期末复习突破（1）复习专项基础题组过关训练-2025-2026学年人教版九年级数学上册（章节基础过关卷+单元提优验收卷+重难点易错题突破卷+月考期中期末仿真卷）

期末复习突破（1）复习专项基础题组过关训练 （满分：120分 时间100分钟） 一．选择题（共13小题，每小题3分，共39分） 1．（2023•营口）下列事件是必然事件的是（　　） A．四边形内角和是360° B．校园排球比赛，九年一班获得冠军 C．掷一枚硬币时，正面朝上 D．打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况 2．（2023秋•天心区校级月考）下列数学符号中，属于中心对称图形的是（　　） A．≌ B．∵ C．⊥ D．∽ 3．（2023•南海区模拟）已知a是方程x2﹣2x﹣2023＝0的根，则代数式2a2﹣4a﹣2的值为（　　） A．4044 B．﹣4044 C．2024 D．﹣2024 4．（2023•宜昌）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 5．（2024秋•衡阳期中）已知x1、x2是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，则的值为（　　） A． B．3 C． D．﹣3 6．（2023•雁塔区一模）对于二次函数y＝﹣4（x+6）2﹣5的图象，下列说法正确的是（　　） A．图象与y轴交点的坐标是（0，5） B．对称轴是直线x＝6 C．顶点坐标为（﹣6，5） D．当x＜﹣6时，y随x的增大而增大 7．（2024秋•合川区期末）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，，过点C作⊙O的切线与AB的延长线交于点E，若∠CEO＝20°，则∠BOD的大小为（　　） A．20° B．35° C．45° D．70° 8．（2023秋•赵县月考）二次函数y＝2x2﹣3x+□的图象与x轴有两个交点，则“□”表示的数可以是（　　） A．1 B． C．2 D．3 9．（2024春•怀宁县期末）为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A．（n+1）2＝1641 B．n2+n+1＝1641 C．n（n+1）＝1641 D．（n﹣1）2＝1641 10．（2024•双辽市二模）如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，OA＝3，则劣弧AB的长是（　　） A．π B．2π C．3π D．4π 11．（2025•青秀区校级三模）如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝4m，OB＝2m，则阴影部分的面积是（　　） A．π B．π C．4π D．π 12．（2023秋•潍坊期末）如图，将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为15°，85°，则∠ACB的度数是（　　） A．20° B．30° C．35° D．40° 13．（2024秋•梁溪区校级期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是（　　） A．x＜﹣3或x＞0 B．x≤﹣3或x≥0 C．﹣3＜x＜0 D．﹣3≤x≤0 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 14．（2024秋•荔湾区校级期末）平面直角坐标系中，若点A（m﹣1，﹣3），B（2，n）关于原点对称，则m+n＝ 　 　 ． 15．（2024秋•顺平县期末）如图，O是△ABC的内心，已知∠BOC＝130°，则∠A的度数是 　80°　 ． 16．（2025•衡阳县一模）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为　 　 ． 17．（2024春•兴隆台区期末）已知函数y＝x2﹣6x+2，当﹣2＜x＜4时，则y的取值范围为 　 　 ． 18．（2023秋•海门区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A'BC'，连接AA'，则AA'的长为 　 ． 19．（2024•宁波模拟）在一个不透明的纸箱中装有4个白球和n个黄球，它们只有颜色不同．为了估计黄球的个数，杨老师进行了如下试验：每次从中随机摸出1个球，记下颜色后放回并摇匀．大量重复之后，杨老师发现摸到白球的频率稳定在附近，则n约为 　 　 ． 20．（2024秋•中山市月考）若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数y＝﹣x2+4x+a的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　 　 ．（用“＜”连接） 21．（2023•龙游县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向以0.5个单位/秒的速度平移，使⊙P与y轴相切，则平移的时间为 　 秒． 三．解答题（共6小题，共57分） 22．（12分）（2024秋•宜兴市月考）解一元二次方程： （1）（x+1）2﹣144＝0； （2）x2﹣4x﹣32＝0； （3）x（x﹣5）＝2（x﹣5）； （4）x2﹣5x﹣1＝0． 23．（6分）（2024秋•泗阳县期中）如图：，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：CD＝CE． 24．（10分）（2023•扬州三模）把算珠放在计数器的3根插棒上可以构成一个数，例如：如图摆放的算珠表示数210． （1）若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，则构成的数是三位数的概率是 　 ； （2）若一个数正读与反读都一样，我们就把这个数叫做回文数．现将两颗算珠任意摆放在这3根插棒上，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求构成的数是三位数且是回文数的概率． 25．（12分）（2024春•富锦市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）． （1）将△ABC向上平移5个点位长度，在向左平移4个点位长度，得到△A1B1C1．请画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）请画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标； （3）将△ABC绕若原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，求线段AC在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）． 26．（12分）（2024秋•孝义市月考）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连而建成．图2所示是其中一座较小的抛物线形钢拱，已知该抛物线对应的函数关系式为． （1）求该钢拱的跨度AB的长度； （2）为了保护钢拱的安全，在该钢拱平行于桥面处的E，F两点装有两盏警示灯，现已知这两盏警示灯的水平距离EF为20米，求这两盏灯距桥面AB的高度是多少米？ 27．（11分）（2024秋•上城区校级月考）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，若AB＝16cm，CD＝6cm． （1）求AC的长； （2）若大圆半径为10cm，求小圆的半径． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习突破（1）复习专项基础题组过关训练 （满分：120分 时间100分钟） 一．选择题（共13小题，每小题3分，共39分） 1．（2023•营口）下列事件是必然事件的是（　　） A．四边形内角和是360° B．校园排球比赛，九年一班获得冠军 C．掷一枚硬币时，正面朝上 D．打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、四边形内角和是360°，是必然事件，故A符合题意； B、校园排球比赛，九年一班获得冠军，是随机事件，故B不符合题意； C、掷一枚硬币时，正面朝上，是随机事件，故C不符合题意； D、打开电视，正在播放神舟十六号载人飞船发射实况，是随机事件，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 2．（2023秋•天心区校级月考）下列数学符号中，属于中心对称图形的是（　　） A．≌ B．∵ C．⊥ D．∽ 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：中心对称图形是指把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合的图形，只有D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3．（2023•南海区模拟）已知a是方程x2﹣2x﹣2023＝0的根，则代数式2a2﹣4a﹣2的值为（　　） A．4044 B．﹣4044 C．2024 D．﹣2024 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到a2﹣2a＝2023，再把2a2﹣4a﹣2变形为2（a2﹣2a）﹣2，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵a是方程x2﹣2x﹣2023＝0的根， ∴a2﹣2a﹣2023＝0， 即a2﹣2a＝2023， ∴2a2﹣4a﹣2＝2（a2﹣2a）﹣2＝2×2023﹣2＝4046﹣2＝4044． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 4．（2023•宜昌）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】根据垂径定理的推论得OB⊥AC，再根据勾股定理得OA10，即可求出答案． 【详解】解：∵AD＝CD＝8， ∴OB⊥AC， 在Rt△AOD中，OA10， ∴OB＝10， ∴BD＝10﹣6＝4． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，由垂径定理得OB⊥AC是解题的关键． 5．（2024秋•衡阳期中）已知x1、x2是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，则的值为（　　） A． B．3 C． D．﹣3 【分析】根据根与系数的关系得x1+x2＝1，x1x2＝﹣3，将变形为，再代入数据即可得出结论． 【详解】解：∵x1、x2是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根， ∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣3， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1、x2，则x1+x2，x1•x2． 6．（2023•雁塔区一模）对于二次函数y＝﹣4（x+6）2﹣5的图象，下列说法正确的是（　　） A．图象与y轴交点的坐标是（0，5） B．对称轴是直线x＝6 C．顶点坐标为（﹣6，5） D．当x＜﹣6时，y随x的增大而增大 【分析】根据二次函数顶点式的特点进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数y＝﹣4（x+6）2﹣5， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣6，顶点坐标为（﹣6，﹣5）， ∴当x＜﹣6时，y随x的增大而增大， 令x＝0，则y＝﹣149， ∴图象与y轴得交点为（0，﹣149）， 故A、B、C选项错误；D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式，解题的关键在于熟练掌握二次函数顶点式的特点． 