专题01 平方根重难点题型专训（4个知识点+10大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题01 平方根重难点题型专训 （4个知识点+10大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 平方根概念理解 题型二 求一个数的算术平方根 题型三 求一个数的平方根 题型四 求代数式的平方根 题型五 已知一个数的平方根，求这个数 题型六 利用平方根解方程 题型七 利用算术平方根的非负性解题 题型八 求算术平方根的整数部分与小数部分 题型九 与算术平方根有关的规律探索题 题型十 算术平方根的实际应用 拓展训练一 与平方根有关的化简问题 拓展训练二 算术平方根的双重非负性运用 拓展训练三 平方根中的几何问题 拓展训练四 平方根的规律探究问题 知识点一：平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）计算的结果为（  ） A．3 B．－6 C．18 D．6 2．（25-26八年级上·江苏常州·阶段练习）4的平方根是 ． 知识点二：平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有平方根； 4.； 5.. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）下列各数没有平方根的是（   ） A． B．0 C．7 D．16 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）写一个平方根是它本身的实数 ． 知识点三：开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方. 1.开平方时，被开方数a必须是非负数； 2.开平方是求一个非负数的平方根. 3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）已知，则的值为 （   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知与互为相反数，则的平方根是 ． 知识点四：算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）6的算术平方根是（   ） A． B． C．36 D．±36 2．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）49的算术平方根是 ；196的算术平方根是 ． 【经典例题一 平方根概念理解】 【例1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各式正确的是   （    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）以下语句其写成式子正确的是（   ） A．7是49的算术平方根，即 B．7是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即 D．是49的平方根，即 2．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）若m与是同一个正数的两个平方根，则这个正数的值为 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）若一个正数的两个平方根是和，则的值为 ． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知是的算术平方根，是27的立方根，求：的平方根． 【经典例题二 求一个数的算术平方根】 【例2】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）若x是49的算术平方根，则x为（   ） A．7 B． C．49 D． 1．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）某计算器中有、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若一开始输入的数据为10，那么第2020步之后，显示的结果是（   ） A． B．100 C．0.01 D．0.1 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）已知，是4的算术平方根，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 4．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【经典例题三 求一个数的平方根】 【例3】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）的平方根是（　　） A．±2 B．4 C．±2 D．±8 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．5是25的算术平方根 B．的平方根是 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．的平方根是 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）已知，则的平方根为 ． 3．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）若 是m的一个平方根，则的算术平方根是 ； 若 则x与y的关系是 ． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：，求代数式的平方根． 【经典例题四 求代数式的平方根】 【例4】（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）在实数范围内，若，则与的积的算术平方根是（    ） A．0 B．10 C． D． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）已知 、，满足，则的平方根为 ． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）已知的立方根为3，且，则的平方根是 ． 4．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）已知的平方根是，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【经典例题五 已知一个数的平方根，求这个数】 【例5】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）已知一个数的平方根的绝对值是，则这个数是（   ） A．- B．-5 C．5 D．2 1．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（    ） A．2 B． C．4 D．1 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）若和是同一个数的平方根，则这个数是 ． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）一个正数的平方根是与，则的值是 . 4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）若，的平方根是，求的算术平方根． 【经典例题六 利用平方根解方程】 【例6】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）若，则x的值为 （    ） A．8 B．9 C． D．9或 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）根据图中数字的规律，若第n个图中的，则p的值为（   ） A．144 B．121 C．100 D．81 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）请写出方程的解 ． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图1，把两个面积都为5的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个如图2所示的大正方形．点P是对角线上一动点，连接，则的最小值为 ． 4．（25-26八年级上·江苏南京·单元测试）求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【经典例题七 利用算术平方根的非负性解题】 【例7】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）已知，则的值为（ ） A．2 B．1 C．0 D． 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）若，则的算术平方根为（   ） A． B． C． D．3 2．（24-25八年级上·江苏南通·期中）已知，为有理数，且，则的值为 ． 3．（2025八年级上·江苏南京·专题练习）若，其中均为整数，则 ． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）一个数值转换器如图所示： (1)满足输入条件的最小值是______； (2)输出的最小值是______； (3)若，求满足题意的x值． 