面积． ２．棱长都是１的三棱锥的表面积为　　　　． ３．推导正棱台的侧面积公式． 随堂检测 1、已知正方体的8个顶点中，其中有4个顶点为各侧面均为等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为（ ） 【提示】注意阅读理解，两几何体的之间的结构特征以及关联； 【答案】B； 【解析】三棱锥B′-­ACD′为适合条件的三棱锥，四个面为全等的等边三角形， 2、若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） 【提示】知道与用好圆锥的侧面积公式； 【答案】A 【解析】设圆锥底面圆的半径为r，高为h，母线长为l. 3、若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为_______ 【提示】注意：“侧面展开图是面积为2π的半圆面”； 【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则4π＝πl2，所以母线长为l＝2， 又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr＝2π， 所以底面圆半径r＝1，所以该圆锥的高为h＝ 4、棱长都是3的三棱锥的表面积S为_______ 【提示】注意：“棱长都是3”； 【解析】因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S＝ 5、正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30 °，则该四棱锥的侧面积为 【提示】注意：高、斜高及其在底面的射影，高、侧棱及其在底面的 射影构成的直角三角形， 【答案】32； 【解析】如图所示，在正四棱锥P­ABCD中，连接AC，BD交于点O， 连接PO，取BC的中点E，连接PE，OE， 易知PO为正四棱锥P­ABCD的高，PE为斜高， 故四棱锥的侧面积为32. 6、圆台的上、下底面半径分别为10 cm，20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积为________cm2.(结果中保留π) 【解析】如图所示，设圆台的上底面周长为c cm， 因为扇环的圆心角是180°， 故c＝π·SA＝2π×10(cm)， 所以SA＝20 cm； 同理可得SB＝40 cm， 所以AB＝SB－SA＝20 cm， 所以S表＝S侧＋S上底＋S下底＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)； 故圆台的表面积为1 100π cm2； 答案：1 100π； 7、如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点， 沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. （1）折起后形成的几何体是什么几何体？ （2）这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？ （3）每个面的三角形面积为多少？ 【提示】注意理解多面体的构成； 【解析】（1）如图，折起后的几何体是三棱锥. （2）这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形， △PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形； THANKS “ ” $