4.1.3三角形内角和与外角 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形内角和定理及外角性质，通过折叠、测量、撕角拼接等操作活动导入，引导学生从直观感知到逻辑证明，衔接三角形基本概念，为角度计算和综合推导搭建学习支架。 其亮点在于融合多种证明方法培养推理能力，通过分类讨论（如等腰三角形角度）和方程思想（比例设未知数）发展抽象与模型意识。易错必记与分层题型助力学生巩固，教师可借助系统资源提升教学效率，促进学生数学思维与应用能力提升。

湘教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月12日 4.1.3三角形内角和与外角 第4章 三角形 湘教版数学八年级下册4.1.3 三角形内角和与外角同步讲义与练习 本节核心考点：三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质与推论、角度计算、内外角综合推导，是几何角度计算的核心必考题型。 一、核心知识点精讲 1. 三角形内角和定理 定理：三角形的三个内角的和等于 180°。 公式：在△ABC中，$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$$。 用途：已知三角形两个角度，求第三个角度；已知角度关系，列方程求角度。 2. 重要推论（高频秒杀结论） 推论1：直角三角形两锐角互余 直角三角形的两个锐角相加等于 $$90^\circ$$。 推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形 可用于快速判定直角三角形。 3. 三角形的外角定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 关键点： ① 每个三角形共有6个外角（3对相等外角）； ② 每个顶点处有2个外角，互为对顶角，角度相等； ③ 三角形的一个外角与相邻内角互为补角（和为180°）。 4. 三角形外角核心性质（考试重中之重） 性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 性质2：三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角。 5. 三角形外角和定理 三角形的外角和为 360°。 6. 本节通用解题方法 ① 普通三角形求角：直接用内角和180°； ② 直角三角形求角：优先用两锐角互余； ③ 出现外角：优先用“外角=不相邻两内角和”快速倒角； ④ 角度比例、倍数问题：设未知数，利用内角和列方程求解。 二、选择题（每题4分，共24分） 1. 任意三角形的内角和为（） A. 90° B. 180° C. 270° D. 360° 2. 在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，则∠C的度数为（） A. 60° B. 70° C. 80° D. 90° 3. 直角三角形的一个锐角为35°，则另一个锐角为（） A. 35° B. 55° C. 65° D. 45° 4. 关于三角形外角说法正确的是（） A. 外角一定大于相邻内角 B. 外角等于任意两个内角和 C. 外角等于与它不相邻的两个内角和 D. 三角形只有3个外角 5. 三角形的一个外角是120°，与它相邻的内角是（） A. 60° B. 80° C. 90° D. 120° 6. 在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 三、填空题（每题4分，共24分） 7. 三角形内角和等于______°，三角形外角和等于______°。 8. 在△ABC中，∠A=25°，∠B=55°，则∠C=______°。 9. 直角三角形两锐角________。 10. 三角形的一个外角________任意一个与它不相邻的内角（填“大于”“小于”或“等于”）。 11. 已知三角形一个外角为105°，其中一个不相邻内角为40°，则另一个不相邻内角为______°。 12. 等腰三角形的一个内角为80°，则另外两个内角为____________。 四、解答题（共52分） 13.（16分）基础角度计算： （1）在△ABC中，∠A=50°，∠B=∠C，求∠B、∠C的度数； （2）直角三角形一个锐角为28°，求另一个锐角的度数。 14.（18分）外角性质应用： 如图，在△ABC中，∠B=35°，∠C=45°，点D在BC延长线上，求∠CAD的度数。 15.（18分）方程思想求角度： 在△ABC中，∠A=2∠B，∠C=∠B+30°，求△ABC三个内角的度数。 五、参考答案与详细解析 一、选择题 1.B（三角形内角和固定180°）； 2.C（$$180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ$$）； 3.B（直角三角形两锐角互余，$$90^\circ-35^\circ=55^\circ$$）； 4.C（外角核心性质：等于不相邻两内角和）； 5.A（内外角互补，$$180^\circ-120^\circ=60^\circ$$）； 6.B（设角度为$$x,2x,3x$$，$$6x=180^\circ$$，$$x=30^\circ$$，最大角90°，为直角三角形）。 二、填空题 7. 180；360 8. 100（$$180^\circ-25^\circ-55^\circ=100^\circ$$） 9. 互余（和为90°） 10. 大于 11. 65（$$105^\circ-40^\circ=65^\circ$$） 12. 50°、50° 或 80°、20°（分类讨论：80°为顶角或底角） 三、解答题 13. 解： （1）∵$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$$，$$\angle A=50^\circ$$，$$\angle B=\angle C$$， ∴$$\angle B=\angle C=\dfrac{180^\circ-50^\circ}{2}=65^\circ$$； （2）直角三角形两锐角互余， 另一个锐角$$=90^\circ-28^\circ=62^\circ$$。 14. 解： ∵∠CAD是△ABC的外角， ∴$$\angle CAD=\angle B+\angle C=35^\circ+45^\circ=80^\circ$$。 答：∠CAD的度数为80°。 15. 解： 设$$\angle B=x$$，则$$\angle A=2x$$，$$\angle C=x+30^\circ$$， 由内角和定理得：$$2x+x+x+30^\circ=180^\circ$$， 解得：$$4x=150^\circ，x=37.5^\circ$$， ∴$$\angle A=75^\circ，\angle B=37.5^\circ，\angle C=67.5^\circ$$。 本节易错必记 1. 外角只能等于不相邻两个内角和，严禁加相邻内角； 2. 钝角三角形的外角可能小于相邻内角，不要误以为外角一定更大； 3. 等腰三角形角度问题必须分类讨论，防止漏解； 4. 角度比例题型优先设未知数，用内角和列方程，解题最稳妥； 5. 区分：内角和180°，外角和360°，不要混淆。 学习目标 1.通过操作活动，发现三角形的内角和是 180°； 2.会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数； 3.了解三角形的外角及其性质. 学习目标 思考： 任意三角形的内角和都是180° 吗？为什么？ 折叠 锐角三角形 测量 40° 68° 72° 40°＋68°＋72°＝180° （请同学们运用学科工具——量角器测量演示） 还有其他的方法吗？ 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来证明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 还有其他的拼接方法吗？ 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角撕下来拼合在一起. 三角形的内角和定理的证明 1 三角形内角的和等于 180°. 求证：∠A +∠B +∠C = 180°. 已知：△ABC . 证法1：过点 A 作 l∥BC， 则∠B =∠1，∠C =∠2 (两直线平行，内错角相等). ∵∠1 +∠2 +∠BAC = 180°， ∴∠B +∠C +∠BAC = 180°. 1 2 验证结论 证法2：延长 BC 到 D，过点 C 作 CE∥BA， 则∠A =∠1 (两直线平行，内错角相等)， ∠B =∠2 (两直线平行，同位角相等). 又∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°， ∴∠A +∠B +∠ACB = 180°. C B A E D 1 2 C B A E D F 证法3：过 D 作 DE∥AC，DF∥AB. ∴∠C = ∠EDB，∠B = ∠FDC (两直线平行，同位角相等)， ∠A +∠AED = 180°， ∠EDF +∠AED = 180° (两直线平行，同旁内角相补). ∴∠A = ∠EDF. ∵∠EDB +∠EDF +∠FDC = 180°， ∴∠C +∠A +∠B = 180°. 想一想：同学们还有其他的证法吗？ 思考：多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？ 借助平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E 例1 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的 3 倍，∠C 比∠B 大 15°，求∠A，∠B，∠C 的度数. 解：设∠B 为 x°，则∠A 为 (3x)°，∠C 为 (x + 15)°， 从而 3x + x + (x + 15)＝180， 解得 x＝33. 所以 3x＝99，x + 15＝48. 答：∠A，∠B，∠C 的度数分别为 99°，33°，48°. 几何问题借助方程来解， 这是一个重要的数学思想. 典例精析 一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？ 因为三角形的内角和等于 180°，因此最多有一个直角或一个钝角. 说一说 1.三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形； 锐角三角形 3.有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形. 钝角三角形 2.有一个角是直角的三角形叫作直角三角形， 直角三角形 直角边 直角边 斜边 A B C 直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC； 两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形. 定义 如图，把△ABC 的一边 BC 延长，可得到∠ACD.像这样，把三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫作三角形的外角. ∠ACD 是△ABC 的一个外角 C B A D 三角形的外角的概念 2 A B C 画一画 画出△ABC 的所有外角，共有几个呢? 每一个三角形都有 6 个外角． 每一个顶点相对应的外角都有 2 个，且这 2 个角为对顶角. 三角形的外角应具备的条件： ① 角的顶点是三角形的顶点； ② 角的一边是三角形的一边； ③ 另一边是三角形中一边的延长线. ∠ACD 是△ABC 的一个外角， C B A D 每一个三角形都有 6 个外角． 