【经典例题八 求算术平方根的整数部分与小数部分】 【例8】（24-25八年级上·江苏南京·期中）已知，且n是整数，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）关于“”，下面说法不正确的是（ ） A．它是数轴上离原点个单位长度的点表示的数 B．它是一个无理数 C．若a<<a+1，则整数a为3 D．它表示面积为10的正方形的边长 2．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）的小数部分是m，则 ； 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）的小数部分为a，的小数部分为b，则 . 4．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是_____________，小数部分是_____________； (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【经典例题九 与算术平方根有关的规律探索题】 【例9】（24-25八年级上·江苏宿迁·开学考试）已知，，，，…，依上述规律，=（   ） A．2013 B．2015 C．1007 D．1008 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）将一组数…按以下方式进行排列： 第一行             第二行         2           第三行              …                …… 则第八行左起第1个数是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知，则 ． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习），，，……，其中为正整数，则的值是 ． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：． (1)根据上述三个等式提供的信息填空， = ； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【经典例题十 算术平方根的实际应用】 【例10】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）已知自由下落物体的高度h （单位：m） 与下落时间t（单位： s） 的关系是， 有 一个物体从高的建筑物上自由落下，到达地面需要（     ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，用面积为的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知一个正方形的面积为10，那么它的边长是 ． 3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，在面积为12的矩形内有两个相邻的正方形，已知大正方形面积为8，则阴影部分的面积为 ． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）在图中的网格中，阴影部分为正方形，小华同学想知道它的边长，你能帮他求出阴影部分的边长吗？（设每一个方格的边长为1个单位）． (1)步骤（一）：求出阴影部分的面积 (2)步骤（二）：设阴影部分的边长为x，请列出方程并求出x的值． 【拓展训练一 与平方根有关的化简问题】 1．（24-25八年级上·江苏常州·开学考试）化简的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）化简求值① ；② ；③的平方根 ． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示． (1)化简：______． (2)先化简，再求值：，其中a是的一个平方根，b是的算术平方根． 【拓展训练二 算术平方根的双重非负性运用】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知 则的平方根是（      ） A． B． C． D．2 2．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）若， ，则 的值为 ． 3．（2025八年级上·江苏镇江·模拟预测）如果，求以，为边长的等腰三角形的周长． 【拓展训练三 平方根中的几何问题】 1．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）将两个边长为2的小正方形剪拼成一个大正方形（如图）．大正方形的边长是有理数吗？说说你的理由． 2．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图所示，一个大长方形由一个大正方形、一个小正方形和一个阴影小长方形拼接而成．已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，求阴影部分小长方形的面积． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）项目式学习活动主题：估算纸的长与宽 【知识储备】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为 ． 一般结论：正方形的对角线与边长的比是 ． 【项目素材】如图2，按照国际标准，A系列纸为长方形（长宽比相同），其中纸的面积为． 将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；．．．．．．，将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸． （2）【任务探究】 任务一：纸面积是纸面积的 倍，纸周长是纸周长的 倍； （3） 任务二：将一张纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是AB和AE），观察发现点B恰好和点C重合，求纸的长与宽之比． （4） 任务三：根据上述结论，估算纸的长和宽分别是多少毫米（结果取整数）． （参考数据：，，，，，，，） 【拓展训练四 平方根的规律探究问题】 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）观察下列各式： ①；②；③；…． (1)根据上列式子的规律，直接写出 ； (2)①根据上列式子的规律，直接写出 ； ②小明同学将写成，将写成，进而验证了①中规律的正确性．请你根据小明同学的思路，证明①中你写出的结果． 1．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）“的算术平方根”用数学式子表示正确的是（   ） A． B． C． D．4 2．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）如果a的平方根是，那么等于（   ） A． B． C． D．1 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B．5 C． D．25 4．（2025八年级上·江苏常州·模拟预测）若，，，，……，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如表，下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于大于16的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差一定大于3.19；④与更接近的整数是15，所有合理推断的序号是（   ） x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 A．② B．②③ C．①②③ D．②③④ 6．（25-26八年级上·江苏·阶段练习） ． 7．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，那么的值为 ． 8．（2025八年级上·江苏南通·模拟预测）已知，为实数，其中，则的平方根是 ． 9．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如下表，被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定规律．若，，则的值为 ． ... 0.0001 0.01 1 100 10000 ... ... 0.01 0.1 1 10 100 ... 10．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）将尺寸如图的4块完全相同的长方形薄木块（厚度忽略不计）进行拼摆，恰好可以不重叠地摆放在如图的甲、乙两个方框内，已知小木块的宽为2，图甲中阴影部分面积为19，则图乙中的长为 ．    11．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）求下列各数的算术平方根： (1) ； (2) (3)； (4)． 12．（24-25八年级上·江苏·期末）解方程： (1) (2) 13．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）李明刚买了一套毛坯新房，其中一个房间的地板为一个长宽之比为4：3的长方形，其面积为12m2． (1)求这个房间地板的长和宽： (2)用48块大小相同的正方形地板砖刚好把这个房间地板铺满，求这种地板砖的边长， 14．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为一组“最美组合数”．例如：这三个数，，其结果2，3，6都是整数，所以这三个数称为一组“最美组合数”． (1)这三个数是一组“最美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数是“最美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为18．求的值； (3)结合（1）（2）“最美组合数”的特征，请你再列举符合条件不同的两组“最美组合数”，并用代数式加以推理说明． 15．（24-25八年级上·江苏南京·期末）【问题提出】 正方形的边长为1，求对角线的长． 【情境再现】 老师在课堂上引导同学们探究边长为1的正方形的对角线的长时，如图1，把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个等腰直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，大正方形的边长即为所求． 【问题探究】 （1）按上述情景，求对角线的长． （2）如图2，将这个边长为1的正方形沿虚线剪开，利用拼图的方法，先画出拼接后的图形，再求对角线的长． 【拓展应用】 （3）如图3，将长为2，宽为1的2个小长方形分别沿对角线剪开，得到4个直角三角形，请用这4个直角三角形在右边的正方形网格中（每个小正方形的边长都是1）拼出顶点在格点上且边长为的正方形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平方根重难点题型专训 （4个知识点+10大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 平方根概念理解 题型二 求一个数的算术平方根 题型三 求一个数的平方根 题型四 求代数式的平方根 题型五 已知一个数的平方根，求这个数 题型六 利用平方根解方程 题型七 利用算术平方根的非负性解题 题型八 求算术平方根的整数部分与小数部分 题型九 与算术平方根有关的规律探索题 题型十 算术平方根的实际应用 拓展训练一 与平方根有关的化简问题 拓展训练二 算术平方根的双重非负性运用 拓展训练三 平方根中的几何问题 拓展训练四 平方根的规律探究问题 知识点一：平方根 1.平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根. （1）在中，因为，所以； （2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了. 2.平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”. 3.一个数的平方根平方后仍然等于这个数. 4.求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）计算的结果为（  ） A．3 B．－6 C．18 D．6 【答案】D 【详解】分析：表示36的算术平方根，根据算术平方根的定义进行解答即可． 详解：∵62=36， ∴36的算术平方根是6， 即=6． 故选D． 点睛：本题考查了算术平方根的定义，熟记定义和表示方法是解决此题的关键． 2．（25-26八年级上·江苏常州·阶段练习）4的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的求解，解题的关键是掌握求一个数的平方根，直接利用定义进行求解即可． 【详解】解：4的平方根是， 故答案为：． 知识点二：平方根的性质 1.一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）； 3.负数没有平方根； 4.； 5.. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）下列各数没有平方根的是（   ） A． B．0 C．7 D．16 【答案】A 【分析】本题考查平方根的性质，根据平方根的定义，负数没有平方根，非负数（0和正数）才有平方根． 【详解】解：∵负数没有平方根， ∴四个选项中只有没有平方根； 故选A． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）写一个平方根是它本身的实数 ． 【答案】0 【分析】本题考查平方根，掌握平方根的性质是解题的关键． 根据平方根的性质进行解题即可． 【详解】解：平方根是它本身的实数是：0． 故答案为：0． 知识点三：开平方 求一个数的平方根的运算叫做开平方. 1.开平方时，被开方数a必须是非负数； 2.开平方是求一个非负数的平方根. 3.平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 4.平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）已知，则的值为 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，利用非负数的性质求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知与互为相反数，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，相反数的定义，求一个数的平方根． 根据相反数的定义得到，根据平方的非负性、算术平方根的非负性求出、的值，进而求出的值，最后求的平方根即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 知识点四：算术平方根 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根； 2.算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”； 3.算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根. 4.算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即. 5.平方根与算术平方根的区别与联系 平方根 算术平方根 区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个 表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为 取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数 联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0. 存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0. PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）6的算术平方根是（   ） A． B． C．36 D．±36 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：6的算术平方根是， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）49的算术平方根是 ；196的算术平方根是 ． 【答案】 7 14 【分析】本题考查了求算术平方根，根据算术平方根的概念计算即可得解，熟练掌握算术平方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：49的算术平方根是，196的算术平方根是， 故答案为：，． 【经典例题一 平方根概念理解】 【例1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各式正确的是   （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根以及平方根的意义求解即可，平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根． 【详解】解：A.     ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了平方根与算术平方根的定义，理解平方根与算术平方根的定义是解题的关键． 1．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）以下语句其写成式子正确的是（   ） A．7是49的算术平方根，即 B．7是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即 D．是49的平方根，即 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根和平方根，分别利用算术平方根和平方根的定义及性质对每个选项逐个分析，即可得到正确的答案． 【详解】解：A．7是49的算术平方根， 即，故该选项错误； B．7是的算术平方根，即，故该选项正确； C．是49的平方根，即，故该选项错误； D．是49的平方根，即，故该选项错误； 故选：B 2．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）若m与是同一个正数的两个平方根，则这个正数的值为 【答案】 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数，是解决本题的关键．根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得到，求出的值即可求解． 【详解】解：∵与是同一个正数的两个平方根， ∴， ∴， ∴这个正数的值为， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）若一个正数的两个平方根是和，则的值为 ． 【答案】49 【分析】本题重点考查​平方根的性质​，特别是“一个正数的两个平方根互为相反数”这一概念，​利用这一性质列出方程并求解参数，进而求出的值是解题的关键​． 根据一个正数的两个平方根互为相反数列式求出，计算即可． 【详解】解：，， ∴，， 故答案为：49． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知是的算术平方根，是27的立方根，求：的平方根． 【答案】 【分析】根据是的算术平方根得到，再由是27的立方根得到，求出值即可得到，求出平方根即可得到答案． 【详解】解：是的算术平方根， ， 是27的立方根， ，解得，， 将代入得到， ， ， 的平方根是． 【点睛】本题考查平方根定义、算术平方根定义、立方根定义及计算，熟记平方根定义、算术平方根定义、立方根定义是解决问题的关键． 【经典例题二 求一个数的算术平方根】 【例2】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）若x是49的算术平方根，则x为（   ） A．7 B． C．49 D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，根据平方与开平方互为逆运算，可得算术平方根． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 1．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）某计算器中有、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若一开始输入的数据为10，那么第2020步之后，显示的结果是（   ） A． B．100 C．0.01 D．0.1 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字的规律问题，理解开方，平方及倒数的含义是解题的关键．分别求出第1，2，3，4，5，6步的结果，进而得出规律，根据规律确定答案即可． 【详解】解：第1步的结果是； 第2步的结果是； 第3步的结果是； 第4步的结果是； 第5步的结果是； 第6步的结果是， ； 可知6步一循环，， 所以第2020步之后显示的结果是即． 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）已知，是4的算术平方根，则的值为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查的是算术平方根，代数式求值，熟练掌握相关定义是解题的关键．首先依据算术平方根的定义求得x、y的值，从而可求得代数式的值． 【详解】解：，是4的算术平方根， ， ， 故答案为：11． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及算术平方根的估算，掌握算术平方根的估算方法是解本题的关键． 首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 则， 所以其面积， ， ， ， ∵面积介于整数和之间， 的值为2． 故答案为：2． 4．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质及化简，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先化简二次根式，计算立方根，再计算加减即可； （2）先化简二次根式，利用完全平方公式和平方差去掉括号，再计算加减即可； （3）先化简二次根式，计算乘除法，再计算加减即可； （4）先化简二次根式，计算乘法，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【经典例题三 求一个数的平方根】 【例3】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）的平方根是（　　） A．±2 B．4 C．±2 D．±8 【答案】C 【分析】利用平方根与算术平方根的意义解答即可． 【详解】解：∵=8，8的平方根为±2， ∴的平方根是±2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平方根与算术平方根的意义，正确利用平方根与算术平方根的意义解答是解题的关键． 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．5是25的算术平方根 B．的平方根是 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．的平方根是 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根的性质及计算方法，掌握以上知识是解题的关键． 根据平方根和算术平方根的性质，逐一分析选项． 【详解】解：A. 25的算术平方根是5，正确． B. ，9的平方根是，正确． C. 0的平方根和算术平方根均为0，正确． D. ，16的平方根是，但选项仅指出，错误． 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）已知，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数的开方和非负数的性质，平方根，根据非负数的性质列式求出的值，然后代入代数式，最后根据平方根的定义即可解答，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）若 是m的一个平方根，则的算术平方根是 ； 若 则x与y的关系是 ． 【答案】 4 【分析】根据平方根，算术平方根的定义，立方根的应用解答即可． 本题考查了平方根，算术平方根的定义，立方根的应用，熟练掌握应用是解题的关键． 【详解】解：∵是m的一个平方根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4； ∵ ∴， ∴ 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：，求代数式的平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根的非负性，平方根，根据已知和算术平方根的非负性求出、的值，把、代入代数式进行进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 则，， ∴，，则，， ∴， ∵1的平方根为， ∴代数式的平方根为． 【经典例题四 求代数式的平方根】 【例4】（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）在实数范围内，若，则与的积的算术平方根是（    ） A．0 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】根据平方根与绝对值的非负性求得的值，再按题目问题要求代入计算即可. 【详解】由题意得， 解得， 故. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平方根与绝对值的非负性，理解掌握两者的性质是解答关键. 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 【答案】C 【分析】本题主要考查整式乘法和平方根概念，解题的关键是求出k和p的值． 将左边多项式展开后与右边对应项系数比较，确定k和p的值，再计算的平方根即可． 【详解】解： ， ， 的平方根为， 故答案为： C． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）已知 、，满足，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】利用算术平方根及绝对值的非负性求出x、y的值，即可代入求出的平方根. 【详解】∵， ∴x-1=0，y+2=0， ∴x=1，y=-2， ∴=1+8=9， ∴的平方根为， 故答案为：. 【点睛】此题考查算术平方根及绝对值的非负性，求一个数的平方根，能根据题意求出x、y的值是解题关键. 3．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）已知的立方根为3，且，则的平方根是 ． 【答案】±7 【详解】解：∵的立方根为3， ∴c=27， 又∵， ∴a-4=0，b-3=0， 解得：a=4，b=3， ∴a+6b+c=4+18+27=49， ∴的平方根是±7． 故答案为：±7． 4．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）已知的平方根是，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)a＝5，b＝4； (2)． 【分析】（1）根据平方根，算术平方根的定义，求解即可； （2）根据平方根定义，求解即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的算术平方根是4． ∴，，解得a＝5，b＝4． （2）解：当a＝5，b＝4时，ab+5＝25 ，而25的平方根为， 即ab+5的平方根是． 【点睛】此题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是熟知平方根，算术平方根的定义． 【经典例题五 已知一个数的平方根，求这个数】 【例5】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）已知一个数的平方根的绝对值是，则这个数是（   ） A．- B．-5 C．5 D．2 【答案】C 【分析】先求出绝对值是的数，再根据平方要求原数即可. 【详解】∵｜±｜=， ∴这个数的平方根是±， ∴这个数是（±）2=5. 故选C 【点睛】此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零． 1．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（    ） A．2 B． C．4 D．1 【答案】D 【分析】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义．根据平方根的性质即可求出答案． 【详解】解：与是同一个数的两个不等的平方根， ∴， 解得：， ∴这个数是， 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）若和是同一个数的平方根，则这个数是 ． 【答案】16或144 【分析】本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．由于一个正数的两个平方根应该互为相反数，由此即可列方程解出m，然后可求得这个数． 【详解】解：∵和是同一个数的平方根， ∴或 解得或， ∴这个数是或， 故答案为：16或144． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）一个正数的平方根是与，则的值是 . 【答案】 【分析】本题考查了平方根，关键是熟知正数有两个平方根，且互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， 解得：， ∴这个数为， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）若，的平方根是，求的算术平方根． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根以及平方根的定义．根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，根据平方根的定义求得，然后代入代数式求值，再根据算术平方根的定义解答． 【详解】解：由题可知， ， 解得， 把代入， 解得， ∵的平方根是， ∴， ∴， ∴ ∴的算术平方根为2． 【经典例题六 利用平方根解方程】 【例6】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）若，则x的值为 （    ） A．8 B．9 C． D．9或 【答案】D 【分析】利用直接开平方法，解方程即可． 【详解】解：， ， ，， ，， 故选：D． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练计算是解题的关键． 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）根据图中数字的规律，若第n个图中的，则p的值为（   ） A．144 B．121 C．100 D．81 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索、运用平方根解方程等知识点，发现数字的排列规律成为解题的关键． 观察可知第k个图右上角的数为k，左上角的数为，下方的数为，由此可得方程，解方程求出，则，据此即可解答． 【详解】解：第1个图左上方的数为1，下方的数为， 第2个图左上方的数为4，下方的数为， 第3个图左上方的数为9，下方的数为， …… 第k个图左上方的数为，下方的数为， ∵， ∴，解得：， ∴． 故选A． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）请写出方程的解 ． 【答案】 【分析】本题考查利用平方根解方程，根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图1，把两个面积都为5的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个如图2所示的大正方形．点P是对角线上一动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了垂线段最短、利用平方根解方程、实数的运算，熟练掌握垂线段最短是解题关键．设正方形的对角线、相交于点，则根据题意可得，，，利用三角形的面积公式、平方根解方程可得，再根据垂线段最短可知，当，即点与点重合时，取得最小值，由此即可得解． 【详解】解：如图，设正方形的对角线、相交于点， 由题意知，，，， ， 解得，或（舍去） 由垂线段最短可知，当，即点与点重合时，取得最小值， 则的最小值为． 故答案为：5． 4．（25-26八年级上·江苏南京·单元测试）求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方根、立方根解方程： （1）先移项，将二次项系数化为1，然后开方即可得出x的值； （2）直接开立方可得出的值，进而可得出x的值． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ． 【经典例题七 利用算术平方根的非负性解题】 【例7】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）已知，则的值为（ ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质得到，求解即可，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：B． 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）若，则的算术平方根为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查非负性，求一个数的算术平方根，根据非负性求出的值，再根据算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的算术平方根为3； 故选D． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期中）已知，为有理数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根非负性，偶次幂非负性，首先根据非负数的性质可求出的值，进而可求出的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（2025八年级上·江苏南京·专题练习）若，其中均为整数，则 ． 【答案】0或2或4 【分析】本题考查算术平方根的双重非负性，先推导与都是非负整数，继而分①当时，②当时，③当时，分钟情况讨论即可得解． 【详解】解：因为，其中均为整数，． 所以与都是非负整数， ①当时， ， 所以； ②当时， 或， 所以或； ③当时， 或， 所以或． 综上所述，的值为0或2或4． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）一个数值转换器如图所示： (1)满足输入条件的最小值是______； (2)输出的最小值是______； (3)若，求满足题意的x值． 【答案】(1) (2) (3)22 【分析】本题考查了算术平方根，解一元一次不等式． （1）根据算术平方根的非负性求解即可； （2）根据题意得到求出，得到当时，y有最小值，然后代数求解即可； （3）根据题意得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴，且x为整数； ∴满足输入条件的最小值是， 故答案为： （2）解： ∴ ∴ ∵，且x为整数； ∴当时，y有最小值 ∴ ∴输出y的最小值是； 故答案为： （3）解：根据题意得， 即， 解得， 又∵x为整数， ∴x为22． 【经典例题八 求算术平方根的整数部分与小数部分】 【例8】（24-25八年级上·江苏南京·期中）已知，且n是整数，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据无理数的估算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，及， 又∵，且n为整数， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解答的关键． 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）关于“”，下面说法不正确的是（ ） A．它是数轴上离原点个单位长度的点表示的数 B．它是一个无理数 C．若a<<a+1，则整数a为3 D．它表示面积为10的正方形的边长 【答案】A 【分析】根据无理数的意义和数轴的性质进行判断即可． 