7．（2022秋•合川区期末）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，，过点C作⊙O的切线与AB的延长线交于点E，若∠CEO＝20°，则∠BOD的大小为（　　） A．20° B．35° C．45° D．70° 【分析】根据切线的性质得∠OCE＝90°，再根据，知∠BOD＝∠COD∠BOC＝35°． 【详解】解：∵CE是⊙O的切线， ∴OC⊥CE， ∴∠OCE＝90°， ∵∠CEO＝20°， ∴∠COB＝70°， ∵， ∴∠BOD＝∠COD∠BOC＝35°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 8．（2023秋•赵县月考）二次函数y＝2x2﹣3x+□的图象与x轴有两个交点，则“□”表示的数可以是（　　） A．1 B． C．2 D．3 【分析】由抛物线与x轴的交点个数转化为对应的一元二次方程解的个数，得到Δ＞0，进而可以判断得解． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴方程2x2﹣3x+□＝0有两个不同的实数根， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×□＞0， 解得，□． 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点问题转化为解关于x的一元二次方程问题，Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 9．（2024春•怀宁县期末）为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A．（n+1）2＝1641 B．n2+n+1＝1641 C．n（n+1）＝1641 D．（n﹣1）2＝1641 【分析】根据两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，列出方程即可． 【详解】解：第一轮传播人数为：1+n，第二轮又增加n2， 由题意，得：1+n+n2＝1641； 故选：B． 【点睛】本题考查了从实际问题抽象出一元二次方程．找准等量关系是解题的关键． 10．（2022•双辽市二模）如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，OA＝3，则劣弧AB的长是（　　） A．π B．2π C．3π D．4π 【分析】直接利用弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意可得，劣弧AB的长是：2π． 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． 11．（2025•青秀区校级三模）如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝4m，OB＝2m，则阴影部分的面积是（　　） A．π B．π C．4π D．π 【分析】利用扇形面积公式，根据S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC即可求解． 【详解】解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC ＝4π（m2）， 故选：C． 【点睛】本题考查了求扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 12．（2023秋•潍坊期末）如图，将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的读数分别为15°，85°，则∠ACB的度数是（　　） A．20° B．30° C．35° D．40° 【分析】根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半，从而可求得∠ACB的度数． 【详解】解：根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半， 根据量角器的读数方法得：∠ACB35°， 故选：C． 【点睛】此题考查了圆周角定理，熟知圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半是解题的关键． 13．（2024秋•梁溪区校级期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是（　　） A．x＜﹣3或x＞0 B．x≤﹣3或x≥0 C．﹣3＜x＜0 D．﹣3≤x≤0 【分图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与析】根据直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）， ∴不等式ax+bx+c＞kx+m为：x＜﹣3或x＞0， 故选：A． 【点睛】此题考查了二次函数与不等式的关系，能利用数形结合求不等式的解集是解题的关键， 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 14．（2024秋•荔湾区校级期末）平面直角坐标系中，若点A（m﹣1，﹣3），B（2，n）关于原点对称，则m+n＝ 　2　 ． 【分析】直接利用关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反进而得出m，n的值． 【详解】解：∵点A（m﹣1，﹣3），B（2，n）关于原点对称， ∴， 解得， ∴m+n＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 15．（2022秋•顺平县期末）如图，O是△ABC的内心，已知∠BOC＝130°，则∠A的度数是 　80°　 ． 【分析】根据∠BOC＝130°可得∠OBC+∠OCB＝50°，根据O是△ABC的内心即可得到∠ABC+∠ACB＝50°×2＝100°，最后根据三角形内角和即可得到答案． 【详解】解：∵∠BOC＝130°， ∴∠OBC+∠OCB＝50°， ∵O是△ABC的内心， ∴∠ABC+∠ACB＝50°×2＝100°， ∴∠A＝180°﹣100°＝80°． 故答案为：80°． 【点睛】本题考查三角形内角和公式，角平分线性质及三角形内心，解题的关键是掌握三角形内心是三角形三个内角角平分线交点及整体代换思想． 16．（2025•衡阳县一模）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为　1　 ． 【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以Δ＝12﹣40， 解得c＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 17．（2024春•兴隆台区期末）已知函数y＝x2﹣6x+2，当﹣2＜x＜4时，则y的取值范围为 　﹣7≤y＜18　 ． 【分析】先把该二次函数的解析式化为顶点式，求出函数图象的开口方向和顶点坐标，即可求得函数的最小值，再求得x＝﹣2时的函数值，即可得出结论． 【详解】解：∵y＝x2﹣6x+2＝（x﹣3）2﹣7， ∴顶点坐标为（3，﹣7）， ∴x＝3时，有最小值﹣7， 当x＝﹣2时，y＝25﹣7＝18， ∴当﹣2＜x＜4时，y的范围是﹣7≤y＜18． 故答案为：﹣7≤y＜18． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出二次函数的顶点坐标是解题的关键． 18．（2023秋•海门区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A'BC'，连接AA'，则AA'的长为 　5　 ． 【分析】先根据勾股定理计算出AB＝5，再根据旋转的性质得到BA＝BA′＝5，∠ABA′＝90°，然后利用勾股定理可计算出AA'的长． 【详解】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴AB5， ∵△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A'BC'， ∴BA＝BA′＝5，∠ABA′＝90°， ∴AA′5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理． 19．（2024•宁波模拟）在一个不透明的纸箱中装有4个白球和n个黄球，它们只有颜色不同．为了估计黄球的个数，杨老师进行了如下试验：每次从中随机摸出1个球，记下颜色后放回并摇匀．大量重复之后，杨老师发现摸到白球的频率稳定在附近，则n约为 　8　 ． 【分析】根据概率与频率的关系求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：n＝8， 经检验：n＝8是原分式方程的解， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，掌握频率与概率的关系是解题的关键． 20．（2024秋•中山市月考）若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数y＝﹣x2+4x+a的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　y1＜y2＜y3　 ．（用“＜”连接） 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝2，根据x＜2时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：∵y＝﹣x2+4x+a＝﹣（x﹣2）2+4+a， ∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝2， ∵（3，y3）关于对称轴的对称点为（1，y3）， ∵﹣4＜﹣2＜1＜2， ∴y1＜y2＜y3， 故答案为：y1＜y2＜y3． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键． 21．（2023•龙游县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向以0.5个单位/秒的速度平移，使⊙P与y轴相切，则平移的时间为　2或10　 秒． 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． 故答案为2或10 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 三．解答题（共6小题，共57分） 22．（12分）（2019秋•宜兴市月考）解一元二次方程： （1）（x+1）2﹣144＝0； （2）x2﹣4x﹣32＝0； （3）x（x﹣5）＝2（x﹣5）； （4）x2﹣5x﹣1＝0． 【分析】（1）方程整理后，利用直接开平方法求出解即可； （2）方程利用因式分解法求出解即可； （3）方程整理后，利用因式分解法求出解即可； （4）方程利用公式法求出解即可． 【详解】解：（1）方程整理得：（x+1）2＝144， 开方得：x+1＝12或x+1＝﹣12， 解得：x1＝11，x2＝﹣13； （2）分解因式得：（x﹣8）（x+4）＝0， 可得x﹣8＝0或x+4＝0， 解得：x1＝8，x2＝﹣4； （3）方程整理得：x（x﹣5）﹣2（x﹣5）＝0， 分解因式得：（x﹣2）（x﹣5）＝0， 可得x﹣2＝0或x﹣5＝0， 解得：x1＝5，x2＝2； （4）这里a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1， ∵△＝25+4＝29＞0， ∴x1，x2． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，以及直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 23．（6分）（2020秋•泗阳县期中）如图：，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：CD＝CE． 【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出∠AOC＝∠BOC，再根据角平分线的性质得出即可． 【详解】证明：∵， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵CD⊥OA，CE⊥OB， ∴CD＝CE． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和角平分线的性质，能根据圆心角、弧、弦之间的关系得出∠AOC＝∠BOC是解此题的关键． 24．（10分）（2023•扬州三模）把算珠放在计数器的3根插棒上可以构成一个数，例如：如图摆放的算珠表示数210． （1）若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，则构成的数是三位数的概率是 　　 ； （2）若一个数正读与反读都一样，我们就把这个数叫做回文数．现将两颗算珠任意摆放在这3根插棒上，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求构成的数是三位数且是回文数的概率． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中构成的数是三位数且是回文数的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：（1）若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，则构成的数是三位数的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中构成的数是三位数且是回文数的结果有2种， ∴构成的数是三位数且是回文数的概率为． 【点睛】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 25．（12分）（2024春•富锦市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）． （1）将△ABC向上平移5个点位长度，在向左平移4个点位长度，得到△A1B1C1．请画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）请画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标； （3）将△ABC绕若原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，求线段AC在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）． 【分析】（1）根据平移的性质即可将△ABC向上平移5个点位长度，在向左平移4个点位长度，得到△A1B1C1，进而可得点A1的坐标； （2）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2，进而写出点A2的坐标； （3）根据旋转的性质即可将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，根据扇形面积公式即可求线段AC在旋转过程中扫过的面积． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；点A1的坐标为（﹣2，4）； （2）如图，△A2B2C2即为所求；点A2的坐标为（2，1）； （3）如图，△A3B3C3即为所求； ∵OA，OC3， ∴线段AC在旋转过程中扫过的面积． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了作图﹣平移变换，轴对称变换，旋转变换，扇形面积公式，解决本题的关键是掌握平移的性质，轴对称的性质，旋转的性质． 26．（12分）（2024秋•孝义市月考）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连而建成．图2所示是其中一座较小的抛物线形钢拱，已知该抛物线对应的函数关系式为． （1）求该钢拱的跨度AB的长度； （2）为了保护钢拱的安全，在该钢拱平行于桥面处的E，F两点装有两盏警示灯，现已知这两盏警示灯的水平距离EF为20米，求这两盏灯距桥面AB的高度是多少米？ 【分析】（1）取y＝0，求出A、B坐标，即可求出AB的长度； （2）由题意得：E、F关于y轴对称，由EF＝20米，则F的横坐标为10，代入（1）中得到的函数解析式即可求解； 【详解】解：（1）当y＝0时， x2+10＝0， 解得：x1＝20，x2＝﹣20， ∴A（﹣20，0），B（20，0）， ∴AB＝20﹣（﹣20）＝40， 答：该钢拱的跨度AB的长度为40米； （2）由题意得：E、F关于y轴对称， ∵EF＝20米， ∴F的横坐标为10， ∴当x＝10时，y102+10＝7.5． 答：这两盏灯距桥面AB的高度是7.5米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 27．（11分）（2024秋•上城区校级月考）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，若AB＝16cm，CD＝6cm． （1）求AC的长； （2）若大圆半径为10cm，求小圆的半径． 【分析】（1）根据垂径定理及线段的和差求解即可； （2）根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）作OE⊥AB，垂足为E， 由垂径定理知，点E是CD的中点，也是AB的中点， ∴cm，cm， ∴AC＝AE﹣CE＝8﹣3＝5cm； （2）连接OA，OC， 在Rt△AOE中，AE＝8cm，OA＝10cm， ∴， 在Rt△OCE中，CE＝3cm，OE＝6cm， ∴． 【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理，熟记垂径定理是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $