13.2 第3课时 三角形内角和定理及其推论（PPT课件）-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（沪科版2024）

该初中数学课件围绕三角形内角和定理的推论展开，涵盖直角三角形两锐角互余、外角性质等核心知识点，通过作辅助线引入转化思想，以问题链衔接旧知与新知，结合例题、变式题和课堂小测搭建学习支架，帮助学生逐步掌握推论的推导与应用。 其亮点在于注重数学思维与几何直观的培养，通过作辅助线构造图形发展抽象能力与空间观念，例题提供多种解法（如例1用平行性质或直角三角形性质）培养推理意识，规范符号表达强化模型意识。这能提升学生逻辑推理与问题解决能力，也为教师提供结构化资源，助力高效教学。

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 八年级数学沪科版·上册 13.2 第3课时 三角形内角和定理及其推论 授课人：XXXX 1 新课引入 我的形状最小，那我的内角和最小. 我的形状最大，那我的内角和最大. 不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的. 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧！ 新知探究 思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢? 折叠 还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？ 新知探究 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 你能用数学的方法说明这个结论吗？ 还有其他的拼接方法吗？ 活动：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 三角形的内角和的证明 新知探究 三角形三个内角的和等于180°. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 证法1：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1. (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2. (两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. 1 2 证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 . (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2. (两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. C B A E D 1 2 新知探究 新知探究 C B A E D F 证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC. (两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°, ∠AED+∠EDF=180°， (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 想一想：同学们还有其他的方法吗？ 新知探究 思考：多种方法证明的核心是什么？ 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E 新知探究 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫作辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结 为了证明三角形三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 作辅助线 新知探究 问题1：如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？ 在Rt△ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理，得∠A +∠B+∠C=90°,即 ∠A +∠B=90°. 思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？ 三角形内角和定理的推论1、2 直角三角形的两锐角互余. 三角形内角和推论1： 由基本事实、定理直接得出的真命题叫作推论 新知探究 A B C 直角三角形的两个锐角互余．　　 应用格式： 在Rt△ABC 中， ∵　∠C =90°， ∴　∠A +∠B =90°．　 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ． 总结归纳 新知探究 方法一（利用平行的判定和性质）： ∵∠B=∠C=90°， ∴AB∥CD， ∴∠A=∠D. 方法二（利用直角三角形的性质）： ∵∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°. ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A=∠D. 例1（1）如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A 与∠D有什么关系？ 图 新知探究 解：∠A=∠C.理由如下： ∵∠B=∠D=90°， ∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°. ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A=∠C. （2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与 ∠C有什么关系？请说明理由. 图 与图有哪些共同点与不同点？ 新知探究 例2 如图， ∠C=∠D=90 °,AD,BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？ A B C D E 解：∠CAE= ∠DBE.理由如下： 在Rt△ACE中， ∠CAE=90 °- ∠AEC. 在Rt△BDE中, ∠DBE=90 °- ∠BED. ∵ ∠AEC= ∠BED，∴ ∠CAE= ∠DBE. 新知探究 解：∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E， ∴∠BEA=∠BDF=90°， ∴∠ABE+∠A=90°， ∠ABE+∠DFB=90°， ∴∠A=∠DFB. ∵∠DFB+∠BFC=180°， ∴∠A+∠BFC=180°. 【变式题】如图，△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE相交于F，∠A与∠BFC又有什么关系？为什么？ 新知探究 思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本 图形吗？ 基本图形 ∠A=∠C ∠A=∠D 总结归纳 新知探究 问题2：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC 是直角三角形吗？ 在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形. 三角形内角和推论2： 有两个角互余的三角形是直角三角形. 新知探究 A B C 应用格式： 在△ABC 中， ∵　∠A +∠B =90°， ∴　△ABC 是直角三角形． 有两个角互余的三角形是直角三角形.　　 总结归纳 新知探究 典例精析 例3 如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三 角形吗？为什么？ A C B D E ( ( 1 2 解：在Rt△ABC中， ∠2+ ∠A=90 °. ∵ ∠1= ∠2, ∴∠1 + ∠A=90 °. 即△ADE是直角三角形. 新知探究 例4 如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，求证：△ABD是直角三角形. 证明：△ABD是直角三角形.理由如下： ∵CE⊥AD， ∴∠CED=90°， ∴∠C+∠D=90°， ∵∠A=∠C， ∴∠A+∠D=90°， ∴△ABD是直角三角形. 新知探究 问题3 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 ∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B=∠BCD. 你能用作平行线的方法证明此结论吗？ 新知探究 D 证明：过C作CE平行于AB， A B C 1 2 ∴∠1= ∠B， （两直线平行，同位角相等） ∠2= ∠A ， （两直线平行，内错角相等） ∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B. E 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. 验证结论 新知探究 如图 ，试比较∠2 、∠1的大小； 如图 ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.   图 图 解：∵∠2=∠1+∠B, ∴∠2＞∠1. 解：∵∠2=∠1+∠B, ∠3=∠2+∠D, ∴∠3＞∠2＞∠1. 拓展探究 新知探究 推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角. A B C D ∠B+∠C=∠CAD ∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C 归纳总结 三角形内角和定理的推论 新知探究 练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数： A B C D ( ( ( 80 ° 60 ° ( 2 1 (1) A B C ( ( ( ( 2 1 50 ° 32 ° (2) ∠1=40 °, ∠2=140 ° ∠1=18 °, ∠2=130 ° 新知探究 例5 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数． 解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数． E 新知探究 解：延长BP交AC于点E， 则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE， ∠PEC＝∠ABE＋∠A， ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°. 新知探究 【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°， ∠C=30°，求∠BDC的度数. A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题. 新知探究 A B C D ( ( 20 ° 30 ° 解法一：连接AD并延长于点E. 在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3， 在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4. 因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2， 所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°. E ) ) 1 2 ) 3 ) 4 你发现了什么结论？ 新知探究 A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° E ) 1 解法二：延长BD交AC于点E. 在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE， 在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD. 所以∠BDC =∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°. 解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）. ) 2 F 解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解. 总结 课堂小结 三角形内角和定理的证明及推论 三角形内角和定理的证明 推论1：直角三角形的两锐角互余. 推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形. 推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角. 1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另 一个锐角的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° B 2.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 （ 　　） A．∠A+∠B=∠C B．∠A-∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C D 课堂小测 3.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F 等于 （ ） F A B E C D A.26° B.63° C.37° D.60° A 课堂小测 4.如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是________. 90° 5.如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C， 若∠BOD=38°，则∠A=________. 52° 第4题图 第5题图 6.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个三角形是____________. 直角三角形 课堂小测 A B C D E 1 2 F G 解：∵∠1是△FBE的外角, ∴∠1=∠B+ ∠E, 同理∠2=∠A+∠D. 在△CFG中, ∠C+∠1+∠2=180º, ∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E = 180º. 7.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数. 课堂小测 $