4.1 第3课时 三角形的内角与外角（PPT课件）-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（湘教版2024）

该初中数学课件围绕三角形内角和定理与外角性质展开，从内角和应用实例切入，通过外角概念辨析、性质推导问题链搭建学习支架，衔接三角形按角分类与外角性质，帮助学生逐步构建知识脉络。 其亮点在于以问题驱动和逻辑推理为主线，通过外角性质推导过程培养学生推理意识，结合例题解析和课堂小测发展模型意识与几何直观。课堂小结系统梳理定理性质，小测分层巩固，既助力学生深化理解与应用能力，也为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

第4章 三角形 八年级数学湘教版·上册 4.1 第3课时 三角形的内角与外角 授课人：XXXX 1 学习目标 1.三角形外角、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的概念；(重点) 2.三角形的内角和的性质．(难点) 新课导入 提出问题 在小学，我们通过对一个三角形进行折叠、剪拼等操作（如图），知道三角形的内角和是180°，你能说出这些方法的原理吗？ 上述两种操作都是将三角形的三个内角拼到一起构成一个平角. 新课导入 锐角三角形 测量法 48° 72° 60° 60°＋48°＋72°＝180° 新知探究 三角形的三个内角和等于180°. 拼图法 可裁下它的三个角，拼在一起构成平角180°. 验证结论 三角形三个内角的和等于180°. 说明：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 方法1：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1， ∠C=∠2. (两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°， 即∠A+∠B+∠C=180°. 1 2 新知探究 新知探究 方法2：延长BC到点D，过点C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 . (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2. (两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. C B A E D 1 2 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫作辅助线. 在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 新知探究 例3 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 解 设∠B为x°，则∠A为（3x ）°，∠C为（x ＋ 15） °， 从而有 3x ＋ x ＋（ x ＋ 15 ）＝ 180. 解得 x ＝ 33. 所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48. 答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°. 新知探究 为了证明三角形的内角和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法. 1.下列各组角是同一个三角形的内角吗?为什么? （2）60°， 40°， 90° （3）30°， 60°， 50° （1）3°， 150°， 27° （是 ） （ 不是） （ 不是） 2.在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °则∠ C= . 3.在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4. 则∠A = ∠ B= ∠ C= . 102 ° 80 ° 60 ° 40 ° 新知探究 4.已知：如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=60°, ∠C=70°. 求证： ∠ADE=50°. 证明： ∵ DE ∥ BC （已知）， ∴ ∠ AED= ∠ C（两直线平行，同位角相等）. ∵ ∠ C=70°（已知）， ∴ ∠ AED= 70° （等量代换）. ∵ ∠ A+ ∠ AED+ ∠ ADE=180°（三角形的内角和定理）， ∠ A=60°（已知）， ∴ ∠ ADE=180°-60°-70°=50°（等量代换）， 即∠ ADE= 50°. D C B A E 新知探究 新知探究 问题：一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？ 因为三角形的内角和等于180°，因此最多有一个直角或一个钝角. 三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形； 锐角三角形 有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形. 钝角三角形 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形； 直角三角形 直角边 直角边 斜边 A B C 直角三角形ABC可以写成Rt△ABC； 三角形的外角的概念 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角. ∠ACD是△ABC的一个外角. C B A D 新知探究 问题1 如图，延长AC到点E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？ E 在三角形的每个顶点处都有两个外角. ∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE； C B A D ∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角. 问题2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ 新知探究 A B C 画出△ABC的所有外角，共有几个呢? 每一个三角形都有6个外角． 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角. 新知探究 新知探究 三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点; ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. 每一个三角形都有6个外角． 新知探究 在图中， 外角∠ACD 和与它不相邻的内角∠A， ∠B 之间有什么大小关系？ B A C 我觉得可以利用“三角形的内角和等于180° ” 的结论. 因为∠ACD +∠ACB = 180°， ∠A +∠B +∠ACB = 180°， 所以∠ACD -∠A -∠B = 0 （等量减等量， 差相等）. 于是∠ACD =∠A +∠B. D 由此得到: 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. D A C B ∵∠ACD= ∠A+ ∠B ∴∠ACD＞∠A ∠ACD＞ ∠B 三角形的一个外角与它不相邻的任意一个内角有怎样的大小关系? 新知探究 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 新知探究 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 新知探究 例： 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC 的度数. ∵ ∠BEC是△AEC的一个外角， ∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE. ∵∠A=42° ，∠ACE=18°， ∴ ∠BEC=60°. ∵ ∠BFC是△BEF的一个外角， ∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF. ∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°， ∴ ∠BFC=88°. 解： F A C D E B 新知探究 例： 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数． 解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数． E 解：延长BP交AC于点E， 则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE， ∠PEC＝∠ABE＋∠A， ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120°， ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°. 新知探究 例：如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=______°. 解析： ∵∠B=47°， ∴ ∠BAC+∠BCA=180°– 47°=133°，∴∠CAD+∠ACF=360°–133°=227°. 又 AE和CE是角平分线，∴∠CAE+∠ACE=113.5°， ∴∠E=180°–113.5°=66.5°. 66.5 A B C F E D 新知探究 课堂小结 三角形的内角与外角 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°. 三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 课堂小测 1.判断题： 1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和.（ ） 2、三角形的外角和等于它内角和的2倍.（ ） 3、三角形的一个外角等于两个内角的和.（ ） 4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ） 5、三角形的一个外角大于任何一个内角.（ ） 6、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ） × × × √ √ √ 课堂小测 2.填空： （1）在△ABC中，∠A=60° ,∠B=∠C,则∠B= . （2）在△ABC中， ∠A-∠B=50° , ∠C-∠B=40° ,则∠B= . 60° 30° 解：(1)因为∠ADC是△ABD的外角， 3 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°. 求： （1）∠B 的度数；（2）∠C的度数. （2）在△ABC中， ∠B+∠BAC+∠C=180°， ∠C=180º-40º-70º=70°. 所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°. 又因为∠B=∠BAD， A B C D 课堂小测 . 课堂小测 A B C D E 1 2 F G 解：∵∠1是△FBE的外角, ∴∠1=∠B+ ∠E, 同理∠2=∠A+∠D. 在△CFG中, ∠C+∠1+∠2=180º, ∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E= 180º. 4.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数. $