精品解析：甘肃省定西市 通渭县平襄教育集团 2025-2026学年八年级上学期9月联考数学试题

2025-2026学年度八年级第一学期学习评价 数学（1） 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题：（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分） 1. 李师傅做了一个三角形工件，其中两边长分别为和，则第三边的长度可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟知三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系求出第三边的取值范围即可判断得出解． 【详解】三角形的两边长分别为和，设第三边为x， 则,即， 所以第三边可能是， 故选B． 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形对应边相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3. 中国第一座超高压大型枢纽变电站位于甘肃省兰州市以东38.5km的榆中县小康营乡，是连接甘肃、青海、陕西和宁夏电网电力系统的枢纽．如图，高压线架设成三角形的原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形具有稳定性 C. 垂线段最短 D. 三角形内角和为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的稳定性．当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，因此三角形具有稳定性． 【详解】解：根据题意可得，高压线架设成三角形的原理是利用了三角形的稳定性， 故选：B． 4. 如图，在中，，是高，能直接判断的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的全等证明即可判断． 【详解】证明：∵AD⊥BC ∴和是直角三角形， ∵，AD=AD（公共边）， 所以≌（HL） 故选C 【点睛】本题主要考查直角三角形的全等证明，掌握直角三角形的全等证明方法是解题的关键． 5. 如果一个三角形中的其中一个外角等于与它相邻的内角，那么这个三角形是(　　) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和与三角形的内角和等于180°可以求出与这个外角相邻的内角等于90°． 【详解】根据题意，与这个外角相邻的内角等于180°÷2=90°，所以这个三角形是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形的外角性质和三角形的内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 6. 嘉嘉同学用三角板作的边上的高，下列三角板摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，理解“从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．”是解题的关键． 【详解】解：三角板摆放位置正确， 故选：D． 7. 如图，全等的两个三角形是（ ） A. ①③ B. ①② C. ③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定．根据全等三角形的判定即可解答． 【详解】解：选取三角形①②时，利用可证明两个三角形全等， 其余都不符合全等三角形的判定定理． 故选：B． 8. 如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质的应用．根据直角三角形的两锐角互余，同角的余角相等可得结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的宽度相等，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质．先证明，推出，通过，得到，从而得出答案． 【详解】解：由题意可知，，，， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 10. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上，若和全等，且点E也在正方形网格的格点上，则符合条件的点E有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用可证明和，即可得到答案． 【详解】解：如图，和，符合条件的点E有2个， 故选：B． 二、填空题：每题3分，共18分 11. 在中，若，，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质解答即可． 【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°， ∴∠A=90°-35°=55°， 故答案为：55°． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的两锐角互余． 12. 如图，，，请你添加一个条件，使，这个条件是________（写一个即可）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定定理．根据全等三角形的判定方法，结合图形添加条件或或，即可证明． 【详解】解：添加条件， ∵，，∴； 添加条件或， ∵，，∴； 添加条件或， ∵，，∴； 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，已知为的中线，的面积为，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分直接进行求解即可． 【详解】解：为的中线，的面积为， ， 故答案为：． 14. 如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛在平面镜里的虚像，点与点的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若，则的大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． 由题意可得，推出，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：点与点的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，已知，，，则_______°． 【答案】200 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理．利用证明推出，再根据四边形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：200． 16. 如图，将一块等腰直角三角板（，）放在平面直角坐标系中，三角板两锐角顶点分别在x轴、y轴上的点A、B处，直角顶点C落在点处，则的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的性质与判定，过点C作坐标轴的垂线构造全等三角形是解题的关键．作轴于点，轴于点，则，根据点到坐标轴的距离得到，，通过证明得到，再利用线段的和差以及等量代换即可求出的值． 【详解】解：如图，作轴于点，轴于点，则， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 三、解答题：本大题6个小题，共32分． 17. 已知△ABC的三边长分别为a，b，c，请化简代数式|a－b－c|＋|a＋b－c|. 【答案】2b. 【解析】 【分析】三角形三边满足的条件是，两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可． 【详解】∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴a＜b＋c，a＋b＞c， ∴a－b－c＜0，a＋b－c＞0， ∴原式＝－(a－b－c)＋(a＋b－c)＝－a＋b＋c＋a＋b－c＝2b 【点睛】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负． 18. 如图所示，已知：线段和．用尺规作，使，，；（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】 如图所示 【解析】 【分析】本题考查复杂作图，在射线上截取,作，即可解决问题． 【详解】略 19. 如图，已知在四边形中，点E在上，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 利用证明，再利用全等三角形对应边相等即可证明． 【详解】略 20. 如图，在中，点D、E分别为边上的动点． （1）若，时，AE的长恰好是奇数，则AE的长为______； （2）若时，，，求的度数． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，平行线的性质，三角形外角的性质．熟练掌握三角形三边关系的应用，平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键． （1）由题意知，，即，然后作答即可； （2）如图，连接，由，可得，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，即， ∵的长恰好是奇数， ∴的长为5， 故答案为：5； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 21. 随着甘肃文旅户外运动的兴起，攀岩作为一项极具挑战性和趣味性的活动，受到了越来越多人的喜爱．某中学数学兴趣小组为测量校内攀岩墙的高度，设计了如下方案：如图，首先找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记录直杆与地面的夹角；然后使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，直到，标记此时直杆的底端为点D；最后测得，求攀岩墙的高度． 【答案】攀岩墙的高度为． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的应用，全等三角形的性质和判定．根据题意证明出，进而得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 答：攀岩墙的高度为． 22. 如图，在中，是角平分线，E为边上一点，连接，，过点E作，垂足为点F． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵AD平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据平分，得出，最后根据两直线平行内错角相等，得出，即可证明； （2）根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质，得出，根据垂直定义，得出，最后根据三角形内角和得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质，是解题的关键． 四、解答题：本大题5个小题，共40分 23. 已知的三个内角之比，求三个内角的度数，并判断的形状． 【答案】，，，是钝角三角形 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类，一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意设，，，利用三角形内角和定理列出方程，求出的值，得到三个内角的度数，由即可得出的形状． 【详解】解：∵， ∴设，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∵， ∴是钝角三角形． 24. 如图，，，点D是上一点，于E，于F，，求证：． 【答案】 证明：连接，如图： ∵， 在和中，， ∴， ∴， ∵于，于， ∴， 在和中，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，连接，先证明得出，再利用“”即可证明，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】略 25. 如图，在中，、分别平分，，为外角的平分线，的延长线交于点E． （1）与的数量关系是_________； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可求解； （2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵、分别平分，， ∴，， ∴ ， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵为外角的平分线， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ∵， ∴． 26. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”． 如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． （1）求的度数． （2）若是中边上的高，则，都是“友爱三角形”吗？为什么？ 【答案】（1），； （2）、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ，， ，， 在中，，， ， 为“友爱三角形”； 在中，，， ， 为“友爱三角形”． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）利用“友爱三角形”的定义及结合解答即可； （2）由，，，求出，，根据“友爱三角形”的定义即可得出结论． 【小问1详解】 解：是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； 【小问2详解】 略 27. 【问题情境】 （1）如图①，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接并延长到点D，使；连接并延长到点E，使，连接并测量出它的长度，如果，求A、B间的距离； 【探索应用】 （2）如图②，在中，，，求边上的中线的取值范围， 提示：解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接得到，把，集中在中，利用三角形的三边关系即可判断中线的取值范围； 【拓展提升】 （3）如图③，在中，，，，，的延长线交于点F，且F是的中点，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）A、B间的距离为；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，由全等的性质得出； （2）延长到点，使，连接，证明，可得，再由三角形三边关系即可求解； （3）在上截取，易证，得到，再证明，得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图，连接， 在和中， ∵， ∴ ∴； ∴A、B间的距离为； （2）延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； （3）， 理由：在上截取， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度八年级第一学期学习评价 数学（1） 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题：（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分） 1. 李师傅做了一个三角形工件，其中两边长分别为和，则第三边的长度可能是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 中国第一座超高压大型枢纽变电站位于甘肃省兰州市以东38.5km的榆中县小康营乡，是连接甘肃、青海、陕西和宁夏电网电力系统的枢纽．如图，高压线架设成三角形的原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形具有稳定性 C. 垂线段最短 D. 三角形内角和为 4. 如图，在中，，是高，能直接判断的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 如果一个三角形中的其中一个外角等于与它相邻的内角，那么这个三角形是(　　) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 6. 嘉嘉同学用三角板作的边上的高，下列三角板摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，全等的两个三角形是（ ） A. ①③ B. ①② C. ③④ D. ①④ 8. 如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙的两侧，已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的宽度相等，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上，若和全等，且点E也在正方形网格的格点上，则符合条件的点E有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：每题3分，共18分 11. 在中，若，，则的度数为_________． 12. 如图，，，请你添加一个条件，使，这个条件是________（写一个即可）． 13. 如图，已知为的中线，的面积为，则的面积为________． 14. 如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛在平面镜里的虚像，点与点的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若，则的大小为________． 15. 如图，已知，，，则_______°． 16. 如图，将一块等腰直角三角板（，）放在平面直角坐标系中，三角板两锐角顶点分别在x轴、y轴上的点A、B处，直角顶点C落在点处，则的值为________． 三、解答题：本大题6个小题，共32分． 17. 已知△ABC的三边长分别为a，b，c，请化简代数式|a－b－c|＋|a＋b－c|. 18. 如图所示，已知：线段和．用尺规作，使，，；（保留作图痕迹，不要求写作法） 19. 如图，已知在四边形中，点E在上，，，，求证：． 20. 如图，在中，点D、E分别为边上的动点． （1）若，时，AE的长恰好是奇数，则AE的长为______； （2）若时，，，求的度数． 21. 随着甘肃文旅户外运动的兴起，攀岩作为一项极具挑战性和趣味性的活动，受到了越来越多人的喜爱．某中学数学兴趣小组为测量校内攀岩墙的高度，设计了如下方案：如图，首先找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合，记录直杆与地面的夹角；然后使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，直到，标记此时直杆的底端为点D；最后测得，求攀岩墙的高度． 22. 如图，在中，是角平分线，E为边上一点，连接，，过点E作，垂足为点F． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 四、解答题：本大题5个小题，共40分 23. 已知的三个内角之比，求三个内角的度数，并判断的形状． 24. 如图，，，点D是上一点，于E，于F，，求证：． 25. 如图，在中，、分别平分，，为外角的平分线，的延长线交于点E． （1）与的数量关系是_________； （2）若，求的度数． 26. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”． 如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． （1）求的度数． （2）若是中边上的高，则，都是“友爱三角形”吗？为什么？ 27. 【问题情境】 （1）如图①，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接并延长到点D，使；连接并延长到点E，使，连接并测量出它的长度，如果，求A、B间的距离； 【探索应用】 （2）如图②，在中，，，求边上的中线的取值范围， 提示：解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接得到，把，集中在中，利用三角形的三边关系即可判断中线的取值范围； 【拓展提升】 （3）如图③，在中，，，，，的延长线交于点F，且F是的中点，直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $