15.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定（PPT课件）-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（沪科版2024）

第15章 轴对称图形与 等腰三角形 八年级数学沪科版·上册 15.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 授课人：XXXX 1 软件 使用 视频 播放 字体 显示 同步 配套 本课件使用office2016制作，请使用相应软件打开并使用。由于 WPS软件原因，少量电脑可能存在理科无公式动画的现象，请使用相应软件打开并使用 若因软件问题视频无法打开，请在相应的视频文件夹打开原视频 如果有的字体不能显 示，请先把字体包中的 字体直接复制粘贴至C:\WINDOWS\Fonts 即可 依据最新教材划分课时，内容与教材同步 学海风暴®系列 新课引入 市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处才能使得它到三个小区的距离相等? A B C 学海风暴®系列 新知探究 线段垂直平分线的性质 如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系． A B l P1 P2 P3 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 学海风暴®系列 新知探究 猜想： 点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等． 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. 由此你能得到什么结论？ 你能验证这一结论吗？ 学海风暴®系列 新知探究 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB． 　证明：∵　l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB． 　　又 AC =CB，PC =PC， 　　∴ △PCA≌△PCB（SAS）． 　　∴ PA =PB． P A B l C 验证结论 如果点P与点O重合，那么直接可得PA=PB. 学海风暴®系列 新知探究 例1 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D. 若△DBC的周长为35 cm，求BC的长. 解：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35 cm， 又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD， 故BC＋AD＋CD＝35 cm. ∵AC＝AD＋DC＝20 cm， ∴BC＝35－20＝15(cm). 【方法总结】利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． 学海风暴®系列 新知探究 练一练：1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 . B 10cm P A B C D 图① A B C D E 图② 学海风暴®系列 新知探究 例2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD. 解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答． (2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可． 学海风暴®系列 新知探究 证明：(1)∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠ECF. ∵E是CD的中点，∴DE＝EC. 又∵∠AED＝∠CEF， ∴△ADE≌△FCE， ∴FC＝AD. (2)∵△ADE≌△FCE， ∴AE＝EF，AD＝CF. ∵BE⊥AE， ∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF. ∵AD＝CF， ∴AB＝BC＋AD. 学海风暴®系列 新知探究 定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. 逆 命 题 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 它是真命题吗？你能证明吗？ 线段垂直平分线的判定 学海风暴®系列 新知探究 已知：PA=PB， 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. 证明：作PC⊥AB,垂足为C. ∴∠ACP=∠BCP=90°. 在Rt△ACP和Rt△BCP中， ∴Rt△ACP≌Rt△BCP（HL）， ∴AC=BC， ∴点P在线段AB的垂直平分线上. PA=PB， PC=PC， l C A B P 学海风暴®系列 新知探究 线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 应用格式： ∵　PA =PB， ∴　点P 在AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 学海风暴®系列 新知探究 例3 如图,已知△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点P. 求证:点P在BC的垂直平分线上. B C A P 证明：连接PA，PB，PC. ∵点P在AB，AC的垂直平分线上， ∴PA=PB，PA=PC， （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ∴PB=PC，（等量代换） ∴点P在BC的垂直平分线上. (到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上） 学海风暴®系列 新知探究 总结归纳 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等. 现在你能回答讲课前提出的问题吗？ 你知道购物中心应该建在何处了吗？ 学海风暴®系列 新知探究 例4 已知：如图，点E是∠AOB平分线上的一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线. A B O E D C 证明： ∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB, ∴DE=CE(角平分线上的点到角的两边的距离相等）, ∴ OE是CD的垂直平分线. 学海风暴®系列 课堂小结 线段的垂直平分的性质和判定 性质 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 内容 判定 内容 作用 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 作用 见垂直平分线，得线段相等 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 学海风暴®系列 1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（　　　） A．AB垂直平分CD B ．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ ACB Ａ Ｂ Ｃ Ｄ A 2.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC ( ) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点 D 课堂小测 学海风暴®系列 3.如图，y轴垂直平分线段BC，点A在y轴上，点B、C在x轴上. （1）若点C的坐标为（3，0），则点B的坐标是__________； （2）若点B的坐标为（m，0），则点C的坐标是___________. （-3，0） （-m，0） O C B A y x 课堂小测 学海风暴®系列 4.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长是 cm. A B C D E 16 课堂小测 学海风暴®系列 $