【详解】解：A、±它是数轴上离原点个单位长度的点表示的数，题干的说法错误，符合题意； B、是一个无理数，题干的说法正确，不符合题意； C、∵3＜＜3+1，a＜＜a+1，∴整数a为3，题干的说法正确，不符合题意； D、表示面积为10的正方形的边长，题干的说法正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是算术平方根的概念和分类以及应用，掌握无理数的概念和意义是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）的小数部分是m，则 ； 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根的估算，估算出的整数部分是解题的关键．根据算术平方根的大小估算可得，得出的整数部分，进而得到的小数部分，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴的整数部分是3， ∴的小数部分是， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）的小数部分为a，的小数部分为b，则 . 【答案】1 【分析】先分析介于哪两个整数之间，再分别求出和介于哪两个整数之间，即可求出和的整数部分，然后用它们分别减去它们的整数部分得到，代入即可. 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴的整数部分为10，的整数部分为2， ∴a=   b= 代入得：           =12018 =1 【点睛】此题考查的是实数（带根号）的整数部分和小数部分的求法. 4．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是_____________，小数部分是_____________； (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值、无理数的大小比较、相反数的概念，正确进行无理数的估算是解题的关键． （1）根据材料提示，即，由此即可求解； （2）根据材料提示可得，，代入计算即可求解； （3）根据，再根据，其中是整数，且可得的值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为，小数部分为； （2）解：∵， ∴， ∵的小数部分为， ∴， ∵， ∴， ∵的整数部分为， ∴， ∴， ∴的平方根为； （3）解：∵的整数部分为， ∴， ∵是整数，，且， ∴， ∴， ∴的相反数为． 【经典例题九 与算术平方根有关的规律探索题】 【例9】（24-25八年级上·江苏宿迁·开学考试）已知，，，，…，依上述规律，=（   ） A．2013 B．2015 C．1007 D．1008 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根定义的应用，数字规律的探索，解此题的关键是能根据算术平方根得出规律，难度适中．根据式子得出，，，，由此得出规律，即可得出答案． 【详解】解：… ， 故选：D． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）将一组数…按以下方式进行排列： 第一行             第二行         2           第三行              …                …… 则第八行左起第1个数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的算术平方根的性质，灵活运用此性质是本题的关键． 根据积的算术平方根的性质即可解决． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习），，，……，其中为正整数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根、有理数的加减混合运算等知识点．先求出，，，的值，代入原式利用算术平方根和公式进行化简与计算，即可求解． 【详解】解：，，， ， ， ，， ． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：． (1)根据上述三个等式提供的信息填空， = ； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【详解】（1）∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； 故根据规律可猜测第五个等式为； 故答案为：． （2）根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）根据规律可化简 ． 【经典例题十 算术平方根的实际应用】 【例10】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）已知自由下落物体的高度h （单位：m） 与下落时间t（单位： s） 的关系是， 有 一个物体从高的建筑物上自由落下，到达地面需要（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查求代数式的值及算术平方根，将代入求解即可． 【详解】解：由题意得，，解得或， ∵， ∴，即到达地面需要， 故选：D． 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，用面积为的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的应用，由题意可得大正方形的面积为，进而根据算术平方根的意义即可求解，掌握算术平方根的意义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，大正方形的面积为， ∴大正方形的边长是， 故选：． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知一个正方形的面积为10，那么它的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，掌握正方形的面积公式是解题的关键． 根据正方形面积公式即可求解． 【详解】解：一个正方形的面积为10，那么它的边长是， 故答案为：． 3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，在面积为12的矩形内有两个相邻的正方形，已知大正方形面积为8，则阴影部分的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，小正方形边长为b，求出大正方形的边长为，根据矩形的面积为12列方程求解即可． 【详解】解：因为大正方形面积为8， 所以，大正方形的边长为， 设小正方形边长为b，根据题意得： 解得 小正方形的面积为2 阴影部分面积为， 故答案为：2． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）在图中的网格中，阴影部分为正方形，小华同学想知道它的边长，你能帮他求出阴影部分的边长吗？（设每一个方格的边长为1个单位）． (1)步骤（一）：求出阴影部分的面积 (2)步骤（二）：设阴影部分的边长为x，请列出方程并求出x的值． 【答案】(1)阴影部分的面积为17； (2)x的值为． 【分析】本题主要考查了实数的性质． （1）利用阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个相同大小的三角形面积求解即可． （2）根据求一个根的算术平方根以及无理数的估算求解即可． 【详解】（1）解：， 则阴影部分的面积为17； （2）解：由题意得 ， 解得，（舍去） ∴阴影部分的边长为． 【拓展训练一 与平方根有关的化简问题】 1．（24-25八年级上·江苏常州·开学考试）化简的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方根的定义即可解答． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根的定义． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）化简求值① ；② ；③的平方根 ． 【答案】 【分析】此题考查平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的意义进行准确计算即可． 【详解】解：①， ②， ③∵ ∴的平方根的平方根， 故答案为：，， 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示． (1)化简：______． (2)先化简，再求值：，其中a是的一个平方根，b是的算术平方根． 【答案】(1) (2)，1 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，数轴，熟练掌握算术平方根，平方根是解题的关键． （1）由数轴得：，再根据算术平方根的性质即可求解； （2）由图可知：，，进而可得，，再根据算术平方根的性质化简，再根据平方根及算术平方根的定义得，，进而可求解． 【详解】（1）由数轴得：， ， 故答案为：； （2）由图可知，， ，， ． a是的一个平方根，b是的算术平方根， ，， 原式． 【拓展训练二 算术平方根的双重非负性运用】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知 则的平方根是（      ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的非负性和求平方根，先根据算术平方根和绝对值的非负性求出，的值，再求的平方根即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）若， ，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，代入求值，先根据算术平方根的非负性得到，然后计算出m，n的值，代入计算即可． 【详解】解：由题可得，解得， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（2025八年级上·江苏镇江·模拟预测）如果，求以，为边长的等腰三角形的周长． 【答案】13或11． 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，关键是求出a，b的值．根据算术平方根和绝对值的非负性得到，，根据三角形三边关系判断，然后求解即可． 【详解】解：， ，， 解得，， ①当腰是5，底边是3时，三边长是5，5，3，，符合三角形的三边关系定理， ∴等腰三角形的周长是； ②当腰是3，底边是5时，三边长是3，3，5，，符合三角形的三边关系定理， ∴等腰三角形的周长是． 等腰三角形的周长为13或11． 【拓展训练三 平方根中的几何问题】 1．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）将两个边长为2的小正方形剪拼成一个大正方形（如图）．大正方形的边长是有理数吗？说说你的理由． 【答案】不是有理数．理由见解析 【分析】本题考查了平方根的应用，熟悉掌握面积公式是解题的关键． 利用面积公式得到大正方形的面积是，可得到正方形的边长，即可解答． 【详解】解：不是有理数．理由如下： ∵将两个边长为的小正方形剪拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积是，即． ∵既不是整数，也不是分数，所以x不是有理数． 2．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图所示，一个大长方形由一个大正方形、一个小正方形和一个阴影小长方形拼接而成．已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，求阴影部分小长方形的面积． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的计算方法是解题的关键．先求出两个正方形的边长，然后利用阴影部分小长方形的面积，即可求解． 【详解】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， ，， ， 阴影部分小长方形的面积 3．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）项目式学习活动主题：估算纸的长与宽 【知识储备】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为 ． 一般结论：正方形的对角线与边长的比是 ． 【项目素材】如图2，按照国际标准，A系列纸为长方形（长宽比相同），其中纸的面积为． 将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸；．．．．．．，将纸沿长边对折、裁开，便成两张纸． （2）【任务探究】 任务一：纸面积是纸面积的 倍，纸周长是纸周长的 倍； （3） 任务二：将一张纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是AB和AE），观察发现点B恰好和点C重合，求纸的长与宽之比． （4） 任务三：根据上述结论，估算纸的长和宽分别是多少毫米（结果取整数）． （参考数据：，，，，，，，） 【答案】（1）；；（2）2，2；（3）；（4）纸的宽约为，则长约为． 【分析】本题主要考查正方形面积公式、无理数的估算、折叠的性质、算术平方根的应用，等面积转换等知识点；掌握这些和数形结合思想是解决本题的关键． （1）由等面积法可知一个大正方形面积为2，从而得到大正方形的边长为； 正方形的对角线与边长的比是，即可解答； （2）根据图2的面积关系发现：纸面积是纸面积的2倍，纸周长是纸周长的2倍； （3）由折叠的性质可知，由（1）可知在正方形中，由此即可解答； （4）设纸的宽为，则长为，根据面积建立方程，计算即可解答． 【详解】解：（1）两个边长为1的小正方形 ，合成一个大正方形面积为2， 大正方形的边长为； 正方形的对角线与边长的比是， 故答案为：； （2）根据图2的面积关系发现：纸面积是纸面积的2倍，纸周长是纸周长2倍； 故答案为：2，2； （3）解：由折叠的性质可知，由（1）可知在正方形中， ，即A4纸的长宽之比为； （4）解：由（3）可知：纸的长与宽之比是 设纸的宽为，则长为， 纸的面积为， ， ， ， ； 故纸的宽约为，长约为． 【拓展训练四 平方根的规律探究问题】 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键． （1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）从数字找规律，即可解答； （3）从数字找规律，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； 故答案为：； （3）解： ． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】(1)见解析 (2)，68 (3)求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据（1）可得规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，由此即可得； （3）根据（1）解题过程找出规律即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，， 填表如下： 4 400 2 20 （2）解：由（1）可知，求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位， ∵， ∴被开方数的小数点向右移动2位得到580，则它的算术平方根的小数点向右移动1位，即； ∵，， ∴将被开方数的小数点向右移动4位即可得到， ∴； 故答案为：，68． （3）解：从以上问题的解决过程中，发现的规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位． 3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）观察下列各式： ①；②；③；…． (1)根据上列式子的规律，直接写出 ； (2)①根据上列式子的规律，直接写出 ； ②小明同学将写成，将写成，进而验证了①中规律的正确性．请你根据小明同学的思路，证明①中你写出的结果． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）仿照已知中的①②③，以及算术平方根的定义即可得出结果； （2）①观察一系列等式，得出一般规律，即可确定所求式子的结果； ②按小明的思路作变形，然后进行化简，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）①观察下列等式： ， ， ， ， ∴， 故答案为：； ②证明： ， ∴， 即①中的结论成立． 【点睛】本题考查规律型—数字的变化类，算术平方根，科学记数法—表示较大的数，弄清题中的规律是解题的关键． 1．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）“的算术平方根”用数学式子表示正确的是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据算术平方根的表示方法进行表示，然后即可求解． 【详解】解：的算术平方根表示为：， 故选：B 2．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）如果a的平方根是，那么等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的概念以及乘方的运算，熟练掌握平方根的概念是解题关键； 根据确定出，然后根据有理数的乘方进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴是1的平方根， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B．5 C． D．25 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的性质． 根据平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解n的值，再代入任一平方根表达式计算m即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴ 解得： ∴m的值为： 故选：D． 4．（2025八年级上·江苏常州·模拟预测）若，，，，……，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根和数字的变化类规律问题，分别计算出的值是解本题的关键． 先计算的值，找到规律，并进行化简即可． 【详解】解：，； ， ， ，， ……， 由此发现，， ∴， ∴ ． 故选：C 5．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如表，下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于大于16的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差一定大于3.19；④与更接近的整数是15，所有合理推断的序号是（   ） x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 A．② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，根据表格数据，逐一验证各推断的正确性． 【详解】解：推断①：由表格知，，故，①错误． 推断②：，，因此满足的整数n有241、242、243，共3个，其算术平方根在之间，②正确． 推断③：设，则．因，故，得，③正确． 推断④：由表格，，，故介于15.4与15.5之间．此时离15的距离小于离16的距离，④正确． 综上，合理推断为②③④， 故选D． 6．（25-26八年级上·江苏·阶段练习） ． 【答案】4 【分析】本题考查了算术平方根，如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．据此解答即可． 【详解】解： 故答案为∶4． 7．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，得出，即可求出a的值． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 8．（2025八年级上·江苏南通·模拟预测）已知，为实数，其中，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性及求一个数的平方根．掌握相关结论即可． 根据算术平方根和乘方的非负性求出，，再计算的平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 则的平方根是． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如下表，被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定规律．若，，则的值为 ． ... 0.0001 0.01 1 100 10000 ... ... 0.01 0.1 1 10 100 ... 【答案】0.0441/ 【分析】本题考查了算术平方根的规律探索，掌握被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律是解决此题的关键．由表可知，被开方数的小数点向左（右）移动（为正整数）位，则它的算术平方根的小数点向左（右）移动位，据此即可求解． 【详解】解：由表可知，被开方数的小数点向左（右）移动（为正整数）位，则它的算术平方根的小数点向左（右）移动位， ∵210的小数点向左移动3位，可以得到，且，， ∴44100的小数点向左移动6位，可以得到， ∴的值为0.0441． 故答案为：0.0441． 10．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）将尺寸如图的4块完全相同的长方形薄木块（厚度忽略不计）进行拼摆，恰好可以不重叠地摆放在如图的甲、乙两个方框内，已知小木块的宽为2，图甲中阴影部分面积为19，则图乙中的长为 ．    【答案】/ 【分析】设小木块的长为x，则阴影部分的边长为，根据阴影部分的面积为19列方程求解即可． 【详解】解：设小木块的长为x， 根据题意，阴影部分图形为正方形，则， ∴， ∵x为正数， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查算术平方根的应用，解答的关键是根据图形得到小木块的长、宽与阴影部分面积的关系． 11．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）求下列各数的算术平方根： (1) ； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了负整数指数幂，求算术平方根，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．正数a有一个正的算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根． （1）根据计算即可； （2）先将带分数化为假分数，再根据计算即可； （3）先计算乘方，再根据计算即可； （4）先化简，然后再求算术平方根即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）， ． 12．（24-25八年级上·江苏·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程； （1）先把方程变形为，然后利用平方根的性质解方程； （2）先把方程变形为，然后利用平方根的性质解方程． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， 解得． 13．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）李明刚买了一套毛坯新房，其中一个房间的地板为一个长宽之比为4：3的长方形，其面积为12m2． (1)求这个房间地板的长和宽： (2)用48块大小相同的正方形地板砖刚好把这个房间地板铺满，求这种地板砖的边长， 【答案】(1)这个房间的地板长为4m，宽为3m； (2)这种地板砖的边长为0.5m． 【分析】（1）根据题意，设房间的地板长为4xm，宽为3xm，根据面积，列方程求解即可； （2）设正方形的边长为am，根据房间面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，设房间的地板长为4xm，宽为3xm， 则，解得，（舍去） 4x=4，3x=1， 这个房间的地板长为4m，宽为3m； （2）设正方形的边长为am， 由题意可得，，解得，（舍去） 这种地板砖的边长为0.5m． 【点睛】此题考查了算术平方根的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程，利用算术平方根进行求解． 14．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为一组“最美组合数”．例如：这三个数，，其结果2，3，6都是整数，所以这三个数称为一组“最美组合数”． (1)这三个数是一组“最美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数是“最美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为18．求的值； (3)结合（1）（2）“最美组合数”的特征，请你再列举符合条件不同的两组“最美组合数”，并用代数式加以推理说明． 【答案】(1)三个数是“最美组合数”，理由见解析 (2)或者 (3)，，，，，；推理见解析 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据“最美组合数”的定义进行求解判断即可； （2）先由算术平方根为18推出这两个数乘积为，再分三种情况讨论：分别是与乘积为324、与乘积为324、与乘积为324（此情况不成立舍去），进而求出m的值再根据“最美组合数”的定义进行判断即可． （3）依据“最美组合数”两种构成形式，代入正整数确定具体数字，再通过计算两两乘积算术平方根验证，说明其符合定义． 【详解】（1）解：因为，，，， 所以，以上三个数是“最美组合数”； （2）解：∵其中有两个数乘积的算术平方根为18， ∴这两个数的乘积为324， 当时，，，此时，，符合； 当时，，，此时，，符合； 当时，不成立，舍去． 所以或． （3）情况一：每个数的绝对值都是完全平方数（形式为，a，b，c是正整数） 例子：，， 推理说明：设，，，三个数表示为，，． 计算两两乘积的算术平方根：；；，结果都是整数，符合“最美组合数”定义． 情况二：三个数的绝对值不是完全平方数，但它们乘积的算术平方根是整数（形式为，a，b，c，k是正整数） 例子：，， 推理说明：可变形为，，，即，，，，三个数表示为，，． 计算两两乘积的算术平方根：，而根据形式计算，这里；，形式计算为；，形式计算为，结果都是整数，符合“最美组合数”定义． 15．（24-25八年级上·江苏南京·期末）【问题提出】 正方形的边长为1，求对角线的长． 【情境再现】 老师在课堂上引导同学们探究边长为1的正方形的对角线的长时，如图1，把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个等腰直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，大正方形的边长即为所求． 【问题探究】 （1）按上述情景，求对角线的长． （2）如图2，将这个边长为1的正方形沿虚线剪开，利用拼图的方法，先画出拼接后的图形，再求对角线的长． 【拓展应用】 （3）如图3，将长为2，宽为1的2个小长方形分别沿对角线剪开，得到4个直角三角形，请用这4个直角三角形在右边的正方形网格中（每个小正方形的边长都是1）拼出顶点在格点上且边长为的正方形． 【答案】（1）；（2）见解析，；（3）见解析 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）由算术平方根的定义，即可解答； （2）根据三角形的面积公式，即可解答； （3）根据正方形的面积为5，边长即为，即可解答． 【详解】解：【问题探究】（1）∵大正方形面积为2， ∴大正方形的边长． (2) 如图所示 有， ∴， ∵， ∴， 解得 或（不符合题意，舍去）． 答：对角线的长为． （3）如图所示 或， ∴． 即正方形的边长为． 学科网（北京）股份有限公司 $