精品解析：宁夏银川市宁夏六盘山高级中学2025-2026学年高三上学期开学测试数学试卷

宁夏六盘山高级中学 2025-2026学年第一学期高三年级开学测试卷 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分 命题教师：喜金海 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 3. 命题“，是偶函数”的否定是（ ） A. ，不是偶函数 B. ，是奇函数 C. ，不是偶函数 D. ，是奇函数 4. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 6. 已知，且，其中a，b为实数，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 8. 已知，，则（） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设a，b是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知是函数的一个零点.则（ ） A. B. 函数的值域为 C. 函数的单调递减区间为 D. 不等式的解集为 11. 设是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数，则（ ） A. 若有极值点，则 B. 若当时，有极值，则对应的拐点为或 C. 若当时，在上无极值点，则的取值范围为 D. 若当，时，曲线与轴分别交于、、，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若是第二象限角，，则______. 13. 已知向量，满足，则向量，的夹角为___________ 14. 已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合.设集合，则T表示的区域的面积为____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中,角的对边分别为,且满足. （1）求角的值; （2）若,求的面积. 16. 已知函数在处取得极值． （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最小值． 17. 记为数列的前项和，已知． （1）求； （2）证明：数列是等比数列； （3）求的最值． 18. 已知函数. （1）证明：函数是奇函数； （2）用定义证明：函数在上是增函数； （3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，，为，中点． （1）求证：平面； （2）若（），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值； （3）在（2）的条件下，若点为直线上一点，求直线与平面所成角正弦值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏六盘山高级中学 2025-2026学年第一学期高三年级开学测试卷 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分 命题教师：喜金海 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 2. 已知函数，则（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】求导，根据即可求解，代入即可求值. 【详解】由题意知,所以，解得，则，故． 故选：B 3. 命题“，是偶函数”的否定是（ ） A. ，不是偶函数 B. ，是奇函数 C. ，不是偶函数 D. ，是奇函数 【答案】A 【解析】 【分析】运用含有量词的命题的否定的写法即可求得结果. 【详解】命题“，是偶函数”的否定是“，不是偶函数”. 故选：A. 4. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，从而. 故选：D. 5. 设函数，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数解析式代入计算即可. 【详解】解：函数， 即有， ， 则有． 故选：C. 6. 已知，且，其中a，b为实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可 【详解】 由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等， 得,即 故选: 7. 已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用奇偶性及对称性可求得函数的周期，运用周期性质即可求得结果. 【详解】因为在上为奇函数，所以， 又因为，所以①， 所以②， 所以由①②得，即的一个周期为4， 所以. 又因为当时，，所以， 所以. 故选：D. 8. 已知，，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知先利用和差角的正切公式进行化简可求，然后结合二倍角公式及同角基本关系对所求式子进行化简，即可求解. 【详解】因为，， 所以，， 解得或（舍， 则 . 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设a，b是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由线面平行的判定定理可判断A；举反例可判断B、C；由面面平行的性质定理可判断D. 【详解】对于A，因为，由线面平行的判定定理知A正确； 对于B，若，则可能异面，故B错误； 对于C，若，则可能相交，故C错误； 对于D，若，则，由面面平行的性质定理知D正确. 故选：AD. 10. 已知是函数的一个零点.则（ ） A. B. 函数的值域为 C. 函数的单调递减区间为 D. 不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：代入运算求解即可；对于B：整理可得，结合正弦函数的有界性分析求解；对于C：以为整体，结合正弦函数的单调性分析求解；对于D：结合选项B中的值域分析判断. 【详解】由题意可得：， 因为，解得，故A正确； 则， 因为，则， 所以函数的值域为，故B错误； 令，解得， 所以函数的单调递减区间为，故C正确； 由选项B可知：当，即时，， 所以不等式的解集不为空集，故D错误； 故选：AC. 11. 设是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数，则（ ） A. 若有极值点，则 B. 若当时，有极值，则对应的拐点为或 C. 若当时，在上无极值点，则的取值范围为 D. 若当，时，曲线与轴分别交于、、，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析可知，对于。，可判断A选项；根据题中信息求出实数、的值，结合拐点的定义可判断B选项；根据题意可知，在上为单调函数，对于，有，可判断C选项；利用三次方程根与系数的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，若函数有极值点，则有两个不等的零点， 所以，，即，A对； 对于B选项，当时，函数有极值， 则，解得或， 当，时，， 此时，函数在上单调递增，该函数无极值， 经检验，，合乎题意， 所以，，，令，可得， 此时，函数对应的拐点为，B错； 对于C选项，当时，函数在上无极值点， 则函数在上为单调函数，则恒成立， 则，解得，即实数的取值范围是，C对； 对于D选项，当，时，， 由有， 等式两边同除可得， 令，则、、是方程的三个根， 所以，， 即， 所以，，，， 所以，，D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问题的解题关键就是令，从而将问题转化为、、是方程的三个根，然后利用韦达定理求解. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若是第二象限角，，则______. 【答案】##-0.8 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系求出余弦值. 【详解】是第二象限角，，故. 故答案为： 13. 已知向量，满足，则向量，的夹角为___________ 【答案】 【解析】 【分析】先设向量，的夹角为，再由平面向量数量积的运算，结合平面向量夹角的运算，求解即可. 【详解】由题意，可设向量，的夹角为， 向量，满足， ，， 由，则， 解得：， 又，， 故答案为：. 14. 已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合.设集合，则T表示的区域的面积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】设点P在底面上的射影为O，求出三棱锥的高，再求得时的长，继而确定表示区域的形状，即可求得答案. 【详解】设点P在底面上的射影为O，则O为正的中心， 连接并延长交于D，则D为中点，且， 正三棱锥的六条棱长均为6， 故， 故， 又，连接，当时，， 而O到三边的距离为， 故表示的区域是内以O为圆心，1为半径的圆及其内部区域， 则T表示的区域的面积为， 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中,角的对边分别为,且满足. （1）求角的值; （2）若,求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)先用正弦定理边化角,再逆用两角和的正弦公式进行化简即可求解; (2)利用余弦定理求出边,然后代入三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 解:由题意知, 在中,将正弦定理代入有, 所以, 即,即, 即, 因为,所以,所以, 因为, 所以； 【小问2详解】 由(1)知,在中,由余弦定理可知, 即, 解得或（舍）, 所以. 16. 已知函数在处取得极值． （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1）3 （2）⋅ 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据函数在处取得极值，求出的值；再根据函数导数验证函数的极值； （2）利用导数判断函数的在上的单调性，求出最值. 【小问1详解】 由题意得的定义域，且 因为函数在处取值得极值，所以 解得 此时，， 令得或，令得， 故函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意 所以． 【小问2详解】 由（1）得，， 令，得，所以函数在单调递增， 令，得，所以函数在单调递减， 所以函数在处取极小值， 所以当时，的最小值为 17. 记为数列的前项和，已知． （1）求； （2）证明：数列是等比数列； （3）求的最值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）的最小值为，无最大值 【解析】 【分析】（1）已知，要求，可直接令，代入等式求解. （2）要证明数列是等比数列，可先根据与的关系，用表示出，再通过变形得到与的关系，根据等比数列的定义进行证明. （3）先根据（2）求出的的通项公式，再结合求出的表达式，最后通过分析的单调性来确定其最值. 【小问1详解】 已知，则当时，有. ，，即，解得． 【小问2详解】 由可得，当时，. 得. ，，即，进一步变形可得. 当时，. 又，数列是以为首项，为公比的等比数列. 【小问3详解】 由（2）可知，则，即. ，，则. 由于，所以是递增数列，的最小值为，无最大值. 18. 已知函数. （1）证明：函数是奇函数； （2）用定义证明：函数在上是增函数； （3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明：由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为定义域上的奇函数. （2）证明：当时，， 任取，且， 可得 因为，且，可得，， 所以，即， 所以函数在上是增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可可证； （2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据题意，得到函数为定义域上的奇函数，且为单调递增函数，不等式转化为对于任意实数恒成立，分和，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数， 所以函数在上也是增函数， 又因为，所以函数在上是增函数， 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围. 19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，，为，中点． （1）求证：平面； （2）若（），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值； （3）在（2）的条件下，若点为直线上一点，求直线与平面所成角正弦值的最大值． 【答案】（1） 取中点，连接. 在中，因为分别为的中点， 所以，， 在菱形中，因为，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 因此. 又因为平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由中点还需中点帮.取中点.连接很容易得到四边形为平行四边形，再用线面平行的定理证明. （2）可以为原点建立空间直角坐标系.求出点的坐标.算出平面的法向量.用向量夹角余弦值来算直线与平面所成角的正弦值即可. （3）设，结合（2）求得坐标，代入线面夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，. 因为，所以. 在菱形中，， 因为为中点，所以. 建立如图空间直角坐标系D-xyz. 在正三角形中，.又， 所以，，， ，， 所以向量，. 设平面的法向量为，则，即. 取得,. 设直线与平面所成角为， . 可得：， 解得：，又， 所以. 【小问3详解】 设，由（2）知：，， 所以， 设直线与平面所成角为，平面的法向量为， 则， 当时，取到最大值，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $