专题08 三角形章末60道压轴题型专训（10大题型）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题08 三角形章末60道压轴题型专训（10大题型） 题型一 三角形三边关系的应用 题型二 根据三角形中线求长度与面积 题型三 全等三角形的性质与判定综合应用 题型四 线段垂直平分线的性质与判定综合应用 题型五 角平分线性质的实际应用 题型六 三角形中的动点问题 题型七 三角形中的翻折问题 题型八 三角形中的旋转问题 题型九 全等三角形综合问题 题型十 全等三角形的辅助线问题综合应用 【经典例题一 三角形三边关系的应用】 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）已知，，是的三边． (1)若，．求第三边的取值范围； (2)若，，第三边为奇数，判断的形状； (3)化简． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，比长多少厘米？ 3．（24-25八年级上·江苏泰州·单元测试）如图，线段与相交于点，且是由平移所得，试确定与的大小关系，并说明理由． 4．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）如图，，点，，，在同一条直线上． (1)若，，求的度数； (2)若，，是奇数，求的长度． 5．（24-25八年级上·江苏常州·期中）阅读与理解： 图①是边长分别为和的两个等边三角形纸片和叠放在一起（点与点重合）的图形． 操作与证明： （1）操作：固定，将绕点按顺时针方向旋转，连接、，如图②，在图②中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； （2）操作：若将图①中的绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接、，如图③，在图③中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； 猜想与发现： 根据上面的操作过程，请你直接写出当为______度时，线段的长度最大，最大是______． 6．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）问题提出：（1）小明和小亮在一次学习中遇到了以下问题，如图①，是的中线，若，求和的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了的取值范围，请你也算一算的取值范围______． 【探究方法】（2）他们遇到的困难是怎么也算不出的取值范围，于是他们求助于学习小组的同学，讨论后发现：延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围______； 【迁移应用】 （3）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：； （4）思考：如图3，是的中线，，请你判断线段与的关系，并加以证明． 【经典例题二 根据三角形中线求长度与面积】 7．（25-26八年级上·江苏无锡·课后作业）如图，已知AD，AE分别是的高和中线，． (1)若的面积为20，求AD的长； (2)若，求DE的长． 8．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）如图，在中，是中线，是高，且，，． (1)_____； (2)求和的周长差． 9．（24-25八年级上·广西·期中）如图①是一张三角形纸片，将对折使点C与点B重合，如图②所示，折痕与的交点记为D． (1)请在图②中画出边上的中线； (2)若，，求与的周长差． 10．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）三角形的一条中线能够将三角形的面积分成相等的两份，如图1，若是的中线，则有的面积等于的面积，若再取和的中点，，连接，，则的面积被分成相等的四份．请用四种不同的方法，将三角形的面积分成相等的四份（如图所示，画出示意图即可，不能与下图的方法相同）． 11．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）（1）已知如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （2）思考：已知如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 12．（24-25八年级上·江苏扬州·开学考试）（面积问题）如图， (1)问题发现：如图1，已知中，点D为的中点，连接，则______（填“>”“<”或“=”）． (2)问题探究：如图2，已知四边形，E，F分别为的中点，连接，四边形与四边形的面积之比是多少？ (3)实践应用：如图3，已知有一块六边形花圃，其中G，H，M，N分别为上的点，且．连接，将花圃分成五块，图中标出的三块区域种植花草，其余两块为观赏区，三块种植区的面积由上至下分别为，，，观赏区的总面积为多少？ 【经典例题三 全等三角形的性质与判定综合应用】 13．（25-26八年级上·江苏无锡·课后作业）如图，，，，垂足均为A，且． (1)求证:． (2)BD，CE互相垂直吗？请说明你的理由． 14．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．（24-25八年级上·江苏宿迁·开学考试）如图，中，E是边的中点，点C在上，作交的延长线于点D． (1)求证：； (2)若于点E，，，求点E到的距离． 16．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）甲、乙两名学生为了测量一池塘两端、的距离，分别设计出下列两种方案： 甲同学的方案 乙同学的方案 如图1，在平地取一个可直接到达、的点，连接、，并分别延长到点，延长到点，使，，测出的长即为的距离． 如图2，过点作，由点观测，在的延长线上取一点，使，测出的长即为的距离． 请你从以上两种方案中任选一种，说明理由． 17．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，和是等腰直角三角形，，，，点E在的内部，且． (1)猜想线段和线段的数量关系，并证明你的猜想； (2)求的度数； (3)当时，______；当时，______； 当时，______；（直接写答案） 18．（24-25八年级上·江苏无锡·单元测试）如图，在和中，，，，连接，交于点M． (1)如图1，当点B，C，D在同一条直线上，且时，可以得到图中的一对全等三角形，即 ； (2)当点D不在直线BC上时，如图2位置，且． ①试说明； ②直接写出的大小（ 用含的代数式表示）． 【经典例题四 线段垂直平分线的性质与判定综合应用】 19．（2025·江苏·模拟预测）如图，在中，，请你用尺规作图的方法，在内部求作一点P，使得平分，且为等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法） 20．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、． (1)求证：； (2)若，求的面积． 21．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的周长为，，求的长． 22．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为． (1)求的长及的度数； (2)分别连接，若的周长为，求的长． 23．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图1，在中，于点，点在上． (1)连接，求证：； (2)如图2，若的延长线交于点，且，垂足为，，原题设其他条件不变，试探索与的数量关系，并证明你的结论． 24．（2025八年级上·江苏盐城·模拟预测）（1）[教材呈现]如图是某版本数学教材的部分内容． 平行四边形的性质定理3平行四边形的对角线互相平分． 我们可以用演绎推理证明这个结论． 已知：如图的对角线和相交于点． 求证：． 请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程． （2）[性质应用]如图2，在中，对角线、相交于点，过点且与边、分别相交于点、，求证：． （3）[拓展提升]在[性质应用]的条件下，连接，若，的周长是13，则的周长是___________． 【经典例题五 角平分线性质的实际应用】 25．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，垂足为，，垂足为，，．求证： (1)平分； (2)． 26．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图．与中，，，，过作垂足为，交的延长线于点．连接． (1)求证： (2)求证：平分； (3)若，求的长． 27．（25-26八年级上·江苏无锡·课后作业）【感知】如图①，平分，易知． 【探究】如图②，如果把“”改为“”，那么还成立吗？请说明理由． 28．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 29．（24-25八年级上·江苏无锡·开学考试）如图，在中，，，于点，点在直线上，且在点的左边，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，设运动的时间为秒，解答下列问题． (1)直接写出线段______，______； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)在上取点，使，连接，当与全等时，求的值； (4)在点运动的过程中，当点到、、中的两条线段所在的直线的距离相等时，直接写出的值． 30．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知平分，点A、B分别是射线上的点，且于点A，点C是射线上的任意一点（点A、B、C都不与点O重合），连接交射线于点． (1)当时，在图1中，求作点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)当，且是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【经典例题六 三角形中的动点问题 31．（24-25八年级上·福建福州·期中）在等边中，点E是上的动点，点E与点A，B不重合，点D在的延长线上，且． (1)如图1，若点E是的中点，求证：． (2)如图2，若 E不是的中点，（1）中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出与的数量关系，若成立，请说明理由． 32．（24-25八年级上·江苏南京·期末）是等边三角形，边在射线上，点D是射线上的动点，当点D在线段上移动且不与点A重合时如图1，点D在线段上移动时如图2，将绕点C逆时针方向旋转得到，连接． (1)任选其中一个图形证明是等边三角形． (2)若的边长为4，且，设，是否存在t值，使是直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 33．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）（1）如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．试猜想与的数量关系，并加以证明： （2）小明逆向思考（1）这个题目并提出问题：如图2，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题． 34．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知，，分别在边，上取点，，使，过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点．点，分别是射线，上动点，连接，，． (1)求证：； (2)如图1，当点，分别在线段，上，且时，请求出线段，，之间的等量关系式； (3)如图2，当点，分别在，的延长线上，且时，延长交于点，延长交于点．请猜想线段，，之间的等量关系，并证明你的结论． 35．（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知，在等边中，点为射线上一点（点与点不重合），连接，以为边在上方作等边，连接． (1)如图，当点是边中点时，求的度数； (2)求证：； (3)如图，当动点在的延长线上时，以为边在其下方作等边，连接，求线段，，之间的等量关系式． 36．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，是边长为的等边三角形，有一个点D从点C出发，沿线段向点B运动，另一个点E从点A出发，沿线段向点C运动，它们同时出发，速度相同均为1厘米每秒，设运动时间为t秒．动点F在线段上，且一直保持． (1)当时，的长为 ； (2)在运动过程中，有成立，请证明； (3)当时，与有什么位置关系？请猜想并证明． 【经典例题七 三角形中的翻折问题】 37．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在等边中，点D为边上一点，将沿翻折得到，连接并延长，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)过点D作交于点G，连接交于点H，求证：． (3)若，，则的长为______（用含a，b的式子表示）． 38．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知中，点E在边上，，平分交于点D ． (1)如图1，找出图中与相等的线段，并证明； (2)如图2，设线段、相交于点P，将沿直线翻折得到，射线交延长线于点Q．若，求的值． 39．（25-26八年级上·江苏无锡·单元测试）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的长； (3)如图③，为边上的一点，将沿翻折得到分别交边于点，且，求的长． 40．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图1，在中，延长至点D，使，E是上方一点，且，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)如图2，若，将沿直线翻折得到，连接与交于点F，若，求证：F是的中点； (3)如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于F，交于G，求线段的长度． 41．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知，在中，，，，D是斜边上一点，连接． (1)当D是的中点时． ①如图①，求的长； ②如图②，过点D作的垂线交于点E，求的长； ③如图③，过点A作的垂线，交的延长线于点M，求的值； (2)将沿直线翻折，使得点A落在同一平面内的点处，当时，求的长． 42．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）我知道，在一个三角形中，①相等的边对的角也相等，②相等的角所对的边也相等． 【问题提出】一个三角形中，①假如两条边不相等，那么这两条边所对的角大小关系如何？ ②假如两个角不相等，那么它们所对的边大小关系又如何？ 【实验探究】如图1，在中，边对，边对，，与有什么样的大小关系呢？ 类比等腰三角形折纸的经验，我们又能够怎样经过折叠比较出与的大小呢？同学们分小组议论沟通，并说明自己是如何经过折纸比较的． 方法一：如图2，将沿的垂直平分线折叠，使点落在点上． 方法二：如图3，将沿边的高翻折，使点落到边上处， 方法三：如图4，将沿的平分线翻折使点落到边上处． 方法四：如图5，在上截取，连接． 方法五：如图6，延长至点，使得，连接． 【问题解决】 （1）选择上述一种方法说明：在中，若，则． （2）尝试说明：在中，若，则． 【知识迁移】 （3）已知：在中，，点为边上一点，，若，试用上面的方法求出的长． 【经典例题八 三角形中的旋转问题】 43．（24-25八年级上·江苏南京·期中）（1）问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为 ． （2）探索：如图②，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）应用：如图③，在四边形中，．若，，求的长． 44．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，，在的角平分线上有一点C，将一个角的顶点放在C，它的两边分别与直线交于D、E． (1)当时，猜想与的数量关系，并加以证明（图1） (2)当与不垂直时，（1）中的关系仍成立吗？并说明理由（图2） (3)当绕C点旋转与的反向延长线相交时，上述（1）的猜想仍能成立吗？若不成立，的数量关系又是什么？请写出来并加以证明． 45．（24-25八年级上·河南郑州·期末）综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． (1)初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； (2)类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； (3)延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 46．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【初步探究】 （1）如图1，为等边三角形，过A点作的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连．与的数量关系是________； 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长交直线于点D．当点P运动到时，若，求的长； 【拓展探究】 （3）如图3，在中，，以为直角边向外作，，，连接．若，，求的长． 47．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）（1）操作发现：小明将一个含角的直角三角板的直角顶点，与边长为2的正方形的中心点重合，然后将三角板绕点旋转．在旋转的过程中，三角板与正方形的重叠部分的图形有两种特殊情况，一种是正方形，一种如图1所示． 请你回答：图1中重叠部分（即）图形的形状是___________，其面积为___________； （2）类比探究：在（1）的基础上，小明将三角板旋转到图2的位置，设它的两条直角边分别与相交于点．研究后小明认为：四边形的面积与（1）中的面积一定相等．你同意小明的观点吗？若同意请你说明理由；若不同意，请举反例说明； （3）拓展延伸：如图3，在长方形中，已知，点是的中点，点分别在边上，且．当点为边的三等分点时，直接写出四边形的面积． 48．（2025·江苏南京·模拟预测）【问题背景】数学课上，王老师让大家将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 【初步感受】 （1）①展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，的理论依据是 ； ②展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：； 【迁移拓展】 （3）如图4，在四边形中，点E为对角线上一点，且，其中，求的长． 【经典例题九 全等三角形综合问题】 49．（24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 50．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，已知中，，为的中点．点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点以每秒个单位长度的速度运动，设运动时间为秒． (1)求的长； (2)若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，且和是对应角，求和的值． 51．（2024·江苏·模拟预测）如图1，在中，，，点D、E分别在边，上，，连接，点M，P，N分别为，，的中点． (1)观察猜想：线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到题图2的位置，连接、、，判断的形状，并说明理由； (3)如图3：在（2）的条件下，当点M恰好落在边上时，已知，，求的面积． 52．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）中，，射线交射线于D，过D作垂直射线于点E，点F在射线上，． (1)如图1，若是的角平分线，求证：； (2)如图2，若射线平分的外角，且点F在射线上，则线段、和的数量关系是______； (3)如图3，在（2）的条件下，过D作交延长线于点M，若，求的长． 53．（2025八年级上·湖南长沙·模拟预测）【基础巩固】（1）如图1，在与中，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点， ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，在与中，，与交于点F，，的面积为18，求的长． 54．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）已知，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且． (1)如图1，若直线经过的内部，且E、F在射线上，，，则 ； （填“”、“”或“”） (2)如图2，若，请添加一个关于与关系的条件，使（1）中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立； (3)如图3，若直线经过的外部，若，则、、三条线段有何数量关系，并予以证明． 【经典例题十 全等三角形的辅助线问题综合应用】 55．（24-25八年级上·江苏常州·期中）已知直线m，n相交于点B，点A，C分别为直线m，n上的点，，且，点E是直线m上的一个动点，点D是直线n上的一个动点，运动过程中始终满足．如图当点E在线段上运动，点D在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由．     56．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，为等边的边延长线上的一动点，以为边向上作等边，连接． （1）求证：； （2）当时，求的度数； （3）与有怎样的数量关系？随着点位置的变化，与的数量关系是否会发生变化？请说明理由． 57．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 58．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在边长为6的等边中，点为边上任意一点，连接将线段绕点逆时针旋转，点的对应点是点，连接、． （1）如图1，求证：； （2）如图2，在旋转过程中，取、的中点、，连接和，当时，试猜想与的大小关系，写出你猜想的关系式，并证明； （3）如图2，在整个旋转过程中，的长度是否发生变化，若不变化，直接写出的值，若变化，请直接写出的取值范围． 59．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，四边形中，，且满足，连结． （1）如图1，当时，求证：． （2）如图2，若，求的值． （3）如图3，延长，交于点D，连结，过点D作，若，．试探究：在射线上，是否存在点E，使得的某一个内角等于的2倍？