13.2 命题与证明校本练习2025-2026学年沪科版八年级数学上册

13.2 命题与证明（第2课时）校本练习2025-2026学年沪科版八年级数学上册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．在下列命题中，假命题的是（　　） A．平行于同一直线的两条直线平行 B．过一点有无数条直线与已知直线垂直 C．两直线平行，同旁内角互补 D．有两个角互余的三角形是直角三角形 3．小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（   ） A．两条边相等 B．一个角为直角 C．有一个角 D．两条直角边相等 4．如图，在中，是上一点．连接．则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 5．如图，是的平分线，是的外角的平分线，，，则（    ）． A． B． C． D． 6．我们定义：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若，则该等腰三角形的顶角为（    ） A． B． C． D． 7．A、B、C、D、E、F六人赛棋，采用单循环制，现在知道A、B、C、D、E五人已经分别赛过5、4、3、2、1盘， 问这时F已赛过（　　）盘． A．5 B．4 C．3 D．2 8．如图，，F为AB上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．在中，，，则的度数为 ． 10．“直角三角形的两个锐角互余”是 ．（填“公理”或“定理”） 11．如图，已知，，，则的度数是 ． 12．如图，在中，分别为边的中点，已知，若与互余，则图中阴影部分的面积等于 ． 三、解答题 13．证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明． 14．如图，在中，平分，，垂足为，交于点，若，，求的度数． 15．把长方形沿着直线对折，折痕为，对折后的图形的边恰好经过点． （1）若，，求的长； （2）若，求的大小． 16．如图，，，分别平分和． (1)求证：； (2)求证：． 17．如图，直线a∥b，直线AB与直线a，b分别相交于点A、B，AC交直线b于点C． （1）若AC⊥AB，∠1=54°49′．求∠2的度数： （2）请说明∠ABC+∠BCA+∠CAB=180º． 18．是一张三角形的纸片，点D、E分别是边、上的点．将沿折叠，点A落在点的位置． (1)如图①，当点落在四边形的边上时，的大小为________度，与之间的数量关系是________． (2)如图②，当点落在四边形的内部时，直接写出与、之间的数量关系是________． (3)如图③，当点落在四边形的外部时，写出与、之间的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《13.2 命题与证明（第2课时）校本练习2025-2026学年沪科版八年级数学上册》参考答案 1．D 解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 2．B 解：A、平行于同一直线的两条直线平行，正确，是真命题，不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题错误，是假命题，符合题意； C、两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，不符合题意； D、有两个角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题意； 故选：B． 3．C 解：．两边相等，是等腰三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．有一个角是直角的三角形是直角三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．有一个角，可以是顶角的锐角三角形，也可是底角的等腰直角三角形，故不一定是等腰直角三角形，故该选项符合题意； ．两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形 ，适合填入，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．D 解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 即， 故选：D． 5．A 解：因为是中的平分线，且， 所以． 因为是的外角的平分线，且， 同理可得． 在中，是的一个外角， 所以， 即． 将，代入可得：． 在中，是的一个外角， 可得． 已知，， 那么，即． 故选：A． 6．A 解：如图， ∵△ABC中，AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=， ∴∠A：∠B=1：4， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A+4∠A+4∠A=180°， 即9∠A=180°， ∴∠A=20°， 故先：A． 7．C 解1．A赛过5盘，在6人单循环赛中，说明A与其余所有人（B、C、D、E、F）都赛了一盘． 2．E赛过1盘，由第1点可知，E的这一盘对手必然是A．因此，E没有与B、C、D、F比赛． 3．B赛过4盘，已知B与A赛过一盘，且B没有与E比赛，所以B的另外三盘是与C、D、F赛的． 4．D赛过2盘，已知D与A赛过一盘，且D没有与E比赛．由第3点可知，B与D赛过一盘，因此D的2盘对手分别是A和B． 5．C赛过3盘，已知C与A赛过（由第1点），与B赛过（由第3点），且C没有与E、D比赛（由第2、4点），因此C的第三盘对手是F． 综上，F的对手有：A（来自第1点）、B（来自第3点）、C（来自第5点）．所以F一共赛了3盘． 故选：C． 8．B 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， 根据题中的条件无法确定的度数，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 无法确定是否等于，故④错误； 故选：B 9． 解：∵，， ∴， 故答案为：． 10．定理 解：“直角三角形的两个锐角互余”是定理． 故答案为：定理． 11．/120度 解：如图，连接并延长交于点， 根据三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和得：，， ∵，， ∴． 