专题03 相似三角形（期中复习讲义）九年级数学上学期沪科版

专题03 相似三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 相似三角形的判定 能熟练运用不同判定定理，准确判定三角形相似 高频考点，贯穿几何证明与计算，小题、大题均有涉及 相似三角形的性质 能利用相似三角形的性质，解决线段长度、周长、面积等计算问题 核心考点，常与三角形、四边形、圆等知识综合，在中档及难题中考查 知识点01 相似三角形的判定 1、判定两个三角形相似的预备定理 （1）平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. （2）几何语言：如下图所示，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC. 2、定理1：利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似. 几何语言:∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽△A'B'C'. 3、定理2：利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 4、定理3：利用三边判定两个三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． 5、定理4：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 知识点02 相似三角形的性质 1、相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． 2、相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． 3、相似三角形对应线段的性质：相似三角形对应高线的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比，即相似三角形对应线段的比等于相似比. 4、相似三角形周长比等于相似比． 5、相似三角形面积比等于相似比的平方． 题型一 利用平行判定相似 解｜题｜技｜巧 1. 识别核心模型：优先锁定由平行线构造的2类基础模型，这是判定相似的关键。 “A”型模型：一条直线平行于三角形的一边，与另外两边（或两边延长线）相交，形成的小三角形与原三角形相似（形状像字母“A”）。 “X”型模型：一条直线平行于三角形的一边，与另外两边的延长线相交，形成的小三角形与原三角形相似（形状像字母“X”）。 2. 明确判定依据：直接套用平行线分线段成比例定理的推论，无需再证角相等。 3. 找“公共角”或“对应角”：快速确定相似三角形的对应关系，避免比例写错。 4. 利用相似求线段：相似三角形对应边成比例，根据已知线段长度列方程求解未知量。 【典例1】如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【变式1】如图是一张三角形纸片，沿边上的中线折叠，点落在点处，与相交于点，若与垂直，且，则的长为 ． 【变式2】如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 题型二 利用两角对应相等判定相似 解｜题｜技｜巧 1. 优先找“现成角”：从题目已知条件或图形隐含关系中，直接提取相等的角，减少推导步骤。 已知条件：题目明确给出的角相等、直角。 隐含关系：对顶角相等、公共角相等。 2. 通过“平行线”推等角：若图形中有平行线，利用平行线的性质（同位角、内错角相等）构造第二组相等的角。 3. 通过“三角形内角和”算等角：当已知一组角相等，且能通过内角和（180°）算出另一组角相等时，直接判定相似。 4. 明确“对应关系”列比例：判定相似后，根据相等角的对应关系，确定相似三角形的对应边，避免比例写错。 【典例1】如图，已知，，，两个三角形重叠部分为，请你找出一个与相似的三角形，并说明理由．    【变式1】如图，相交于点O，，求证：． 【变式2】如图，，，求证：． 题型三 利用三边对应成比例判定相似 解｜题｜技｜巧 1. 先“排序”再比比例：将两个三角形的三边分别按“从小到大”或“从大到小”的顺序排列，避免因边的对应关系混乱导致比例计算错误。 2. 计算“最简比例”验证：选取一组易计算的边先求比例（通常选已知长度的边），再用该比例验证另外两组边是否满足“对应成比例”。 3. 结合“已知条件”找边长：若部分边长未知，先通过题目隐含条件（如等腰、等边、勾股定理、线段和差）求出未知边长度，再进行比例验证。 4. 利用“比例线段”转化：若图形中存在平行线、中点等条件，先通过“平行线分线段成比例”“中位线定理”得出线段比例关系，再代入三边比例验证相似。 【典例1】如图是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，正方形中，是的中点，．与是否相似？请说明理由． 题型四 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 解｜题｜技｜巧 1. 优先锁定“夹角”，排除非夹角干扰：明确判定的关键是“两边的夹角”，而非任意角。需先确认相等的角是否为两组对应边的公共夹角，避免误用非夹角导致判定错误。 2. 先证“角相等”，再算“边比例”：解题时可先通过已知条件（如公共角、对顶角、平行线同位角/内错角、角平分线等）证明夹角相等，再计算夹角两侧对应边的比例，减少步骤混乱。 3. 规范“对应边”匹配，确保比例正确：计算边的比例时，需将两组边按“夹角的邻边”对应匹配，即一个三角形中夹角的第一条边对应另一个三角形中夹角的第一条边，第二条边对应第二条边，避免比例错位。 4. 结合“已知线段关系”求边长：若夹角两边存在未知长度，可先通过线段和差、中点、中位线、勾股定理等条件求出未知边，再代入计算比例，验证是否满足“两边成比例”。 【典例1】如图，在中，点在上，连接．已知，求证，． 【变式1】如图，在四边形中，，，E 是的中点，．求证：． 【变式2】试判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． 题型五 选择或补充条件使两个三角形相似 解｜题｜技｜巧 1. 先分析“已知条件”，锁定判定方向：先梳理题目已给出的角或边的关系，确定可优先套用的判定定理，缩小补充范围。 若已知1组角相等：优先往“两角对应相等”（补另一组角相等）或“两边成比例且夹角相等”（补夹角两边成比例）方向补充。 若已知2组边成比例：优先往“三边成比例”（补第三组边成比例）或“两边成比例且夹角相等”（补两组边的夹角相等）方向补充。 若已知平行线：直接关联“平行判定相似”，补充线的位置关系（如某线平行于三角形一边）即可。 2. 围绕“判定定理”，列举“可补充的条件”：根据锁定的判定方向，结合图形隐含关系（公共角、对顶角、线段和差等），列出符合要求的条件。 3. 排除“陷阱条件”，确保条件有效性：补充条件时需避开“非夹角”“边对应错位”等错误，保证条件符合判定定理的核心要求。 陷阱1：已知两边成比例，若补充“非夹角”相等（如△ABC中AB/DE = BC/EF，补充∠A=∠D），不满足“两边成比例且夹角相等”，无法判定相似。 4. 结合“图形特征”，优先选简洁条件：若有多个可补充的条件，优先选择与图形隐含关系（公共角、对顶角、平行线）相关的简单条件，减少计算量。 【典例1】如图，已知中，D为边上一点，P为边上一点，，，，当的长度为（　　）时，和相似． A．9 B．6 C．4或9 D．6或9 【变式1】如图，，添加一个条件能判定的是（　　） ①； ②； ③； ④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式2】如图，点在的边上，要判定与相似，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型六 利用相似三角形求解 解｜题｜技｜巧 1. 第一步：精准“找相似”，确定对应关系 先根据已知条件（角相等、边成比例、平行线），用4种判定定理（两角、三边、两边及夹角、平行）确定相似三角形。 标记对应顶点（如△ABC∽△DEF，明确A→D、B→E、C→F），避免后续比例写错。 2. 第二步：紧扣“相似性质”，列核心比例式 若求线段长度：直接用“对应边成比例”列等式，将已知边和未知边代入（如AB/DE = BC/EF，代入已知值求未知边）。 若求角的度数：用“对应角相等”转化，如已知△ABC∽△DEF且∠A=50°，则∠D=∠A=50°。 3. 第三步：结合“图形隐含条件”，补全线段关系 若图形中有公共边、线段和差（如AB=AD+DB）、中点（如AD=DB）、中位线等，先将未知边用已知边表示，再代入比例式。 4. 第四步：用“方程思想”解未知，避免计算错误 设未知线段长度为x，根据比例式列一元一次方程，解方程得结果，降低思维难度。 【典例1】如图，中，，点与点在直线的同侧，点是线段延长线上一点，且，当时，线段的长为（   ） A．3 B．4 C． D． 【变式1】已知，、分别为边，边上的高，且，，已知的面积为27，那么的面积为 ． 【变式2】已知两个三角形相似，根据下列数据填表： 相似比 5 周长的比 面积的比 100 0.01 题型七 证明三角形的对应线段成比例 解｜题｜技｜巧 1. 优先用“相似三角形”推导：若能证明两三角形相似，可直接利用其性质（相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线、对应周长等，均与相似比相等）证明对应线段成比例。 步骤：先证两三角形相似（用两角、三边、两边及夹角等判定定理），再明确需证明的线段是对应线段，最后根据“相似三角形对应线段成比例”得出结论。 2. 用“平行线分线段成比例定理”推导：若图形中有平行线，可直接套用定理（一组平行线截两条直线，所得对应线段成比例），或延长线段构造平行线，间接推导比例关系。 3. 通过“中间比例”转化：若需证明的两条线段比例无法直接关联，可找一个“中间比例”作为桥梁，将两端比例分别与中间比例相等，再通过等量代换证明目标比例。 4. 结合“线段和差、中点等条件”转化线段：若线段存在和差（如AB=AD+DB）、中点（如AD=DB）、倍分关系，先将线段转化为相等或成固定比例的形式，再结合相似或平行线定理证明比例。 【典例1】两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为 厘米． 【变式1】在下列正方形网格中，每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，用无刻度的直尺画图，保留必要的作图过程（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．并回答下列问题： （1）直接写出的形状； （2）如图，在上求作点，使平分； （3）如图，在上求作点，使；再作点关于的对称点． 【变式2】两个相似三角形的周长比为1：4，那么它们的对应边上的高的比为（    ） A．1：4 B．1：2 C．1：16 D．不同的对应边上的高的比不同 题型八 相似三角形——动点问题 解｜题｜技｜巧 1. 先“定静止”，明确已知条件：先标注图形中固定的边、角（如公共角、已知度数的角、固定长度的边），确定不变的量，为分析动点动态变化打基础。 2. 分析“动点运动”，确定变量与范围：明确动点的运动路径（如在某条边上运动）、速度（若已知），设动点运动时间为t（或设某线段长度为x），用含t（或x）的式子表示动点关联的线段长度，同时确定变量的取值范围（避免线段长度为负或超出原三角形边长）。 3. 分“情况讨论”，锁定相似条件：根据相似三角形的判定定理（优先两角、两边及夹角），结合动点位置，分不同情况讨论两三角形相似的可能性，避免漏解。 4. 列“比例方程”，求解变量：针对每种相似情况，将用含变量的式子表示的线段代入比例关系，列方程求解，最后结合变量取值范围验证解的有效性（舍去不符合范围的解）。 【典例1】如图，于点B，于点D，，点P在上移动．若以点C，D，P为顶点的三角形与点A，B，P为顶点的三角形相似，则 ． 【变式1】如图，在中，，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当 时，与相似． 【变式2】如图，在中，，，点从点沿向以的速度移动，到即停，点从点沿向以的速度移动，到就停．若点从点出发后点从点出发，再经过 秒与相似． 题型九 相似三角形的判定与性质综合 解｜题｜技｜巧 1. 第一步：优先“判定相似”，搭建桥梁：根据题目条件（角相等、边成比例、平行线），用4种判定定理（两角、三边、两边及夹角、平行）证明目标三角形相似，明确相似关系（如△ABC∽△DEF），为后续用性质铺垫。 2. 第二步：紧扣“相似性质”，转化问题：根据所求结论，选择对应性质解题，常见应用方向： 求线段：用“对应边成比例”列等式，代入已知边求未知边； 求角度：用“对应角相等”转化，将未知角转化为已知角； 求面积：用“面积比等于相似比的平方”，结合相似比计算面积。 3. 第三步：“双向结合”，串联条件：若题目条件复杂，需交替使用“判定”与“性质”——先用性质推导新的边/角关系，再用新关系判定另一组三角形相似，逐步靠近所求结论。 4. 第四步：“画图标注”，理清关系：综合题图形较复杂时，用不同符号标注已知角（如∠1=∠2）、相等线段（如AB=CD）、相似三角形（如△ABC∽△DEF），直观呈现条件与相似关系，避免思路混乱。 【典例1】如图，在中，，将射线绕直角顶点A 逆时针旋转交边于点D（点 D 不与点B 重合），连接，以为直角边在的左侧构造，，连接,当时，则 （用含 m的代数式表示） 【变式1】“创新实践”小组想利用标杆与皮尺测量树的高度，因树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：立两根高1米的标杆和，两杆之间的距离米，点在一条直线上，从B处退行1.2米到点F处，恰好发现点在一条直线上，从D处退行2米到点G处，恰好发现点三点也在一条直线上，，，，请计算树的高度． 【变式2】如图，在中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西临汾·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P．若，下列结论∶①；②点B到直线的距离是；③；④．其中正确的结论是（　　）    A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③ 4．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，点，分别在的边，上，且，，，．求证：． 5．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，， ，点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后和相似？ 6．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，连接． (1)求点E的坐标； (2)若点F是边上一点，连接，且，求点F的坐标． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 3．（2025·西藏·中考真题）如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是 ． 4．（2005·浙江台州·中考真题）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． (1)填空：______，______； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 5．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求一次函数的表达式，并求的面积． (2)连接，在直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2025·四川眉山·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标． 7．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 8．（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求m，k的值． (2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 相似三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 相似三角形的判定 能熟练运用不同判定定理，准确判定三角形相似 高频考点，贯穿几何证明与计算，小题、大题均有涉及 相似三角形的性质 能利用相似三角形的性质，解决线段长度、周长、面积等计算问题 核心考点，常与三角形、四边形、圆等知识综合，在中档及难题中考查 知识点01 相似三角形的判定 1、判定两个三角形相似的预备定理 （1）平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. （2）几何语言：如下图所示，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC. 2、定理1：利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似. 几何语言:∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽△A'B'C'. 3、定理2：利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 4、定理3：利用三边判定两个三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． 5、定理4：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 知识点02 相似三角形的性质 1、相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． 2、相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． 3、相似三角形对应线段的性质：相似三角形对应高线的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比，即相似三角形对应线段的比等于相似比. 4、相似三角形周长比等于相似比． 5、相似三角形面积比等于相似比的平方． 题型一 利用平行判定相似 解｜题｜技｜巧 1. 识别核心模型：优先锁定由平行线构造的2类基础模型，这是判定相似的关键。 “A”型模型：一条直线平行于三角形的一边，与另外两边（或两边延长线）相交，形成的小三角形与原三角形相似（形状像字母“A”）。 “X”型模型：一条直线平行于三角形的一边，与另外两边的延长线相交，形成的小三角形与原三角形相似（形状像字母“X”）。 2. 明确判定依据：直接套用平行线分线段成比例定理的推论，无需再证角相等。 3. 找“公共角”或“对应角”：快速确定相似三角形的对应关系，避免比例写错。 4. 利用相似求线段：相似三角形对应边成比例，根据已知线段长度列方程求解未知量。 【典例1】如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【答案】图中与相似的三角形有个，，， 【详解】解：图中与相似的三角形有个，，，， 理由：， ，， ， ， ． 【变式1】如图是一张三角形纸片，沿边上的中线折叠，点落在点处，与相交于点，若与垂直，且，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，取的中点，作射线交于点， 为的中线， 为的中点， 为的中点， ，， 与垂直，， ，， ， 三角形沿边上的中线折叠， ，，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为． 【变式2】如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵的中点M，N，的长为， ∴，，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 题型二 利用两角对应相等判定相似 解｜题｜技｜巧 1. 优先找“现成角”：从题目已知条件或图形隐含关系中，直接提取相等的角，减少推导步骤。 已知条件：题目明确给出的角相等、直角。 隐含关系：对顶角相等、公共角相等。 2. 通过“平行线”推等角：若图形中有平行线，利用平行线的性质（同位角、内错角相等）构造第二组相等的角。 3. 通过“三角形内角和”算等角：当已知一组角相等，且能通过内角和（180°）算出另一组角相等时，直接判定相似。 4. 明确“对应关系”列比例：判定相似后，根据相等角的对应关系，确定相似三角形的对应边，避免比例写错。 【典例1】如图，已知，，，两个三角形重叠部分为，请你找出一个与相似的三角形，并说明理由．    【答案】；理由见解析（或；理由见解析） 【详解】解：；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； ；理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】如图，相交于点O，，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵交于点O， ∴， ∵， ∴． 【变式2】如图，，，求证：． 【答案】详见解析 【详解】解：， ． ， ． 题型三 利用三边对应成比例判定相似 解｜题｜技｜巧 1. 先“排序”再比比例：将两个三角形的三边分别按“从小到大”或“从大到小”的顺序排列，避免因边的对应关系混乱导致比例计算错误。 2. 计算“最简比例”验证：选取一组易计算的边先求比例（通常选已知长度的边），再用该比例验证另外两组边是否满足“对应成比例”。 3. 结合“已知条件”找边长：若部分边长未知，先通过题目隐含条件（如等腰、等边、勾股定理、线段和差）求出未知边长度，再进行比例验证。 4. 利用“比例线段”转化：若图形中存在平行线、中点等条件，先通过“平行线分线段成比例”“中位线定理”得出线段比例关系，再代入三边比例验证相似。 【典例1】如图是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设每个小正方形的边长为，则在中，，，， A、在中，，，， ，，， ， ，故A选项不符合题意； B、在中，，，， ，，， ， 和不相似，故B选项符合题意； C、在中，，，， ，，， ， ，故C选项不符合题意； D、在中，，，， ，，， ， ，故D选项不符合题意； 故选：B ． 【变式1】如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意得：，，， ∴， A、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与相似； B、三边之比，图中的三角形（阴影部分）与不相似； C、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似； D、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似． 故选：A． 【变式2】如图，正方形中，是的中点，．与是否相似？请说明理由． 【答案】与相似．理由见解析 【详解】解：与相似．理由如下： 设正方形的边长为． 是的中点，， ，，， ，，， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解决问题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 题型四 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 解｜题｜技｜巧 1. 优先锁定“夹角”，排除非夹角干扰：明确判定的关键是“两边的夹角”，而非任意角。需先确认相等的角是否为两组对应边的公共夹角，避免误用非夹角导致判定错误。 2. 先证“角相等”，再算“边比例”：解题时可先通过已知条件（如公共角、对顶角、平行线同位角/内错角、角平分线等）证明夹角相等，再计算夹角两侧对应边的比例，减少步骤混乱。 3. 规范“对应边”匹配，确保比例正确：计算边的比例时，需将两组边按“夹角的邻边”对应匹配，即一个三角形中夹角的第一条边对应另一个三角形中夹角的第一条边，第二条边对应第二条边，避免比例错位。 4. 结合“已知线段关系”求边长：若夹角两边存在未知长度，可先通过线段和差、中点、中位线、勾股定理等条件求出未知边，再代入计算比例，验证是否满足“两边成比例”。 【典例1】如图，在中，点在上，连接．已知，求证，． 【答案】见解析 【详解】证明：，，， ，， ， ， 【变式1】如图，在四边形中，，，E 是的中点，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵E 是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式2】试判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． 【答案】两个三角形相似．理由见解析 【详解】解：两个三角形相似．理由如下： 在Rt中，， ， RtRt． 题型五 选择或补充条件使两个三角形相似 解｜题｜技｜巧 1. 先分析“已知条件”，锁定判定方向：先梳理题目已给出的角或边的关系，确定可优先套用的判定定理，缩小补充范围。 若已知1组角相等：优先往“两角对应相等”（补另一组角相等）或“两边成比例且夹角相等”（补夹角两边成比例）方向补充。 若已知2组边成比例：优先往“三边成比例”（补第三组边成比例）或“两边成比例且夹角相等”（补两组边的夹角相等）方向补充。 若已知平行线：直接关联“平行判定相似”，补充线的位置关系（如某线平行于三角形一边）即可。 2. 围绕“判定定理”，列举“可补充的条件”：根据锁定的判定方向，结合图形隐含关系（公共角、对顶角、线段和差等），列出符合要求的条件。 3. 排除“陷阱条件”，确保条件有效性：补充条件时需避开“非夹角”“边对应错位”等错误，保证条件符合判定定理的核心要求。 陷阱1：已知两边成比例，若补充“非夹角”相等（如△ABC中AB/DE = BC/EF，补充∠A=∠D），不满足“两边成比例且夹角相等”，无法判定相似。 4. 结合“图形特征”，优先选简洁条件：若有多个可补充的条件，优先选择与图形隐含关系（公共角、对顶角、平行线）相关的简单条件，减少计算量。 【典例1】如图，已知中，D为边上一点，P为边上一点，，，，当的长度为（　　）时，和相似． A．9 B．6 C．4或9 D．6或9 【答案】C 【详解】解：， 当时，， ，，， ， ； 当时，， ， ， 的长度为4或9时，和相似． 故选：C． 【变式1】如图，，添加一个条件能判定的是（　　） ①； ②； ③； ④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， 添加，利用两角对应相等可判定，故①符合题意； 添加，利用两角对应相等可判定，故②符合题意； 添加，无法判定，故③不符合题意； 添加，利用两边对应成比例及其夹角相等可判定，故④符合题意； 故选：B． 【变式2】如图，点在的边上，要判定与相似，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是公共角， ∴当或时，（有两角分别相等的两个三角形相似）； 故A与B正确； 当时，（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）； 故D正确； 当时，因为由所给比例涉及的两个三角形根本不是与，而是与，故不能证明， 故C错误． 故选：C． 题型六 利用相似三角形求解 解｜题｜技｜巧 1. 第一步：精准“找相似”，确定对应关系 先根据已知条件（角相等、边成比例、平行线），用4种判定定理（两角、三边、两边及夹角、平行）确定相似三角形。 标记对应顶点（如△ABC∽△DEF，明确A→D、B→E、C→F），避免后续比例写错。 2. 第二步：紧扣“相似性质”，列核心比例式 若求线段长度：直接用“对应边成比例”列等式，将已知边和未知边代入（如AB/DE = BC/EF，代入已知值求未知边）。 若求角的度数：用“对应角相等”转化，如已知△ABC∽△DEF且∠A=50°，则∠D=∠A=50°。 3. 第三步：结合“图形隐含条件”，补全线段关系 若图形中有公共边、线段和差（如AB=AD+DB）、中点（如AD=DB）、中位线等，先将未知边用已知边表示，再代入比例式。 4. 第四步：用“方程思想”解未知，避免计算错误 设未知线段长度为x，根据比例式列一元一次方程，解方程得结果，降低思维难度。 【典例1】如图，中，，点与点在直线的同侧，点是线段延长线上一点，且，当时，线段的长为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， 故选：C． 【变式1】已知，、分别为边，边上的高，且，，已知的面积为27，那么的面积为 ． 【答案】3 【详解】解：∵，、分别为边，边上的高， ∴ ∴ ∵的面积为27， ∴ 故答案为：3． 【变式2】已知两个三角形相似，根据下列数据填表： 相似比 5 周长的比 面积的比 100 0.01 【答案】见解析 【详解】解：填表如下： 相似比 5 10 0.1 周长的比 5 10 0.1 面积的比 25 100 0.01 题型七 证明三角形的对应线段成比例 解｜题｜技｜巧 1. 优先用“相似三角形”推导：若能证明两三角形相似，可直接利用其性质（相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线、对应周长等，均与相似比相等）证明对应线段成比例。 步骤：先证两三角形相似（用两角、三边、两边及夹角等判定定理），再明确需证明的线段是对应线段，最后根据“相似三角形对应线段成比例”得出结论。 2. 用“平行线分线段成比例定理”推导：若图形中有平行线，可直接套用定理（一组平行线截两条直线，所得对应线段成比例），或延长线段构造平行线，间接推导比例关系。 3. 通过“中间比例”转化：若需证明的两条线段比例无法直接关联，可找一个“中间比例”作为桥梁，将两端比例分别与中间比例相等，再通过等量代换证明目标比例。 4. 结合“线段和差、中点等条件”转化线段：若线段存在和差（如AB=AD+DB）、中点（如AD=DB）、倍分关系，先将线段转化为相等或成固定比例的形式，再结合相似或平行线定理证明比例。 【典例1】两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为 厘米． 【答案】3 【详解】∵两个三角形面积比为9:25 ∴两个三角形相似比为3:5 设：另一三角形对应边上的高为x ∴，解得x=3 故答案为：3 【点睛】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键． 【变式1】在下列正方形网格中，每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，用无刻度的直尺画图，保留必要的作图过程（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．并回答下列问题： （1）直接写出的形状； （2）如图，在上求作点，使平分； （3）如图，在上求作点，使；再作点关于的对称点． 【答案】（1）直角三角形；（2）见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）如图1中，射线即为所求作． （3）如图2中，点，点即为所求作． ． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理的逆定理，轴对称的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式2】两个相似三角形的周长比为1：4，那么它们的对应边上的高的比为（    ） A．1：4 B．1：2 C．1：16 D．不同的对应边上的高的比不同 【答案】A 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4， ∴它们的对应边上的高比为1：4． 故选：A． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应高的比等于相似比是解答此题的关键． 题型八 相似三角形——动点问题 解｜题｜技｜巧 1. 先“定静止”，明确已知条件：先标注图形中固定的边、角（如公共角、已知度数的角、固定长度的边），确定不变的量，为分析动点动态变化打基础。 2. 分析“动点运动”，确定变量与范围：明确动点的运动路径（如在某条边上运动）、速度（若已知），设动点运动时间为t（或设某线段长度为x），用含t（或x）的式子表示动点关联的线段长度，同时确定变量的取值范围（避免线段长度为负或超出原三角形边长）。 3. 分“情况讨论”，锁定相似条件：根据相似三角形的判定定理（优先两角、两边及夹角），结合动点位置，分不同情况讨论两三角形相似的可能性，避免漏解。 4. 列“比例方程”，求解变量：针对每种相似情况，将用含变量的式子表示的线段代入比例关系，列方程求解，最后结合变量取值范围验证解的有效性（舍去不符合范围的解）。 【典例1】如图，于点B，于点D，，点P在上移动．若以点C，D，P为顶点的三角形与点A，B，P为顶点的三角形相似，则 ． 【答案】2或12或 【详解】解：若， ∴，即， 解得或12； ②若， ∴，即， 解得． ∴或12或． 故答案为：2或12或． 【变式1】如图，在中，，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当 时，与相似． 【答案】1或4 【详解】解：，点P是边的中点， ， 当时， 则， ， 解得：； 当时， 则， ， 解得：； 综上所述：当或4时，与相似． 故答案为：1或4． 【变式2】如图，在中，，，点从点沿向以的速度移动，到即停，点从点沿向以的速度移动，到就停．若点从点出发后点从点出发，再经过 秒与相似． 【答案】或 【详解】解：设再经过t秒与相似， 根据题意得：， ∴， ∵， 当时，， 此时， 解得：； 当时，， 此时， 解得：； 综上所述，再经过或秒与相似． 故答案为：或 题型九 相似三角形的判定与性质综合 解｜题｜技｜巧 1. 第一步：优先“判定相似”，搭建桥梁：根据题目条件（角相等、边成比例、平行线），用4种判定定理（两角、三边、两边及夹角、平行）证明目标三角形相似，明确相似关系（如△ABC∽△DEF），为后续用性质铺垫。 2. 第二步：紧扣“相似性质”，转化问题：根据所求结论，选择对应性质解题，常见应用方向： 求线段：用“对应边成比例”列等式，代入已知边求未知边； 求角度：用“对应角相等”转化，将未知角转化为已知角； 求面积：用“面积比等于相似比的平方”，结合相似比计算面积。 3. 第三步：“双向结合”，串联条件：若题目条件复杂，需交替使用“判定”与“性质”——先用性质推导新的边/角关系，再用新关系判定另一组三角形相似，逐步靠近所求结论。 4. 第四步：“画图标注”，理清关系：综合题图形较复杂时，用不同符号标注已知角（如∠1=∠2）、相等线段（如AB=CD）、相似三角形（如△ABC∽△DEF），直观呈现条件与相似关系，避免思路混乱。 【典例1】如图，在中，，将射线绕直角顶点A 逆时针旋转交边于点D（点 D 不与点B 重合），连接，以为直角边在的左侧构造，，连接,当时，则 （用含 m的代数式表示） 【答案】 【详解】，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式1】“创新实践”小组想利用标杆与皮尺测量树的高度，因树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：立两根高1米的标杆和，两杆之间的距离米，点在一条直线上，从B处退行1.2米到点F处，恰好发现点在一条直线上，从D处退行2米到点G处，恰好发现点三点也在一条直线上，，，，请计算树的高度． 【答案】6米 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∴， 即. 由题意可得，， ∴， ∴， 即， ∴解得． ∴树的高度为6米． 【变式2】如图，在中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ，， ， ， 故选：D． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A.∵，∴选项不符合题意； B.∵，∴选项不符合题意； C.∵，∴选项符合题意； D.∵，∴选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·山西临汾·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， A、添加， ∵，， ∴，故A选项不符合题意； B、添加， ∵，， ∴，故B选项不符合题意； C、添加， ∵，， ∴，故C选项不符合题意； D、添加，不能判定，故D选项符合题意． 故选：D． 3．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P．若，下列结论∶①；②点B到直线的距离是；③；④．其中正确的结论是（　　）    A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【详解】解：①∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，且相似比为1；故①正确； ③， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故③正确； ②过B作，交的延长线于F， ∵，， ∴， 又∵③中，， ∴， ∵， ∴， ∴，故②不正确； ④∵，， ∴在中，， ∴，故④正确， 故选：C． 4．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，点，分别在的边，上，且，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 5．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，， ，点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后和相似？ 【答案】秒和2秒 【详解】解：设经过秒钟与相似． 已知点从点开始沿边向点以的速度移动， 点从点开始沿边向点以的速度移动． 可得，． 因为，所以． 分两种情况讨论： 情况一：当时，， 将，，，代入， 可得：，可得． 解得； 情况二：当时，． 将，，，代入， 可得：，可得， 解得． 因为点从点移动到点所需时间为， 点从点移动到点所需时间为， 而和都在这个范围内，所以这两个值都符合题意． 综上所述：秒和2秒后和相似． 6．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，连接． (1)求点E的坐标； (2)若点F是边上一点，连接，且，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为， ∴轴，， ∵点D为的中点， ∴， ∴点D的坐标为， 将点D的坐标代入中得： ； ∴反比例函数的表达式y=， ∵轴， ∴点E的横坐标与点B的横坐标相等为2， ∵点E在双曲线上， ∴， ∴点E的坐标为； （2）∵点E的坐标为，B的坐标为，点D的坐标为，为矩形， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 2．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【详解】解：设， 由题意得， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2025·西藏·中考真题）如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是 ． 【答案】2 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴, 即． 故答案为：2． 4．（2005·浙江台州·中考真题）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． (1)填空：______，______； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【详解】（1）解：， ； 故答案为； ； （2）解：． 证明：在的正方形方格中， ，， ． ，， ， ，． ∴ ． 【点睛】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系． 5．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求一次函数的表达式，并求的面积． (2)连接，在直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 【详解】（1）解：把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把，代入到中得：，解得， ∴一次函数的表达式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵直线经过原点， ∴由反比例函数的对称性可得点B的坐标为，， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与不垂直， ∵与相似， ∴只存在和这两种情况， 当时，则，， ∴，， ∴此时点D为的中点， ∴点D的坐标为； 当时，则，， ∴； 设， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或． 6．（2025·四川眉山·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为：，反比例函数解析式为． (2)点P的坐标为或 【详解】（1）解：把代入反比例函数，则， 则反比例函数解析式为：， 把代入， 则， ∴， 再把，代入， 则， 解得：， 则一次函数的解析式为：． （2）解：令时，则， ∴， ∵点D与点A关于点O对称， ∴ 设点， ∵， ∴ 又∵，， ∴，，， ∵与相似，， ∴分两种情况：或， 当时， 即， 解得：， 此时，点， 当， 即， 解得：， 此时， 综上：当点P在x轴的负半轴上，且与相似，点P的坐标为或 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，关于原点对称的点的坐标特点，相似三角形的性质，直角坐标系中两点之间的距离等知识，掌握这些知识是解题的关键． 7．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为，且点在反比例函数的图象上，代入得： ， ， 作轴，轴，如图， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ， ∵，点的坐标为， ， ，， ， ， 在反比例函数的图像上，代入得： ， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵、分别在反比例函数和的图像上， ∴设，， ∵，， ∴轴，且， ∵、与点A、构成以为边的平行四边形， ∴，且，如图， ∴轴，且， ∴ 由②得：， 代入①得： 解得：（舍）， 则， ∴． 故答案为：． 8．（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求m，k的值． (2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)①，② 【详解】（1）解：由题意可知，点在一次函数的图象上，则 ，解得， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， 则，； （2）解：①过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，如图， 则， ∴， ∴， ∴， ∵点D的横坐标为4， ∴点D的纵坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 则， 那么，点； ②一次函数的图象与y轴交于点C， 令，则， ∴， ∵， ∴， 过点C作交于点P，过点P作轴于点K，过点A作轴于点G，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则， ∵点， ∴， ∵， ∴点M与点K重合，， ∴点， 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴， 设点， ∵四边形是平行四边形， ∴， 则， ∵D为反比例函数图象上的一点， ∴，解得，或， ∵D的横坐标大于1， ∴， ∴， 故点． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $