第1章 问题解决策略：反思（PPT课件）-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（北师大版2024）

该初中数学课件聚焦几何体表面最短路径问题，以棱柱（长方体）为基础模型，通过新知探究归纳“展开—定位—构直角—用勾股”解题步骤，衔接巩固练习（正方体爬行）、课堂小结（方法反思）及课堂小测（台阶、牛奶盒展开），构建递进式学习支架。 其亮点在于融入几何直观（数学眼光）、逻辑推理（数学思维）与模型应用（数学语言），如台阶展开转化平面用勾股定理计算，牛奶盒多方案展开比较最短路径。采用问题驱动+分层练习的教学方法，反思式小结强化认知，助力学生提升空间观念与解题能力，便于教师高效开展教学。

第一章 勾股定理 八年级数学北师版·上册 ☆问题解决策略：反思 授课人：XXXX 1 新知探究 如图，一个圆柱的高为12 cm，底面圆的周长为18 cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少? 蚂蚁怎么走最近? A B 方案(1) 方案(2) 方案(3) 方案(4) 蚂蚁A→B的路线 B A A′ d A B A′ A B B A O 新知探究 A B A′ B A A′ r O h 怎样计算AB？ 在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得， 侧面展开图 其中AA′是圆柱体的高,A′B是底面圆周长的一半. 新知探究 若已知圆柱体高为12cm，底面圆的周长为18cm，则: 新知探究 9 B A' B A 12 侧面展开图 12 A' A 18 所以AB=15. 新知探究 回顾反思 (1)在拟订解决问题的方案和实施方案的过程中，你获得了哪些经验? 解：先类比以前研究过的最短路线问题，比较这些问题之间的不同点，然后根据不同点将现在研究的问题转化为之前研究过的问题(即将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题)，然后借助两点之间线段最短及勾股定理，进而解决问题. (2)这个问题中，影响结果的量有哪些?如果改变有关的量，你还能求解吗?例如，改变圆柱的形状，改变A，B两点的位置，改为沿着圆柱表面爬行……这时又会有哪些新的问题? 解：影响结果的量有点B的位置、蚂蚁的爬行方式等. 点B的位置不同，蚂蚁的爬行路线方式也会不同， 新知探究 (3)解决这个问题的经验，还可以运用到哪些问题中?例如，能否解决正方体、长方体等几何体表面两点之间的最短距离问题? 解：还可以解决蚂蚁在圆柱侧面上、楼梯表面上、正方体表面上、长方体表面上等两点之间的爬行路线最短问题. 新知探究 新知探究 归纳： 几何体侧面或表面最短路径问题的基本模型 圆柱 新知探究 归纳： 几何体侧面或表面最短路径问题的基本模型 台阶 新知探究 归纳： 几何体侧面或表面最短路径问题的基本模型 棱柱 (以长方体为例) 新知探究 归纳： 几何体侧面或表面最短路径问题的基本模型 解题步骤： 将立体图形展开成平面图形→确定相关点位置→ 构造直角三角形→根据勾股定理求解. 巩固练习 如图，有一个正方体形状的桌子，正方形ABCD是它朝上的桌面，点A,B,C,D是正方形的四个顶点，桌高是h cm. (1)有一只蚂蚁要从正方形桌面ABCD的A点爬行到C点，请画出蚂蚁爬行的最短路线，并说明理由 ； 两点之间线段最短 解：如图所示. 巩固练习 (2)有另一只蚂蚁要从桌子脚的P点（图中正方体的一个顶点）沿着正方体桌子的外表面爬行到C点，怎样爬行路线最短？请画出最短路线示意图.（画出一种即可） 解：如图，PC即为所求最短路线.（答案不唯一） 课堂小结 反思： 求立体图形的表面上两点间的最短路径问题时，一般要把立体图形展开成合适的平面图形，然后连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线，进而借助勾股定理等进行求解. 课堂小测 1. 如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 55cm、10cm、6cm，点A和点B是这个台阶的两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少? 课堂小测 解：如图所示，将这个台阶展成一个平面图形，则蚂蚁爬行的最短路程就是线段AB的长. 在Rt△ABC中，BC=55 cm， AC=（10+6）×3=48（cm）. 由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=482+552=5 329. 所以AB=73 cm. 因此，蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是73 cm. 课堂小测 2. 如图所示，是一个长方体形状的牛奶盒，将一只蚂蚁放在点A处，并在点B处滴一滴蜂蜜，请求出蚂蚁找到蜂蜜的最短路线。 课堂小测 解：由题意可知有三种展开方法，如图. 由勾股定理得 AB12=102+（6+8）2=296, AB22=82+（10+6）2=320, AB32=62+（10+8）2=360, 所以AB1<AB2<AB3, 所以蚂蚁找到蜂蜜的最短路线为AB1. $