故答案为：． 12．3 解：∵与互余，即， ∴， ∴． ∵点D、E、F分别为边、、的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：阴影部分的面积为3． 故答案为：3 13．见解析 解：已知：如图，， 求证：； 证明：过点作，如图， ∵， ， ， ， 三角形内角和． 14．． 解：∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．（1）2(2) 20° 解（1）∵折叠， ∴=EB=BC-CE=2; (2)∵，AD∥BC ∴ ∴ 故∠DFC=180°-2×55°=70° ∴=90°-∠DFC=20°． 16．(1)见解析 (2)见解析 解（1）证明：∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴，， ∵分别平分和 ∴，， ∵， ∴， ∴． 17．（1）35°11′；（2）见解析. 解：（1）∵直线a∥b， ∴∠3=∠1=54°49′， 又∵AC⊥AB， ∴∠2=90°-∠3=35°11′； （2）∵a∥b， ∴∠4=∠ABC，∠3=∠BCA， 而∠BAC+∠4+∠3=180°， ∴∠ABC+∠BCA+∠BAC=180º. 18．(1)，； (2)，理由见解析； (3)，理由见解析． 解（1）解：如图 由折叠的性质得到：，， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：如图， ，理由如下： 连接， 由折叠的性质得到：， ，， ， 故答案为：； （3）解：如图， ，理由如下： 连接， 由折叠的性质得到：， ，， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.2 命题与证明（第1课时）校本练习2025-2026学年沪科版八年级数学上册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列语句中，属于定义的是（   ） A．两个锐角的和一定大于 B．两直线平行，内错角相等 C．两点之间线段最短 D．直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 2．下列语句中，是命题的是（    ） ①若，，则； ②同位角相等吗？ ③画线段； ④地球围着太阳公转； ⑤直角都相等 A．①④⑤ B．①②④ C．①②⑤ D．②③④⑤ 3．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 4．下列命题是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条直线被第三条直线所截， 内错角相等 D．已知点与点，，均不为，则直线平行于轴． 5．下列命题中，是假命题的是（   ） A．所有的直角都是相等的 B．相等的角是对顶角 C．两直线平行，内错角相等 D．若，则 6．为说明命题“若，则”是假命题，下列反例正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．下列命题中，其逆命题成立的个数是（   ） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ④如果，那么 A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，直角三角形在平面直角坐标系内，点，，的坐标分别为，，，将三角形平移得到三角形，（1）如果与原点重合，则点的坐标为；（2）三角形向左平移了3个单位长度，点与原点重合；（3）点与原点重合时，扫过的面积为20．下列说法正确的是（   ） A．（1）（2）是真命题，（3）是假命题 B．（1）（3）是真命题．（2）是假命题 C．（1）（2）（3）都是真命题 D．（1）（2）（3）都是假命题 二、填空题 9．命题“若，则．”的结论是 ． 10．命题“若两数之积为正数，则这两数为正数”的逆命题是 （填“真”或“假”）命题． 11．在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时，甲说：“这不是命题，因为这句话是错误的．”乙说：“这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，所以它是假命题．”由此可判断 的说法是正确的． 12．“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流，流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如，等下列几个命题：是“回文数”；所有两位数中，有个“回文数”；所有三位数中，有个“回文数”；任意六位数的“回文数”是的倍数，其中，真命题有 （填序号）． 三、解答题 13．判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例． (1)直角都相等； (2)如果，那么，． 14．已知命题：一个锐角和一个钝角一定互为补角． (1)请将上述命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)判断这个命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例． 15．写出下列命题的逆命题： (1)如果，那么； (2)同角的余角相等； (3)如果，那么； (4)等腰三角形的两个底角相等． 16．如图，现有以下三个条件：①，②，③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．    (1)你构造的是哪几个命题？ (2)你构造的命题有真命题吗？若有真命题，请给予证明． 17．若一个四位正整数满足千位上的数字比百位上的数字大2，十位上的数字比个位上的数字大2，千位上的数字与十位上的数字不相等且各个数位上的数字都不为零，则称为“双减数”．将“双减数”的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为．例如：四位正整数，且，是“双减数”，此时． (1)判断“8631”是否是双减数？若是，请求出的值；若不是，请说明理由． (2)命题“对于任意双减数都能被11整除”是真命题还是假命题？说明你的理由． 18．代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《13.2 命题与证明（第1课时）校本练习2025-2026学年沪科版八年级数学上册》参考答案 1．D． 解：A．两个锐角的和一定大于，属于命题，不合题意； B．两直线平行，内错角相等，属于定理，不合题意； C．两点之间线段最短，属于命题，不合题意； D．直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，属于定义，符合题意； 故选D． 2．A 解：①若，，则，是命题，符合题意； ②同位角相等吗？，是疑问句，没有作出判断，不是命题，不符合题意； ③画线段，没有作出判断，不是命题，不符合题意； ④地球围着太阳公转，是命题，符合题意； ⑤直角都相等，是命题，符合题意． 故选：A． 3．D 解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角， ∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角． 故选：D． 4．D 解：A.相等角不一定是对顶角，该选项不正确，不符合题意； B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该选项不正确，不符合题意； C. 两条直线被第三条直线所截， 如果两直线平行，那么内错角相等，该选项不正确，不符合题意； D.该选项正确，例如：“因为点与点的纵坐标相等，均为，且，所以直线平行于轴，符合题意； 故选：D． 5．B 解：A、所有的直角都是相等的，是真命题； B、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； C、两直线平行，内错角相等，是真命题； D、若，则，是真命题； 故选：B． 6．A 解：A.当，时，可得出，是反例，符合题意； B. 当，时，可得出，不符合题意； C. 当，时，可得出，不是反例，不符合题意； D. 当，时，可得出，不符合题意； 故选：A． 7．A 解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，逆命题成立； ②如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是：如果两个角相等，那么两个角是直角，逆命题不成立，例如：，，这两个角不是直角； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是：如果两个实数的平方相等，那么两个实数相等，逆命题不成立，例如：，但； ④如果，那么的逆命题是：如果，那么，逆命题不成立，例如：当时，，但无法判定， 综上所述，逆命题成立的个数是1， 故选：A． 8．B 解：（1）∵，平移后点与原点重合， ∴向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度得到， ∵， ∴．故（1）是真命题． （2）三角形向左平移了3个单位长度，， ∴，不与原点重合．故（2）是假命题． （3）如图，四边形为线段扫过的图形． ∵，，， ∴，， ∴． 过点作轴于点D， ∵点与原点重合时，点的坐标为， ∴， ∴， ∴．故（3）是真命题． 综上，（1）（3）是真命题． 故选：B 9． 解：∵命题“若，则．” ∴该命题的结论是， 故答案为： 10．真 解：“若两数之积为正数，则这两数为正数”的逆命题是：如果两个数都是正数，那么它们的积是正数，是真命题． 故答案为：真． 11．乙 解：乙的说法正确．因为“对顶角不相等”是一个判断语句，所以它是命题，根据对顶角的性质可得到它是假命题． 故答案为：乙． 12． 解：根据定义正读倒读都一样，故是“回文数”；是真命题； 两位数的“回文数”为：，，，，，，，，，合计个；是真命题； 三位数的“回文数”中，百位和个位是的为：，，，，，，，，，，合计个，同理百位和个位是的有个，依次类推，则三位数的“回文数”合计个；是真命题； 设任意六位数的“回文数”十万位，万位，千位，百位，十位，个位上的数字分别为，，，，，，则， 根据定义，，，， ∴， ∴是的倍数；是真命题； 故答案为：． 13．(1)真命题 (2)假命题，反例见解析 解（1）解：∵直角是90度的角， ∴直角都相等，原命题是真命题； （2）解；如果，那么，这是一个假命题， 例如当时，满足，但不满足，故原命题是假命题． 14．(1)如果两个角一个是锐角，一个是钝角 ，那么这两个角互补 (2)假命题，反例为：一个角为，一个角为 解（1）解：如果两个角一个是锐角，一个是钝角 ，那么这两个角互补； （2）该命题是假命题， 反例为：一个角为，一个角为， 满足条件一个锐角和一个钝角，但，因此这两个角不互补． 15．(1)如果，那么 (2)相等的两个角是同一个角的余角 (3)如果，那么 (4)有两个角相等的三角形是等腰三角形 解（1）解：如果，那么的逆命题为：如果，那么； （2）解：同角的余角相等的逆命题为：相等的两个角是同一个角的余角； （3）解：如果，那么的逆命题为：如果，那么； （4）解：等腰三角形的两个底角相等的逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 16．(1)见解析 (2)见解析 解（1）解：可构造三个命题： 命题一：如果，，那么； 命题二：如果，，那么； 命题三：如果，，那么； （2）解：①选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ②选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ③选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ∴综上所述，三个命题都是真命题． 17．(1)是， (2)真命题，理由见解析 解（1）解：， ∴是双减数，此时， （2）解：设千位数字为，十位数字为，则百位数字为，个位数字为，且， ∴双减数， 由题意，， 能被11整除， ∴命题“对于任意双减数都能被11整除”是真命题. 18．(1)， (2)见解析 (3)见解析 解（1）解：证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性）； 故答案为：，； （2）证明：， 不等式两边同加上，得， 不等式两边同时除以2，得； （3）解：真命题， 证明：设这三个自然数分别是，，，其中， ， 能被3整除， 这三个自然数的和能被3整除． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$