12.3 第1课时 一次函数与二元一次方程（组）（PPT课件）-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（沪科版2024）

第12章 函数与一次函数 八年级数学沪科版·上册 12.3 第1课时 一次函数与二元一次方程（组） 授课人：XXXX 1 新课引入 　　今天数学王国搞了个家庭Party，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x+y=5“. 二元一 次方程 一次函数 x+y=5 到我这里来 到我这里来 这是怎么回事？ x+y=5应该坐在哪里呢？ 新知探究 合作探究 问题1. 方程x+y=5的解有多少个?写出其中的几个. 无数个 问题2. 等式x+y=5还可以看成一个一次函数，把它 变成y=kx+b的形式是_____________. y=-x+5 问题3. 画出y=－x+5 的图象 · · 5 5 x 0 y=-x+5 0 y=-x+5 追问①：以方程x+y=5的解为坐标的点都在一次函数y= -x+5的图象上吗？ 都在 新知探究 · · y=-x+5 追问②：在一次函数y=-x+5的图象上任取一点，点的坐标适合方程x+y=5吗？ 都适合 追问③：以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=-x+5的图象相同吗？ 相同 在一次函数 y=5－x的图象上 方程 x+y=5的解 从形到数 从数到形 新知探究 二元一次方程的解 一次函数图象上点的坐标 一一对应 二元一次方程与一次函数的关系 新知探究 例1:下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解的是(　　) 解析：观察直线与坐标轴的交点与二元一次方程的相应数值对应情况即可找到答案．对于二元一次方程x－2y＝2，当x＝0时，y＝－1；当y＝0时，x＝2，故直线与两坐标轴的交点应该是(0，－1)，(2，0)． C 新知探究 直线与x轴的交点的横坐标即是二元一次方程中当y＝0时x的值；直线与y轴的交点的纵坐标即是二元一次方程中当x＝0时y的值，注意数形结合． 新知探究 1.方程 x – y = 1 有一个解是 ，则一次函数 y = x – 1 的图象上必有一个点的坐标为 . 2.一次函数 y = 2x – 4 的图象上有一个点的坐标为(3,2) ， 则方程 2x – y = 4 必有一个解是________. (2,1) 新知探究 解方程组 请在同一直角坐标系内分别画出函数y=-x+5与y=2x-1的图象，找出它们的交点坐标，并比较与上述方程的解有什么联系． 解：利用消元法，解方程组得 新知探究 y x 0 4 1 2 3 5 思考：方程组的解和这两个函数图象的交点坐标有什么关系？ (2,3) 解： x … 0 5 … y=-x+5 … 5 0 … x … 0 0.5 … y=2x-1 … -1 0 … 新知探究 解方程组相当于考虑自变量为何值时,两个函数的值相等,以及这个函数值是何值． 数 二元一次方程 组的解 两个一次函数所在直线的交点坐标 对应 形 确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点的坐标. 新知探究 例2：用图象法解方程组 x y -2 2 -1 0 1 3 解：由 可得 由 可得 所以原方程组的解是 得l1，l2的交点为P（2，2）. 注意： 1.步骤与格式 2.这种解法得到的解一定精确吗？ x … -2 0 … y … 0 1 … x … 0 1 … y … -2 0 … 在同一直角坐标系中作出图象 列表： 描点、连线： -1 -2 1 2 3 新知探究 1 .若二元一次方程组 的解为 ，则函数y=5-x与 y=-2x+8 的图象的交点坐标为 　 　 . 2.一次函数y=5-x与y=-2x+8的图象的交点坐标为(3,2)则方程组 　　 的解为　　　　　. （3，2） 新知探究 思考：已知方程组的图象，你能利用图象法说出下面两个方程组的解吗？ ① ② ① ② 新知探究 y 1 2 3 4 -4 o 4 3 2 1 -1 -2 -3 x -1 -2 利用图象法解方程组 5x-2y=4， 10x-4y=8. 解： 对于方程①，有 过(0, -2)和(2, 3)画出表示方程①的直线. 同样，(0, -2)和(2, 3)也在表示方程②的 直线上. 所以方程①、 ②的图象都是通过(0, -2)和(2, 3)两点的直线l，就是说，这两条直线重合，显然，直线l上每一个点的坐标都是原方程组的解，所以原方程组有无穷多组解. l：5x-2y=4 (10x-4y=8) 0 2 -2 3 ① ② 新知探究 利用图象法解方程组 3x+2y=-2， 6x+4y=4. 方程组的两个方程的图象有怎样的位置关系？方程组的情况怎样？ 解：作出两个方程的图象. 1 2 3 4 5 6 7 o 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 x -1 -2 -3 -4 -5 8 3x+2y = -2 6x+4y = 4 如图，两条直线平行，所以方程组无解. y 新知探究 二元一次方程组的解的情况有三种： 归纳总结 （1）图象相交时，原方程组有唯一组解； （2）图象重合时，原方程组有无穷多组解； （3）图象平行时，原方程组无解. 新知探究 我们知道二元一次方程组的解的情况有三种.那么对于 ，当x、y的系数及常数项满足什么关系时，原方程组有唯一组解、有无穷多组解、无解？ 当 a1：a2 ≠b1：b2 时 ，两直线相交，故方程组有唯一组解； 当 a1：a2 =b1：b2 =c1 :c2时，两直线重合，故方程组有无穷多组解； 3.当a1：a2 =b1：b2 ≠c1 :c2时，两直线平行，故方程组无解. 新知探究 课堂小结 二元一次方程与一次函数 二元一次方程的解与一次函数图象的关系 二元一次方程组与对应两条相交直线的关系 二元一次方程组与对应两条平行线的关系 课堂小测 2.若二元一次方程组 的解为 , 则函数 与 的图象的交点坐标 为 . 1.一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3), 则方程组 的解为 . （2，2） 3．如图，两条直线的交点坐标可以看作哪个方程组的解？ 解： 　３ -１ 2 -3 x y O 课堂小测 4.若方程组 ① ② 中两个二元一次方程的 图象如图所示，则此方程组的解是多少？ 解：此方程组的解是 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -3 -4 -5 2 O -2 1 4 -6 x y 课堂小测 O y x 5. 如图，求直线l1与l2 的交点坐标. 分析：由函数图象可以求直线l1与l2的解析式，进而通过方程组求出交点坐标. 解方程组 y =2x+2, y =-x+3 解：因为直线l1过点(-1，0)， (0，2) ，用待定系数法可求得 直线l1的解析式为y =2x+2.同理 可求得直线l2的解析式为y =-x+3. 得 x= y= 即直线l1与l2 的交点坐标 为 . 课堂小测 $