专题03 勾股定理与最短路径问题（4大模型）（期中专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题03勾股定理与最短路径问题 题型归纳·内容导航 题型一 圆柱中的最短路径模型 题型三阶梯中的最短路径模型 题型二长方体中的最短路径模型 题型四将军饮马与最短路径模型 题型通关·靶向提分 题型一圆柱中的最短路径模型（共5小题） 【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下： 圆柱 计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定 理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周 长的一半进行计算 注意：(1)运用勾股定理计算最短路径时，按照展开一定点一连线一勾股定理的步骤进行计算； (2)缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数 【最值原理】两点之间线段最短 1.(24-25八年级下·浙江台州·期中)如图，有一个圆柱，它的高为12cm,底面圆的周长为10cm,在圆柱 下底面的点A处有一只蚂蚁，求它从点A出发沿圆柱表面爬行到上底面与点A相对的点B处的最短路径 是 侧面 展开 2. (24-25八年级下·湖南郴州·期中)如图，半径为1，高为3的圆柱体，一只甲壳虫从点A到点B,则甲 壳虫的最短路程为 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(24-25八年级上·甘肃张掖期中)临汾是帝尧之都，有着尧都之称.尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天 吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志.如图，在底面周长约为6米 且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A 到点C,B为AC的中点)，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少 为 4.（24-25八年级上·福建三明期中)如图，为了庆祝“五·一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带， 已知柱子的底面周长为1m,高为3m.如果要求彩带从柱子底端的A处均匀地绕柱子4圈后到达柱子顶端的 B处（线段AB与地面垂直），那么应购买彩带的长度为 5.(24-25八年级上广东茂名期中)动手操作： (I)如图1，把矩形AA'B'B卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点重合，点B与点重合； B B (1) 探究与发现： (2)如图2，若圆柱的底面周长是30cm,高是40cm,从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作 2/10 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 装饰，则这条丝线的最小长度是多少？ B (2) (3)如图3，在(2)的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？ B (3) 题型二长方体中的最短路径模型（共5小题） 【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下： 丙 长方体 计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理 进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论 注意：1)长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论； 2)两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同. 【最值原理】两点之间线段最短 6.(24-25九年级下湖北十堰期中)如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长 方体表面到点B处吃食物，那么它爬行的最短路程是一· 3/10 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 7.(24-25八年级下·全国·期中)如图，是一个长方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着长方体的外表 面到达B处吃食物，则蚂蚁爬行的最短距离是 B 8cm 6cm 10cm 8.(24-25八年级下江西上饶期中)如图，长方体的长为15厘米，宽为10厘米，高为20厘米，点B到点 C的距离是5厘米，自A至B在长方体表面的连线距离最短是多少？ B 5 C 20 15 10 9.(23-24七年级上山东威海期中)一只蚂蚁在立方体的表面积爬行. 图1 图2 (1)如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B,怎样爬行路线最短？说出你的理由 (2)如图1，如果妈蚊要从边长为1cm的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C,那么爬行的最短距离d的 长度应是下面选项中的 (A)1cm (B)2cm (C)3cm (D)1cm <d<3cm 这样的最短路径有一条。 (3)如果将正方体换成长AD=3cm,宽DF=3cm,高AB=1cm的长方体（如图2所示)，蚂蚁仍需从顶点A 沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图来说明） 10.(24-25八年级上广东梅州期中)如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上， 4/10 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 过点A,C嵌有一圈长度最短的金属丝. 图① 图② (1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是 八☑ (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A,则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱（如图3，AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm). 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动，请你为蜘蛛设计一种捕虫 方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫.（木板的厚度忽略不计） H G E 图3 题型三阶梯中的最短路径模型（共6小题） 【模型解读】阶梯中最短路径基本模型如下： 阶梯问题 注意：展开一定点一连线一勾股定理 【最值原理】两点之间线段最短 11.(24-25八年级上·河南焦作.期中)如图，三级台阶每一级的长宽高分别是5cm,3cm和1cm,A和B是 这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B 的最短路程长为 cm 5/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5 B 12.(24-25八年级上河南郑州·期中)在一个长6+2√2米，宽为5米的长方形草地上，如图堆放着一根三 棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块从正面看到的高是√2米的等腰直角三角形，一只昆 虫从点A处到C处需要走的最短路程是米. D B 13.(24-25八年级上·河南郑州，期中)如图，正方形地砖ABCD,边长为30cm,中间竖有一根宽为4cm的 木条，木条高MN为5cm·一只蚂蚁从点A爬到点C,它必须翻过中间的木条，则它至少要走」 cm M 14.(25-26八年级上全国·期中)如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方 体去掉一个“半圆柱"而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为18m的半圆，其边缘AB=CD=30m,点E在 CD上，CE=6m,一位滑板爱好者从点A出发滑到点E,则他滑行的最短距离为 m. E 15.(24-25八年级上山西运城期中)问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm,宽为50cm的长方 形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽AD,木块从正面看是一 个边长为20cm的等边三角形.求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程. 图① 图② 6/10 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”.请在图②中用虚线补全木块的侧面展 开图，并用实线连接AC (2)线段AC的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是一 (3)问题解决：如图②，展开图中AB=一，BC= (4)这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是一· 16.(23-24八年级下山东聊城期中)【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2， A和B是一个台阶两个相对的端点， 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的 最短路程是多少？ (1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20.宽为15 的长方形，连接AB,经过计算得到AB长度为 就是最短路程 【变式探究】 (2)如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30cm,高是8cm,若蚂蚁从点A出发沿着玻 璃杯的侧面到点B,则蚂蚁爬行的最短距离为 20 图① 图② 图③ 图④ 【拓展应用】 (3)如图④，圆柱形玻璃杯的高9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴峰蜜，此 时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行 的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 题型四将军饮马与最短路径模型（共4小题） 【模型解读】将军饮马与最短路径基本模型如下： 7/10 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 蚂蚊 B蜂蜜 将军饮马问题 解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定 理求解 【最值原理】两点之间线段最短 17.(24-25七年级下·黑龙江大庆·期中)如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计)的高为12cm ，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4cm的 点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15cm,则该圆柱底面周长为 cm. B 18.(24-25八年级下.福建南平.期中)如图，圆柱形玻璃容器的高为15cm,底面周长为40cm,在外侧距 下底3cm的点S处有一壁虎，与壁虎相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处3cm的点F处有一蚊子，急于 捕获蚊子充饥的壁虎，所走的最短路线的长度为_ B D D 19. (24-25八年级下·广西贵港·期中)如图，一个圆柱形玻璃杯的高为10cm,底面周长为10cm,在杯内 壁底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2c与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚊从 外壁A处到内壁B处的爬行最短路线的长为Cm.(杯壁厚度不计) 蚂蚁A B蜂蜜 8/10 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 20.(24-25八年级上·广东佛山·期中)综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为5、3、1， A和B是一个台阶两个相对的端点. 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的 最短路程是多少？ 3 B 图① (1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接AB,经过计算得到 AB长度即为最短路程，则AB=;(直接写出答案) 图② 【变式探究】 (2)如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点A出发沿 着玻璃杯的侧面到点B,求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 图③ 【拓展应用】 (3)如图④，若圆柱体玻璃杯的高10厘米，底面周长为24厘米，在杯内壁离杯底2厘米的点A处有一滴峰 9/10 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 蜜.此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿1厘米，且与蜂蜜相对的点B处，则妈蚁从外壁B处到内壁A处 所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） B 图④ 10/10 专题03 勾股定理与最短路径问题 题型一 圆柱中的最短路径模型 题型三 阶梯中的最短路径模型 题型二 长方体中的最短路径模型 题型四 将军饮马与最短路径模型 题型一 圆柱中的最短路径模型（共5小题） 【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下： 计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算. 注意：（1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； （2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数. 【最值原理】两点之间线段最短. 1．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，求它从点A出发沿圆柱表面爬行到上底面与点A相对的点B处的最短路径是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是解题关键． 根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图： 由题意得：， 由勾股定理有 故蚂蚁爬行的最短路程是， 故答案为： 2．（24-25八年级下·湖南郴州·期中）如图，半径为1，高为3的圆柱体，一只甲壳虫从点到点，则甲壳虫的最短路程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先求出这个圆柱的侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面周长为，宽等于圆柱的高3，再画出图形，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：这个圆柱的侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面周长、宽等于圆柱的高3， 如图，由题意得：，，， 则甲壳虫的最短路程为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用——最短距离问题，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形． 根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形， 如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， ∵底面周长约为6米，柱身高约16米， ∴，， 在中 ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 故答案为：20． 4．（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，为了庆祝“五•一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为，高为．如果要求彩带从柱子底端的处均匀地绕柱子圈后到达柱子顶端的处（线段与地面垂直），那么应购买彩带的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查立体图形展开图的认识，勾股定理的运用，掌握以上知识是解题的关键． 将圆柱表面切开展开呈长方形，则有螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长， 【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形， 则有螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长， ∵圆柱高米，底面周长米， ∴彩带长， ∴应购买彩带的长度为． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·广东茂名·期中）动手操作： （1）如图1，把矩形卷成以AB为高的圆柱形，则点A与点______重合，点B与点______重合； 探究与发现： （2）如图2，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是多少？ （3）如图3，在（2）的条件下，若用丝线从该圆柱的底部A缠绕4圈直到顶部B处，则至少需要多少丝线？ 【答案】（1），（2）（3）． 【分析】（1）根据对称性即可推出答案； （2）最短距离可以转化为两条直角边分别为，的直角三角形的斜边即可； （3）用丝线从该圆柱的底部缠绕4圈直到顶部处时，剖面图即为为的，求出即可． 本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，几何体的平面展开图，本题重点理解几何体平面展开图的对应点关系以及熟练解直角三角形的综合应用是解题关键． 【详解】解：（1）把矩形卷成以为高的圆柱形，则点与点重合，点与点重合， 故答案为：，； （2）如图所示，连接， 这条丝线的最小长度即为的长， 由勾股定理得：， 即这条丝线的最小长度是； （3）若用丝线从该圆柱的底部缠绕4圈直到顶部处，如图所示： 在中，，， ， 则． 答：至少需要的丝线． 题型二 长方体中的最短路径模型（共5小题） 【模型解读】长方体中最短路径基本模型如下： 计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论. 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同. 【最值原理】两点之间线段最短. 6．（24-25九年级下·湖北十堰·期中）如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行的最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，勾股定理，分三种情况，展开图形，结合勾股定理计算并比较，即可得解． 【详解】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是6和3， 则所走的最短路线是； 第二种情况：把我们所看的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是5和4， 则所走的最短路线是； 第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是7和2， 则所走的最短路线是； ∵， ∴它爬行的最短路程是， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·全国·期中）如图，是一个长方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着长方体的外表面到达B处吃食物，则蚂蚁爬行的最短距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，最短路径，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别把几何体展开，作图，根据勾股定理进行列式运算，再比较大小，即可作答． 【详解】解：第一种情况：把我们所看到的左面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是和， 则所走的最短线段是 第二种情况：把我们看到的前面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是和， 所以走的最短线段是 第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是和 ∴走的最短线段是 ∵ ∴它需要爬行的最短路径是 故答案为： 8．（24-25八年级下·江西上饶·期中）如图，长方体的长为厘米，宽为厘米，高为厘米，点到点的距离是厘米，自至在长方体表面的连线距离最短是多少？ 【答案】 【分析】此题主要考查平面展开图的最短距离，注意长方体展开图的不同情况，正确利用勾股定理解决问题．求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第个图： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第个图： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第个图： 长方体的宽为，高为，点离点的距离是， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ， 自至在长方体表面的连线距离最短是． 9．（23-24七年级上·山东威海·期中）一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． (1)如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由． (2)如图1，如果蚂蚁要从边长为的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的 　　 （A）（B） （C） （D） 这样的最短路径有 　　条． (3)如果将正方体换成长，宽，高的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图来说明） 【答案】(1)沿线段爬行；理由见解答过程 (2)D；6 (3)蚂蚁爬行的最短路线是沿面和面展开后所连接的线段；理由见解答过程 【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． （1）根据线段的性质：两点之间线段最短，求出即可； （2）根据图形可得出最短路径为，进而得出答案即可； （3）将立方体采用两种不同的展开方式得出最短路径即可． 【详解】（1）解：沿线段爬行；理由如下： 如图所示，根据两点之间线段最短，沿线段爬行即可； （2）解：如图所示： 最短路径的长度为， ，即， 如图所示： ∴路线有6条， 故选：D；6； （3）解：蚂蚁爬行的最短路线是沿面和面展开后所连接的线段；理由如下： 如图2.1和图2.2所示作图，分别连接， 图2.1中； 图2.2中； ， 图2.2中的路径最短． 10．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． A．     B．     C．     D． (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计） 【答案】(1)A (2) (3)最短为，方案见解析 【分析】题目主要考查勾股定理及最短距离问题，理解题意，作出相应图形是解题关键． （1）结合图形即可得出结果； （2）根据题意得所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长，即可求解； （3）分三种情况，作出相应图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图只有选项A符合题意， 故选：A； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长为：， ∴最短长度是； （3）①把展开，如图此时总路程为， ②把展开，如图 此时的总路程为； ③如图所示，把展开， 此时的总路程为， 由于，所以第三种方案路程更短，最短路程为． 题型三 阶梯中的最短路径模型（共6小题） 【模型解读】阶梯中最短路径基本模型如下： 注意：展开—定点—连线—勾股定理 【最值原理】两点之间线段最短. 11．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键． 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得，， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是； 故答案为： 12．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在一个长米，宽为5米的长方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块从正面看到的高是米的等腰直角三角形，一只昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是 米． 【答案】 【分析】根据几何体的展开图，利用两点之间线段最短计算．本题考查了几何体的展开图中计算最短距离，熟练掌握几何展开图是解题的关键． 【详解】解：∵木块的主视图的高是米的等腰直角三角形， ∴等腰直角三角形的腰为2，斜边长为， 将木块展开如下， ∴（米），， ∴（米）， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，正方形地砖，边长为，中间竖有一根宽为的木条，木条高为．一只蚂蚁从点A爬到点C，它必须翻过中间的木条，则它至少要走 cm． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开最短路线问题，勾股定理，根据题意画出展开图形是解题关键．把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，连接，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：将图展开如下图， 则得到的新长方形的长增加了， ， 连接， ， 即一只蚂蚁从点A爬到点C的最短路程为的长，为， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·全国·期中）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘，点在上，．一位滑板爱好者从点出发滑到点，则他滑行的最短距离为 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用—最短路径问题．通过将U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理求最短路径是解题的关键．将半圆面展开，连接．则是最短距离，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】将半圆面展开如答图所示，连接． 根据题意，得，． 在Rt中，由勾股定理，得， 所以他滑行的最短距离为． 故答案为：30． 15．（24-25八年级上·山西运城·期中）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm，宽为50cm的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形．求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程． (1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接． (2)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是_____． (3)问题解决：如图②，展开图中_____，_____． (4)这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是_____． 【答案】(1)见解析； (2)两点之间线段最短； (3)120cm，50cm； (4)130cm 【分析】（1）根据题意画出三角锥木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接即可； （2）根据题（1）即可求解； （3）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和两个三角形边长之和，展开图中等于长方形地毛毯的宽； （4）根据勾股定理计算的长即可求解． 【详解】（1）如图所示即为所求： （2）线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； （3）根据题意可得：展开图中的cm，cm． 故答案为：120cm，50cm； （4）由题（1）可得：在Rt中， 由勾股定理可得：cm， 故答案为：130cm． 【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短． 16．（23-24八年级下·山东聊城·期中）【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20．宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________．- 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 题型四 将军饮马与最短路径模型（共4小题） 【模型解读】将军饮马与最短路径基本模型如下： 解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决. 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解. 【最值原理】两点之间线段最短. 17．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为 ． 【答案】18 【分析】题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理的意义，将容器的侧面展开，建立点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度为爬行最短距离，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：将圆柱的侧面展开，为上底面圆周长的一半，作点A关于的对称点，连接交于点F，则蚂蚁吃到蜂蜜需要爬行的最短路径为， 如图，过点作交的延长线于点D， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴圆柱底面周长为； 故答案为：18． 18．（24-25八年级下·福建南平·期中）如图，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一壁虎，与壁虎相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一蚊子，急于捕获蚊子充饥的壁虎，所走的最短路线的长度为 ． 【答案】25 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算． 如图所示，作点F关于的对称点，连接，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度的长度，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：把圆柱侧面展开成一个矩形，如图所示，作点F关于的对称点，连接，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度的长度， 过S作于E，由题意得， 在中， ∵， ∴． 故答案为：25． 19．（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，一个圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线的长为 ．（杯壁厚度不计） 【答案】13 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开，轴对称距离最短，勾股定理．将杯子侧面展开，作点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即最短，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于的对称点， ∴为矩形， 根据题意得，，， ∴， 连接，则即为最短距离， ． 故答案为：13． 20．（24-25八年级上·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是厘米；（3）蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由题意得：，， ， 故答案为：； （2）将圆柱体侧面展开，如下图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：，， ， 底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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