13.1 第3课时 三角形中几条重要线段（PPT课件）-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（沪科版2024）

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 八年级数学沪科版·上册 13.1 第3课时 三角形中几条重要线段 授课人：XXXX 1 新课引入 定义 图示 垂线 线段中点 角平分线 O B A A B 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线 把一条线段分成两条相等的线段的点 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线 新知探究 这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？ 新知探究 问题1 如图，若BD是∠ABC的平分线， 你能得到什么结论？ A D C B ∠ABD= ∠DBC 问题2 如图，若BD是△ABC的角平分线， 你能得到什么结论？ A B C D 想一想：三角形的角平分线与 角的角平分线相同吗? 相同点是 ∠ ABD= ∠ DBC; 不同点是前者是线段，后者是射线. ∠ABD= ∠DBC 新知探究 问题4 请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？ 三条角平分线交于一点． A B C D E F 问题3 一个三角形有几条角平分线？ 3 新知探究 思考：观察直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你又有什么发现？ 三角形的三条角平分线交于一点． 称之为三角形的内心．（后面会学到） 新知探究 例1 如图，DC平分∠ACB，DE∥BC,∠AED= 80°，求∠ECD的度数. 解：∵DC平分∠ACB, 又DE∥BC, ∴∠AED=∠ACB=80°. ∴∠ECD=40°. ∴∠ECD=∠BCD= ∠ACB. 新知探究 问题1 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？ A C B AC=BC= AB 问题2 如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD称为△ABC的什么呢？类比一下. A B C D 新知探究 B C A 三角形的中线 ∵ AD是△ ABC的中线， ∴ BD = CD = BC. 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫作这个三角形的中线. D A 新知探究 画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？ 画图发现 三角形的三条中线交于三角形内部一点.这一点我们称为三角形的重心. A B C A B C A B C D E F D D E F E F O O O 新知探究 例2 如图，CD为△ABC的边AB上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC=8cm，求边AC的长． 解：∵CD为△ABC的边AB上的中线， ∴AD=BD， ∵△BCD的周长比△ACD的周长大3cm， ∴（BC+BD+CD）-（AC+AD+CD）=3， ∴BC-AC=3， ∵BC=8，∴AC=5． 方法总结：一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差, 新知探究 【变式题】 在△ABC中，AB=AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长． 解：如图，∵DB为△ABC的中线， ∴AD=CD， 设AD=CD=x，则AB=2x， 当x+2x=12时，解得x=4. BC+x=15，得BC=11. 此时△ABC的三边长为AB=AC=8，BC=11； 当x+2x=15时，BC+x=12，解得x=5，BC=7， 此时△ABC的三边长为AB=AC=10，BC=7． 注意分类讨论 新知探究 问题1 什么是三角形的高？怎样画三角形的高？ 定义 如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高. 问题2 由三角形的高你能得到什么结论？ ∠ADB= ∠ADC=90 ° A B C D 垂足 注意:标明垂直的记号和垂足的字母. 新知探究 高的叙述方法（如图）：有三种. ②AD⊥BC,垂足为D. ③点D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90°. ①AD是△ABC的高. A B C D 新知探究 锐角三角形的三条高 问题1 每人画一个锐角三角形. (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ O 问题2 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? A B C D E F 锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 新知探究 直角三角形的三条高 问题：在纸上画出一个直角三角形. A B C (1)画出直角三角形的三条高. 直角边BC边上的高是______; AB 直角边AB边上的高是 ; CB (2)它们有怎样的位置关系？ D 斜边AC边上的高是_______. BD ● 直角三角形的三条高交于直角顶点. 新知探究 A B C D E F 钝角三角形的三条高 问题： (1) 钝角三角形的三条高交于一点吗？ (2)它们所在的直线交于一点吗？ O 钝角三角形的三条高不相交于一点 钝角三角形的三条高所在直线交于一点 新知探究 三角形的三条高的特性 高所在的直线是否相交 高之间是否相交 高在三角形内部的数量 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的交点的位置 三角形 内部 直角顶点 三角形 外部 归纳总结 新知探究 【方法总结】若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解. 例3 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值. 解：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值． 由△ABC的面积公式可知, AD·BC＝ BP·AC. 代入数值，可解得BP＝ . 新知探究 问题1 如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？为什么？ B C D E A 相等. 因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等. 问题2 通过问题1你能发现什么规律？ 三角形的中线能将三角形的面积平分. 新知探究 例4 如图，在△ABC中，E是BC边上一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12. 求S△ADF－S△BEF的值. ∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF， 即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2. 解：∵点D是AC的中点，∴AD＝ AC. ∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝ S△ABC＝6. ∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝ S△ABC＝4. 【方法总结】三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比． 课堂小结 三角形几条重要线段 高 钝角三角形两短边上的高的画法 中线 会把原三角形面积平分 一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差,面积相等 角平分线 注意区分角的平分线与三角形 的角平分线的区别 课堂小测 2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点， 那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( ) A D C B A B C D A B C D A B C D A B C D B D 课堂小测 3.如图,在△ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法的正误. ⌒ ⌒ A B C D E 1 2 F G H ①AD是△ABE的角平分线( ) ②BE是△ABD边AD上的中线( ) ③BE是△ABC边AC上的中线( ) ④CH是△ACD边AD上的高( ) × × × √ 课堂小测 4. 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的周长为35cm，BC=11cm，且△ABD与△ACD的周长之差为3cm，求AB与AC的长. A C D B 解：∵AD是△ABC的中线， ∴CD=BD. ∵△ABC的周长为35cm，BC=11cm，∴AC+AB=35-11=24（cm）. 又∵△ABD与△ACD的周长之差为3cm, ∴AB-AC=3， ∴AB=13.5cm,AC=10.5cm. 5. 如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小. 解： ∵ AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90°. ∵ ∠ADC+∠C+∠DAC=180°， ∴ ∠DAC=180°－(∠ADC+∠C) =180°－90°－40° =50°. ∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°， ∴∠CAE= ∠BAC=41°， ∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°= 9°. A B C D E 课堂小测 $