专题01 线段、射线和直线 十类题型（专项训练）数学青岛版2024七年级上册

专题01 线段、射线和直线（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、直线、线段、射线的数量问题 1 题型二、直线相交的交点个数问题 2 题型三、直线、射线、线段的联系与区别 2 题型四、画出直线、射线、线段 3 题型五、两点确定一条直线（常考点） 4 题型六、两点之间线段最短 5 题型七、线段中点的有关计算（重点） 6 题型八、线段n等分点的有关计算 7 题型九、线段之间的数量关系 7 题型十、与线段有关的动点问题（难点） 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、直线、线段、射线的数量问题 1．如图所示，下列结论正确的是（         ）                             A．共有射线 10条，直线 10条 B．共有线段 10条，射线5条 C．共有线段 10条，直线1条 D．共有线段 10条，直线2条 2．如图，为直线上的四个点，则图中以为端点的射线有 条，它们是 ． 3．经过一个点可作 条直线，经过个点最多可作 条线段； 4．如图是广深港高铁线路图，往返于广州南站和深圳北站的高铁列车中途停靠庆盛站、虎门站和光明城站，则有 种不同的票价，要准备 种车票． 5．如图所示，，，，为直线上的四个点，图中共有 条线段，以点为端点的射线有 条，它们分别是 和 ． 题型二、直线相交的交点个数问题 6．在同一平面内，以下结论正确的是（   ） ①7条直线最多有21个交点； ②7条两两不平行的直线，其中任2条直线的所有交角中，至少有一个角小于； ③存在7条直线（任意3条都不共点），其中每条直线都恰与另3条直线相交． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 7．在同一平面内，我们把n条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点…按照此规律，12条直线两两相交，最多交点个数是（   ） A．66 B．78 C．156 D．143 8．在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 9．如图，同一平面中，三条直线交于同一点，不经过交点再画一条直线，则直线和原来三条直线最少有 个交点． 10．一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；…；那么，10条直线两两相交，最多有 个交点． 题型三、直线、射线、线段的联系与区别 11．如图，下列不正确的几何语句是（    ） A．直线和直线是同一直线 B．射线和射线是同一射线 C．射线和射线是同一射线 D．线段和线段是同一线段 12．下列说法正确的是（　　） A．画一条长的射线 B．线段和线段不是同一条线段 C．射线是直线的一部分 D．延长直线至点 13．下列直线的表示方法正确的是（   ） A． B． C． D． 14．下列说法中，错误的有（    ） ①射线是直线的一部分 ②画一条射线，使它的长度为 ③线段和线段是同一条线段 ④射线和射线是同一条射线 ⑤直线和直线是同一条直线 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．如图1，线段经过点 B．如图2，射线的端点是点 C．如图3，直线与直线相交于点 D．如图4，射线和线段有交点 题型四、画出直线、射线、线段 16．根据语句“直线与直线相交，交点为．”画出的图形是（　　） A． B． C． D． 17．已知三点A，B，C，按下列要求画图：画直线，画射线，连接，正确的是（　　） A． B． C． D． 18．如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按下列要求作图： (1)作直线； (2)作射线； (3)连接； (4)在上确定一点E，使E到点B和D的距离之和最小． 19．根据下列语句，画出图形． 已知四点A、B、C、D．①画直线；②连接，相交于点；③画射线，交于点． 20．如图，平面内三个点A，B，C，按照下列要求画图． (1)画线段； (2)画射线； (3)画直线． 题型五、两点确定一条直线 21．将一根细木条固定在墙上，最少需要2个钉子，其中的道理可以解释为（   ） A．线段有两个端点 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．线段可以比较大小 22．如图，建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条直的参照线，这样做的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点间距离的概念 D．以上都不是 23．挖地基时在地上画线，先在地上钉两根木桩就可以拉一条线，说明原理 ． 24．李明值日时，发现桌子不整齐，他想了一下，先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，一会儿就把课桌摆整齐了．这是因为 ． 25．可以用来解释木匠弹墨线的基本事实是 ．    题型六、两点之间线段最短 26．如图，从甲地到乙地已有一条环山公路a，现又花费人力物力修建隧道b，能解释这一现象最合理的数学知识是（　　） A．两点确定一直线 B．两点之间线段最短 C．点动成线 D．过一点可以作无数条直线 27．如图，某同学用剪刀沿虚线将三角形剪掉一个角，发现四边形的周长比原三角形的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（   ） A．两点之间，线段最短 B．经过一点，有无数条直线 C．点动成线 D．经过两点，有且只有一条直线 28．某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．经过一点有无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点间的线段的长度，叫做这两点的距离 29．如图，一只蚂蚁外出觅食，它与食物间有三条路径，从上到下依次记为①，②，③，则蚂蚁选择第②条路径的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．两点之间线段的长度叫做两点间的距离 30．如图，从A到B有三条道路，人们通常会走中间的直路3，而不走其它的道路，这其中的数学道理是 ． 题型七、线段中点的有关计算 31．如图，点C是线段的中点，且，若，则线段（   ）． A．7 B．8 C．9 D．10 32．如图，线段上两点B、C将分成三部分，M是的中点，若，求线段的长． 33．如图，线段在线段上，且，，则图中以，，，这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是 ． 34．如图，，点是线段延长线上一点，在线段上取一点，使，点为线段的中点，则 ． 35．点C、点D在线段上，． (1)如图1，请判断和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点M是的中点，，，求线段的长度． 题型八、线段n等分点的有关计算 36．如图，点，在线段上，且，，下列结论正确的是（   ） A．点是线段的中点 B．点是线段的中点 C．点是线段的三等分点 D．点是线段的三等分点 37．如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是 ． 38．如图，已知点M、N为线段的三等分点，点P为线段的中点，若，则线段的长度是 ． 39．如图，点C为线段AB的中点，． (1)求BC的长； (2)在射线AB上有一点M，，求线段CM的长． 40．如图，点是线段的中点，点是线段的中点，线段． (1)求线段的长； (2)如果点在线段上，且，求线段的长． 题型九、线段之间的数量关系。 41．如图下列说法中不能判定C是线段中点的是（     ） A． B． C． D． 42．如图，小莹利用圆规在线段上截取线段，使．若点D恰好为的中点，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 43．如图，M是线段的中点，N是线段上一点，下列各式可以表示的长度的是（   ） A． B． C． D． 44．已知线段，C，M都是直线上的点，若，M是的中点．求证：． 45．如图，点是线段上一点，且，点是线段的中点．求线段的长． 题型十、与线段有关的动点问题 46．如图，射线上有A、B、C三点，满足，，．点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，2秒后点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差，则点Q的运动速度是 ． 47．如图，是线段上的点，，两点分别从同时出发，以个单位长度/秒，个单位长度/秒的速度沿直线向左运动，当点和点分别在线段上时，求的值． 48．如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 49．已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长． 50．如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 1．（2025·吉林长春·二模）一株长白山野山参如图①所示．如图②，小明用剪刀将图①中的一片参叶沿直线将其剪掉一部分，发现剩下参叶的周长比原参叶的周长小，则能正确解释这一现象的数学原理是（　　） A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 2．（2025·江西·模拟预测）下图是一把长度为个单位的普通尺子，连同首尾共有个等分刻度．现用它度量长度为个单位的物体，可行性方案的个数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江西新余·一模）已知点在上（四点不重合），过五点中的任意两点可画一条直线，这样的直线至少可画（   ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 4．（2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 5．（2025·河北唐山·二模）如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2025·河北·一模）如图，这是嘉嘉绘制的从地到地的路线图，这两地之间的最短距离为，从上到下分别为路线，，，，其中某条路线所标的数据错误，则数据错误的是（   ） A．路线 B．路线 C．路线 D．路线 7．（2025·河北廊坊·一模）如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 8．（2025·贵州遵义·模拟预测）线段上有，两点，，，，那么的长是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．（2025·吉林四平·一模）如图，杭州湾跨海大桥是跨越杭州湾的便捷通道，大桥建成后宁波至上海的陆路距离缩短了约．其中的数学道理是 ． 10．（2025·北京东城·一模）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C 三个小区投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：km）如图所示． （1）若小明按照P→B→A→C→P的路线骑行，则小明骑行的距离为 km； （2）小明骑行的最短距离为 km． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 线段、射线和直线（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、直线、线段、射线的数量问题 1 题型二、直线相交的交点个数问题 3 题型三、直线、射线、线段的联系与区别 6 题型四、画出直线、射线、线段 8 题型五、两点确定一条直线（常考点） 12 题型六、两点之间线段最短 13 题型七、线段中点的有关计算（重点） 15 题型八、线段n等分点的有关计算 18 题型九、线段之间的数量关系 21 题型十、与线段有关的动点问题（难点） 24 B综合攻坚・能力跃升 题型一、直线、线段、射线的数量问题 1．如图所示，下列结论正确的是（         ）                             A．共有射线 10条，直线 10条 B．共有线段 10条，射线5条 C．共有线段 10条，直线1条 D．共有线段 10条，直线2条 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线，射线和线段的定义及查找，解题的关键是熟练掌握相关定义． 利用直线，射线和线段的定义进行判断即可． 【详解】解：根据图象可得，共有射线10条，共有线段10条，直线1条， 故选：C． 2．如图，为直线上的四个点，则图中以为端点的射线有 条，它们是 ． 【答案】 2 射线、射线（或射线） 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据直线、射线、线段的概念即可求解，掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：图中以为端点的射线有2条，它们分别是射线，射线（或射线）， 故答案为：；射线；射线（或射线）． 3．经过一个点可作 条直线，经过个点最多可作 条线段； 【答案】 无数 【分析】本题考查了直线，线段定义，根据直线定义可知经过一个点可作无数条直线，根据经过个点最多可作线段（条），经过个点最多可作线段（条），经过个点最多可作线段（条），，找出规律即可求解，掌握直线，线段定义是解题的关键． 【详解】解：经过一个点可作无数条直线， 经过个点最多可作线段（条）， 经过个点最多可作线段（条）， 经过个点最多可作线段（条）， 经过个点最多可作线段（条）， ； ∴经过个点最多可作线段（条）， 故答案为：无数，． 4．如图是广深港高铁线路图，往返于广州南站和深圳北站的高铁列车中途停靠庆盛站、虎门站和光明城站，则有 种不同的票价，要准备 种车票． 【答案】 10 20 【分析】本题主要考查了线段条数问题，分别用A、B、C、D、E表示广州南站，深圳北站，庆盛站、虎门站和光明城站，那么图中线段的条数即为票价种类数，由于两个站之间有往返票，则两个站之间有2种票，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，分别用A、B、C、D、E表示广州南站，深圳北站，庆盛站、虎门站和光明城站， ∵一共有广州南站，深圳北站，庆盛站、虎门站和光明城站，共5个站，且每两个站之间有一种票价， ∴图中线段的条数即为票价种类数， ∵图中有线段，共10条线段， ∴有10种不同的票价， ∵两个站之间有往返票， ∴两个站之间有2种票， ∴要准备种车票， 故答案为：10；20． 5．如图所示，，，，为直线上的四个点，图中共有 条线段，以点为端点的射线有 条，它们分别是 和 ． 【答案】 射线 射线（或射线） 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据直线、射线、线段的概念即可求解，掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：图中线段为，，，，，，共条，以点为端点的射线有条，它们分别是射线，射线（或射线）， 故答案为：；；射线；射线（或射线）． 题型二、直线相交的交点个数问题 6．在同一平面内，以下结论正确的是（   ） ①7条直线最多有21个交点； ②7条两两不平行的直线，其中任2条直线的所有交角中，至少有一个角小于； ③存在7条直线（任意3条都不共点），其中每条直线都恰与另3条直线相交． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形变化类，在相交线的基础上，通过观察、实验和猜想、归纳得出结论．． 【详解】解：①∵7条直线两两相交：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，而，，， ∴七条直线相交最多有交点的个数是：．故结论①正确； ②假设所有的角都大于等于26°， 假设7条线相交于同一点P，则以点P为中心形成14个角．如果所有的角都， 则其和，与圆心角矛盾． 假设7条线不相交于同一点．则可通过平移，使7条线相交于同一点，角的度数不变，可知与定理矛盾． 综上可知假设不成立，因此至少有一个角小于．故结论②正确； ③在平面上不能画出没有三线共点的七条直线，使得其中每条直线都恰与另外三条直线相交． 理由如下：假设平面上可以画出没有三线共点的七条直线， 其中每一条直线都恰与另外三条相交，两直线相交只有一个交点， ∵每条直线上恰有另三条直线交得的三个不同的交点， ∴七条直线共个交点， ∵每个交点分属于两条直线，重复计数一次， ∴这七条直线交点实际数为个，这与交点个数为整数矛盾．所以满足题设条件的七条直线是不存在的．故结论③不正确； 故选：A． 7．在同一平面内，我们把n条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点…按照此规律，12条直线两两相交，最多交点个数是（   ） A．66 B．78 C．156 D．143 【答案】A 【分析】本题考查了规律型—数字的变化类；根据所给数据，发现规律：n条直线两两相交，最多有个交点，然后进行计算即可． 【详解】解：两条直线相交，最多有个交点， 三条直线两两相交，最多有个交点， 四条直线两两相交，最多有个交点．．． 按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是， ∴12条直线两两相交，最多交点个数是， 故选：A． 8．在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了探究规律，两条直线相交，最多有个交点，三条直线两两相交，最多有个交点，四条直线两两相交，最多有个交点，据此可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：两条直线相交，最多有个交点， 三条直线两两相交，最多有个交点， 四条直线两两相交，最多有个交点．．． 按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是， 故选：A． 9．如图，同一平面中，三条直线交于同一点，不经过交点再画一条直线，则直线和原来三条直线最少有 个交点． 【答案】 【分析】本题考查相交线与平行线，当直线与其中一条平行时可得交点最少．掌握相交线与平行线的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 当直线平行于直线时，直线和原来三条直线有个交点（如上左图）； 当直线与已知的三条直线都不平行时，直线和原来三条直线有个交点（如上右图）； 综上所述，直线和原来三条直线最少有个交点． 故答案为：． 10．一平面内，3条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；…；那么，10条直线两两相交，最多有 个交点． 【答案】45 【分析】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法．由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点，…，总结出：在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵3条直线两两相交，最多有3个交点；而； 4条直线两两相交，最多有6个交点；而， 5条直线两两相交，最多有10个交点；而， …； ∴在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有 个交点， ∴10条直线两两相交，交点的个数最多为 ． 故答案为：． 题型三、直线、射线、线段的联系与区别 11．如图，下列不正确的几何语句是（    ） A．直线和直线是同一直线 B．射线和射线是同一射线 C．射线和射线是同一射线 D．线段和线段是同一线段 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段等知识点，根据直线、射线、线段的意义作答即可，能理解直线、射线、线段的意义是解此题的关键． 【详解】解：A、直线与直线是同一条直线，原说法正确；故本选项不符合题意； B、射线与射线是同一条射线，原说法正确；故本选项不符合题意； C、射线和射线不是同一射线，原说法错误；故本选项符合题意； D、线段和线段是同一线段，原说法正确；故本选项不符合题意； 故选：C． 12．下列说法正确的是（　　） A．画一条长的射线 B．线段和线段不是同一条线段 C．射线是直线的一部分 D．延长直线至点 【答案】C 【分析】依据射线、线段、直线的相关定义和性质，分别对每个选项进行分析，判断其正确性即可．本题主要考查了射线、线段、直线的定义和性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【详解】解：∵射线是无限延伸的，不可度量长度， ∴不能画一条长的射线，A选项错误； ∵线段和线段端点相同，长度相同，是同一条线段， ∴B选项错误； ∵射线是直线的一部分， ∴C选项正确； ∵直线本身是无限延伸的，无需延长， ∴不能延长直线至点C，D选项错误 故选：C． 13．下列直线的表示方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线的表示方法．解题的关键在于熟练掌握：直线有两种表示方法： ①可以用一个小写字母表示，如直线a； ②用直线上任意两点的大写字母表示，如直线或直线．根据直线的表示方法作答即可． 【详解】解：由题意知，图中直线的表示方法正确的是直线． 故选：B． 14．下列说法中，错误的有（    ） ①射线是直线的一部分 ②画一条射线，使它的长度为 ③线段和线段是同一条线段 ④射线和射线是同一条射线 ⑤直线和直线是同一条直线 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查直线、射线、线段，解题的关键是掌握直线、线段和射线的定义．根据射线是不可度量的，以及直线、线段和射线的定义即可判断． 【详解】解：①射线是直线的一部分，正确； ②画一条射线，使它的长度为，射线是不可度量的，错误； ③线段和线段是同一条线段，正确； ④射线和射线是同一条射线，端点不同，错误； ⑤直线和直线是同一条直线，正确． 所以错误的有②④，共个． 故选：B． 15．下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A．如图1，线段经过点 B．如图2，射线的端点是点 C．如图3，直线与直线相交于点 D．如图4，射线和线段有交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线，射线和线段有关的概念辨析，根据射线，线段，直线的概念对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A、点C在线段的延长线上，即线段不经过点，原说法错误，不符合题意； B、射线的端点是点，原说法错误，不符合题意； C、直线与直线相交于点P，原说法正确，符合题意； D、射线和线段没有交点，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 题型四、画出直线、射线、线段 16．根据语句“直线与直线相交，交点为．”画出的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据语句作图，熟记作图方法及准确读懂几何语言是解题的关键．利用几何语言对各选项进行判断即可． 【详解】解：直线与直线相交，交点为， 点A既在直线a上，也在直线b上，如图所示：   ，   故选：C． 17．已知三点A，B，C，按下列要求画图：画直线，画射线，连接，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了依据直线、射线、线段的定义作图，正确理解定义区别三者的特点是解题的关键． 根据直线、射线、线段定义判断即可． 【详解】解：A：直线，射线，线段，故A符合题意； B：直线，直线，直线，故B不符合题意； C：直线，射线，线段，故C不符合题意； D：线段，线段，线段，故D不符合题意； 故选：A． 18．如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按下列要求作图： (1)作直线； (2)作射线； (3)连接； (4)在上确定一点E，使E到点B和D的距离之和最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图、直线、射线、线段、线段的性质∶两点之间线段最短，熟练掌握直线、射线、线段的定义、线段的性质是解答本题的关键． （1）根据直线的定义画图即可； （2）根据射线的定义画图即可； （3）根据线段的定义画图即可； （4）结合线段的性质，连接BD，交AC于点E，则点E即为所求． 【详解】（1）解∶如图，直线即为所求． （2）解：如上图，射线即为所求． （3）解：如上图，线段即为所求． （4）解：如上图，连接，交于点E，则点E在上， 根据两点之间线段最短，所以当B，D，E三点共线时，最短，即为的长度， 则点E即为所求． 19．根据下列语句，画出图形． 已知四点A、B、C、D．①画直线；②连接，相交于点；③画射线，交于点． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了直线、射线、线段．分别分局直线、线段、射线的特征画图即可． 【详解】解：如图： 20．如图，平面内三个点A，B，C，按照下列要求画图． (1)画线段； (2)画射线； (3)画直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查线段、射线和直线的画法，掌握三者的画法是关键． （1）根据线段的画法：连接即可； （2）根据射线的定义画图即可，注意射线向C点方向延伸； （3）根据直线的画法画图即可，注意向A、C两个方向延伸． 【详解】（1）线段如图所示； （2）射线如图所示； （3）直线如图所示； 题型五、两点确定一条直线 21．将一根细木条固定在墙上，最少需要2个钉子，其中的道理可以解释为（   ） A．线段有两个端点 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．线段可以比较大小 【答案】B 【分析】根据直线的性质，分析将细木条固定在墙上最少用2个钉子的原理，从而选择正确选项．本题主要考查了直线的性质，熟练掌握“两点确定一条直线”是解题的关键． 【详解】解：因为两点确定一条直线，所以用2个钉子能将细木条固定在墙上，使其位置确定． 故选：B． 22．如图，建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条直的参照线，这样做的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点间距离的概念 D．以上都不是 【答案】B 【分析】由两点确定一条直线可直接得出答案． 此题主要考查了两点确定一条直线，理解题意是解题关键． 【详解】解：建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，这样做蕴含的数学原理是：两点确定一条直线． 故选：B． 23．挖地基时在地上画线，先在地上钉两根木桩就可以拉一条线，说明原理 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】此题主要考查了直线的性质，正确把握直线的性质是解题的关键．直接利用直线的性质进而分析得出答案． 【详解】解：挖地基时在地上画线，先在地上钉两根木桩就可以拉一条线，说明原理为两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 24．李明值日时，发现桌子不整齐，他想了一下，先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，一会儿就把课桌摆整齐了．这是因为 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了直线的性质，即两点确定一条直线，熟练掌握直线的性质是解题关键． 根据直线的性质即可求解． 【详解】解：根据两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 25．可以用来解释木匠弹墨线的基本事实是 ．    【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线．根据两点确定一条直线，即可求解． 【详解】解：可以用来解释木匠弹墨线的基本事实是两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 题型六、两点之间线段最短 26．如图，从甲地到乙地已有一条环山公路a，现又花费人力物力修建隧道b，能解释这一现象最合理的数学知识是（　　） A．两点确定一直线 B．两点之间线段最短 C．点动成线 D．过一点可以作无数条直线 【答案】B 【分析】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键． 根据线段的性质可得答案． 【详解】解：能解释这一现象最合理的数学知识是两点之间线段最短． 故选：B． 27．如图，某同学用剪刀沿虚线将三角形剪掉一个角，发现四边形的周长比原三角形的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（   ） A．两点之间，线段最短 B．经过一点，有无数条直线 C．点动成线 D．经过两点，有且只有一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了线段的性质；根据两点之间，线段最短进行解答． 【详解】解：某同学用剪刀沿虚线将三角形剪掉一个角，发现四边形的周长比原三角形的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短． 故选：A． 28．某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．经过一点有无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点间的线段的长度，叫做这两点的距离 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短的实际应用，解题的关键是熟练掌握该知识点． 利用两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，根据是两点之间线段最短， 故选：B． 29．如图，一只蚂蚁外出觅食，它与食物间有三条路径，从上到下依次记为①，②，③，则蚂蚁选择第②条路径的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．经过一点有无数条直线 D．两点之间线段的长度叫做两点间的距离 【答案】B 【分析】本题考查了线段的性质，熟记两点之间，线段最短是解题的关键． 根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：蚂蚁选择第②条路径的理由是“两点之间线段最短”． 故选：B 30．如图，从A到B有三条道路，人们通常会走中间的直路3，而不走其它的道路，这其中的数学道理是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了两点之间，线段最短． 根据两点之间，线段最短作答即可． 【详解】人们通常会走中间的直路3，而不走其他的道路，这其中的数学道理是两点之间，线段最短 故答案为：两点之间，线段最短 题型七、线段中点的有关计算 31．如图，点C是线段的中点，且，若，则线段（   ）． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差、两点间的距离、线段的中点等知识点，掌握两点间的距离、线段中点的定义是解题的关键． 由点C是线段的中点，，则，再根据可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵点C是线段的中点，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 32．如图，线段上两点B、C将分成三部分，M是的中点，若，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查线段的中点，线段的和差，掌握知识点是解题的关键。 先求出,推导出，,再由M是的中点，得到,则，即可解答。 【详解】解：∵线段上两点B、C将分成三部分，， ∴, ∴,, ∴, ∵M是的中点， ∴, ∴. 答：线段的长为1. 33．如图，线段在线段上，且，，则图中以，，，这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和与差，首先确定以，，，这四点中任意两点为端点的线段有：线段、、、、、，根据，，可知，，再根据线段之间的关系求解即可． 【详解】解：图中以，，，这四点中任意两点为端点的线段有：线段、、、、、， ，， ， ， ， ， 图中以，，，这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是． 故答案为：． 34．如图，，点是线段延长线上一点，在线段上取一点，使，点为线段的中点，则 ． 【答案】8.5 【分析】本题考查了线段的和差，与线段中点有关的计算，由题意可得，，，再求出，从而可得，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点是线段延长线上一点，在线段上取一点，使， ∴，，， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 35．点C、点D在线段上，． (1)如图1，请判断和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点M是的中点，，，求线段的长度． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，线段的和与差，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用线段的和求解； （2）先利用线段中点的意义得出，利用线段的和差得出，再得出，然后结合，，得出，从而可得，求得，再求得线段的长度． 【详解】（1）解：∵点C、点D在线段上，， ∴， 即； （2）解：∵点M是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴，解得：， 即． 题型八、线段n等分点的有关计算 36．如图，点，在线段上，且，，下列结论正确的是（   ） A．点是线段的中点 B．点是线段的中点 C．点是线段的三等分点 D．点是线段的三等分点 【答案】D 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段等分点的计算．根据线段中点的定义可以得出点是线段的中点，点是线段的中点，即可判断A选项和B选项说法错误；根据线段等分点的定义，可以得出点是线段的三等分点，点是线段的四等分点，即可判断C选项说法错误，D选项说法正确． 【详解】解：∵点在线段上，且， ∴点是线段的中点，故B选项说法错误； ∵点在线段上，且， ∴点是线段的中点，故A选项说法错误； 即， ∴， ∴，， 即点是线段的三等分点，故D选项说法正确； 点是线段的四等分点，故C选项说法错误． 故选：D． 37．如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是 ． 【答案】8或10 【分析】本题主要考查了线段和差倍分的计算，解题关键是熟练掌握线段与线段之间的和差倍分关系．先根据已知条件求出和的长，然后根据点的位置，分两种情况讨论，画出图形，利用已知条件，求出的值即可． 【详解】解：，点是中点， ， 分两种情况讨论： ①点的位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； ②点位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； 综上可知：的长度为8或10， 故答案为：8或10． 38．如图，已知点M、N为线段的三等分点，点P为线段的中点，若，则线段的长度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和与差，明确题意，准确得到线段间的数量关系是解题的关键．根据点M、N为线段的三等分点，可得，再由点P为线段的中点，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵点M、N为线段的三等分点， ∴， ∵点P为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：12． 39．如图，点C为线段AB的中点，． (1)求BC的长； (2)在射线AB上有一点M，，求线段CM的长． 【答案】(1) (2)CM长为3或7 【分析】本题考查线段和差、线段中点的知识，掌握线段中点的有关计算是解题关键； （1）根据线段中点的性质计算即可； （2）分点M在点B的左侧和右侧两种情况，再根据线段和差性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）∵C是AB的中点，， ∴； （2）∵， ∴ 当点M在点B的左侧时， ∵， ∴； 当点M在点B的右侧时， ∵， ∴． 综上所述，CM长为3或7． 40．如图，点是线段的中点，点是线段的中点，线段． (1)求线段的长； (2)如果点在线段上，且，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段中点的有关计算，线段n等分点的有关计算，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）根据线段中点的特点得到对应线段之间的数量关系进行求解，即可解题； （2）根据得到的长，再根据求解，即可解题． 【详解】（1）解：点是线段的中点，线段， ， 点是线段的中点， ； （2）解：由（1）得，， ， ， ． 题型九、线段之间的数量关系。 41．如图下列说法中不能判定C是线段中点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段的中点，掌握知识点是解题的关键． 根据线段的中点，结合图形逐一分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴C是线段中点． 故A正确，不符合题意； B．∵， ∴C是线段中点． 故B正确，不符合题意； C．由，无法判定C是线段中点， 故C错误，符合题意； D．∵， ∴C是线段中点． 故D正确，不符合题意； 故选C． 42．如图，小莹利用圆规在线段上截取线段，使．若点D恰好为的中点，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了线段中点和线段的和差倍分，由点D为CE的中点，可得，再结合，再逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵点D为的中点， ∴，，故A错误，B正确； ∵， ∴，故C、D错误； 故选：B． 43．如图，M是线段的中点，N是线段上一点，下列各式可以表示的长度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，根据线段中点的定义和线段的和差倍分关系逐项判断即可求解． 【详解】解：由图可知，，故A选项不合题意； 因为，所以，故B选项不合题意； 因为 是线段的中点， 所以 ， 所以 ，故C选项符合题意； 因为点不一定是线段的中点，所以D选项不合题意． 故选：C. 44．已知线段，C，M都是直线上的点，若，M是的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，解题的关键是运用分类讨论的思想． 分两种情况讨论，点C在点B左侧或点C在点B右侧，根据线段中点的定义以及线段的和差计算求解即可． 【详解】证明：若点C在点B左侧，如答图①所示． M是的中点（已知）， （线段中点的定义）， （等式的性质）； 若点C在点B右侧，如答图②所示． M是的中点（已知）， （线段中点的定义）， （等式的性质）． 综上，． 45．如图，点是线段上一点，且，点是线段的中点．求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段之间的数量关系，线段中点的计算． 先根据求出，进而求出，再根据是线段的中点求出即可求解． 【详解】解： ； 是的中点 题型十、与线段有关的动点问题 46．如图，射线上有A、B、C三点，满足，，．点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，2秒后点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差，则点Q的运动速度是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，线段中点的计算，与线段有关的动点问题，解题的关键在于理解题意列出方程．设点Q的运动速度是，根据题意列出方程求解，即可解题． 【详解】解：设点Q的运动速度是， 因为当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差， 所以， 整理得， 解得， 故答案为：． 47．如图，是线段上的点，，两点分别从同时出发，以个单位长度/秒，个单位长度/秒的速度沿直线向左运动，当点和点分别在线段上时，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离,线段的和差，设，则，设运动的时间为，则，，可得，，进而得到，即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：如图，设，则， 设运动的时间为，则，， ∴，， ∴， ∴． 48．如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． (1)当时，，请求出的长； (2)若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； (3)在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查线段的和差运算，动点问题，熟练掌握数形结合，并会分类讨论是解题的关键． （1）由题意，当时，，，得出，结合，得出，可得，结合即可求解； （2）设运动时间为，则，，得，同（1）方法即可求解； （3）分类讨论，当点在线段上时和点在的延长线上时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， 则， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （2）解：设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， 则； （3）解：当点在线段上时， ∵， ∴, ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线上时， ． 综上所述，或． 49．已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长． 【答案】(1)， (2)①6.5；②或． 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点以及倍数相关的计算．掌握线段和差的计算，利用数形结合思想是解题的关键． （1）观察图形可知，，由已知，可得出，即可求出的长，进而得出的长； （2）①根据题意，画出图形，同（1）方法求出，，，根据点E是的中点，可得出，由，再根据计算即可得出结果； ②根据题意，分两种情况，画出图形，（i）当点F在点C左侧时，（ii）当点F在点C的右侧时，利用线段的和差倍分计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，已知点C在上，． ∵，，， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：①如图所示． ∵，， ∴， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； ②分两种情况： （i）如图1所示，当点F在点C右侧时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （ii）如图2所示，当点F在点C左侧时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 50．如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 【答案】(1)①出发6秒后，；②见解析 (2)①长度不变，； 【分析】本题考查了两点间的距离，表示出各线段的长度是解题的关键． （1）①出发秒后，则，，，建立方程，求出的值即可．②设，则，，表示出后，化简即可得出结论． （2）设，则，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：①设出发秒后， 则，， 为中点， ， ， 解得：， 出发6秒后，； ②设，则，， 为定值． （2）解：①长度不变，； 理由：如图 设， 为中点， ，， 为的中点， ①，长度不变； ②，长度变化； ①长度不变，． 1．（2025·吉林长春·二模）一株长白山野山参如图①所示．如图②，小明用剪刀将图①中的一片参叶沿直线将其剪掉一部分，发现剩下参叶的周长比原参叶的周长小，则能正确解释这一现象的数学原理是（　　） A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了两点之间，线段最短，根据两点之间，线段最短即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据两点之间，线段最短可知，剩下参叶的周长比原参叶的周长小， 故选：D． 2．（2025·江西·模拟预测）下图是一把长度为个单位的普通尺子，连同首尾共有个等分刻度．现用它度量长度为个单位的物体，可行性方案的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段，根据题意可知别以为端点、个单位长度的线段有条，据此解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，分别以为端点、个单位长度的线段有条， ∴可行性方案有个， 故选：． 3．（2025·江西新余·一模）已知点在上（四点不重合），过五点中的任意两点可画一条直线，这样的直线至少可画（   ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 【答案】B 【分析】本题考查了直线的定义，理解直线的定义是解题的关键． 根据两点确定一条直线，作图分析即可求解． 【详解】解：根据题意，点在上（四点不重合），当过，过的直线经过点时，直线数量最少，作图如下， ∴至少可画6条， 故选：B． 4．（2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】A 【分析】本题考查了有关线段中点的计算．熟练掌握线段中点的定义，线段的和差，分情况讨论，是解题的关键． 分两种情况讨论，①当点C在线段上时，②当点C在线段的延长线上时，根据线段中点定义及和差关系即可求解． 【详解】解：①当点C在线段上时，如图所示： ∵，， ∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴（）． ②当点C在线段的延长线上时，如图所示： ∵，， ∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴（）． 综上所述，线段的长度是8． 故选：A． 5．（2025·河北唐山·二模）如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出红光， ∵图中共有线段、、、、、， ∵四点之中相邻两点之间的距离相等 ∵和中点是同一个， ∴光点P发出红光的次数为5． 故选：C． 6．（2025·河北·一模）如图，这是嘉嘉绘制的从地到地的路线图，这两地之间的最短距离为，从上到下分别为路线，，，，其中某条路线所标的数据错误，则数据错误的是（   ） A．路线 B．路线 C．路线 D．路线 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，这两地之间的最短距离为，其他线路都应大于，但是线路的长度为，所以线路所标的数据错误． 【详解】解：这两地之间的最短距离为， 其他线路都应大于， 线路的长度为， 故线路所标的数据错误． 故选：B ． 7．（2025·河北廊坊·一模）如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】该题考查了直线的定义，根据图象解答即可． 【详解】解：根据图象可得，该直线为直线， 故选：C． 8．（2025·贵州遵义·模拟预测）线段上有，两点，，，，那么的长是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和与差的相关计算，在未画图类问题中，正确画图很重要． 本题渗透了分类讨论思想，点可确定，但点不能确定，需分点在点左侧和右侧两种情况考虑． 【详解】如图1，当点在点右侧时， ，，， ． 如图2，当点在点左侧时， ，， ， ， ， 即长为或． 故选：． 9．（2025·吉林四平·一模）如图，杭州湾跨海大桥是跨越杭州湾的便捷通道，大桥建成后宁波至上海的陆路距离缩短了约．其中的数学道理是 ． 【答案】两点之间线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质是解答本题的关键． 根据线段的性质，可得答案． 【详解】解：大桥建成后宁波至上海的陆路距离缩短了约，其中的数学道理是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短． 10．（2025·北京东城·一模）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C 三个小区投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：km）如图所示． （1）若小明按照P→B→A→C→P的路线骑行，则小明骑行的距离为 km； （2）小明骑行的最短距离为 km． 【答案】 6.2 5.2 【分析】本题涉及到距离的计算． （1）直接将路线中各段距离相加即可； （2）需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离． 【详解】（1）根据图示计算P→B→A→C→P的路线距离为km； （2）找出所以可能路线计算： P→B→A→C→P，距离为km； P→B→C→A→P，距离为km P→A→B→C→P，距离为km； P→A→C→B→P，距离为km； P→C→A→B→P，距离为km； P→C→B→A→P，距离为km 通过比较这些路线的距离，5.2km是最短的． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $