专题05 期中真题百练通关（压轴题）（期中专项训练）七年级数学上学期新教材沪科版

专题05 期中真题百练通关（56题10大压轴题型） 说明：真题集训性质，选用期中真题/中高考真题，加题源。 选填小压轴 解答压轴 题型1 数轴上的规律探究 题型7 绝对值的几何意义 题型2 化简多重符号 题型8 数轴上点的平移（动点问题） 题型3 绝对值非负性 题型9 带有字母的绝对值化简问题 题型4 数轴上的翻折 题型10数字类规律探索 题型5根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型6整式加减中的无关型问题 题型1 数轴上的规律探究（共3小题） 1．（24-25七年级上·广西柳州·期中）如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为，点A落在1的位置．如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上的点是点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上的规律探究，找出圆运动的周期与数轴上的数字的对应关系是解答此题的关键．圆的周长为6个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以6，看余数是几，再确定和谁重合即可解答． 【详解】解：由图可知，旋转1周，点B对应的数是0，点C对应的数是，点D对应的数是，点E对应的数是，点F对应的点为，点A对应的点为，继续旋转，点B对应的点为，点C对应的点为，……． ∵ 又∵， ∴数轴上表示的点与圆周上点D重合． 故选C． 2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数所对应的顶点是 ． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，数字类的规律探索．根据点从1开始，每翻转6次一个循环，利用，根据余数的情况进行判断即可． 【详解】解：由题意，可知，点从1开始，每翻转6次一个循环， ∵， ∴数轴上数所对应的点是； 故答案为：C 3．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示哪个数字的点重合 ． 【答案】0 【分析】圆沿着数轴向左滚动，每滚动一圈，圆周上的0，3，2，1分别与数轴上的数一一对应，找到与之间有几组循环即可作答； 本题主要考查了数轴上的规律探究，找到滚动时圆周上的数字与数轴上的数字的对应关系和循环周期是解题的关键． 【详解】解：圆的周长为4个单位长度，则圆每滚动一圈，圆周上的0，3，2，1分别与数轴上的数一一对应，即4个数为一组循环； 起始状态圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，当圆滚动到时，经过了个单位长度，共有组循环，则数轴上表示的点与圆周上的0重合． 故答案为：0． 题型2 化简多重符号（共3小题） 4．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）在数，，中，非负整数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟知非负整数的定义是解题的关键．根据非负整数的定义求解即可． 【详解】解：，，，，， 在数，，中，非负整数有共2个， 故选：A． 5．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义和化简绝对值逐项排除即可． 【详解】解：A、，，故和不互为相反数，该选项不符合题意； B、，，故和不互为相反数，该选项不符合题意； C、和不互为相反数，该选项不符合题意； D、，，故和互为相反数，该选项符合题意； 故选：D． 6．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）下列各组数中，结果互为相反数的是（） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了化简多重符号，绝对值，相反数等知识，先化简各数，然后根据相反数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．与，两数不互为相反数，不符合题意； B．与，两数互为相反数，符合题意； C．与，两数相等，不符合题意； D．与，两数相等，不符合题意， 故选：B． 题型3 绝对值非负性（共8小题） 7．（24-25七年级上·四川眉山·期中）成立的条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值的非负性，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据绝对值的非负性，可得，，求解即可选出正确答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：且 故选：C 8．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）若是任意的有理数，则式子的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是绝对值的非负性，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据绝对值的非负性，可得，故当取最小值时，式子取最大值，即可选出答案． 【详解】解：∵绝对值具有非负性，是任意的有理数， ∴， ∴的最小值是， ∴当取最小值时，式子有最大值，此时的值是， 故选：A． 9．（24-25七年级上·河北唐山·期中）已知，则、的值是（   ） A．， B．，为任意值 C．， D．为任意值，， 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和完全平方的非负性，掌握几个非负数的和等于，则每个非负数都为这个性质是解题的关键．根据绝对值和完全平方的非负性求解即可． 【详解】解：， ，， 解得：，， 故选：A． 10．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）若与b互为相反数，则a b（用“”“”“”“”填空）． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义，根据绝对值的非负性，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵与b互为相反数， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 11．（24-25七年级上·广东河源·期中）已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数． (1) ， ． (2)已知，求． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了相反数的定义，绝对值的性质，代数式求值， 对于（1），根据相反数的定义求出a，再根据绝对值的性质求出b； 对于（2），根据绝对值的非负性求出m，n的值，进而得出答案． 【详解】（1）因为a与4互为相反数， 所以； 因为b的绝对值是最小的正整数， 所以； 故答案为：； （2）由（1），得， 所以， 解得， 所以． 12．（24-25七年级上·江西赣州·期中）当 时，的值最大． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据，若使有最大值，则应为即可． 【详解】解：， 要使得的值最大，则需满足，即． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·福建泉州·期中）若，，是整数，且，则的值为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想．根据绝对值的非负性以及题意，①当时，；②当时，；③当时，，分类讨论计算即可． 【详解】解：∵，，是整数 ∴，是整数 ∵且， ∴①当时， ∴， 当，， ∴，， ∴； 当，， ∴，， ∴； ②当时，， ∴， 当，， ∴，， ∴ 当，， ∴，， ∴； ③当时，， ∴，， 当，， ∴，， ∴； 当，， ∴，， ∴ 当，， ∴，， ∴； 当，， ∴，， ∴； 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 14．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解得关键是掌握非负数的性质．根据题意得到：，，即可求解． 【详解】解：， ，， 解得：，， 故答案为：，． 题型4 数轴上的翻折（共3小题） 15．（24-25七年级下·河南开封·期末）一个长方形在数轴上的位置如图所示，，，若此长方形绕着顶点按照顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，求翻转2018次后，点所对应的数（　　） A．5040 B．5042 C．5043 D．5044 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上点的位置变化规律，通过分析得出规律每翻转次，点就会落在数轴上，再根据规律计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 将长方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转次，点首次落在数轴上的点对应的数为，当点第二次落在数轴上时，其对应的点是，对应的数是，而，以后，每翻转次，点就会落在数轴上， 翻转2018次后，点会第次落在数轴上， 故翻转2018次后，点所对应的数是， 故选：D． 16．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（   ） A．我 B．爱 C．数 D．学 【答案】C 【分析】本题考查了数轴及翻转的性质，有理数的除法运算，根据翻转变化规律确定每4次翻转为一次循环组是解题的关键． 根据规律可知，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的，由此可以推出连续翻滚后数轴上数2024对应的字． 【详解】由题意得，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的， ， 所以数字对应“数”， 故选：C． 17．（24-25七年级上·福建福州·期中）在白纸上画一数轴，折叠数轴，使数轴上数对应的点与数4对应的点重合． (1)求数轴上与数8对应的点重合的点对应的数； (2)若数轴上两点，（点在的左侧），折叠前，两点间的距离为50，折叠后，两点间的距离为5，求点表示的数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查折叠的性质，数轴上两点间的距离，掌握两点间距离的计算方法是解题的关键． （1）设与数8对应的点重合的点对应的数为，根据题意得到，即可解题． （2）设折叠处为点C，根据折叠前A、B两点间的距离为，折叠后A，B两点间的距离为，得到，再分类讨论，①，②，根据上述两种情况分析，即可得到点A表示的数． 【详解】（1）解：设与数8对应的点重合的点对应的数为， 则， 解得：， ∴与数8对应的点重合的点对应的数为； （2）解：解：设折叠处为点C， 折叠前A、B两点间的距离为，折叠后A，B两点间的距离为， ①当时， 由题知， 由上面两式整理可得，解得， 点C表示的数为， ∵点A在B的左侧， ∴点A表示的数为， ②当时， 由题知， 由上面两式整理可得，解得， 点C表示的数为， ∵点A在B的左侧， 点A表示的数为， 综上所述，点A表示的数为或． 题型5根据点在数轴的位置判断式子的正负（共10小题） 18．（25-26七年级上·全国·期中）有理数m，n在数轴上的位置，m在原点右侧，n在原点左侧，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了通过数轴比较有理数的大小，涉及有理数的加减、乘法法则，数轴的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，根据有理数m，n在数轴上的位置，m在原点右侧，n在原点左侧，，再由有理数的运算性质即可得解． 【详解】解：∵有理数m，n在数轴上的位置，m在原点右侧，n在原点左侧， ∴， ∵， ∴，A选项正确，不符合题意； ∴，B选项正确，不符合题意； ∴，C选项正确，不符合题意； ∴，D选项错误，符合题意； 故选：D． 19．（24-25七年级上·河南信阳·期中）若有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，有理数的加减运算的符号确定，利用数轴知识和绝对值的定义解答． 【详解】解：由图可知，， ∴，，， ∴只有选项D正确，符合题意． 故选：D． 20．（25-26七年级上·全国·期中）有理数a、b在数轴上的位置：数轴上在原点左侧，在原点右侧，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴上的点，有理数的运算，先根据数轴上点的大小关系得出，，再根据有理数的运算法则逐项判断即可． 【详解】由数轴可得，且， A．，故选项A正确； B．，故选项B错误； C．，故选项C错误； D．，故选项D错误．               故选：A． 21．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）有理数a，b在数轴上的对应点如图，则下列各式：①； ②； ③；④；⑤ 其中值为负数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴、有理数的加减乘除运算、绝对值，熟练掌握数轴的定义是解题关键．先利用数轴的定义可得，再根据有理数的运算可对①②③④进行判断；根据绝对值的意义对⑤进行判断，即可作答． 【详解】由数轴的定义得：， 则，，，，， 因此，值为负数是②③④，共有3个， 故选：B． 22．（25-26七年级上·全国·期中）有理数x，y在数轴上的位置：x在原点左侧，y在原点左侧，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点表示有理数，有理数大小的比较，绝对值的意义等知识，由题意得到，再逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵x在原点左侧，y在原点左侧，且， ∴， A、，故选项不符合题意； B、，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 23．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）两数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，有理数的加减法，绝对值和相反数，理解数轴是解题关键．由数轴可知，，再逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， ，，，， A选项正确，B、C、D选项错误， 故选：A． 24．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）数轴上，，三个数表示的点如图所示，则下面结论正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的四则运算，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．由数轴得出，，再进一步判断每个选项即可． 【详解】解：由数轴得，，， ，故①正确； ， ， ∴，故②正确； ∵，， ，故③正确； ，， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 25．（2025·北京·模拟预测）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴判断式子正负，绝对值和相反数．有理数的乘法和加法，掌握相关知识点是解题关键．由数轴可知，，，再逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ，，，， ， A、B、C选项错误， 故选：D． 26．（24-25七年级上·北京·期中）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则下列结论一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上点的表示的数的正负及实数的加减乘除法的符号法则．根据两个数的正负以及加减乘除法运算法则，对每个选择作出判断，得正确答案即可． 【详解】解：因为，根据数轴可知，或或， 则，所以选项A错误，不符合题意； ，所以选项B错误，不符合题意，C正确，符合题意； 当时，； 当时，； 当时，．所以选项D错误，不符合题意； 故选：C． 27．（25-26七年级上·全国·期中）点，在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是和．对于下列四个结论：①；②；③；④；⑤其中正确的是 ． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，利用数轴判断式子的正负性，掌握在数轴上表示有理数，利用数轴判断式子的正负性是解题的关键． 先由数轴得，，再得，，，，即可作答． 【详解】解：由数轴得，， ∴②是符合题意的； 则，，，， ∴①⑤是符合题意的；③④是不符合题意的； 故答案为：①②⑤． 题型6整式加减中的无关型问题（共8小题） 28．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知多项式不含项和项，则的值为（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多项式的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．根据多项式的相关概念解答即可． 【详解】解：项系数为，项合并同类项后系数为， ∵多项式不含项和项， ∴， ∴，， 则． 故选：D． 29．（24-25七年级上·河南信阳·期中）如果代数式是关于x的二次式，那么（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查了整式的加减混合运算，先合并同类项，再由多项式是关于x的二次式，可得，即可求解．解题的关键是掌握整式的加减混合运算法则． 直接利用多项式的次数与系数确定方法分析得出答案． 【解答】解：∵代数式是关于x的二次式， ∴， 解得：， 故选：A． 30．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）已知关于的多项式不含三次项和一次项，则的结果为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，把所给多项式合并同类项，再根据不含三次项和一次项得到三次项和一次项的系数都为0，据此求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于的多项式不含三次项和一次项， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 31．（25-26七年级上·江苏·期中）已知，，无论x取何值，恒成立，则 【答案】2 【分析】本题考查整式的加减，根据题意可以得到关于a的等式，从而可以求得a的值，本题得以解决． 【详解】解：∵，，无论x取何值，恒成立， ∴ ， ∴， 解得． 故答案为：2． 32．（24-25七年级上·福建漳州·期中）当k＝ 时，代数式中不含项． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题． 先合并同类项，再根据“不含项”得到，进而计算即可． 【详解】解：∵多项式不含项， ∴， 解得k． 故答案为：． 33．（24-25七年级上·吉林·期中）若关于x、y的多项式 化简后不含项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减中无关型问题，根据化简后不含的项，即的系数为0，进而可求解． 【详解】解： ， ∵化简后不含的项， ∴， 解得：， 故答案为：． 34．（24-25七年级上·全国·期中）已知关于x，y的多项式，若该多项式的取值与字母y无关，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式去括号合并后由结果与x、y的值无关，确定出a与b的值即可． 【详解】解： ， ∵多项式的取值与字母无关， ∴，， ∴，． 故答案为： 35．（24-25七年级上·四川巴中·期中）已知：关于，的多项式不含二次项，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的加减是解题的关键．先对多项式进行合并同类项，然后再根据不含二次项可求解a、b的值，进而代入求解即可． 【详解】解： ， ∵不含二次项， ∴，， ∴，， ∴． 题型7 绝对值的几何意义（共5小题） 36．（24-25七年级上·广东广州·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律，如果数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，那么、两点之间的距离表示为．例如数轴上表示和的两点之间的距离可表示为． (1)已知数轴上点表示的数为，点表示数为，则线段的长度是______． (2)表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： 若，求的值；的最小值是多少，这时候的取值范围． 【答案】(1) (2)或；， 【分析】此题考查了绝对值的几何意义，画出数轴数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离进行计算即可； （2）①由题意知，，表示数轴上和两点间的距离，表示数轴上和2两点间的距离，然后结合数轴即可得出答案；②同①结合数轴即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，； 故答案为：5； （2）解：①由题意知，，表示数轴上和两点间的距离；表示数轴上和2两点间的距离，如图所示： 不妨设点E表示为，点F表示为2，点表示的数为， 数轴上到点E的距离和到点F的距离之和为7的点表示的数是或3， ∴当时，或3； ②由题意知，，表示数轴上和两点间的距离；表示数轴上和2两点间的距离，如图所示： 不妨设点E表示为，点F表示为2，点表示的数为，那么， 当在左边时，； 当在右边时，； 当时，，此时取最小值5． 的最小值是5，这时候的取值范围是． 37．（24-25七年级上·陕西商洛·期中）在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个实心球，直径可以有毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如表： 做实心球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 (1)请你指出哪些同学做的实心球是合乎要求的？ (2)哪个同学做的质量最接近标准质量？ 【答案】(1)张兵和蔡伟同学做的实心球是合乎要求的 (2)蔡伟同学做的质量最接近标准质量 【分析】本题主要考查了绝对值的意义、正负数的意义等知识点，正确掌握正负数的实际意义是解题的关键． （1）比较各个数据的绝对值，绝对值小于0.02是实心球是合乎要求，据此即可解答； （2）比较各个数据的绝对值，绝对值最小的实心球的质量最接近标准质量，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵，． ∴张兵和蔡伟同学做的实心球是合乎要求的． （2）解：，， ∵， ∴蔡伟同学做的质量最接近标准质量． 38．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求x的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数x的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则x的值为__________． (2)已知，则x的值为__________． (3)已知x是有理数，当x取不同数时，式子的值也会发生变化，问式子是否有最小值？若有，请求出最小值，若没有，请说出理由． (4)当时，则的最大值为__________． 【答案】(1) (2)2或 (3)8 (4)13 【分析】本题考查了非负数的性质及数轴上两点间距离、绝对值的意义，读懂并理解题目材料，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键． （1）根据表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，求解即可； （2）根据，表示在数轴上与的距离为3的点对应的数，求出答案； （3）表示在数轴上表示数x的点到表示数2与表示数的距离之和，因此当x在2与之间时，这个距离之和最小，最小值为2与之间的距离8， （4）根据题意得到，，然后将，代入求解即可． 【详解】（1）解：，数轴上表示数x的点到原点的距离为3， 因此或， 故答案为：； （2）解：，在数轴上与的距离为3的点对应的数2或， 故答案为：2或； （3）解：表示在数轴上表示数x的点到表示数2与表示数的距离之和， 因此当时，这个距离之和最小，最小值就是2与之间的距离，为8， 故有最小值，是8； （4）解：∵表示在数轴上表示数x的点到表示数与表示数2的距离之和， ∴由（3）可得，当时，有最小值3 ∵表示在数轴上表示数y的点到表示数1与表示数3的距离之和， ∴由（3）可得，当时，有最小值2 ∵ ∴只有当且时等式成立 ∴， ∴当，时，有最大值，即． 39．（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 【答案】(1)，或； (2)，； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值．解决本题的关键在于根据数轴上点的位置去掉绝对值符号，解题过程中要注意分类讨论． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出表示和两点之间的距离；根据数轴上两点之间的距离公式列出关于的方程，解方程求出； （2）首先根据绝对值的性质分别求出、的值，再根据数轴上两点之间的距离公式分情况求出点、点之间的距离，通过比较找出最大距离和最小距离； （3）根据数轴上两点之间的距离，可知当时，，找到之间的所有整数并求和即可； （4）分情况求出的取值范围，根据取值范围确定的最小值； （5）由（4）可知，当时，有最小值，根据规律去掉绝对值符号求合即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是； 表示数和的两点之间的距离是， ， 整理得：， 解得：或； 故答案为：；或； （2）解：， ， 解得：或， ， ， 解得：或， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 、两点间的最大距离是，最小距离是； （3）解：如下图所示， ， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示到点和的距离之和等于的点， 从数轴上可知，表示数的点在数轴上表示数和之间， 这些点表示的数有、、、、、、、， 这些点表示的数的和是， 故答案为：； （4）解：当时， ， ， ， ； 当时， ， 当时， ， ， ， ， 距离和的最小值是：； （5）解：由可知当时，有最小值， ， 故答案为：． 40．（24-25七年级上·河南商丘·期中）姗姗在学习绝对值的时候发现：可表示数轴上表示2和表示1的两点间的距离；而即则表示数轴上表示2和表示的两点间的距离．根据上面的发现，姗姗将看成数轴上表示与表示2的两点在数轴上的距离，那么可看成表示与表示的两点在数轴上的距离．姗姗继续研究发现：取不同的值时，有最小值，请你借助数轴解决下列问题： (1)当时，的最小整数值是__________； (2)若，那么的最小值是__________； (3)若，那么的最小值是__________，此时为_________； (4)的最小值是__________． 【答案】(1) (2)6 (3)8， (4)90 【分析】（1）根据题意，得，得到，解答即可； （2）根据题意，得，得到时， 取得最小值，解答即可． （3）根据题意，，根据距离和的意义解答即可． （4）根据题意，得表示的是x与这19个数的距离之和，即解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得表示数轴上表示与表示2的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离的和， ∵， ∴， ∴的最小整数值是， 故答案为：． （2）解：根据题意，得表示数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离的和， ∴时，取得最小值， 此时， 故答案为：6． （3）解：根据题意，得表示数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示0的两点在数轴上的距离的和， ∴， ∴时，取得最小值， 此时， 故答案为：8，． （4）解：根据题意，得表示的是x与这19个数的距离之和， 即． 故答案为：90． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离公式，绝对值的意义，距离之和最小的意义，有理数的加法．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及当点在两点之间时，点到两点间的距离之和最小，是解题的关键． 题型8 数轴上点的平移（动点问题）（共3小题） 41．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； (4)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 【答案】(1) (2) (3)点表示的数为或，或 (4)当在之间时，点表示的数为，；当在点左边时，点P表示的数为， 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数是，，，，，； （3）由题意可求出点表示的数是或，进而即可求出的值； （4）分两种情况讨论：当在之间时，，点表示的数为，此时；当在点左边时，，点P表示的数为，此时． 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴点到点的距离与点到点的距离之和为， ∴点为点、的“格距点”， ∴， 故答案为：； （2）解：∵整点为点、的“格距点”， ∴，即在线段上， ∴整点所表示的数是，，，，，，共个， 故答案为：； （3）解：∵点到点的距离为， ∴点表示的数为或， ①当点表示的数为时，点到点的距离与点到点的距离之和为， 此时； ②当点表示的数为时，点到点的距离与点到点的距离之和为， 此时； （4）解：①当在之间时，， 点表示的数为：， 此时； ②当在点左边时，， 点P表示的数为：， 此时． 42．（24-25七年级上·北京·期中）先阅读，再探究相关的问题：表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)点A的位置如图所示，点B与点A分别位于原点两侧且与原点距离相等，把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则C点表示的数是______；B，C两点间的距离是______； (2)点D和E分别在数轴上表示数x和．如果D，E两点之间的距离为3，那么x为______； (3)借助数轴思考，当x为______时，与的值相等． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）由图可知点和点表示的数，根据数轴上点的平移即可求出点表示的数，进而可求出、两点间的距离； （2）根据数轴上两点之间的距离建立绝对值方程，解方程即可求出的值； （3）根据和的含义，画出数轴，利用数形结合思想即可解决问题． 【详解】（1）解：由图可知，点表示的数为， 把点A向左移动1.5个单位，得到点C， 点表示的数为：， 由图可知，点表示的数为， 、两点间的距离是：， 故答案为：，； （2）解：由题意可知： ， 解得：或， 故答案为：或； （3）解：和可看成数轴上表示数的点与表示的点和表示的点的距离， 又与的值相等， 如图所示： 当表示数的点为线段的中点时，与的值相等，此时， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了数轴上点的平移，数轴上两点之间的距离，绝对值方程，用数轴上的点表示有理数等知识点，熟知数轴上两点之间距离的计算方法并运用数形结合思想是解题的关键． 43．（22-23七年级上·北京·期中）对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点沿数轴向右平移个单位长度，得到点，称这样的操作为点的“变换”，对数轴上的点，，，进行“变换”后得到的点分别为，，，． (1)当，时． ①若点表示的数为，则它的对应点表示的数为 ； ②数轴上的点表示的数为，若点到点的距离是点到点的距离的倍，则点表示的数为 ； (2)当时，若点表示的数为，点表示的数为，则的值为 ； (3)若点到点的距离是点到点的距离的倍，则的值为 ． 【答案】(1)①；②或 (2) (3) 【分析】本题考查了新概念“变换”、数轴上两点间的距离、绝对值，熟练掌握数轴上两点间的距离是解题的关键． （1）①由，即可得出对应点表示的数；②设点表示的数为，则点表示的数为，由，解方程即可得； （2）由题意得，解方程即可得； （3）设点、表示的数分别为、，则点、表示的数分别为、，则，解方程即可得． 【详解】（1）解：①，，点表示的数为， 点表示的数为， 故答案为：； ②设点表示的数为，则点表 示 的 数 为 ， 点表示的数为， ，， ， ， 解得：或， 即点表示的数为或， 故答案为：或； （2）根据题意可得：， 解得：， 故答案为：； （3）设点、表示的数分别为、，则点、表示的数分别为、， ，， ， ， 解得：， 故答案为：． 题型9 带有字母的绝对值化简问题（共8小题） 44．（25-26七年级上·天津河东·期中）有理数，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了数轴和绝对值，整式的加减运算，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义． 利用数轴知识和绝对值的定义去绝对值符号，再合并同类项化简即可解答． 【详解】解：由数轴图可知，，， ，，， ． 45．（24-25七年级上·海南海口·期中）已知：是最小的正整数，且满足，请回答问题 (1)直接写出的值        (2)所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程） 【答案】(1)， 1， 5 (2)或，过程见解析 【分析】本题考查了数轴与绝对值：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数；③当a是零时，a的绝对值是零． （1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值； （2）根据x的范围，确定，，的符号，然后根据绝对值的意义即可化简． 【详解】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴． ∵ ∴， ∴，，， 故答案为：， 1， 5； （2）解：∵， ∴，， 当时，， 当时，， ∴当时， ； 当时， ． 综上所述，的值为或． 46．（25-26七年级上·全国·期中）已知数轴上有两点A，B，分别对应有理数a，b，其中点A在原点左侧，点B在原点右侧，且原点到点A的距离是到点B的距离的2倍，A，B两点之间的距离为12． (1)求a，b的值； (2)求的值； (3)若点C在数轴上对应有理数c，且c在A，B两点之间（不含端点），化简． 【答案】(1) (2)28 (3)0或 【分析】本题主要考查了数轴的几何意义，绝对值的化简，解题的关键是掌握数轴的几何意义以及分类讨论的数学思想． （1）设原点到B的距离为x，则原点到A的距离为，利用两点之间的距离列出方程求解即可； （2）由（1）知的值，代入求值即可； （3）根据绝对值的几何意义分类讨论，即当时和时，化简绝对值即可． 【详解】（1）解：设原点到B的距离为x，则原点到A的距离为， 因为A在左，B在右，所以， 解得， 因此，； （2）解：由（1）得， ∴； （3）解：由（1）得， 根据题意得，， 当时，； 当时，； 综上，化简的结果为0或． 47．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）已知有理数a、b、c在数轴上对应的点如图所示，且表示数a的点、数b的点与原点的距离相等． (1)用“>”“<”或“=”填空∶ ① 0，② 0，③ 0； (2)化简∶ 【答案】(1)=，＞，＜ (2) 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大的特点是解答此题的关键． （1）根据各点在数轴上的位置判断出a，b的符号及绝对值的大小即可； （2）根据（1）中的结论去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：∵由图可知，， ∴． 故答案为：=，＞，＜； （2）解：∵， ∴ 48．（24-25七年级上·江西南昌·期中）已知有理数，，，且．    (1)如图，在数轴上将a、b、c三个数填在相应的括号中： (2)化简： 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了数轴与绝对值，整式的加减运算，根据题意判断式子正负是解题关键． （1）由题意可知，，再填写数轴即可； （2）由题意可知，再取绝对值符号化简即可． 【详解】（1）解：有理数，，，且， 则，， 在数轴上表示如下：    （2）解：由题意，可知， 所以 ． 49．（24-25七年级上·北京·期中）有理数a，b，c在数轴上的点对应数轴上的位置如图所示， (1)用“>” “=” “<” a___________0， ___________0， ___________0， ___________0， (2)化简：． 【答案】(1)<，<，>，< (2) 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，化简绝对值，整式的加减． （1）根据a，b，c在数轴上的点对应数轴上的位置，结合有理数的加减法法则判断即可； （2）先化简绝对值，再去括号合并同类项． 【详解】（1）∵ ∴，， 故答案为：<，<，>，< （2） 50．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）有理数在数轴上的位置如图所示， (1)用“”、“”或者“”填空： 0， 0， 0； (2)化简． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了有理数与数轴的关系，有理数的运算法则及绝对值的意义，熟练掌握有理数的运算法则及绝对值的意义是解答本题的关键． （1）根据有理数在数轴上的位置，结合加法和减法法则计算即可； （2）根据绝对值的意义，结合（1）的结论求解即可． 【详解】（1）解：∵从数轴可知：，， ∴，，， 故答案为： ，，； （2）解：∵从数轴可知：，， ∴，，， ∴． 51．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）已知有理数、、在数轴上的位置如图所示，且． (1)______________；（用“”、“”或“”填空） (2)______，______； (3)化简：． 【答案】(1)， (2)0， (3) 【分析】（1）根据数轴上各点的位置判断各式子的符号即可； （2）根据数轴上各点的位置判断各式子的符号即可； （3）化简绝对值，再计算即可． 【详解】（1）解：由数轴得，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （3）解：根据题意得：，，， 则 ． 【点睛】此题考查了利用数轴比较数的大小，整式的加减法，化简绝对值，正确理解数轴判断各式子的符号是解题的关键． 题型10数字类规律探索（共5小题） 52．（24-25七年级上·广东中山·期中）【阅读中思考】 设a是不为0和1的有理数，我们把1与a的倒数的差，即称为a的倒数差，如：2的倒数差是，的倒数差是． 【探索中理解】 若，是a的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． (1)①直接写出结果________，________，________； ②写出计算的算式，并求值； (2)根据以上的计算结果，猜想________；（直接写出答案） (3)求的值，并写出计算过程． 【答案】(1)①，，3；② (2) (3) 【分析】本题考查了数字类变化规律，理解题意，找出规律是解答本题的关键． （1）根据倒数差的定义进行计算，求出，，，的值； （2）根据（1）的计算结果，得到规律，每3个为一个周期，由此得到答案． （3）根据（1）的计算结果，得到规律，每3个为一个周期，每个周期3个数的积为，中，有2025个数，即675个周期，由此计算出答案． 【详解】（1）解：①；；； 故答案为：，，3； ②； （2）解：根据（1）中规律可得以，，3循环， ∵， ∴． （3）解：，， ∴ ． 53．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）数学课上老师出了一道题计算：，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案： 解：令 S＝，① 则2S＝，② ②－①得． 根据以上方法请计算： (1)；（写出过程，结果用幂表示） (2)_______．（结果用幂表示） 【答案】(1)，过程见详解 (2) 【分析】本题考查有理数的乘方运算．理解并掌握题干中的计算方法，是解题的关键． （1）根据题中计算方法，可以对所求式子变形，从而可以解答本题； （2）根据题中计算方法，可以对所求式子变形，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：令，① 则，② ②－①得， 即； （2）解：令，① 则，② ②－①得， ∴ ∴． 54．（25-26七年级上·全国·期中）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … (1)写出第5个等式： ； (2)猜想第n个等式，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式，再进行总结，并对等式左边的式子和右边的式子进行整理即可． 【详解】（1）解：第5个等式为：， 故答案为：． （2）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …， 第n个等式为：， 证明：左边，右边， 左边右边， ． 55．（24-25七年级上·全国·期中）观察下列各式： ， ， ， …… (1)请写出第4个式子： ； (2)若n为正整数，试猜想 ； (3)试利用（2）中猜想的结论比较13＋23＋33＋…＋103与（－56）2的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字变化规律，根据逐项增加计算所得的结果总结出规律是解题的关键． （1）根据题目中的等式，可以写出第4个式子； （2）根据题目中的等式，可以写出第n个式子； （3）根据（2）中的结果，可以将化简，然后与比较大小，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：． 故答案为：． （3）解：∵，，， ∴． 56．（25-26七年级上·全国·期中）观察下面三行数： ，9，，81，…；………………………第①行 1，，9，，…；………………………第②行 ，10，，82，…．……………………第③行 (1)第①行数按什么规律排列？ (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)设x，y，z分别为第①②③行的第2025个数，求的值． 【答案】(1)第①行数按（n为正整数）规律排列 (2)见解析 (3)1 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式． （1）观察可看出第一行的数分别是的1次方，二次方，三次方，四次方…且偶数项是正数，奇数项是负数，用式子表示规律为：； （2）观察②，③两行的数与第①行的联系，即可得出答案； （3）分别表示出第①②③行的2025个数，再将x，y，z代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解：∵，9，，81，，729…； ∴第①行数是：，，，，…， 即第①行数按（n为正整数）规律排列； （2）解：第②行数是第①行数相应位置的数乘，即； 第③行数比第①行数相应位置的数大1，即； （3）解：∵，，， ∴ ． 1．有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数与数轴，根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，进而判断出式子的符号即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由数轴可知，，原选项结论错误，不符合题意； 、由数轴可知，，原选项结论正确，符合题意； 、由数轴可知，，， ∴，原选项结论错误，不符合题意； 、由数轴可知，，原选项结论错误，不符合题意； 故选：． 2．三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了数轴以及数字变化规律，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键． 根据每次翻转后点的变化规律进行计算即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，在翻转的过程中，点对应的数依次为空、空、 故每次翻转为一个循环组 ， 翻转次后，点不在数轴上． 故选：A． 3．数轴上点A表示的数是6，点B表示的数是，若点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向负半轴移动，同时，点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向正半轴移动，当移动4秒时停止，则点A与点B之间的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题考查数轴上的动点、两点之间的距离，根据点A、B的运动方向和速度，可求得移动4秒后两点表示的数，进而可求解两点之间的距离． 【详解】解：根据题意，当移动4秒时停止，点A表示的数为，点B表示的数为， ∴点A与点B之间的距离为， 故答案为：5． 4．已知在纸面上有一数轴如图，根据给出的数轴，解答下面的问题： (1)请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数； (2)在数轴上画出与点A的距离为2的点（用不同于A、B的其他字母表示），并写出这些点表示的数； (3)折叠纸面，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①10表示的点与数________表示的点重合； ②若数轴上M、N两点之间的距离为2018（点M在点N的左侧），且M、N两点经折叠后重合，求M、N两点表示的数是多少？ 【答案】(1)点A表示的数为1，点B表示的数为 (2)见解析 (3)①；②点M表示的数为，点N表示的数为 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数： （1）根据数轴上点的位置即可得到答案； （2）根据数轴上两点距离计算公式得到与点A距离为2的点表示的数为或3，据此在数轴上表示出对应的点即可； （3）①先求出折叠中心为2，再根据与10重合的数到折叠中心的距离等于10到折叠中心的距离进行求解即可； ②根据题意可得点M和点N到折叠中心的距离都为1012，据此根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，点A表示的数为1，点B表示的数为； （2）解：∵点A表示的数为1， ∴与点A距离为2的点表示的数为或3， 如图所示，点C和点D即为所求； （3）解：①∵折叠纸面，在数轴上表示的点与表示5的点重合， ∴折叠中心为， ∴数轴上表示10的点与表示的点重合， 故答案为：； ②∵数轴上M，N两点之间的距离为2018（点M在点N的左侧），且M，N两点经折叠后重合， ∴点M和点N到折叠中心的距离都为1009， ∴点M表示的数为，点N表示的数为． 5．【定义新知】 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 请根据数轴解决以下问题： 【举一反三】 (1)可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离； (2)若，则的值为______； 【问题解决】 (3)请你结合数轴探究： ①的最小值是______； ②的值最小值为______； 【拓展应用】 (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．小区有居民3000人，居民区有居民2000人，居民区有居民1000人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个流感检测实验室，用于接收这3个小区的全员流感样本．若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)，3 (2)或0 (3)①5；②8； (4)当实验室建在、之间（包含、）时，才能使总运输和包装成本最低，最低成本是每千米20元/千份 【分析】（1）绝对值的几何意义，表示与a的差的绝对值，可理解为与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）表示与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离，可能在a的左侧或者右侧，分别求值即可； （3）表示在数轴上对应的点分别到3、所对应的点之间的距离之和，分别讨论在的左侧、3的右侧或者和3中间时，距离之和的大小即可； （4）先建立数轴并设实验室的位置对应的数字为，然后根据题目条件用表示总成本，由（3）可得实验室建在、之间（包含、）时，有可能取得最小值，再分段计算出成本比较大小即可． 【详解】（1）解：根据绝对值的几何意义，表示与3的差的绝对值，可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 故答案为：，3． （2）表示与的差的绝对值为3，即与两数在数轴上所对应的两点之间的距离为3，当在的左边时，的值为；当在的右边时，的值为； 故答案为：或0． （3）①表示在数轴上对应的点分别到3、所对应的点之间的距离之和，当时，的值为，当或时，，则的最小值是5； 故答案为：5． ②表示在数轴上对应的点分别与、和2在数轴上所对应的点之间的距离之和，当时，的值为，当时，，则的最小值是8； 故答案为：8． （4）以市民广场为原点，、、分别为、1、3建立数轴，设实验室对应的数字为， 总运输和包装成本为，由（3）知时，总成本可能取到最小值， 当时，， 当时，， ∵ ∴． 则，当实验室建在、之间（包含、）时，才能使总运输和包装成本最低，最低成本是每千米20元/千份． 【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义和带绝对值的化简计算，熟练掌握数轴上两点的距离和绝对值的计算是解题的关键． 6．有一道题：“先化简，再求值：，其中．”小明做题时把“”错抄成了“”，但他计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因 【答案】 见解析 【分析】本题考查整式的化简，通过去括号、合并同类项来化简式子，若化简后的式子中含有的项与正负无关，就是小明抄错的值但结果仍正确的原因． 【详解】解： ∵，即， ∴小明做题时把“”错抄成了“”，但他计算的结果却是正确的． 7．观察下列各式的特征： ； ； ； ． 根据规律，解决以下问题： (1)表示有理数的点在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为 ． A．            B．            C．            D． (2)计算：． 【答案】(1)C (2) 【分析】（1）由规律可知，较小数减较大数差的绝对值等于它的相反数，根据有理数的点在数轴上的位置可知，，由规律即可求得结果； （2）根据规律化简绝对值，然后进行加减法计算即可． 【详解】（1）解：由规律可知，较小数减较大数差的绝对值等于它的相反数，较大数减较小数差的绝对值等于它本身， 由有理数的点在数轴上的位置可知，， ∴， 故选：C； （2）解： ， ， ． 【点睛】本题考查规律探索，绝对值化简，利用数轴比较大小，有理数的加减法，掌握相关知识是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 期中真题百练通关（56题10大压轴题型） 说明：真题集训性质，选用期中真题/中高考真题，加题源。 选填小压轴 解答压轴 题型1 数轴上的规律探究 题型7 绝对值的几何意义 题型2 化简多重符号 题型8 数轴上点的平移（动点问题） 题型3 绝对值非负性 题型9 带有字母的绝对值化简问题 题型4 数轴上的翻折 题型10数字类规律探索 题型5根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型6整式加减中的无关型问题 题型1 数轴上的规律探究（共3小题） 1．（24-25七年级上·广西柳州·期中）如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为，点A落在1的位置．如果将圆在数轴上沿负方向连续滚动，那么落在数轴上的点是点（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数所对应的顶点是 ． 3．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示哪个数字的点重合 ． 题型2 化简多重符号（共3小题） 4．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）在数，，中，非负整数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 6．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）下列各组数中，结果互为相反数的是（） A．与 B．与 C．与 D．与 题型3 绝对值非负性（共8小题） 7．（24-25七年级上·四川眉山·期中）成立的条件是（   ） A． B． C．且 D．或 8．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）若是任意的有理数，则式子的最大值是（　　） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·河北唐山·期中）已知，则、的值是（   ） A．， B．，为任意值 C．， D．为任意值，， 10．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）若与b互为相反数，则a b（用“”“”“”“”填空）． 11．（24-25七年级上·广东河源·期中）已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数． (1) ， ． (2)已知，求． 12．（24-25七年级上·江西赣州·期中）当 时，的值最大． 13．（24-25七年级上·福建泉州·期中）若，，是整数，且，则的值为 ． 14．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）若，则 ， ． 题型4 数轴上的翻折（共3小题） 15．（24-25七年级下·河南开封·期末）一个长方形在数轴上的位置如图所示，，，若此长方形绕着顶点按照顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，求翻转2018次后，点所对应的数（　　） A．5040 B．5042 C．5043 D．5044 16．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（   ） A．我 B．爱 C．数 D．学 17．（24-25七年级上·福建福州·期中）在白纸上画一数轴，折叠数轴，使数轴上数对应的点与数4对应的点重合． (1)求数轴上与数8对应的点重合的点对应的数； (2)若数轴上两点，（点在的左侧），折叠前，两点间的距离为50，折叠后，两点间的距离为5，求点表示的数． 题型5根据点在数轴的位置判断式子的正负（共10小题） 18．（25-26七年级上·全国·期中）有理数m，n在数轴上的位置，m在原点右侧，n在原点左侧，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·河南信阳·期中）若有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 20．（25-26七年级上·全国·期中）有理数a、b在数轴上的位置：数轴上在原点左侧，在原点右侧，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）有理数a，b在数轴上的对应点如图，则下列各式：①； ②； ③；④；⑤ 其中值为负数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 22．（25-26七年级上·全国·期中）有理数x，y在数轴上的位置：x在原点左侧，y在原点左侧，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）两数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（        ） A． B． C． D． 24．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）数轴上，，三个数表示的点如图所示，则下面结论正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 25．（2025·北京·模拟预测）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级上·北京·期中）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则下列结论一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 27．（25-26七年级上·全国·期中）点，在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是和．对于下列四个结论：①；②；③；④；⑤其中正确的是 ． 题型6整式加减中的无关型问题（共8小题） 28．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知多项式不含项和项，则的值为（　 ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级上·河南信阳·期中）如果代数式是关于x的二次式，那么（　　） A． B． C． D． 30．（24-25七年级上·四川绵阳·期中）已知关于的多项式不含三次项和一次项，则的结果为（    ） A．1 B．0 C． D． 31．（25-26七年级上·江苏·期中）已知，，无论x取何值，恒成立，则 32．（24-25七年级上·福建漳州·期中）当k＝ 时，代数式中不含项． 33．（24-25七年级上·吉林·期中）若关于x、y的多项式 化简后不含项，则 ． 34．（24-25七年级上·全国·期中）已知关于x，y的多项式，若该多项式的取值与字母y无关，则 ． 35．（24-25七年级上·四川巴中·期中）已知：关于，的多项式不含二次项，求的值． 题型7 绝对值的几何意义（共5小题） 36．（24-25七年级上·广东广州·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律，如果数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，那么、两点之间的距离表示为．例如数轴上表示和的两点之间的距离可表示为． (1)已知数轴上点表示的数为，点表示数为，则线段的长度是______． (2)表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： 若，求的值；的最小值是多少，这时候的取值范围． 37．（24-25七年级上·陕西商洛·期中）在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个实心球，直径可以有毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如表： 做实心球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 (1)请你指出哪些同学做的实心球是合乎要求的？ (2)哪个同学做的质量最接近标准质量？ 38．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求x的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数x的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则x的值为__________． (2)已知，则x的值为__________． (3)已知x是有理数，当x取不同数时，式子的值也会发生变化，问式子是否有最小值？若有，请求出最小值，若没有，请说出理由． (4)当时，则的最大值为__________． 39．（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 40．（24-25七年级上·河南商丘·期中）姗姗在学习绝对值的时候发现：可表示数轴上表示2和表示1的两点间的距离；而即则表示数轴上表示2和表示的两点间的距离．根据上面的发现，姗姗将看成数轴上表示与表示2的两点在数轴上的距离，那么可看成表示与表示的两点在数轴上的距离．姗姗继续研究发现：取不同的值时，有最小值，请你借助数轴解决下列问题： (1)当时，的最小整数值是__________； (2)若，那么的最小值是__________； (3)若，那么的最小值是__________，此时为_________； (4)的最小值是__________． 题型8 数轴上点的平移（动点问题）（共3小题） 41．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为1，求点P表示的数及n的值； (4)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 42．（24-25七年级上·北京·期中）先阅读，再探究相关的问题：表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)点A的位置如图所示，点B与点A分别位于原点两侧且与原点距离相等，把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则C点表示的数是______；B，C两点间的距离是______； (2)点D和E分别在数轴上表示数x和．如果D，E两点之间的距离为3，那么x为______； (3)借助数轴思考，当x为______时，与的值相等． 43．（22-23七年级上·北京·期中）对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点沿数轴向右平移个单位长度，得到点，称这样的操作为点的“变换”，对数轴上的点，，，进行“变换”后得到的点分别为，，，． (1)当，时． ①若点表示的数为，则它的对应点表示的数为 ； ②数轴上的点表示的数为，若点到点的距离是点到点的距离的倍，则点表示的数为 ； (2)当时，若点表示的数为，点表示的数为，则的值为 ； (3)若点到点的距离是点到点的距离的倍，则的值为 ． 题型9 带有字母的绝对值化简问题（共8小题） 44．（25-26七年级上·天津河东·期中）有理数，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简：． 45．（24-25七年级上·海南海口·期中）已知：是最小的正整数，且满足，请回答问题 (1)直接写出的值        (2)所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程） 46．（25-26七年级上·全国·期中）已知数轴上有两点A，B，分别对应有理数a，b，其中点A在原点左侧，点B在原点右侧，且原点到点A的距离是到点B的距离的2倍，A，B两点之间的距离为12． (1)求a，b的值； (2)求的值； (3)若点C在数轴上对应有理数c，且c在A，B两点之间（不含端点），化简． 47．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）已知有理数a、b、c在数轴上对应的点如图所示，且表示数a的点、数b的点与原点的距离相等． (1)用“>”“<”或“=”填空∶ ① 0，② 0，③ 0； (2)化简∶ 48．（24-25七年级上·江西南昌·期中）已知有理数，，，且．    (1)如图，在数轴上将a、b、c三个数填在相应的括号中： (2)化简： 49．（24-25七年级上·北京·期中）有理数a，b，c在数轴上的点对应数轴上的位置如图所示， (1)用“>” “=” “<” a___________0， ___________0， ___________0， ___________0， (2)化简：． 50．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）有理数在数轴上的位置如图所示， (1)用“”、“”或者“”填空： 0， 0， 0； (2)化简． 51．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）已知有理数、、在数轴上的位置如图所示，且． (1)______________；（用“”、“”或“”填空） (2)______，______； (3)化简：． 题型10数字类规律探索（共5小题） 52．（24-25七年级上·广东中山·期中）【阅读中思考】 设a是不为0和1的有理数，我们把1与a的倒数的差，即称为a的倒数差，如：2的倒数差是，的倒数差是． 【探索中理解】 若，是a的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． (1)①直接写出结果________，________，________； ②写出计算的算式，并求值； (2)根据以上的计算结果，猜想________；（直接写出答案） (3)求的值，并写出计算过程． 53．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）数学课上老师出了一道题计算：，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案： 解：令 S＝，① 则2S＝，② ②－①得． 根据以上方法请计算： (1)；（写出过程，结果用幂表示） (2)_______．（结果用幂表示） 54．（25-26七年级上·全国·期中）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … (1)写出第5个等式： ； (2)猜想第n个等式，并证明． 55．（24-25七年级上·全国·期中）观察下列各式： ， ， ， …… (1)请写出第4个式子： ； (2)若n为正整数，试猜想 ； (3)试利用（2）中猜想的结论比较13＋23＋33＋…＋103与（－56）2的大小． 56．（25-26七年级上·全国·期中）观察下面三行数： ，9，，81，…；………………………第①行 1，，9，，…；………………………第②行 ，10，，82，…．……………………第③行 (1)第①行数按什么规律排列？ (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)设x，y，z分别为第①②③行的第2025个数，求的值． 1．有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 3．数轴上点A表示的数是6，点B表示的数是，若点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向负半轴移动，同时，点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向正半轴移动，当移动4秒时停止，则点A与点B之间的距离为 ． 4．已知在纸面上有一数轴如图，根据给出的数轴，解答下面的问题： (1)请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数； (2)在数轴上画出与点A的距离为2的点（用不同于A、B的其他字母表示），并写出这些点表示的数； (3)折叠纸面，若在数轴上表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①10表示的点与数________表示的点重合； ②若数轴上M、N两点之间的距离为2018（点M在点N的左侧），且M、N两点经折叠后重合，求M、N两点表示的数是多少？ 5．【定义新知】 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题．同学们都知道，表示与2的差的绝对值，可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 请根据数轴解决以下问题： 【举一反三】 (1)可理解为______与______在数轴上所对应的两点之间的距离； (2)若，则的值为______； 【问题解决】 (3)请你结合数轴探究： ①的最小值是______； ②的值最小值为______； 【拓展应用】 (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．小区有居民3000人，居民区有居民2000人，居民区有居民1000人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个流感检测实验室，用于接收这3个小区的全员流感样本．若流感样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 6．有一道题：“先化简，再求值：，其中．”小明做题时把“”错抄成了“”，但他计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因 7．观察下列各式的特征： ； ； ； ． 根据规律，解决以下问题： (1)表示有理数的点在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为 ． A．            B．            C．            D． (2)计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $