5.4 二元一次方程组与一次函数 第2课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦待定系数法求一次函数表达式，通过当堂检测构建从直接代入点到结合几何对称、再到实际路程问题的学习支架，衔接基础应用与综合实践。 其特色在于以问题链驱动，通过几何对称点求直线表达式、跑步训练路程分析等实例，发展学生抽象能力与模型意识。反思总结梳理方法步骤，分层作业兼顾巩固与素养提升，助力学生用数学思维解决实际问题，为教师提供清晰教学路径。

第五章 二元一次方程组 第4课 二元一次方程与一次函数 第2课时 待定系数法 2024版北师大数学八年级数学上册 学习目标 1.利用二元一次方程组确定一次函数的表达式，并解决相关问题，初步认识待定系数法. 2.经历从实际问题中抽象出一次函数模型，再用代数方法求解的过程，提升数学建模和逻辑推理能力，体会数形结合思想. 教学设计的基本环节： 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 通过上节课的学习，我们发现可以借助一次函数图象法求解对应的二元一次方程组的解，观察下面的图象，你能准确读出交点坐标吗？ 问题：对于不能准确读出精确值的图象，如何得到精确值的交点坐标呢？ 4 问题构建 问题背景：A,B 两地相距 100 km,甲、乙两人骑车同时分别从 A,B 两地相向而行.假设他们都匀速骑行,则他们各自与 A 地之间的距离s（单位：km）都是骑行时间 t（单位：h）的一次函数.骑行1h 乙距离A地 80 km，骑行2h甲距离A地30km.经过多长时间两人相遇？ 问题1：根据前面的学习经验，你有哪些方法解决这个问题？请你动手试一试. A B 甲2h 30km 乙1h 15km 借助方程的应用中学习过的示意图可以解决该问题. 问题构建 问题背景：A,B 两地相距 100 km,甲、乙两人骑车同时分别从 A,B 两地相向而行.假设他们都匀速骑行,则他们各自与 A 地之间的距离s（单位：km）都是骑行时间 t（单位：h）的一次函数.骑行1h 乙距离A地 80 km，骑行2h甲距离A地30km.经过多长时间两人相遇？ 方法一：算术法 由分析可得=15km/h, =20km/h， 相遇时间t=100÷(15+20)=h 算术法依赖于分析题意得出两人的速度值. 问题构建 问题背景：A,B 两地相距 100 km,甲、乙两人骑车同时分别从 A,B 两地相向而行.假设他们都匀速骑行,则他们各自与 A 地之间的距离s（单位：km）都是骑行时间 t（单位：h）的一次函数.骑行1h 乙距离A地 80 km，骑行2h甲距离A地30km.经过多长时间两人相遇？ 方法二：一元一次方程法 解：设经过小时后两人相遇，由题意得： 15+20=100 解得：= 一元一次方程法依赖于分析题意得出两人的速度值. 协作破冰 问题背景：A,B 两地相距 100 km,甲、乙两人骑车同时分别从 A,B 两地相向而行.假设他们都匀速骑行,则他们各自与 A 地之间的距离s（单位：km）都是骑行时间 t（单位：h）的一次函数.骑行1h 乙距离A地 80 km，骑行2h甲距离A地30km.经过多长时间两人相遇？ 方法三：借助函数图象读坐标 转化题中文字信息得出 甲的特殊点(0,0)(1,30) 乙的特殊点(0,100)(1,80) 画出函数图象读出交点，这种方法我们上节课刚刚学习过. 观察图象可得，交点横坐标位于2＜3之间，很难得出精确值. 问题构建 问题背景：A,B 两地相距 100 km,甲、乙两人骑车同时分别从 A,B 两地相向而行.假设他们都匀速骑行,则他们各自与 A 地之间的距离s（单位：km）都是骑行时间 t（单位：h）的一次函数.骑行1h 乙距离A地 80 km，骑行2h甲距离A地30km.经过多长时间两人相遇？ 方法四：借助二元一次方程组求解 设甲的函数表达式为： 乙的函数表达式为： 把点(2,30)代入甲的表达式得： 2=30， =15， 把点(0,100)(1,80)代入乙的表达式得： 解得： 联立二元一次方程组得： 解得： 对比方法三和方法四，借助图象可以直观的获得结果，但往往难以获得精确的结果.为了获得准确的结果，我们一般采用代数方法. 协作破冰 例1.某长途汽车客运站规定,乘客可以免费携带一定质量的行李,超过该质量需购买行李票,且行李费（单位：元）是行李质量（单位：kg）的一次函数.已知李明带了60kg的行李,交了行李费5元；张华带了90kg的行李,交了行李费10元. 问题2：你能尝试写出与之间的关系式吗？ 解：设，根据题意，得 解这个方程组得： 所以 协作破冰 问题3：每名旅客最多可免费携带多少千克的行李？ 当=0时，即=0 解得=30 当＞30时，＞0. 所以，每名旅客最多可免费携带30kg的行李. 一次函数的表达式有两个参数要确定一次函数表达式，需要两个条件. 协作破冰 待定系数法 先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法. 设表达式：设一次函数的一般形式为（其中为待定系数，且）. 找条件：根据题目所给的已知条件得到关于的两组对应值. 列方程：将两组对应值分别代入所设的表达式中,列出关于的二元一次方程组. 解方程组：通过解方程组,求出待定系数和的值. 写表达式：将求出的和的值代入中,即可得到所求的一次函数表达式. 教师示范 例2：已知一次函数的图象经过点(,7)和(-2,,),求这个函数的表达式. 解：把点(,7)和(-2,,)分别代入表达式得： 解这个方程组得 所以这个函数的表达式是： 思考：本题中的函数表达式，只有一个未知量b，求解时依然需要列二元一次方程组解决问题，你对待定系数法有没有一些新的思考？ 巩固拓展 例3.甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河 渠，所挖河渠的长度与挖掘时间 之间的函数关系如图所示. 请根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）甲队在开挖后内，每小时挖____ . 10 巩固拓展 （2）当时，求与 之间的函数关系式. 解：设当时，与 之间的关系式为 . 函数图象过点， ， 解得 当时，与 之间的关系式为 . 巩固拓展 （3）直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差 . 解：开挖后或或，甲、乙两队挖的河渠的长度相差 . 巩固拓展 5 5 5 铅垂线法:过轴上一点作的垂线或轴的平行线，交同一坐标系下两个函数图象有两个不同的交点，交点间的距离可以得出对应自变量或因变量的结果的一种方法，将来求图形面积会经常使用. 当堂检测 1.已知一次函数的图象经过点, ,则该一次函数的表达式为 ( ) B. C. D. 待定系数法的直接应用 C 当堂检测 2.如图，直线与轴交于点，点 关 于轴的对称点为点.设经过点和 轴上的点 的直线的表达式为 . （1）求点 的坐标. 解：在中，令，则 ， 解得 . . 点关于轴的对称点为点 ， . 19 当堂检测 （2）确定直线 的表达式. 解：, , 解得 直线的表达式为 . 当堂检测 3.某学校体育队开展跑步训练， 体育老师将队员分成男、女两组.两组队员从同一 地点同向先后出发，女子组跑了 时，男子组 恰好跑了 .此后两组队员开始匀速跑，直到 （1）此次跑步训练的全程是_____ . 500 终点.已知男子组匀速跑的速度为 .男、女两组队员跑步的路程 与匀速跑的时间 的图象如图所示. 当堂检测 （2）求男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程. 解：女子组的速度为 ， 则男子组队员跑步的路程 ， 女子组队员跑步的路程 . 联立 解得 . 答：男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程为 . 反思总结 1.待定系数法解决问题时的一般步骤是什么？. 2.回顾总结解二元一次方程组你有几种方法？各有什么特点？ 3.如果一个问题中涉及3个及以上的未知数怎么办？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本131页 随堂练习 第1,2题 二、素养类作业 课本P133页 第8题. 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $