精品解析：四川省自贡市蜀光绿盛实验学校2025-2026学年八年级上学期9月月考数学试题

2025年秋季学期第一学月学情检测 八年级数学试题 一、选择题（本题有8个小题，每小题3分，满分24分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 给出下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 6，7，15 C. 3，4，5 D. 5，5，11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边的差小于第三边是解题的关键． 根据三角形三边关系：可用较小的两边之和大于第三边，求解即可． 【详解】A．，不能组成三角形，故该选项不符合题意； B．，不能组成三角形，故该选项不符合题意； C．，能组成三角形，故该选项符合题意； D．，不能组成三角形，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　） A. ∠A﹣∠B＝∠C B. ∠A＝9°，∠B＝81° C. ∠A＝2∠B＝3∠C D. ∠A：∠B：∠C＝3：4：7 【答案】C 【解析】 【分析】依据三角形内角和定理，求得三角形的最大角是否等于90°，进而得出结论． 【详解】A、∵∠A−∠B＝∠C， ∴∠A＝∠B＋∠C＝90°， ∴该三角形是直角三角形； B、∵∠A＝9°，∠B＝81°， ∴∠C＝90°， ∴该三角形是直角三角形； C、∵∠A＝2∠B＝3∠C， ∴∠A＝180°×＞90°， ∴该三角形是钝角三角形； D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：7， ∴∠C＝180°×＝90°， ∴该三角形是直角三角形； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理．解题的关键是灵活利用三角形内角和定理进行计算． 3. 如图，a，b，c分别表示的三边长，则下列三角形与一定全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键，利用全等三角形的判定定理逐一判断即可得到答案． 【详解】解：， A．与有两边相等，但夹角不相等，二者不全等； B．与有一边一角相等，而其它角和边不一定相等，二者不一定全等； C．与有两边及其夹角相等，二者全等； D．与有两边相等，但夹角不相等，二者不全等， 故选：C． 4. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 【答案】D 【解析】 【详解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意． 故选D． 5. 已知是的高，，，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的高以及角的和差计算，熟练掌握三角形高的位置情况是解题的关键．分两种情况讨论，即高在内部和外部，分别计算的度数． 【详解】解：情况一：当高在内部时， ∵，， ∴． 情况二：当高在外部时， ∵，， ∴． 综上，的度数为或， 故选：C． 6. 如图，在中，已知分别为的中点，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，由点是 的中点， 可得，进而由点是的中点，得到，，即得到，最后根据点是边上的中点， 可得，即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵点是 的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， ∵， ∴， 故选：． 7. 如图，中，，利用尺规在 ，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若， 为 上一动点，则的最小值为（ ） A. 无法确定 B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】当GP⊥AB时，GP的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，再根据角平分线的性质可知，当GP⊥AB时，GP=CG=1． 【详解】解：由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小， 根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线， ∵∠C=90°， ∴当GP⊥AB时，GP=CG=1， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图以及角平分线的性质，难度不大，解题的关键是根据题意得到GB是∠ABC的角平分线，并熟悉角平分线的性质定理． 8. 如图，在中，，的平分线， 交于点P．下列结论： ①平分； ②； ③若于点M，于点N，则； ④． 其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理和三角形外角性质．熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理和三角形外角性质是解题的关键． 根据角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理和三角形外角性质对每个结论逐一进行分析即可． 【详解】解： 过点 作于点，于点，于点， 平分，，， ， 平分，，， ， ， ，，， 平分， 故结论①正确； 是由 ，平分、得到的， 实际关系为， 显然（例如取特殊角验证，若，则，和为而非）， 故结论②错误； 若于，于点， 则， 由，，且， ， ， 由，，且， ， ， ， 故结论③正确； 是的外角， ， 平分，平分， ． 又是的外角， ， 联立得， ， 故结论④正确； 综上所述，结论①③④正确， 故选B． 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共计18分） 9. 已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长等于________． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三边关系，分类讨论，再结合三角形三边关系，最后得出周长，即可作答． 【详解】解：∵等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9， ∴当腰长为4，底边长为9时，则，不符合三角形三边关系，故舍去； ∴当腰长为9，底边长为4时，则，符合三角形三边关系， ∴周长是． 故答案为：22． 10. 如图，已知,要使，需添加的一个条件是__________． 【答案】AB=DE或∠ACB=∠DCE 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理即可得到. 【详解】解：要使 可以利用SAS或SSS 所以需添加AB=DE或∠ACB=∠DCE 故答案为：AB=DE或∠ACB=∠DCE 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定定理，熟记概念是解题的关键. 11. 一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，点在延长线上，，，，，则______． 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．先根据直角三角形的性质求出和的度数，再利用平行线的性质得到的度数，最后根据三角形外角的性质求出的度数． 【详解】解：∵在中，，， ∴． ∵在中，，， ∴． ∵， ∴． 又∵是的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则______． 【答案】180°##180度 【解析】 【分析】利用三角形全等，等量代换后计算即可． 【详解】解：由题意得：，，， 所以△ABC≌△EDC（SAS）， ， 所以． 故答案为：180°． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，两个角的和，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 13. 如图，，垂足为，，垂足为，且与相交于点，若，，，则 的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积的计算，利用解答即可求出，熟练掌握用面积法求线段的长是解题的关键． 【详解】解：∵，垂足为，，垂足为， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，，垂足为点，米，米，射线，垂足为点，一动点从点出发以米秒沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过______时，由点、、组成的三角形与全等． 【答案】，，， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的存在性问题． 分别寻找E在不同线段上，的情况，求解即可． 【详解】解：①当在线段 上，时，≌， ， ， ， 点的运动时间为秒； ②当在上，时， ， 点的运动时间为秒； ③当在线段 上，时，≌， 这时在点未动，因此时间为秒； ④当在上，时，≌， ， 点的运动时间为秒， 故答案为：，，，． 三、解答题（本题有5个小题，每小题5分，共计25分） 15. 如图，已知中，，，． （1）画出的高和； （2）画出的中线； （3）计算的值是_________． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 （3） 【解析】 【分析】（）根据三角形高的作法进行作图即可； （）取 中点，连接即可； （）根据面积的等积法进行求解即可； 本题考查了三角形的高和中线，三角形的面积，掌握三角形高和中线的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，线段即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，线段即为所求； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，是 边上的中线，的周长比的周长多，与的和为，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义以及二元一次方程组的应用，熟练掌握三角形中线的定义，根据周长差得出 与 的数量关系是解题的关键．利用中线的定义得出 ，再根据两个三角形周长的差得出 ，结合 ，通过解方程组求出 的长． 【详解】解：∵ 是 边上的中线， ∴ ． ∵ 的周长比 的周长多 ， ∴ ， ∴ ． 又∵ ， 联立可得方程组 ， 两式相加，得 ， ∴ ． 17. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O．，，求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了与角平分线的三角形内角和问题，三角形的高，属基础题目． 因为是高，所以，又因为，所以度数可求；因为，，所以，，是的角平分线，则，故的度数可求． 【详解】解：， ， 又，分别是，的平分线， ，， ， 是的角平分线， ， ． 18. 如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D． 【答案】 证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE． 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE， ∴∠A＝∠D． 【解析】 【分析】由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质． 19. 如图，已知 AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果 AD＝AF，AC＝AE． 求证：BC＝BE． 【答案】见解析 【解析】 【分析】证明Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）,Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）即可解题. 【详解】∵AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且 AD＝AF，AC＝AE， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）． ∴CD＝EF． ∵AD＝AF，AB＝AB， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）． ∴BD＝BF． ∴BD﹣CD＝BF-EF． 即 BC＝BE． 【点睛】本题考查了直角三角形的全等判定,属于简单题,用HL的特殊方法证明三角形全等是解题关键. 四、解答题（本题有3个小题，每小题6分，共计18分） 20. 如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF． （1）求证：∠D＝∠2； （2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）78°． 【解析】 【分析】（1）由“SAS”可证△BEF≌△CDA，可得∠D＝∠2； （2）由（1）可得∠D＝∠2＝78°，由平行线的性质可得∠2＝∠BAC＝78°． 【详解】证明：（1）在△BEF和△CDA中， ， ∴△BEF≌△CDA（SAS）， ∴∠D＝∠2； （2）∵∠D＝∠2，∠D＝78°， ∴∠D＝∠2＝78°， ∵EF∥AC， ∴∠2＝∠BAC＝78°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质．证明△BEF≌△CDA是解题的关键 21. 如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，根据条件可以得出，利用得出，得出，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 22. 已知，如图，∠C＝∠D＝90°，E是CD的中点，AE平分∠DAB．求证：BE平分∠ABC． 【答案】见解析. 【解析】 【分析】根据题意，先过E点作EF⊥AB于点F，然后根据角平分线的性质及判定定理进行解答即可. 【详解】过E点作EF⊥AB于点F， ∵∠D＝∠AFE＝90°，AE平分∠DAB ∴DE=EF ∵E是CD的中点 ∴DE＝EC ∴EF＝EC ∵EF⊥AB，∠C＝90° ∴BE平分∠ABC． 【点睛】本题主要考查了有关角平分线的辅助线画法，以及角平分线的性质及判定的证明，熟练掌握有关角平分线的性质及判定的证明方法是解决本题的关键，这类题目是考试的重点，要理解性掌握. 五、解答下列各题（本题共有2个小题，第23题7分，第24题8分，共计15分） 23. 在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法． （1）如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． （2）如图，，，，，为 中点，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（等）是解题的关键． （1）要说明，根据中线定义得到，再结合已知以及对顶角相等，利用判定全等． （2）通过倍长中线法，延长到使，先证，得到相关角和边相等，再结合已知条件证明，从而得出． 【小问1详解】 解： 是中线， ． 在和中， ， ． 【小问2详解】 解：延长到，使，连接． 为 中点， ． 在和中， ， ． ，． ， ． ，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． ． ， ． 24. 定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． （1）如图，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． （2）如图，若“同源三角形”和上的点在同一条直线上，且，则____． （3）如图，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取的中点，连接，试探究线段与之间的关系并说明理由． 【答案】（1），理由见解析 （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（）证明即可求证； （）由“同源三角形”的定义和可得，由得，再根据和三角形内角和定理即可求解； （）证明即可求解； 本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，理解新定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵和是“同源三角形”， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，设与相交于点， ∵和是“同源三角形”， ∴， ∵， ∴， 由（）可知， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：，理由如下： 由（）可知， ∴，， ∵的中点分别为， ∴， 在和中， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期第一学月学情检测 八年级数学试题 一、选择题（本题有8个小题，每小题3分，满分24分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 给出下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 6，7，15 C. 3，4，5 D. 5，5，11 2. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　） A. ∠A﹣∠B＝∠C B. ∠A＝9°，∠B＝81° C. ∠A＝2∠B＝3∠C D. ∠A：∠B：∠C＝3：4：7 3. 如图，a，b，c分别表示的三边长，则下列三角形与一定全等的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 5. 已知是的高，，，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，在中，已知分别为的中点，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（ ） A. 无法确定 B. C. 1 D. 2 8. 如图，在中，，的平分线，交于点P．下列结论： ①平分； ②； ③若于点M，于点N，则； ④． 其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①③ 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共计18分） 9. 已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长等于________． 10. 如图，已知,要使，需添加的一个条件是__________． 11. 一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，点在延长线上，，，，，则______． 12. 如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则______． 13. 如图，，垂足为，，垂足为，且与相交于点，若，，，则的长为______． 14. 如图，，垂足为点，米，米，射线，垂足为点，一动点从点出发以 米秒沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过______时，由点、、组成的三角形与全等． 三、解答题（本题有5个小题，每小题5分，共计25分） 15. 如图，已知中，，，． （1）画出的高和； （2）画出的中线； （3）计算的值是_________． 16. 如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，与的和为，求的长． 17. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O．，，求和的度数． 18. 如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D． 19. 如图，已知 AD，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果 AD＝AF，AC＝AE． 求证：BC＝BE． 四、解答题（本题有3个小题，每小题6分，共计18分） 20. 如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF． （1）求证：∠D＝∠2； （2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数． 21. 如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长． 22. 已知，如图，∠C＝∠D＝90°，E是CD的中点，AE平分∠DAB．求证：BE平分∠ABC． 五、解答下列各题（本题共有2个小题，第23题7分，第24题8分，共计15分） 23. 在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法． （1）如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． （2）如图 ，，，，，为中点，求证：． 24. 定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． （1）如图，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． （2）如图 ，若“同源三角形”和上的点在同一条直线上，且，则____． （3）如图，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取的中点，连接，试探究线段与之间的关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $