精品解析：山东省泰安市宁阳县第十二中学（五四制）2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试题

九年级上学期月考数学试题（一） 一、选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 下列各点不在反比例函数图像上的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，判定点与反比例函数的关系，代入解析式，计算判断即可． 【详解】解：∵， ∴点在反比例函数上，故A不符合题意； ∵， ∴点在反比例函数上，故B不符合题意； ∵， ∴点不在反比例函数上，故C符合题意； ∵， ∴点在反比例函数上，故D不符合题意； 故选C． 2. 下列关于二次函数，下列说法正确的是（ ）． A. 它的开口方向向下 B. 它的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，有最小值是3 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】∵的一次项系数大于0 ∴函数开口向上，故选项A错误； ∵的顶点坐标为 ，即最小值为3 ∴选项B错误，选项D正确； 的对称轴为 当时，随的增大而减小 ∴选项C错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解． 3. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，当时，先判断的正负，再利用在各自的象限内随着的增大而增大进行判断即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：C． 4. 若反比例函数的图象在各自象限内，y随x的增大而减小，则k的值可能是（ ） A. B. 5 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解答此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象在各自象限内，y随x的增大而减小， ∴， 解得：， 符合要求的只有5， 故选B 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，再结合相关图象即可求出结果． 【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误； 当时，二次函数开口向上，一次函数必经过一、三象限，故C选项错误； 当时，二次函数开口向下，一次函数必经过二、四象限，故A选项错误； 故选：D． 6. 函数 的自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 全体实数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数自变量取值范围，涉及二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式和分式有意义的条件．根据二次根式和分式有意义的条件求出x的取值范围． 【详解】解：根据题意， 解得：且， 故选：B． 7. 把抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，得到抛物线，则n的值是（ ） A. 1 B. 4 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握函数图象平移法则“上加下减，左加右减”是解题的关键．根据函数图象平移法则“上加下减，左加右减”，即可求解． 【详解】解：∵把抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，得到抛物线 ，即 ， 且抛物线先向右平移1个单位，再向上平移n个单位后，得到抛物线， ∴ ，解得： ． 故选：D 8. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等． 【详解】解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 9. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数）；其中正确的结论有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解图示，掌握二次函数图象的性质，数形结合分析是解题的关键． 根据图象开口，对称轴直线，二次函数图象与轴交点得，判定①；由对称轴直线可得，可判定②；由二次函数图象与轴有两个交点可得，可判定③；由图可知当时，，把代入计算可判定④；图形开口向下，对称轴直线为，则当时，函数取到最大值为，针对所有时的函数值都小于，可判定⑤；由此即可求解． 【详解】解：根据图示，二次函数图象开口向下，对称轴直线， ∴， ∴， ∵二次函数图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②正确； ∵二次函数图象与轴有两个交点，一个交点在之间，另一个交点在之间， ∴， ∴，故③正确； 由图可知当时，， ∵，则， ∴， ∴，即，故④正确； ∵图形开口向下，对称轴直线为， ∴当时，函数取到最大值为， ∴当时，函数值， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③④⑤，共4个， 故选：B ． 10. 已知，是二次函数的图象上两点，则当时，二次函数的值是（　　） A. B. C. 2023 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上的点一定满足该函数的解析式．根据二次函数图象的对称性知，点、关于对称轴对称，得到，然后将其代入函数关系式求得． 【详解】解：∵，是二次函数的图象上两点， 又点、的纵坐标相同， 、关于对称轴对称， ， ， ∴当时，． 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共20分，只要求填最后结果） 11. 若抛物线与轴有两个不相同的交点，那么实数的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程间的关系“二次函数图象与轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的解”，结合列出关于的不等式是解题的关键．结合二次函数与轴的交点横坐标与一元二次方程的联系，用根的判别式列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：抛物线与轴有两个不同的交点， 关于的方程有两个不同的实数根， ， ， 故答案为：． 12. 二次函数的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，以及最值的求解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先将其化为顶点式，即可求解最值． 【详解】解：二次函数， ∴化为顶点式得， ∵， ∴当时，函数有最大值为， 故答案为：． 13. 若是反比例函数与正比例函数的一个交点，那么两函数的另一交点点坐标应为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数图象的交点问题，解题的关键是掌握：正比例函数与反比例函数图象的交点关于原点对称．据此即可求解． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 故答案为：． 14. 如图所示，点B是反比例函数图象上一点，过点B分别作x轴、y轴的垂线，如果构成的矩形面积是4，那么反比例函数的解析式是_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数的几何意义可知，矩形的面积为即为比例系数k的绝对值，根据图象所在象限即可判断出k的值． 【详解】解：由题意可知， 反比例函数图象的一个分支在第四象限， ，函数关系式为， 故答案为：． 15. 已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 三、解答题（共90分，解答题写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． 图1 图2 （1）求I关于R的函数解析式； （2）当时，求I的值； （3）若该台灯工作的最小电流为0.1A，最大电流为0.25A，求该台灯的电阻R的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用． （1）待定系数法求出函数解析式； （2）将，代入解析式，求出I的值，即可； （3）求出最小电流和最大电流对应的电阻R的阻值，根据增减性即可得出结果． 正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质，是解题的关键． 【小问1详解】 解：设，由图象可知， 当时，， ∴， ∴； 【小问2详解】 当时，； 【小问3详解】 当，， 当，， ∴该台灯的电阻R的取值范围为． 17. 一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，m），B（n，﹣1）两点． （1）求出这个一次函数的表达式． （2）求△OAB的面积． （3）直接写出使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围． 【答案】（1）一次函数的表达式为y＝﹣x+1；（2）S△OAB＝；（3）x＜﹣1或0＜x＜2． 【解析】 【分析】（1）先把A（-1，m），B（n，-1）分别代入反比例函数解析式可求出m、n，于是确定A点坐标为（-1，2），B点坐标为（2，-1），然后利用待定系数法求直线AB的解析式； （2）设直线AB交y轴于P点，先确定P点坐标，然后利用S△OAB=S△AOP+S△BOP和三角形面积公式进行计算； （3）根据图象即可求得． 【详解】解：（1）把A（﹣1，m），B（n，﹣1）分别代入y＝得﹣m＝﹣2，﹣n＝﹣2，解得m＝2，n＝2， 所以A点坐标为（﹣1，2），B点坐标为（2，﹣1）， 把A（﹣1，2），B（2，﹣1）代入y＝kx+b得，解得， 所以这个一次函数的表达式为y＝﹣x+1； （2）设直线AB交y轴于P点，如图， 当x＝0时，y＝1，所以P点坐标为（0，1）， 所以S△OAB＝S△AOP+S△BOP＝×1×1+×1×2＝； （3）使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点，与反比例函数在第二象限内的图象相交于点． （1）求直线AB的解析式； （2）将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求的面积； （3）设直线CD的解析式为，根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1））；（2）的面积为18；（3）或． 【解析】 【分析】（1）将点A（-1，a）代入反比例函数求出a的值，确定出A的坐标，再根据待定系数法确定出一次函数的解析式； （2）根据直线的平移规律得出直线CD的解析式为y=-x-2，从而求得D的坐标，联立方程求得交点C、E的坐标，根据三角形面积公式求得△CDB的面积，然后由同底等高的两三角形面积相等可得△ACD与△CDB面积相等； （3）根据图象即可求得． 【详解】（1））∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点， ∴设直线AB的解析式为， ∵直线AB过点， ∴，解得， ∴直线AB的解析式为； （2）∵将直线AB向下平移9个单位后得到直线CD的解析式为， ∴， ∴， 联立，解得或， ∴，， 连接AC，则的面积， 由平行线间的距离处处相等可得与面积相等， ∴的面积为18． （3）∵，， ∴不等式的解集是：或． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 19. 已知抛物线的顶点坐标是，且这条抛物线和x轴的一个交点坐标是，另一个交点是A． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求点A的坐标和对称轴； （3）求当时，直接写出函数值的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3）当时， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）根据待定系数法求出抛物线的解析式； （2）令得，求出，得出点A的坐标即可，根据顶点坐标求出抛物线的对称轴即可； （3）根据二次函数的性质求出当时，函数值的取值范围即可． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为 将代入得， 解得：， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：令得， ，即A点的坐标为； 对称轴为直线； 【小问3详解】 解：当时，， 当时，， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴的最大值为1， ∴当时，． 20. 用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场，养鸡场一面用砖砌成，另三面用竹篱笆围成，并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆)，问养鸡场的边长为多少米时，养鸡场占地面积最大？最大面积是多少？ 【答案】平行于墙的一边为，垂直于墙的一边为时，养鸡场占地面积最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值求法，正确求出函数解析式是解题的关键． 首先根据题意表示出垂直于墙的边长为，则另一边长为，占地面积为，进而得出y与x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解． 【详解】解：设垂直于墙的一边为，则另一边为，占地面积为． 则， ∴当时，养鸡场的面积有最大值， 此时 即平行于墙的一边为，垂直于墙的一边为时，养鸡场占地面积最大，最大面积是． 21. 公安部提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的规定，若这种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． （1）直接写出y关于x的函数关系式； （2）该品牌头盔的实际售价定为多少元时，商家能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时，利润最大，最大值为12250元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，一次函数的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）根据“售价每涨价1元，则月销售量将减少10个”，列出关系式即可求解； （2）根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于x的二次函数，进而可求出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：． 【小问2详解】 解：根据题意得： ． ∴当元时，取最大值元． 22. 一个二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： ··· ··· ··· ··· （1） ﹔ （2）与轴的交点坐标是 ﹔ （3）求这个二次函数的表达式﹔ （4）当时，直接写出函数值的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，待定系数法求函数解析式等知识点． （1）根据表格可直接进行解答； （2）由表格可直接进行求解； （3）由表格可设函数解析式为，然后任意代一个点进行求解即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由表格可得：抛物线对称轴为直线， ∴当和时的函数值相等， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由表格可得：与x轴的交点，则纵坐标为0，所以与x轴的交点坐标为：； 故答案为：； 【小问3详解】 解：由表格可设函数解析式为，把代入得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问4详解】 解：当时，；当是，， ∵，， ∴函数的最大值为， ∴当时，． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为 （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． （3）探究在抛物线上是否存在点M，使得的面积等于3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），抛物线的顶点坐标为 （2） （3）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与面积的综合问题，涉及轴对称的性质，待定系数法求函数解析式等知识点． （1）将点B的坐标代入抛物线解析式中，可求得m值，然后利用顶点坐标公式，求得抛物线的顶点坐标； （2）根据A、B关于抛物线的对称轴对称，连接，交抛物线于点P，则此时最小，然后利用待定系数法求出直线的解析式，从而求得点P坐标； （3）先求出长，设，由，得到，再解方程即可． 【小问1详解】 解：把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 【小问2详解】 解：∵抛物线与x轴交于A，B两点， ∴点A、B关于抛物线的对称轴对称， 连接交抛物线对称轴于点P，如图，则此时的值最小， 将代入中，得， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 将代入求得， ∴P点坐标为； 【小问3详解】 解：存在， 对于，当时，则， 解得或， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴或， 当时， 解得：， ∴或； 当时， 解得：， ∴或， 综上：存在点M，使得的面积等于3，点的坐标为或或或． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． （1）若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； （2）若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，二次函数的最值，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； 正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； （2）令，解得，，又二次函数与轴的一交点为，，所以，即，则有，然后解不等式即可． 【小问1详解】 解：∵为二次函数的顶点， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为； 因为正比例函数经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数表达式为， 设，则，， ∴ ， ∴当时，线段的长度取得最大值； 【小问2详解】 解：∵二次函数经过点， ∴，即， 令， 解得，， ∵二次函数与轴的一个交点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期月考数学试题（一） 一、选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 下列各点不在反比例函数图像上的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于二次函数，下列说法正确的是（ ）． A. 它的开口方向向下 B. 它的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，有最小值是3 3. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 若反比例函数的图象在各自象限内，y随x的增大而减小，则k的值可能是（ ） A. B. 5 C. 0 D. 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（　　） A. B. C. D. 6. 函数 的自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 全体实数 7. 把抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，得到抛物线，则n的值是（ ） A. 1 B. 4 C. D. 2 8. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数）；其中正确的结论有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 10. 已知，是二次函数的图象上两点，则当时，二次函数的值是（　　） A. B. C. 2023 D. 5 二、填空题（每小题4分，共20分，只要求填最后结果） 11. 若抛物线与轴有两个不相同的交点，那么实数的取值范围为________ 12. 二次函数的最大值为_____． 13. 若是反比例函数与正比例函数的一个交点，那么两函数的另一交点点坐标应为___________ 14. 如图所示，点B是反比例函数图象上一点，过点B分别作x轴、y轴的垂线，如果构成的矩形面积是4，那么反比例函数的解析式是_______ 15. 已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 三、解答题（共90分，解答题写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． 图1 图2 （1）求I关于R的函数解析式； （2）当时，求I的值； （3）若该台灯工作的最小电流为0.1A，最大电流为0.25A，求该台灯的电阻R的取值范围． 17. 一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，m），B（n，﹣1）两点． （1）求出这个一次函数的表达式． （2）求△OAB的面积． （3）直接写出使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点，与反比例函数在第二象限内的图象相交于点． （1）求直线AB的解析式； （2）将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求的面积； （3）设直线CD的解析式为，根据图象直接写出不等式的解集． 19. 已知抛物线的顶点坐标是，且这条抛物线和x轴的一个交点坐标是，另一个交点是A． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求点A的坐标和对称轴； （3）求当时，直接写出函数值的取值范围． 20. 用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场，养鸡场一面用砖砌成，另三面用竹篱笆围成，并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆)，问养鸡场的边长为多少米时，养鸡场占地面积最大？最大面积是多少？ 21. 公安部提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的规定，若这种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． （1）直接写出y关于x的函数关系式； （2）该品牌头盔的实际售价定为多少元时，商家能获得最大利润？最大利润是多少？ 22. 一个二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： ··· ··· ··· ··· （1） ﹔ （2）与轴的交点坐标是 ﹔ （3）求这个二次函数的表达式﹔ （4）当时，直接写出函数值的取值范围． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为 （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． （3）探究在抛物线上是否存在点M，使得的面积等于3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． （1）若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； （2）若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $