专题01 二次函数（期中复习讲义）九年级数学上学期沪科版

专题01 二次函数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数的定义及一般形式 能准确判断二次函数，明确其系数、自变量取值范围等 基础必考点，常结合函数概念在小题中考查 二次函数的图象与性质 能根据二次函数表达式分析开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性 核心考点，是二次函数应用的基础，各类题型均有涉及，需熟练掌握 二次函数的表达式 能根据不同已知条件（三点、顶点、与 x 轴交点），选择合适形式求二次函数解析式 高频考点，常以解答题形式考查，需灵活运用三种表达式 二次函数与一元二次方程的关系 能利用二次函数图象与 x 轴的交点，分析一元二次方程的根的情况，反之亦然 重要考点，常与方程、不等式综合，在中档题中考查 二次函数的应用 能运用二次函数解决实际问题中的最值、近似解等问题 高频考点，多为实际应用类解答题，难度中等及以上，需结合实际意义分析 知识点01 二次函数的定义及一般形式 1、二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 2、二次函数的结构特征 （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. （2）a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． （3）二次项系数不为0. 3、二次函数的一般形式 y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 4、二次函数的取值范围 一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点02 二次函数的图象与性质 二次函数 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 在对称轴左边，随着x的增大 y减小，在对称轴右边，随着x增大 y增大 在对称轴左边，随着x增大 y增大，在对称轴右边，随着x的增大 y减小 知识点03二次函数的表达式有三种常见形式： ①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法. 顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法. 交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0，其中x1，x2还图象与x轴的两个交点的横坐标）； 知识点04 二次函数与一元二次方程的关系 1、 当二次函数 y＝ax2+bx+c的图象和 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y = 0 时自变量 x 的值，即一元二次方程 ax2+bx+c= 0 的根. 2、二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． 判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根 两个不相等的实数根x1，x2 两个相等实数根x1=x2＝- 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 知识点05 二次函数的应用 1、二次函数的应用包括以下两个方面： (1) 用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题 (即最值问题)； (2) 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． 2、一般步骤： (1) 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系； (2) 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围； (3) 利用二次函数的图象及性质解决实际问题； (4) 检验结果的合理性，是否符合实际意义； (5) 作答. 题型一 根据二次函数的定义求参数 解｜题｜技｜巧 二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 【典例1】函数的图象是抛物线，则 ． 【答案】 【详解】解：根据二次函数的定义，且， 解得且， 所以． 故答案为：． 【变式1】二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 【答案】A 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，0，， 答案：A． 【变式2】若关于x的函数 是二次函数，则m的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的函数是二次函数， ∴，， 解得：， 故答案为：． 题型二 待定系数法，求二次函数解析式 解｜题｜技｜巧 1. 设合适的解析式形式 2. 代入已知点坐标，将已知点的坐标代入所设的解析式中，得到关于a、b、c（或仅a）的方程（组）。 3. 解方程（组）求系数，求解方程（组），确定a、b、c的值。 4. 写出解析式，将求出的系数代入所设解析式，得到二次函数的解析式。 【典例1】求满足下列条件的二次函数的解析式： (1)图象经过点，和； (2)图象顶点坐标为，且经过点． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意，设二次函数的表达式， 把，和代入得：， ． 二次函数的表达式． （2）解：由题意，设抛物线的解析式为：， 把代入解析式得：， 解得：， 抛物线的解析式为：． 【变式1】抛物线的顶点坐标为，且图像经过点，求函数解析式． 【答案】 【详解】解：由题意设解析式为， 将代入，则， 解得：， 所以函数解析式为． 【变式2】已知二次函数的顶点为，则该二次函数为 【答案】 【详解】解：∵二次函数的顶点为， ∴，即， 故答案为：． 题型三 y=ax2+bx+c的图象与性质 解｜题｜技｜巧 二次函数 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 在对称轴左边，随着x的增大 y减小，在对称轴右边，随着x增大 y增大 在对称轴左边，随着x增大 y增大，在对称轴右边，随着x的增大 y减小 【典例1】关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【答案】D 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 【变式1】设是抛物线上的三点，则的大小关系为 ．（用“”连接）． 【答案】 【详解】解：， 抛物线的开口向上，对称轴为直线， 而离直线的距离最远，在直线上， ． 故答案为：． 【变式2】若点，，在二次函数的图象上， 且 则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵点，，在二次函数的图象上，且， ∴，当时时，函数有最小值为，且，即， 当时，，此不等式无解； 当时，，解得，即， 当时，，恒成立， 综上所述，， 故选：D． 题型四 二次函数图象与各项系数符号 解｜题｜技｜巧 1. 判断a的符号。看抛物线的开口方向：开口向上，a>0；开口向下，a<0。 2. 判断b的符号。利用对称轴公式：结合a的符号，若对称轴在y轴左侧（x<0），则a、b同号；若在y轴右侧（x>0），则a、b异号；若在y轴上（x = 0），则b = 0。 3. 判断c的符号。看抛物线与y轴的交点：交点在y轴正半轴，c>0；在负半轴，c<0；在原点，c = 0。 4. 判断b2 - 4ac的符号。 看抛物线与x轴的交点个数：有两个交点，b2 - 4ac>0；有一个交点，b2 - 4ac = 0；无交点，b2 - 4ac<0。 5. 判断a + b + c的符号。令x = 1，看此时函数值y = a + b + c的符号，即抛物线在x = 1处的纵坐标的符号。 6. 判断a - b + c的符号。令x = -1，看此时函数值y = a - b + c的符号，即抛物线在x = -1处的纵坐标的符号。 【典例1】二次函数的图象如图所示，下列说法中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】∵抛物线的开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴． 故选：B． 【变式1】如果抛物线其中a，b，c是常数，且在对称轴左侧的部分是y随着x的增大而减小，那么a ．（填“”或“”） 【答案】 【详解】解：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的， 抛物线开口向上， 故答案为： 【变式2】抛物线（其中）一定不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】∵， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴对称轴为，即对称轴在y轴左侧， ∵， ∴，， ∴抛物线与轴有两个交点，与轴交于负半轴， 抛物线的图象大致如下： 由图象可得，抛物线不经过第一象限． 故选：A． 题型五 一次函数、二次函数图象综合判断 解｜题｜技｜巧 1. 先定一次函数关键信息， 由一次函数y = kx + b（k≠0）的图象：直线上升则k>0，下降则k<0；与y轴交点在正半轴则b>0，负半轴则b<0，先确定k、b的符号。 2. 再定二次函数关键信息，由二次函数y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象：开口向上则a>0，向下则a<0；结合对称轴判断b的符号，结合与y轴交点判断c的符号。 3. 对比系数符号一致性， 若两个函数含相同字母系数（如均有b），检查同一系数在两个函数中的符号是否一致，不一致的选项可排除。 4. 利用特殊点验证， 取特殊x值（如x = 0、x = 1、x = -1），计算两个函数在该点的函数值，对比图象中对应点的位置是否匹配，不匹配的排除。 5. 结合函数性质辅助判断， 如二次函数的顶点、与x轴交点个数（b2 - 4ac符号），一次函数与坐标轴的交点位置，综合这些性质进一步筛选正确选项。 【典例1】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误； 当时，二次函数开口向上，一次函数必经过一、三象限，故C选项错误； 当时，二次函数开口向下，一次函数必经过二、四象限，故A选项错误； 故选：D． 【变式1】在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】解：A．观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； B、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； C、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意； D、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】在同一直角坐标系中二次函数与一次函数的图象正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∵，， ∴一次函数的图象经过二、三、四象限， 结合选项可知，只有C选项符合题意； 故选：C． 题型六 两个二次函数图象综合判断 解｜题｜技｜巧 1. 先定系数符号：根据抛物线开口方向（向上→a>0，向下→a<0）、与y轴交点（上→c>0，下→c<0，原点→c=0）、对称轴位置（x=-b/(2a)，结合a的符号判断b的正负），初步确定两个函数的a、b、c符号是否矛盾。 2. 再看特殊点值：代入x=1或x=-1，计算y=a+b+c或y=a-b-c的值，对比图像中该点的函数值正负，判断是否一致（如x=1时图像在x轴上方，则a+b+c>0）。 3. 对比对称轴与交点：若两个函数有公共点，联立方程看判别式（Δ=b²-4ac）是否符合交点个数（Δ>0→2个交点，Δ=0→1个交点，Δ<0→无交点）；同时观察对称轴是否平行或位置关系，辅助验证系数合理性。 4. 排除法筛选选项：根据前3步得出的系数符号、特殊点值、交点情况，逐一排除与图像矛盾的选项，缩小范围直至确定正确答案。 【典例1】如果两个不同的二次函数的图象相交，那么它们的交点最多有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【详解】∵二次函数的图像为抛物线， ∴两个不同二次函数的图像的交点最多只能有2个， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质与特点，熟练掌握相关概念是解题关键. 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设A（m，m2），则B（m，m2）， ∵AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D， ∴C（2m，m2），D（m，m2）， ∴BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m， . 故选C． 【变式2】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误； B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误； C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确． 故选D． 题型七 已知抛物线上对称的两点求对称轴 解｜题｜技｜巧 1. 明确核心原理：抛物线上关于对称轴对称的两点，其连线与对称轴垂直，且对称轴过该连线的中点。 2. 提取两点坐标：设已知两点坐标为(x1, y1)和(x2, y2)，因两点对称，故y1 = y2（纵坐标相等）。 3. 计算中点横坐标：对称轴为垂直于x轴的直线，其方程为两点横坐标的平均值，即对称轴： 。 【典例1】二次函数中的部分对应值如下表，则二次函数图像的对称轴为（   ） x … 0 1 2 … y … 0 … A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【详解】解：由图表可知：时，，时，， 二次函数的对称轴为， 故选：B． 【变式1】若抛物线与轴的公共点是，，则抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【详解】解：∵抛物线与x轴的公共点为和，即这两个点关于抛物线的对称轴对称 ∴抛物线的对称轴为直线， 故选：B． 【变式2】二次函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 二次函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．轴 C．直线 D．直线 【答案】D 【详解】解：根据题意，得和是对称点， 故抛物线的对称轴为直线， 故选：D． 题型八 抛物线与x轴的交点问题 解｜题｜技｜巧 1. 转化核心方程：抛物线与x轴交点的纵坐标为0，需将抛物线解析式（如y=ax²+bx+c）转化为一元二次方程ax²+bx+c=0，方程的解即为交点横坐标。 2. 用判别式定交点个数：通过计算判别式 ∆= b² - 4ac判断： ∆= b² - 4ac> 0：方程有两个不同实根，抛物线与x轴有2个交点； ∆= b² - 4ac = 0：方程有两个相等实根，抛物线与x轴有1个交点（即顶点在x轴上）； ∆= b² - 4ac < 0：方程无实根，抛物线与x轴无交点。 3. 求具体交点坐标： 若∆= b² - 4ac≥，可通过因式分解法、求根公式或配方法求解方程，得到的x值与0组成的坐标（(x1, 0)、(x2, 0)）即为交点坐标。 4. 利用交点与系数关系（韦达定理）：若交点横坐标为x1、x2，则x1 + x2 = -，x1x2 = ，可快速计算交点横坐标的和、积，辅助验证或求解参数。 【典例1】若函数的图象与轴只有一个公共点，则实数的取值是 ． 【答案】或 【详解】解：关于的函数的图象与x轴仅有一个公共点， ∴当时， ， 解得， 当时，是一次函数，图象与轴只有一个公共点， 故答案为：或． 【变式1】已知抛物线上的某些点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 则一元二次方程的一个根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，，而当时，， 在时，必有一个的值使得． 一元二次方程的一个根的范围是． 故选：B． 【变式2】已知一元二次方程的两根分别为1和，则二次函数与x轴的交点坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵已知一元二次方程的两根分别为1和， ∴抛物线与x轴的两个交点分别为． 故答案是：． 题型九 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 解｜题｜技｜巧 1. 明确对应关系：二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的交点，其横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根，根的情况直接由交点个数决定。 2. 看交点个数定根的数量： 图像与x轴有2个不同交点→方程有2个不相等的实数根； 图像与x轴有1个交点（顶点在x轴上）→方程有2个相等的实数根； 图像与x轴无交点→方程没有实数根。 3. 结合开口方向辅助验证：若图像开口向上（a>0）且顶点纵坐标<0，或开口向下（a<0）且顶点纵坐标>0，必存在2个不同实根，可辅助快速判断。 【典例1】根据下表对应值： x 0 1 2 3 4 0 判断方程的一个解为 ． 【答案】（或） 【详解】解：由表可知，当时，， 是的一个解， 点是抛物线与x轴的一个交点， 与时，， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为，即， 是的另一个解； 故答案为：（或）． 【变式1】已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的其中一个解的范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意得二次函数的抛物线开口向下，图象的对称轴为， 而对称轴右侧图象与x轴交点在0与1之间，即 又∵对称轴为， 则抛物线与轴的另一个交点在与之间，即一元二次方程的其中一个解的范围是， 故选：B． 【变式2】如图所示，抛物线经过、、，则关于x的一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【详解】解：设抛物线与的另一个交点坐标为， ∵抛物线与的两个交点到对称轴的距离相等， ∴， 解得， ∴关于x的一元二次方程的根是，． 故答案为：，． 题型十 利用不等式求自变量或函数值的范围 解｜题｜技｜巧 1. 明确不等式方向：根据题意确定是求“y > k”“y < k”（函数值范围）还是“ax²+bx+c > 0” “ax²+bx+c < 0”（自变量范围，k为常数）。 2. 结合图像找边界：先找到二次函数图像与直线y=k（或x轴，即y=0）的交点，这些交点的横坐标（或纵坐标）是不等式的“边界值”。 3. 根据开口方向定范围：若抛物线开口向上（a>0）： 函数值y > k→对应图像在直线y=k上方的自变量范围，即“x < x1或x > x2”（x1 < x2为交点横坐标）； 函数值y < k→对应图像在直线y=k下方的自变量范围，即“x1 < x < x2”。 若抛物线开口向下（a<0）：函数值y > k→对应图像在直线y=k上方的自变量范围， 即“x1 < x < x2”； 函数值y < k→对应图像在直线y=k下方的自变量范围，即“x < x1或x > x2”。 4. 确定端点是否包含：若不等式是“≥”或“≤”，范围需包含边界值；若为“>”“<”，则不包含边界（用“<”“>”）。 【典例1】已知二次函数． （1）若，则y的取值范围为 ； （2）若，则x的取值范围为 ． 【答案】 或 【详解】解：（1）， 对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，有最大值为， 当时， ∵, ∴当时，取得最小值，最小值为， ∴当时，， 故答案为：． （2）， 当时，即， 解得：， 当时，即， 解得：， ∴当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． 【变式1】二次函数的图象如图所示．若关于的一元二次方程有实数根，则的最大值为(    ) A． B．3 C． D．6 【答案】B 【详解】解：一元二次方程有实数根，则二次函数的图象与直线有交点， 由图象得，，解得， ∴的最大值为， 故选：B． 【点睛】此题考查了图象法求一元二次方程的解，解题的关键是用函数图象来处理方程根的问题． 【变式2】抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则当y≥0时，x的取值范围是 ． 【答案】﹣1≤x≤3 【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（−1，0）， ∴与x轴的另一个交点坐标为（3，0）， ∴y≥0时，x的取值范围为：﹣1≤x≤3， 故答案是：﹣1≤x≤3． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标． 题型十一 二次函数的应用 解｜题｜技｜巧 二次函数解应用题的一般步骤： (1) 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系； (2) 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围； (3) 利用二次函数的图象及性质解决实际问题； (4) 检验结果的合理性，是否符合实际意义； (5) 作答. 【典例1】七月中旬正值青岛旅游旺季，青岛旅游纪念品深受大家喜爱．某公司销售一种纪念品，每件成本为50元，经过市场调查发现，该商品的日销售量(件)与销售单价(元)是一次函数关系，销售单价、日销售量的3组对应数值如下表： 销售单价/元 日销售量/件 (1)求关于的函数表达式． (2)若物价部门规定每件商品的利润率不得超过，求公司销售该商品获得的最大日利润． 【答案】(1) (2)元 【详解】（1）解：设，把和代入， 得，解得， ． （2）解：设公司销售该商品获得的日利润为元， 则． 由题意知， 解得． 对称轴为直线， 顶点不在取值范围内． ， 抛物线开口向下， 在对称轴左侧随的增大而增大， 当时，． 答：该公司销售该商品获得的最大日利润为元． 【变式1】在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． (1)求b的值； (2)求抛物线最高点的坐标； (3)已知小球自带一个红外线发射器，竖直向下发射一束红外线，照射到斜坡上，求小球飞行过程中这束红外线的最大长度． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：点是抛物线上一点， ． ． （2）解：， 抛物线最高点的坐标为． （3）解：设直线的解析式为：， 将代入中， 得，解得：， 直线的解析式为． 设这束红外线的长度为，则． ， 小球飞行过程中这束红外线的最大长度为． 【变式2】黄河流域兰州白塔山段综合提升改造项目是兰州市落实国家黄河流域生态保护和高质量发展战略谋划的重点工程．项目总投资万元，项目隧道工程西起龙源公园，东至靖远路，主线全长约2245米．建设地点位于兰州市北滨河路中山桥两侧，现要修建隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求∶，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为； (2)点A、B的坐标分别为：，． 【详解】（1）解：由题可知：抛物线的顶点坐标， 可设抛物线的函数表达式为， ∵在抛物线上 ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由题可知：点A、B的纵坐标为6， ∴， 解得：， ∴点A、B的坐标分别为：，． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·福建福州·期中）二次函数的图象经过，，，四点，且，，则的大小关系是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】∵二次函数的图象经过，， ∴对称轴为直线 ①当时，抛物线开口向上 ∴当时，y随x的增大而增大 ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴离对称轴的距离比近 ∴ ∴，故A正确，B错误； ②当时，抛物线开口向下 ∴当时，y随x的增大而减小 ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴离对称轴的距离比近 ∴ ∴，故C，D均错误． 故选：A． 2．（24-25九年级上·全国·期中）如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ，则，所以②正确； 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； 时，， ， ③错误； 点与点关于对称轴对称， ，所以④错误． 故选：A． 3．（25-26九年级上·广东·期中）对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，已知此二次函数的图象上有一点，则m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ∴，即． ∵点在二次函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏·期中）已知二次函数的顶点坐标，则关于的一元二次方程的两个根分别是和 ． 【答案】 【详解】解：已知二次函数的顶点坐标， ∴对称轴是直线， 由题意得，点与点关于直线对称， ∴，即， 解得． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数（a是常数）． (1)当时，求二次函数的对称轴． (2)若点都在二次函数的图象上． ①证明：． ②求的最大值． 【答案】(1)直线 (2)①证明见解析；②的最大值为4 【详解】（1）解：由题意，当时，二次函数为， 对称轴是直线； （2）证明：由题意，点都在二次函数的图象上， 对称轴是直线． ． ． 由题意可得， ． 当时，的最大值为4． 6．（24-25九年级上·吉林·期中）如图：在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴的两个交点分别为，点P是抛物线上一点，其横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是________________； (3)将抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点）记为图象G，设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：抛物线（为常数）与轴的两个交点分别为，， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，此时， 当时，， 当时，的取值范围是， 故答案为：； （3）解：点是抛物线上一点，其横坐标为， ， 分种情况进行讨论， 当时，图象在处最大，在处最小， ， ， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ； 当时，图象在处最大，在处最小， ， ， ， 整理得：， ， 此方程无解； 当时，图象在顶点处最大，在处最小， ， ， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ； 综上所述，的值为或． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（   ） A．当且时，则 B．当时，则 C．当且时，则 D．当时，则 【答案】A 【详解】解：∵ ∴抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把代入，得， ∴顶点为， ∵两点，在抛物线， ∴当且时，（因时抛物线在x轴上方）， 故， 此时 故A选项的结论正确； 当时，抛物线在时递减， 故越大，越小， 即， 故B选项的结论错误； 当且时，， 此时应满足或， 故C选项的结论错误； 当时，抛物线在时递增， 故越大，越大， 即， 故D选项的结论错误； 故选：A 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴直线为，， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方， ∴抛物线与直线两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个， 故选：A ． 3．（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（   ）    A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 【答案】B 【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意； B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意； D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 故选B． 4．（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【详解】（1）解：二次函数的图象的对称轴为． 因为点在该函数的图象上， 所以， 所以， 所以． （2）①由（1）可得，， 所以该函数的表达式为， 函数图象的顶点坐标为． 因为函数的最大值为， 所以，且， 解得，或（舍去）． 所以该二次函数的表达式为． ②因为点在函数的图象上， 所以． 由①知，点关于直线对称，不妨设， 则，即． 所以 ， 所以． 5．（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)或 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得， 故答案为：2； （2）解：， ， ， ， 该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； （3）解：的对称轴为直线， 二次项系数， 二次函数图像开口向上， ， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ， 即， 或． 6．（2025·江苏连云港·中考真题）已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； (2)若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； (3)求证：该二次函数的图像不经过原点． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）解：因为二次函数中，， 所以二次函数的图像开口向上， 因为二次函数的图像与直线有两个交点， 所以函数的最小值小于， 则， 即， 解得． （2）解：因为二次函数的图像与轴有交点， 所以， 所以， 又因为， 所以， 解得． （3）证明：当时，， 所以二次函数的图像不经过原点． 7．（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 【答案】(1)每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元 (2) 【详解】（1）解：设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元， 由题意得：， 解得：， 答：每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元； （2）解：由题意得，， ∵，对称轴为直线，且a为整数， ∴当时，取最大值， 答：当时，每天的利润W最大． 8．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数的定义及一般形式 能准确判断二次函数，明确其系数、自变量取值范围等 基础必考点，常结合函数概念在小题中考查 二次函数的图象与性质 能根据二次函数表达式分析开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性 核心考点，是二次函数应用的基础，各类题型均有涉及，需熟练掌握 二次函数的表达式 能根据不同已知条件（三点、顶点、与 x 轴交点），选择合适形式求二次函数解析式 高频考点，常以解答题形式考查，需灵活运用三种表达式 二次函数与一元二次方程的关系 能利用二次函数图象与 x 轴的交点，分析一元二次方程的根的情况，反之亦然 重要考点，常与方程、不等式综合，在中档题中考查 二次函数的应用 能运用二次函数解决实际问题中的最值、近似解等问题 高频考点，多为实际应用类解答题，难度中等及以上，需结合实际意义分析 知识点01 二次函数的定义及一般形式 1、二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 2、二次函数的结构特征 （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. （2）a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． （3）二次项系数不为0. 3、二次函数的一般形式 y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 4、二次函数的取值范围 一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点02 二次函数的图象与性质 二次函数 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 在对称轴左边，随着x的增大 y减小，在对称轴右边，随着x增大 y增大 在对称轴左边，随着x增大 y增大，在对称轴右边，随着x的增大 y减小 知识点03二次函数的表达式有三种常见形式： ①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法. 顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法. 交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0，其中x1，x2还图象与x轴的两个交点的横坐标）； 知识点04 二次函数与一元二次方程的关系 1、 当二次函数 y＝ax2+bx+c的图象和 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y = 0 时自变量 x 的值，即一元二次方程 ax2+bx+c= 0 的根. 2、二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． 判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根 两个不相等的实数根x1，x2 两个相等实数根x1=x2＝- 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 知识点05 二次函数的应用 1、二次函数的应用包括以下两个方面： (1) 用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题 (即最值问题)； (2) 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． 2、一般步骤： (1) 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系； (2) 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围； (3) 利用二次函数的图象及性质解决实际问题； (4) 检验结果的合理性，是否符合实际意义； (5) 作答. 题型一 根据二次函数的定义求参数 解｜题｜技｜巧 二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 【典例1】函数的图象是抛物线，则 ． 【变式1】二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 【变式2】若关于x的函数 是二次函数，则m的值为 ． 题型二 待定系数法，求二次函数解析式 解｜题｜技｜巧 1. 设合适的解析式形式 2. 代入已知点坐标，将已知点的坐标代入所设的解析式中，得到关于a、b、c（或仅a）的方程（组）。 3. 解方程（组）求系数，求解方程（组），确定a、b、c的值。 4. 写出解析式，将求出的系数代入所设解析式，得到二次函数的解析式。 【典例1】求满足下列条件的二次函数的解析式： (1)图象经过点，和； (2)图象顶点坐标为，且经过点． 【变式1】抛物线的顶点坐标为，且图像经过点，求函数解析式． 【变式2】已知二次函数的顶点为，则该二次函数为 题型三 y=ax2+bx+c的图象与性质 解｜题｜技｜巧 二次函数 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 在对称轴左边，随着x的增大 y减小，在对称轴右边，随着x增大 y增大 在对称轴左边，随着x增大 y增大，在对称轴右边，随着x的增大 y减小 【典例1】关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【变式1】设是抛物线上的三点，则的大小关系为 ．（用“”连接）． 【变式2】若点，，在二次函数的图象上， 且 则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型四 二次函数图象与各项系数符号 解｜题｜技｜巧 1. 判断a的符号。看抛物线的开口方向：开口向上，a>0；开口向下，a<0。 2. 判断b的符号。利用对称轴公式：结合a的符号，若对称轴在y轴左侧（x<0），则a、b同号；若在y轴右侧（x>0），则a、b异号；若在y轴上（x = 0），则b = 0。 3. 判断c的符号。看抛物线与y轴的交点：交点在y轴正半轴，c>0；在负半轴，c<0；在原点，c = 0。 4. 判断b2 - 4ac的符号。 看抛物线与x轴的交点个数：有两个交点，b2 - 4ac>0；有一个交点，b2 - 4ac = 0；无交点，b2 - 4ac<0。 5. 判断a + b + c的符号。令x = 1，看此时函数值y = a + b + c的符号，即抛物线在x = 1处的纵坐标的符号。 6. 判断a - b + c的符号。令x = -1，看此时函数值y = a - b + c的符号，即抛物线在x = -1处的纵坐标的符号。 【典例1】二次函数的图象如图所示，下列说法中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】如果抛物线其中a，b，c是常数，且在对称轴左侧的部分是y随着x的增大而减小，那么a ．（填“”或“”） 【变式2】抛物线（其中）一定不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型五 一次函数、二次函数图象综合判断 解｜题｜技｜巧 1. 先定一次函数关键信息， 由一次函数y = kx + b（k≠0）的图象：直线上升则k>0，下降则k<0；与y轴交点在正半轴则b>0，负半轴则b<0，先确定k、b的符号。 2. 再定二次函数关键信息，由二次函数y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象：开口向上则a>0，向下则a<0；结合对称轴判断b的符号，结合与y轴交点判断c的符号。 3. 对比系数符号一致性， 若两个函数含相同字母系数（如均有b），检查同一系数在两个函数中的符号是否一致，不一致的选项可排除。 4. 利用特殊点验证， 取特殊x值（如x = 0、x = 1、x = -1），计算两个函数在该点的函数值，对比图象中对应点的位置是否匹配，不匹配的排除。 5. 结合函数性质辅助判断， 如二次函数的顶点、与x轴交点个数（b2 - 4ac符号），一次函数与坐标轴的交点位置，综合这些性质进一步筛选正确选项。 【典例1】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（　　） A．B． C． D． 【变式1】在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A．B．C． D． 【变式2】在同一直角坐标系中二次函数与一次函数的图象正确的是（    ） A． B． C． D． 题型六 两个二次函数图象综合判断 解｜题｜技｜巧 1. 先定系数符号：根据抛物线开口方向（向上→a>0，向下→a<0）、与y轴交点（上→c>0，下→c<0，原点→c=0）、对称轴位置（x=-b/(2a)，结合a的符号判断b的正负），初步确定两个函数的a、b、c符号是否矛盾。 2. 再看特殊点值：代入x=1或x=-1，计算y=a+b+c或y=a-b-c的值，对比图像中该点的函数值正负，判断是否一致（如x=1时图像在x轴上方，则a+b+c>0）。 3. 对比对称轴与交点：若两个函数有公共点，联立方程看判别式（Δ=b²-4ac）是否符合交点个数（Δ>0→2个交点，Δ=0→1个交点，Δ<0→无交点）；同时观察对称轴是否平行或位置关系，辅助验证系数合理性。 4. 排除法筛选选项：根据前3步得出的系数符号、特殊点值、交点情况，逐一排除与图像矛盾的选项，缩小范围直至确定正确答案。 【典例1】如果两个不同的二次函数的图象相交，那么它们的交点最多有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　) A．B．C． D． 题型七 已知抛物线上对称的两点求对称轴 解｜题｜技｜巧 1. 明确核心原理：抛物线上关于对称轴对称的两点，其连线与对称轴垂直，且对称轴过该连线的中点。 2. 提取两点坐标：设已知两点坐标为(x1, y1)和(x2, y2)，因两点对称，故y1 = y2（纵坐标相等）。 3. 计算中点横坐标：对称轴为垂直于x轴的直线，其方程为两点横坐标的平均值，即对称轴： 。 【典例1】二次函数中的部分对应值如下表，则二次函数图像的对称轴为（   ） x … 0 1 2 … y … 0 … A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【变式1】若抛物线与轴的公共点是，，则抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式2】二次函数的部分对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 5 0 0 … 二次函数图象的对称轴是（   ） A．直线 B．轴 C．直线 D．直线 题型八 抛物线与x轴的交点问题 解｜题｜技｜巧 1. 转化核心方程：抛物线与x轴交点的纵坐标为0，需将抛物线解析式（如y=ax²+bx+c）转化为一元二次方程ax²+bx+c=0，方程的解即为交点横坐标。 2. 用判别式定交点个数：通过计算判别式 ∆= b² - 4ac判断： ∆= b² - 4ac> 0：方程有两个不同实根，抛物线与x轴有2个交点； ∆= b² - 4ac = 0：方程有两个相等实根，抛物线与x轴有1个交点（即顶点在x轴上）； ∆= b² - 4ac < 0：方程无实根，抛物线与x轴无交点。 3. 求具体交点坐标： 若∆= b² - 4ac≥，可通过因式分解法、求根公式或配方法求解方程，得到的x值与0组成的坐标（(x1, 0)、(x2, 0)）即为交点坐标。 4. 利用交点与系数关系（韦达定理）：若交点横坐标为x1、x2，则x1 + x2 = -，x1x2 = ，可快速计算交点横坐标的和、积，辅助验证或求解参数。 【典例1】若函数的图象与轴只有一个公共点，则实数的取值是 ． 【变式1】已知抛物线上的某些点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 则一元二次方程的一个根的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知一元二次方程的两根分别为1和，则二次函数与x轴的交点坐标为 ． 题型九 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 解｜题｜技｜巧 1. 明确对应关系：二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的交点，其横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根，根的情况直接由交点个数决定。 2. 看交点个数定根的数量： 图像与x轴有2个不同交点→方程有2个不相等的实数根； 图像与x轴有1个交点（顶点在x轴上）→方程有2个相等的实数根； 图像与x轴无交点→方程没有实数根。 3. 结合开口方向辅助验证：若图像开口向上（a>0）且顶点纵坐标<0，或开口向下（a<0）且顶点纵坐标>0，必存在2个不同实根，可辅助快速判断。 【典例1】根据下表对应值： x 0 1 2 3 4 0 判断方程的一个解为 ． 【变式1】已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的其中一个解的范围是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】如图所示，抛物线经过、、，则关于x的一元二次方程的根是 ． 题型十 利用不等式求自变量或函数值的范围 解｜题｜技｜巧 1. 明确不等式方向：根据题意确定是求“y > k”“y < k”（函数值范围）还是“ax²+bx+c > 0” “ax²+bx+c < 0”（自变量范围，k为常数）。 2. 结合图像找边界：先找到二次函数图像与直线y=k（或x轴，即y=0）的交点，这些交点的横坐标（或纵坐标）是不等式的“边界值”。 3. 根据开口方向定范围：若抛物线开口向上（a>0）： 函数值y > k→对应图像在直线y=k上方的自变量范围，即“x < x1或x > x2”（x1 < x2为交点横坐标）； 函数值y < k→对应图像在直线y=k下方的自变量范围，即“x1 < x < x2”。 若抛物线开口向下（a<0）：函数值y > k→对应图像在直线y=k上方的自变量范围， 即“x1 < x < x2”； 函数值y < k→对应图像在直线y=k下方的自变量范围，即“x < x1或x > x2”。 4. 确定端点是否包含：若不等式是“≥”或“≤”，范围需包含边界值；若为“>”“<”，则不包含边界（用“<”“>”）。 【典例1】已知二次函数． （1）若，则y的取值范围为 ； （2）若，则x的取值范围为 ． 【变式1】二次函数的图象如图所示．若关于的一元二次方程有实数根，则的最大值为(    ) A． B．3 C． D．6 【变式2】抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则当y≥0时，x的取值范围是 ． 题型十一 二次函数的应用 解｜题｜技｜巧 二次函数解应用题的一般步骤： (1) 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系； (2) 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围； (3) 利用二次函数的图象及性质解决实际问题； (4) 检验结果的合理性，是否符合实际意义； (5) 作答. 【典例1】七月中旬正值青岛旅游旺季，青岛旅游纪念品深受大家喜爱．某公司销售一种纪念品，每件成本为50元，经过市场调查发现，该商品的日销售量(件)与销售单价(元)是一次函数关系，销售单价、日销售量的3组对应数值如下表： 销售单价/元 日销售量/件 (1)求关于的函数表达式． (2)若物价部门规定每件商品的利润率不得超过，求公司销售该商品获得的最大日利润． 【变式1】在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． (1)求b的值； (2)求抛物线最高点的坐标； (3)已知小球自带一个红外线发射器，竖直向下发射一束红外线，照射到斜坡上，求小球飞行过程中这束红外线的最大长度． 【变式2】黄河流域兰州白塔山段综合提升改造项目是兰州市落实国家黄河流域生态保护和高质量发展战略谋划的重点工程．项目总投资万元，项目隧道工程西起龙源公园，东至靖远路，主线全长约2245米．建设地点位于兰州市北滨河路中山桥两侧，现要修建隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求∶，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·福建福州·期中）二次函数的图象经过，，，四点，且，，则的大小关系是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25九年级上·全国·期中）如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 3．（25-26九年级上·广东·期中）对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，已知此二次函数的图象上有一点，则m的取值范围为 ． 4．（25-26九年级上·江苏·期中）已知二次函数的顶点坐标，则关于的一元二次方程的两个根分别是和 ． 5．（25-26九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数（a是常数）． (1)当时，求二次函数的对称轴． (2)若点都在二次函数的图象上． ①证明：． ②求的最大值． 6．（24-25九年级上·吉林·期中）如图：在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴的两个交点分别为，点P是抛物线上一点，其横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是________________； (3)将抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点）记为图象G，设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的值． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（   ） A．当且时，则 B．当时，则 C．当且时，则 D．当时，则 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（   ）    A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 4．（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 5．（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 6．（2025·江苏连云港·中考真题）已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； (2)若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； (3)求证：该二次函数的图像不经过原点． 7．（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 8．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $