15.3 第2课时 角平分线的性质与判定（PPT课件）-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（沪科版2024）

第15章 轴对称图形与 等腰三角形 八年级数学沪科版·上册 15.3 第2课时 角平分线的性质与判定 授课人：XXXX 1 软件 使用 视频 播放 字体 显示 同步 配套 本课件使用office2016制作，请使用相应软件打开并使用。由于 WPS软件原因，少量电脑可能存在理科无公式动画的现象，请使用相应软件打开并使用 若因软件问题视频无法打开，请在相应的视频文件夹打开原视频 如果有的字体不能显 示，请先把字体包中的 字体直接复制粘贴至C:\WINDOWS\Fonts 即可 依据最新教材划分课时，内容与教材同步 学海风暴®系列 新课引入 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？ （比例尺为1︰20000） O S区所在的角的平分线上. 学海风暴®系列 新知探究 P A O B C D E 　角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 思考：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？ 角平分线的性质： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 思考：这个结论正确吗？ 逆 命 题 学海风暴®系列 新知探究 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上. 证明： 作射线OP， ∴点P在∠AOB 的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， （全等三角形的对应角相等）， OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， B A D O P E ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）， ∴∠AOP=∠BOP 学海风暴®系列 新知探究 判定定理： 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE， ∴点P 在∠AOB的平分线上. 学海风暴®系列 新知探究 例1 如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明： 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M. ∵点F在∠BCE的平分线上， 　　　　FG⊥AE， FM⊥BC， ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC， ∴FM＝FH， ∴FG＝FH， ∴点F在∠DAE的平分线上.　　　 G H M A B C F E D 学海风暴®系列 新知探究 例2 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) O N M A B 学海风暴®系列 新知探究 O N M A B P 方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上. 解：如图所示： 学海风暴®系列 新知探究 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形三条内角平分线相交于一点 学海风暴®系列 新知探究 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等 你能证明这个结论吗？ 学海风暴®系列 新知探究 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. D E F A B C P N M 学海风暴®系列 新知探究 想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 点P在∠A的平分线上. 结论：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三边的距离相等. D E F A B C P N M 学海风暴®系列 新知探究 M E N A B C P O D 变式：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4, (1)求点O到△ABC三边的距离和; 温馨提示：不存在垂线段———构造应用 解：∵AP平分∠BAC，OE⊥AB，OM⊥AC， ∴OE=OM=4. 同理OE=ON, ∴OE=OM=ON=4, ∴点O到△ABC三边的距离和为12. 学海风暴®系列 新知探究 解：连接OC. M E N A B C P O D (2)若△ ABC的周长为32，求△ABC的面积. 学海风暴®系列 新知探究 1.应用角平分线性质： 存在角平分线 涉及距离问题 2.联系角平分线性质： 距离 面积 周长 条件 知识与方法 学海风暴®系列 新知探究 例3 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140° A 解析：由已知，O到三角形三边的距离 相等，所以O是内心，即三条角平分线 的交点，BO，CO都是角平分线， 所以有∠CBO＝ ∠ABC，∠BCO＝ ∠ACB， ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°. 学海风暴®系列 新知探究 归纳总结 图形 已知 条件 结论 P C P C OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 学海风暴®系列 课堂小结 角平分线的判定 判定定理 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 重要结论 三角形的角平分线相交于内部一点 学海风暴®系列 课堂小测 1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= . 60 BF E B D F A C G 学海风暴®系列 E D C B A 6 8 10 2.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则： (1)哪条线段与DE相等？为什么？ (2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长. 解：(1)DC=DE.理由如下： 角平分线上的点到角两边的距离相等. （2）在Rt△CDB和Rt△EDB中， DC=DE，DB=DB， ∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)， ∴BE＝BC=8. ∴ AE＝AB-BE=2. ∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8. 课堂小测 学海风暴®系列 3. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由． 解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF的距离相等， ∴点D在∠EPF的平分线上． ∴∠1＝∠2． 又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC． A B C E F D ( ( ( ( 3 4 1 2 P 课堂小测 学海风暴®系列 4.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置. 课堂小测 学海风暴®系列 P1 P2 P3 P4 l1 l2 l3 课堂小测 学海风暴®系列 $