归纳总结 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 问题1 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其相邻的内角 ∠ACB 有什么关系？ ∠BCD 与∠ACB 互补. 三角形的外角的性质 3 问题2 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其不相邻的两内角 (∠A，∠B ) 有什么关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 ∵∠A +∠B +∠ACB = 180°，∠BCD +∠ACB = 180°， ∴∠BCD =∠A +∠B. 你能用作平行线的方法证明此结论吗？ 三角形内角和定理的推论 A B C D ( ( ( 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： 因为∠ACD 是△ABC 的一个外角， 所以∠ACD =∠A +∠B. 知识要点 例2 如图，已知 AD 是∠ABC 的角平分线， ∠ADB = 98°，∠C = 70°，求∠B 的度数. 解 因为∠ADB =∠C + ∠CAD， 所以∠CAD =∠ADB－∠C = 98°－70° = 28°. 又∠BAD =∠CAD， 所以∠BAD = 28°. 因此，∠B = 180°－∠ADB－∠BAD = 54°. 如图①，试比较∠2 、∠1的大小； 如图②，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小. 图① 图② 解：因为∠2 =∠1 +∠B， 所以∠2＞∠1. 解：因为∠2 =∠1 +∠B， ∠3 =∠2 +∠D， 所以∠3＞∠2＞∠1. 拓展探究 三角形的外角大于与它不相邻的内角. A B C D ( ( 1 2 3 A B C D ( ( ( 1 2 E 由三角形的内角和定理易得 ∠A +∠B =∠C +∠D. 归纳总结 A B C D 由三角形的外角和定理易得 ∠BDC = ∠A +∠B +∠C. “8”字形 “燕尾蝶”形 返回 1．如图，点E，D分别在AB，AC上，若∠B＝30°，∠C＝55°，则∠1＋∠2的度数为(　　) A．85° B．80° C．75° D．70° A 考试考法 22 返回 2．如图，∠A＝70°，BP，CP分别平分∠ABC和∠ACB，则∠P的度数是(　　) A．125° B．115° C．110° D．120° A 考试考法 返回 3.如图，在△ABC中，∠B＝20°，∠BAC＝4∠C，AD平分∠BAC，交BC于点D，则∠BAD的度数是________． 64° 考试考法 24 4. 在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少？ 【解】第一种情况：当BD在△ABC内部时，如图①.在△ABC中，因为BD是AC边上的高(已知)，所以∠ADB＝90°(垂直的定义)．又因为∠ABD＝30°(已知)，所以∠A＝180°－∠ADB－∠ABD＝180°－90°－30°＝60°.又因为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°(三角形的内角和定理)，所以∠ABC＋∠C＝120°.又因为∠ABC＝∠C，所以∠C＝60°. 考试考法 25 返回 第二种情况：当BD在△ABC外部时，如图②.在Rt△ABD中，因为∠ABD＝30°(已知)，∠D＝90°，所以∠BAD＝60°.易知∠BAD＝∠ABC＋∠C，所以∠ABC＋∠C＝60°.又因为∠ABC＝∠C，所以∠C＝30°. 综上所述，∠C的度数为30°或60°. 考试考法 5．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形形状的是(　　) C 返回 考试考法 27 返回 6．[北京市海淀区模拟]在△ABC中，∠A∠B∠C＝123，则△ABC(　　) A．是锐角三角形　 B．是直角三角形 C．是钝角三角形　 D．不存在 B 考试考法 28 7．已知在△ABC中，∠A－∠B＝20°，∠B－∠C＝35°，则△ABC按角分类为________三角形． 锐角 返回 考试考法 29 8．将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使两直角边重合，则∠α的度数为(　　) A．75° B．105° C．135° D．165° D 返回 考试考法 30 9．如图，把三角形纸片ABC沿DE所在直线折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，点A′是点A的对应点，则∠A与∠1，∠2之间的数量关系是(　　) A．2∠A＝∠1－∠2 B．∠A＝2(∠1－∠2) C．2∠A＝∠2－∠1 D．∠A＝∠1－∠2 A 返回 考试考法 31 10.一块板材如图所示，测得 ， ， ，根据需要为 ，师傅说板材不符合要 求且只能改动，则可将 ______（选填“增加”或“减少”） ___ . 减少 5 考试考法 32 11. 如图，，， 分别是 三边延长线上的点， ，则 的 度数为( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 33 12. 如图，两面镜子 ，的夹角为 ，当光线经过镜子后 反射，，.若 ， 则 的度数是( ) A A. B. C. D. 考试考法 34 三角形 三角形内角和定理 三角形外角的性质 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三个内角的和为180° ↑ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ↓ 课堂小结 $