若存在，连结，求的值；若不存在，请说明理由． 60．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． (1)求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） 请补齐空白处 (2)由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 三角形章末60道压轴题型专训（10大题型） 题型一 三角形三边关系的应用 题型二 根据三角形中线求长度与面积 题型三 全等三角形的性质与判定综合应用 题型四 线段垂直平分线的性质与判定综合应用 题型五 角平分线性质的实际应用 题型六 三角形中的动点问题 题型七 三角形中的翻折问题 题型八 三角形中的旋转问题 题型九 全等三角形综合问题 题型十 全等三角形的辅助线问题综合应用 【经典例题一 三角形三边关系的应用】 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）已知，，是的三边． (1)若，．求第三边的取值范围； (2)若，，第三边为奇数，判断的形状； (3)化简． 【答案】(1) (2)为等腰三角形 (3) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，整式的加减，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系即可求解； （2）根据三角形的三边关系得，然后求出，最后通过等腰三角形定义即可求解； （3）根据三角形的三边关系得，，，然后化简即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：由（）得，， ∵第三边为奇数， ∴， ∴三边为，，， ∴为等腰三角形； （3）解：∵，，， ∴ ． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，比长多少厘米？ 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长 ∴比长． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·单元测试）如图，线段与相交于点，且是由平移所得，试确定与的大小关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】此题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的基本性质得出与平行且相等，再根据三角形的三边关系得出解答即可． 【详解】解：由平移的性质知，与平行且相等，， ∵， ∴， 当B、D、E不共线时， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 根据三角形的三边关系知， 即． 当D、B、E共线时，， 综上，． 4．（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）如图，，点，，，在同一条直线上． (1)若，，求的度数； (2)若，，是奇数，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形三边关系，三角形内角和定理等知识． （1）首先根据全等三角形的性质以及邻补角的定义可得，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）首先根据三角形三边关系得出，进而全等三角形的性质可得，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴， 即， ∴， ∵是奇数， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5．（24-25八年级上·江苏常州·期中）阅读与理解： 图①是边长分别为和的两个等边三角形纸片和叠放在一起（点与点重合）的图形． 操作与证明： （1）操作：固定，将绕点按顺时针方向旋转，连接、，如图②，在图②中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； （2）操作：若将图①中的绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接、，如图③，在图③中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； 猜想与发现： 根据上面的操作过程，请你直接写出当为______度时，线段的长度最大，最大是______． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；， 【分析】（1）根据等边三角形的性质以及旋转的性质证明即可； （2）根据等边三角形的性质以及旋转的性质证明即可，再根据三角形的三边关系即可求出的最大值． 【详解】解：（1）． 证明：绕点按顺时针方向旋转， 与是等边三角形， ，， ， ． （2）． 绕点按顺时针方向旋转的角度为， ， 与是等边三角形， ，， ， ． 根据上面的操作过程可知，由，当在上时即当为时 线段的长度最大，等于． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形的三边关系求最值． 6．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）问题提出：（1）小明和小亮在一次学习中遇到了以下问题，如图①，是的中线，若，求和的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了的取值范围，请你也算一算的取值范围______． 【探究方法】（2）他们遇到的困难是怎么也算不出的取值范围，于是他们求助于学习小组的同学，讨论后发现：延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围______； 【迁移应用】 （3）如图2，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：； （4）思考：如图3，是的中线，，请你判断线段与的关系，并加以证明． 【答案】（1）（2）（3）见解析（4），证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的性质和判定，三角形的三边关系等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． （1）根据三角形的三边关系即可解答； （2）延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围； （3）如图2，延长至点F，使，连接，同理得，则，证明，即可得结论； （4）在的延长线上截取，连接，则，先证明得到和，进一步证明和，再证明得到和，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴的取值范围为：，即； 故答案为：； （2）如图1，延长至点E，使，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）证明：如图2，延长至点F，使，连接， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （4），证明如下： 如图3，在的延长线上截取，连接，则， ∵是的中线， ∴， 同理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题二 根据三角形中线求长度与面积】 7．（25-26八年级上·江苏无锡·课后作业）如图，已知AD，AE分别是的高和中线，． (1)若的面积为20，求AD的长； (2)若，求DE的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线和高，三角形的面积，解决本题的关键是掌握等高的三角形面积比等于底与底的比． （1）根据三角形的中线得，然后利用三角形的面积即可求出； （2）根据，两个三角形的高相等可得，然后利用线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵的面积为， ∴，即， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴，， ∴． 8．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）如图，在中，是中线，是高，且，，． (1)_____； (2)求和的周长差． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中线的性质，中线将三角形分成面积相等的两部分，所以可直接得出的值． （2）的周长为，的周长为，因为，所以周长差为，再根据三角形面积公式求出的长度，进而求出周长差． 本题主要考查了三角形中线和高的性质，熟练掌握中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键． 【详解】（1）解： ∵BE是中线 ∴ ∵ ∴ 故答案为： （2）解：∵BE是中线 ∴ ∵， ∴ ∵AD是高，， ∴ 即 解得 ∵ ∴ 9．（24-25八年级上·广西·期中）如图①是一张三角形纸片，将对折使点C与点B重合，如图②所示，折痕与的交点记为D． (1)请在图②中画出边上的中线； (2)若，，求与的周长差． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查的是翻折的性质，由翻折的性质得到是解题的关键． （1）由翻折的性质可知，然后连接即可； （2）由可知与的周长差等于与的差． 【详解】（1）解：连接，如图所示，边上的中线为所求； （2）解：周长等于，周长等于， 由题意得， 与的周长差等于 与的周长差． 10．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）三角形的一条中线能够将三角形的面积分成相等的两份，如图1，若是的中线，则有的面积等于的面积，若再取和的中点，，连接，，则的面积被分成相等的四份．请用四种不同的方法，将三角形的面积分成相等的四份（如图所示，画出示意图即可，不能与下图的方法相同）． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，根据三角形面积公式同底等高面积相等即可，在三角形中分别找到对应边的中点，再与相对点连接，形成三角形，如此每个三角形均为上一次三角形面积的一半． 【详解】解：如图， 11．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）（1）已知如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （2）思考：已知如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2）且 【分析】（1）用倍长中线模型，构造全等三角形，即可求出中线的取值范围； （2）用倍长中线模型，通过证明三角形的全等，可求出线段与的数量和位置关系． 【详解】解：（1）如下图，延长，使得，则， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，可得：， 即， ∵， ∴， ∴， ∴边上的中线的取值范围为：； （2）且，证明如下： 如下图，延长，使得，延长与交于点H， 由（1）可易证， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，   ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，且． 【点睛】本题考查三角形中线的定义、三角形全等的判定和性质，用倍长中线模型添加辅助线是解本题的关键，综合性较强，难度较大． 12．（24-25八年级上·江苏扬州·开学考试）（面积问题）如图， (1)问题发现：如图1，已知中，点D为的中点，连接，则______（填“>”“<”或“=”）． (2)问题探究：如图2，已知四边形，E，F分别为的中点，连接，四边形与四边形的面积之比是多少？ (3)实践应用：如图3，已知有一块六边形花圃，其中G，H，M，N分别为上的点，且．连接，将花圃分成五块，图中标出的三块区域种植花草，其余两块为观赏区，三块种植区的面积由上至下分别为，，，观赏区的总面积为多少？ 【答案】(1)= (2) (3) 【分析】本题考查三角形的面积与底与高的关系，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）分析题意，连结后，与是等底同高的三角形，所以它们的面积相等；   （2）如图连接，根据E、F是的中点，得出=， =，由此得出四边形的面积正好是原四边形面积的一半； （3）如图连结，得出，分别求出相应三角形面积的大小，然后再求出它们的和即可． 【详解】（1）解：∵点为的中点， ∴， （等底同高）； （2）如图，连接， ∵点为的中点， ∴，, ∴点为的中点， ∴，, ∴． ∴四边形与四边形的面积之比是； （3）如图，连接， ， ， ，， ，， ， ， ， ∴观赏区的总面积是：, ∴观赏区的总面积为． 【经典例题三 全等三角形的性质与判定综合应用】 13．（25-26八年级上·江苏无锡·课后作业）如图，，，，垂足均为A，且． (1)求证:． (2)BD，CE互相垂直吗？请说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的ASA判定定理以及全等三角形的性质，掌握ASA定理和全等三角形对应边相等、对应角相等的性质是解题的关键． （1）通过角度关系找到相等的角，结合已知的边和角相等，证明三角形全等，从而得出对应边相等． （2）利用全等三角形的对应角相等，结合直角三角形的性质，判断线段是否垂直． 【详解】（1）， ，即 ∵在和中： ∴ （2），理由：延长交于点F，由（1）得: 14．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质． （1）先证明，，然后根据，再结合已知条件可得结论； （2）根据，，得出，根据得出，，最后根据和差间的关系，得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴． 15．（24-25八年级上·江苏宿迁·开学考试）如图，中，E是边的中点，点C在上，作交的延长线于点D． (1)求证：； (2)若于点E，，，求点E到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理等知识． （1）根据证明三角形全等即可； （2）过点E作于H，利用全等三角形的性质求出，再利用勾股定理求出，再利用面积法求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：如图，过点E作于H， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 即点E到的距离为． 16．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）甲、乙两名学生为了测量一池塘两端、的距离，分别设计出下列两种方案： 甲同学的方案 乙同学的方案 如图1，在平地取一个可直接到达、的点，连接、，并分别延长到点，延长到点，使，，测出的长即为的距离． 如图2，过点作，由点观测，在的延长线上取一点，使，测出的长即为的距离． 请你从以上两种方案中任选一种，说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键． 甲同学：利用全等三角形的判定定理证得，由全等三角形的对应边相等证得结论； 乙同学：利用全等三角形的判定定理证得，由全等三角形的对应边相等证得结论． 【详解】证明：甲同学：在和中， ∵， ∴， ∴； 乙同学：∵， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴． 17．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，和是等腰直角三角形，，，，点E在的内部，且． (1)猜想线段和线段的数量关系，并证明你的猜想； (2)求的度数； (3)当时，______；当时，______； 当时，______；（直接写答案） 【答案】(1)，见解析 (2) (3)；； 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的判定和性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质等知识，第一问证明全等三角形是关键，第二问运用整体的思想是关键，第三问分情况讨论是关键． （1），证明，可得结论； （2）如图1，先根据三角形的内角和定理可得，根据直角三角形的两锐角互余得：，所以，由（1）中三角形全等可得结论； （3）是等腰三角形时，有三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形等边对等角可得的值． 【详解】（1）解：， 理由如下，如图1，∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴． （2）如图1，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． （3）当时，， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时，， ∴． 18．（24-25八年级上·江苏无锡·单元测试）如图，在和中，，，，连接，交于点M． (1)如图1，当点B，C，D在同一条直线上，且时，可以得到图中的一对全等三角形，即 ； (2)当点D不在直线BC上时，如图2位置，且． ①试说明； ②直接写出的大小（ 用含的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)①见解析；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． （1）由“”可证； （2）①由“”可证，可得； ②由全等三角形的性质可得，由三角形的内角和定理可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：，； （2）解：①∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题四 线段垂直平分线的性质与判定综合应用】 19．（2025·江苏·模拟预测）如图，在中，，请你用尺规作图的方法，在内部求作一点P，使得平分，且为等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【分析】本题主要考查尺规作图的角平分线和中垂线做法，根据角平分线的作法求得平分，再中垂线作法结合求得的垂直平分线，两线的交点即为点P． 【详解】解：如图， 20．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识． （1）连接，利用线段垂直平分线的性质得出，利用等边对等角得出，然后求出，最后根据角平分线的性质即可得证； （2）先利用含的直角三角形性质求出，然后在中利用勾股定理求得，进而根据（1）的结论求得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴． 在中，， ∴． ∴． （2）解：由（1）得在中，， ∴． ∴． ∴． ∴． 21．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)的长为 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质． （1）证明，可得，再证明，可得，结合三角形的外角的性质可得结论． （2）先证明是的垂直平分线，等边对等角求出的度数，再结合（1）的结论求出的度数即可； （3）先求出的长，再根据线段的转化，得到，进而求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：由（1）得：，，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 22．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为． (1)求的长及的度数； (2)分别连接，若的周长为，求的长． 【答案】(1)的长是，的度数是 (2)的长是 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用线段垂直平分线的性质和数形结合的思想解答． （1）根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和可以解答本题； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长及（1）中的长可以解答本题． 【详解】（1）解：∵在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为． ∴，，，， ∴，，， ∴，， 即的长是，的度数是； （2）解：如图， 由题意可得，，，， ∴， ∵的周长为， ∴， ， ∴， ∴， 即的长是． 23．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图1，在中，于点，点在上． (1)连接，求证：； (2)如图2，若的延长线交于点，且，垂足为，，原题设其他条件不变，试探索与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见详解 (2)，证明见详解 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用线段的垂直平分线即可证明； （2）根据条件证明即可得出结果． 【详解】（1）证明：，点是的中点， 垂直平分， ； （2）解：． 理由如下： ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 垂直平分， ，， ， 在和中， ， ， ． 24．（2025八年级上·江苏盐城·模拟预测）（1）[教材呈现]如图是某版本数学教材的部分内容． 平行四边形的性质定理3平行四边形的对角线互相平分． 我们可以用演绎推理证明这个结论． 已知：如图的对角线和相交于点． 求证：． 请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程． （2）[性质应用]如图2，在中，对角线、相交于点，过点且与边、分别相交于点、，求证：． （3）[拓展提升]在[性质应用]的条件下，连接，若，的周长是13，则的周长是___________． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）26 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质；熟练掌握以上性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得出，则，再证，即可得出结论 （2）由平行四边形的性质得出，则，再证，即可得出结论 （3）由，得出，根据垂直平分线的性质得出，则，进而得出的周长，再由平行四边形的性质即可得出结果． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ； （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ； （3）解：如图2， ， ， ， ， ， 的周长， 四边形是平行四边形， ， 的周长． 故答案为：26． 【经典例题五 角平分线性质的实际应用】 25．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，垂足为，，垂足为，，．求证： (1)平分； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“”定理证出，根据全等三角形的性质得出，根据角平分线的判定即可求证； （）证明，根据全等得出，即可求证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在角平分线上， ∴平分； （2）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 26．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图．与中，，，，过作垂足为，交的延长线于点．连接． (1)求证： (2)求证：平分； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】（1）证明，可得，即可求证； （2）过点A作于H，根据，可得，从而得到，再由角平分线的判定定理，即可求证； （3）先证明，可得，从而得到，再证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：在与中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：过点A作于H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分； （3）∵， ∴， 又∵， ∴均为直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等． 27．（25-26八年级上·江苏无锡·课后作业）【感知】如图①，平分，易知． 【探究】如图②，如果把“”改为“”，那么还成立吗？请说明理由． 【答案】成立．理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 感知：由，，得，即可证明，得； 探究：作于点，交的延长线于点，则，由，，得，即可证明，得． 【详解】感知：证明：，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ． 探究：证明：如图②，作于点，交的延长线于点，则， 平分， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 28．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高，三角形的面积，熟练掌握:角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． （1）过点作于点于点，先通过计算得出，，根据角平分线的判定与性质得，则．由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证； （2）根据“的面积的面积的面积”列式求出，得，再求的面积即可． 【详解】（1）证明：，交的延长线于点， ． ， ． ， ． 如图，过点作于点于点， 平分，交的延长线于点， ． ， 平分， ， ． ， 平分； （2）解：的面积的面积的面积， ， ， ， ， ， 的面积． 29．（24-25八年级上·江苏无锡·开学考试）如图，在中，，，于点，点在直线上，且在点的左边，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，设运动的时间为秒，解答下列问题． (1)直接写出线段______，______； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)在上取点，使，连接，当与全等时，求的值； (4)在点运动的过程中，当点到、、中的两条线段所在的直线的距离相等时，直接写出的值． 【答案】(1)4；3 (2)当时，；当时， (3)或10 (4)或6或 【分析】（1）根据勾股定理和等腰三角形的性质，求出结果即可； （2）根据点P的运动速度和运动时间，分两种情况求出线段的长即可； （3）分两种情况：当点P在点D左侧，时，点P在点D右侧，时，分别列出方程，解方程即可； （4）分三种情况讨论：当点P到直线和的距离相等时，当点P到直线和的距离相等时，当点P到直线和的距离相等时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，运动的时间为秒， ∴当时，； 当时，； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 当点P在点D左侧，时，， ∴， 解得：； 当点P在点D右侧，时，， ∴， 解得：； 综上分析可知：或时，与全等； （4）解：∵，， ∴平分， ∴当点P与点D重合时，点P到直线和的距离相等， ∴此时； 当点P到直线和的距离相等时，过点P作于点H，如图所示： 此时， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理：， ∴， 解得：， ∴， 解得：； 当点P到直线和的距离相等时，如上图所示，过点作于点E，此时， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理：， ∴， 解得：， ∴， 解得：； 综上分析可知：当点到、、中的两条线段所在的直线的距离相等时，直接写出的值或6或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 30．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知平分，点A、B分别是射线上的点，且于点A，点C是射线上的任意一点（点A、B、C都不与点O重合），连接交射线于点． (1)当时，在图1中，求作点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)当，且是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 (3)或或 【分析】本题主要考查了垂线的作法、等腰三角形的性质与判定、等腰三角形的存在性问题、掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． （1）如图，过点A作的垂线，交点即C点； （2）根据等角的余角相等证明出，再根据等角对等边即可得到； （3）根据是等腰三角形，分类讨论，分别计算出的度数即可． 【详解】（1）解：图形如图所示； （2）证明：， ， ， ， 平分， ， ， ， ； （3）解：当时，，此时； 如图2中当时，， ； 当时，， ； 综上所述，或或 【经典例题六 三角形中的动点问题 31．（24-25八年级上·福建福州·期中）在等边中，点E是上的动点，点E与点A，B不重合，点D在的延长线上，且． (1)如图1，若点E是的中点，求证：． (2)如图2，若 E不是的中点，（1）中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出与的数量关系，若成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用等边三角形的性质得，平分，，结合等边对等角得，则，即； （2）过E作交于F，结合为等边三角形，证明为等边三角形，则，再整理得，证明，得，故，即可作答． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，E是的中点， ∴，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过E作交于F， ∴ ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴ 32．（24-25八年级上·江苏南京·期末）是等边三角形，边在射线上，点D是射线上的动点，当点D在线段上移动且不与点A重合时如图1，点D在线段上移动时如图2，将绕点C逆时针方向旋转得到，连接． (1)任选其中一个图形证明是等边三角形． (2)若的边长为4，且，设，是否存在t值，使是直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，或14 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的判定可得结论； （2）分四种情况，由旋转的性质和直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵将绕点C逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形； （2）解：存在， ①当时， 根据解析（1）可知：是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 由旋转可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，此时只能， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； ②当时，根据旋转可知：， ∴， ∴此时可能是直角三角形； ③时，点D与点B重合， ∴此时D、B、E不能构成三角形； ④ 当时，由旋转的性质可知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴中只能是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 综上所述：当或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 33．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）（1）如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．试猜想与的数量关系，并加以证明： （2）小明逆向思考（1）这个题目并提出问题：如图2，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，连接，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题． 【答案】（1），证明见解析；（2），见解析 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形： （1）取的中点连接，根据已知条件可证明，即可得出结论． （2）如图所示，在上取连接根据条件可证得出由可得出即可得出结论． 【详解】解：（1），理由如下： 证明：如图所示，取的中点连接， ∵分别为正方形的边的中点， ∵平分 在和中， （2）如图所示：在上取连接 由（1）同理可得 ∴ 34．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知，，分别在边，上取点，，使，过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点．点，分别是射线，上动点，连接，，． (1)求证：； (2)如图1，当点，分别在线段，上，且时，请求出线段，，之间的等量关系式； (3)如图2，当点，分别在，的延长线上，且时，延长交于点，延长交于点．请猜想线段，，之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理等有关知识，通过添加辅助线构造全等三角形，通过证明全等三角形得到线段之间的关系是解题的关键． （1）通过，得到为等腰直角三角形，进而得到，根据过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点，可推出，，最后通过证明，可以得出结论； （2）在射线上取点，使，连接，通过证明≌，得到，，再结合，推导证明，得到，最后等量代换线段即可求解； （3）延长到点，使得，连接，通过证明，得到，，再结合，推导证明，得到，根据，等量代换可知，又因为，推出，进而得到，同理可证，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：，， 为等腰直角三角形， ， 又，且， ， ， ， 同理，， 又， 在与中， ， ， ，，， ∴， （2）如图1， 在射线上取点，使，连接， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又 ． （3）．证明如下： 如图2，延长到点，使得，连接． ，， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， 又， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证：， 在中，． 35．（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知，在等边中，点为射线上一点（点与点不重合），连接，以为边在上方作等边，连接． (1)如图，当点是边中点时，求的度数； (2)求证：； (3)如图，当动点在的延长线上时，以为边在其下方作等边，连接，求线段，，之间的等量关系式． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． （）由是等边三角形，则，又点是边中点，可求，通过等边三角形性质可得，最后利用角度和差即可求解； （）分当点在上时（点与点不重合），当点在的延长线上时两种情况证明即可； （）证明，则，由（）知，，然后通过线段和差即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵点是边中点， ∴， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴； （2）证明：当点在上时（点与点不重合）， ∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和， ， ∴， ∴； 当点在的延长线上时，如图， 同理可证， ∴， 综上，； （3）解：∵是等边三角形，是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∴． 36．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，是边长为的等边三角形，有一个点D从点C出发，沿线段向点B运动，另一个点E从点A出发，沿线段向点C运动，它们同时出发，速度相同均为1厘米每秒，设运动时间为t秒．动点F在线段上，且一直保持． (1)当时，的长为 ； (2)在运动过程中，有成立，请证明； (3)当时，与有什么位置关系？请猜想并证明． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题意可得为的中位线，从而得到，进而得到为等边三角形，即可解答； （2）结合等边三角形的性质以及可得， ，即可解答； （3）过点E作于点G，则，根据直角三角形的性质可得，，由（2）得：，可得，，再由勾股定理可得，然后根据勾股定理逆定理可得，即可解答． 【详解】（1）解：如图， 当时，， ∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∴点D，E分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 故答案为：3 （2）解： 根据题意得：， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴； （3）解：，证明如下： 当时，， ∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∴， 如图，过点E作于点G，则， ∴， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【经典例题七 三角形中的翻折问题】 37．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在等边中，点D为边上一点，将沿翻折得到，连接并延长，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)过点D作交于点G，连接交于点H，求证：． (3)若，，则的长为______（用含a，b的式子表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证出．设，则，由三角形外角的性质可得答案； （2）连接．证明是等边三角形，得出，，证明，由全等三角形的性质得出； （3）过点A作于点M，证出，得出，求出，则可得出答案． 【详解】（1）解：由折叠得，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 设，则， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，过点A作于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 38．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知中，点E在边上，，平分交于点D ． (1)如图1，找出图中与相等的线段，并证明； (2)如图2，设线段、相交于点P，将沿直线翻折得到，射线交延长线于点Q．若，求的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）首先根据，平分得到，，，然后等量代换得到，证明出，得到； （2）根据，设，，证明，根据相似三角形的性质求出，再证明，根据相似三角形的性质求出，，证明，根据相似三角形的性质求出，证明，根据相似三角形的性质可求． 【详解】（1）解：，证明如下： 证明：∵，平分 ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴； （2）解：∵ ∴设， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是考查了全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，利用参数法求解的运用，解答时根据已知条件证明，，是解决本题的关键． 39．（25-26八年级上·江苏无锡·单元测试）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的长； (3)如图③，为边上的一点，将沿翻折得到分别交边于点，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】设，在中，根据，构建方程即可解决问题； 首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题； 设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． 因为四边形是长方形， 所以． 设，则， 在Rt中，因为， 所以，解得， 所以． （2）因为四边形是长方形， 所以． 根据折叠的性质，得． 又因为， 所以． 因为交于点， 所以， 所以， 所以． 设，则． 在Rt中，因为， 所以，解得， 所以． （3）因为四边形是长方形， 所以． 根据折叠的性质，得， 所以． 又因为， 所以，所以， 所以． 又因为， 设，则， 所以． 在Rt中，，解得， 所以． 【点睛】此题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． 40．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图1，在中，延长至点D，使，E是上方一点，且，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)如图2，若，将沿直线翻折得到，连接与交于点F，若，求证：F是的中点； (3)如图3，若，，将沿直线翻折得到，连接交于F，交于G，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）结合条件中角的关系，由三角形外角的性质，得，证出，得，即可证明结论； （2）同（1）证出，结合翻折性质得，结合易得，即，由三线合一得F是的中点； （3）先利用折叠的性质，证明，易得，利用三角形内角和可得，由角的转化得到，最后证明得到，进而求得． 【详解】（1）证明：，，， ， 在与中， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）证明：，，， ， 在与中， ， ， ， ∴， 如图2，连接， 将沿直线翻折得到， ， ， ，即． 由三线合一，得：F是的中点； （3）解：如图，连，延长交延长线于M， 根据折叠的性质，则， ，， ， ∵， ∴， 在与中， ， ， 由（2）知，， ，，， ， ，， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形翻折变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理及其外角性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，其中能够利用全等三角形的性质与翻折性质得到的边、角相等进行等量代换是解题关键． 41．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知，在中，，，，D是斜边上一点，连接． (1)当D是的中点时． ①如图①，求的长； ②如图②，过点D作的垂线交于点E，求的长； ③如图③，过点A作的垂线，交的延长线于点M，求的值； (2)将沿直线翻折，使得点A落在同一平面内的点处，当时，求的长． 【答案】(1)①5；②；③ (2)． 【分析】（1）①利用勾股定理求得的长，再利用直角三角形的性质即可求解； ②利用勾股定理可求得，在中，再利用勾股定理求解即可； ③利用正切函数求得．利用勾股定理列式计算可求得，进一步计算即可求解； （2）利用面积法求得，由，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴，， ∵D是的中点， ∴； ②如图，连接， ∵垂直平分， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴在中，； ③∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； （2）解：如图，设交于点G． ∵， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是解直角三角形、直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，熟记直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． 42．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）我知道，在一个三角形中，①相等的边对的角也相等，②相等的角所对的边也相等． 【问题提出】一个三角形中，①假如两条边不相等，那么这两条边所对的角大小关系如何？ ②假如两个角不相等，那么它们所对的边大小关系又如何？ 【实验探究】如图1，在中，边对，边对，，与有什么样的大小关系呢？ 类比等腰三角形折纸的经验，我们又能够怎样经过折叠比较出与的大小呢？同学们分小组议论沟通，并说明自己是如何经过折纸比较的． 方法一：如图2，将沿的垂直平分线折叠，使点落在点上． 方法二：如图3，将沿边的高翻折，使点落到边上处， 方法三：如图4，将沿的平分线翻折使点落到边上处． 方法四：如图5，在上截取，连接． 方法五：如图6，延长至点，使得，连接． 【问题解决】 （1）选择上述一种方法说明：在中，若，则． （2）尝试说明：在中，若，则． 【知识迁移】 （3）已知：在中，，点为边上一点，，若，试用上面的方法求出的长． 【答案】（1）见解析  （2）见解析  （3） 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，翻折的性质，三角形三边的关系，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）方法一利用翻折可以得到，然后比较角的大小；方法二、三由折叠可得，然后利用三角形的外角大于与它不相邻的内角解题；方法四、五截取，然后根据三角形的外角大于与它不相邻的内角解题； （2）如图2，将沿的垂直平分线折叠，使点落在点上．然后得到点在线段上，再根据三角形的两边之和大于第三边解题即可； （3）延长到，使得，连接，则可得到，，然后证明解题即可． 【详解】（1）方法一：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴； 方法二：将沿边的高翻折， ∴， 又∵是的外角， ∴， ∴； 方法三：由折叠可得， ∵是的外角， ∴， ∴； 方法四：∵， ∴， 又∵是的外角， ∴， 又∵， ∴； 方法五：∵， ∴， 又∵是的外角， ∴， 又∵， ∴； （2）如图2，将沿的垂直平分线折叠，使点落在点上． 则∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在线段上， 根据三角形的两边之和大于第三边可得， 又∵， ∴； （3）解：延长到，使得，连接， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题八 三角形中的旋转问题】 43．（24-25八年级上·江苏南京·期中）（1）问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为 ． （2）探索：如图②，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）应用：如图③，在四边形中，．若，，求的长． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3）6 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答； （2）连接，根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）过点A作，使，连接，证明，得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）， 理由如下：连接， 由题意得：，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）， 理由如下：连接， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∴， 在中，，又， ∴； （3）过点A作，使，连接，， ∵， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理以及旋转变换的性质，二次根式的乘法等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 44．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，，在的角平分线上有一点C，将一个角的顶点放在C，它的两边分别与直线交于D、E． (1)当时，猜想与的数量关系，并加以证明（图1） (2)当与不垂直时，（1）中的关系仍成立吗？并说明理由（图2） (3)当绕C点旋转与的反向延长线相交时，上述（1）的猜想仍能成立吗？若不成立，的数量关系又是什么？请写出来并加以证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)（1）中的关系仍成立，理由见解析 (3)（1）中的关系不成立，应为，理由见解析 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，正确作出辅助线是解本题的关键． （1）先判断出，得出，同理，即可得出结论； （2）同（1）的方法得，再判断出，得出，最后等量代换即可得出结论； （3）同（2）的方法即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴； （2）（1）中结论仍然成立，理由： 过点C作于F，于G， ∴， ∵， ∴， 同（1）的方法得，， ∴， ∵，且点C是的平分线上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）（1）中结论不成立，结论为：， 理由：过点C作于F，于G， ∴， ∵， ∴， 同（1）的方法得，， ∴， ∵，且点C是的平分线上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 45．（24-25八年级上·河南郑州·期末）综合与实践 在《图形的平移与旋转》回顾与思考课上，李老师出示了如下问题：在中，，点在平面内，连接并将线段绕点逆时针旋转与相等的角度，得到线段，连接． (1)初步探究 如图①，点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是 ； (2)类比探究 如图②，点是平面内任意一点，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．请仅以图②所示的位置关系加以证明（或说明）； (3)延伸探究 如图③，在中，，，，是线段边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)4 【分析】（1）旋转的性质得到，，进而得到，证明，即可得出结论； （2）同法（1）即可得证； （3）延长至点，使，连接，作，根据含30度角的直角三角形的性质，推出，证明，得到，进而得到点的运动轨迹，根据垂线段最短结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）成立，理由如下： ∵旋转， ∴，， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； （3）解：延长至点，使，连接，作，则：， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，的长最短，为的长， ∵， ∴； 故的最小值为4． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，垂线段最短，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 46．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【初步探究】 （1）如图1，为等边三角形，过A点作的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连．与的数量关系是________； 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长交直线于点D．当点P运动到时，若，求的长； 【拓展探究】 （3）如图3，在中，，以为直角边向外作，，，连接．若，，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由“SAS”证得可得； （2）连接，，由，可得，根据勾股定理可得，根据是等边三角形，为等边三角形，可知垂直平分，，，再根据勾股定理可得，，从而； （3）分别过点A、C作、的垂线交于点E，连接，由△ACE是等腰直角三角形，根据三角形内角和定理得到，在中，，，得到，得，证明，即得，再由勾股定理得到，即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： 在等边中，，， 由旋转可得，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）连接，，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 由（1）得， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴，， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴； （3）分别过点A、C作、的垂线交于点E，连接，如图： ∴， ∵ ， ∴， ∴，即， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 勾股定理得：， ∴， 在中，，， 勾股定理得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查几何变换综合应用，涉及等边三角形性质及应用，全等三角形判定与性质，直角三角形判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 47．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）（1）操作发现：小明将一个含角的直角三角板的直角顶点，与边长为2的正方形的中心点重合，然后将三角板绕点旋转．在旋转的过程中，三角板与正方形的重叠部分的图形有两种特殊情况，一种是正方形，一种如图1所示． 请你回答：图1中重叠部分（即）图形的形状是___________，其面积为___________； （2）类比探究：在（1）的基础上，小明将三角板旋转到图2的位置，设它的两条直角边分别与相交于点．研究后小明认为：四边形的面积与（1）中的面积一定相等．你同意小明的观点吗？若同意请你说明理由；若不同意，请举反例说明； （3）拓展延伸：如图3，在长方形中，已知，点是的中点，点分别在边上，且．当点为边的三等分点时，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）等腰直角三角形，1；（2）同意，理由见解析；（3）24或30 【分析】题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由正方形的性质即可确定三角形的形状，过点作于点，再由等腰三角形的判定与性质求出，即可求解面积； （2）证明，则，即可进行面积转化； （3）证明，则，分两种情况讨论，靠近点后点靠近点，再由梯形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， ∴； （2）同意小明的观点，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当点为靠近的点的三等分点时，连接， ∵长方形，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点为靠近的点的三等分点时，连接， 同理可证明：， ∴， ∴， 综上所述：当点为边的三等分点时，四边形的面积为24或30． 48．（2025·江苏南京·模拟预测）【问题背景】数学课上，王老师让大家将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 【初步感受】 （1）①展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，的理论依据是 ； ②展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：； 【迁移拓展】 （3）如图4，在四边形中，点E为对角线上一点，且，其中，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）见解析；（3） 【分析】（1）①证明，即可解答；②根据等腰直角三角形的性质可得，，可证明，即可解答； （2）连接，结合正方形的性质以及等腰直角三角形的性质可得，，可证明，即可解答； （3）延长交于点M，根据，可得 ，可证明，从而得到，再由，可得，即可解答． 【详解】（1）解：①∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为： ②∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）如图，延长交于点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要查了正方形的性质以及等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，利用类比思想解答是解题的关键． 【经典例题九 全等三角形综合问题】 49．（24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）利用证明即可； （2）由可得，．根据可得，则可得，则．再证，即证． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵F为的中点， ∴， 又∵，， ∴． （2）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 50．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，已知中，，为的中点．点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点以每秒个单位长度的速度运动，设运动时间为秒． (1)求的长； (2)若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，且和是对应角，求和的值． 【答案】(1)； (2)，或，． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用动点的表达方法求解即可； （2）分类讨论全等的情况，再利用全等的性质列式运算即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∵， ∴； （2）∵，为的中点， ∴， 由题意，得， 由题意知，需分两种情况讨论: 若，则，， ∴，， 解得，； 若，则，， ∴，， 解得，， 由，得， ∴或均符合题意， 综上所述，，或，． 51．（2024·江苏·模拟预测）如图1，在中，，，点D、E分别在边，上，，连接，点M，P，N分别为，，的中点． (1)观察猜想：线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到题图2的位置，连接、、，判断的形状，并说明理由； (3)如图3：在（2）的条件下，当点M恰好落在边上时，已知，，求的面积． 【答案】(1)，； (2)是等腰直角三角形；理由见解析； (3)． 【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出得出，最后用互余即可得出结论； （2）先判断出，得出BD＝CE，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出结论； （3）由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵点P，N是，的中点， ∴，， ∵点P，M是，的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：是等腰直角三角形； 理由：由旋转知，， ∵，， ∴， ∴，， 同（1）的方法，利用三角形的中位线得，，， ∴， ∴是等腰三角形，同（1）的方法得，， ∴， 同（1）的方法得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：∵，，点M是的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 由（2）可得，是等腰直角三角形， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出，，解（2）的关键是判断出，解（3）的关键是求出EC的长． 52．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）中，，射线交射线于D，过D作垂直射线于点E，点F在射线上，． (1)如图1，若是的角平分线，求证：； (2)如图2，若射线平分的外角，且点F在射线上，则线段、和的数量关系是______； (3)如图3，在（2）的条件下，过D作交延长线于点M，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，勾股定理等知识点． （1）根据角平分线性质求出，证，推出证明，得出，即可证明结论； （2）证明，从而有，再证明，得出，即可证明结论； （3）求出，求出，设，根据勾股定理求出，再在中根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，， ∴， ∵在和中 ∴， ∴， ∵在和中 ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵是的外角平分线，， ∴， ∵在和中 ∴， ∴， ∵在和中 ∴， ∴， ∵ ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设， 在中，， ， 解得：， ∴， 在中， ∴． 53．（2025八年级上·湖南长沙·模拟预测）【基础巩固】（1）如图1，在与中，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点， ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，在与中，，与交于点F，，的面积为18，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；②2；（3）的长为6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键. 对于（1），先说明，再根据“边角边”可得答案； 对于（2）①，先说明，可得，再根据得出答案；②作，证明，可得，再根据等腰三角形的性质得，进而求出，最后根据得出答案； 对于（3），连接，同（2）得：，接下来说明，可得.进而得，然后根据，可得，则此题可解. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， 同（1）得：， ∴， ∴； ②如图2，过点A作于点G， 则， 由①可知，， ∴. ∵点F为中点， ∴. 又∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接， 同（2）得：， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴. 即的长为6． 54．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）已知，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且． (1)如图1，若直线经过的内部，且E、F在射线上，，，则 ； （填“”、“”或“”） (2)如图2，若，请添加一个关于与关系的条件，使（1）中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立； (3)如图3，若直线经过的外部，若，则、、三条线段有何数量关系，并予以证明． 【答案】(1)=，= (2)添加的条件为，理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】本题综合考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）证明即可得到，，故． （2）证明和（1）类似，根据即可得到，，故． （3）求出，，根据证，推出，即可． 【详解】（1）解：在图1中，， ，， ， 在和中， ， ，， ， 故答案为，． （2）在图2中，添加的条件为， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ． （3）． 理由是：如图3中， ，， 又，， ， ， 在和中， ， ，， ， ． 【经典例题十 全等三角形的辅助线问题综合应用】 55．（24-25八年级上·江苏常州·期中）已知直线m，n相交于点B，点A，C分别为直线m，n上的点，，且，点E是直线m上的一个动点，点D是直线n上的一个动点，运动过程中始终满足．如图当点E在线段上运动，点D在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点作交于点，可得是等边三角形，得，结合利用全等三角形判定定理证出，得出，最后通过等量代换即可完成证明． 【详解】解：，理由如下： 过点作交于点， ，， 是等边三角形， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ，   ， ， ， ，            在和中， ， ， ， ， ． 56．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，为等边的边延长线上的一动点，以为边向上作等边，连接． （1）求证：； （2）当时，求的度数； （3）与有怎样的数量关系？随着点位置的变化，与的数量关系是否会发生变化？请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；数量关系不变；理由见解析 【分析】（1）先根据等边三角形的性质得出∠BAC＝∠PAQ＝60°，AB＝AC，AP＝AQ，再由SAS定理即可得出结论； （2）由∠APC=∠CAP，∠B=∠BAC，∠B+∠BAC+∠APC+∠CAP=180°，得∠BAP=90°，再结合，进而即可求解； （3）设CD与AP交于点O，由，得∠ACD=∠APD，结合∠AOC=∠DOP，三角形内角和定理，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵△ABC与△APD是等边三角形， ∴∠BAC＝∠PAD＝60°，AB＝AC，AP＝AD， ∴∠BAP＝∠DAC， 在△ABP与△ACD中， ， ∴（SAS）； （2）∵， ∴∠APC=∠CAP， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠BAC=60°， 又∵∠B+∠BAC+∠APC+∠CAP=180°， ∴∠BAC+∠CAP=×180°=90°，即：∠BAP=90°， ∴∠APB=90°-60°=30°， ∴∠ADC=∠APB=30°， ∵△APD是等边三角形， ∴=60°-∠ADC=60°-30°=30°； （3）=，随着点位置的变化，与的数量关系不会发生变化，理由如下： 设CD与AP交于点O， ∵， ∴∠ACD=∠ABP=60°， ∵∠APD=60°， ∴∠ACD=∠APD， 又∵∠AOC=∠DOP，∠AOC+∠ACD+∠PAC=180°，∠DOP+∠APD+∠PDC=180°， ∴=． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 57．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）．理由见解析． 【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是． 如图，延长至，使，连接， ∵，，即：， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论：． 理由：在上截取，连接， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，，则， ∴ ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 即， 即， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 58．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在边长为6的等边中，点为边上任意一点，连接将线段绕点逆时针旋转，点的对应点是点，连接、． （1）如图1，求证：； （2）如图2，在旋转过程中，取、的中点、，连接和，当时，试猜想与的大小关系，写出你猜想的关系式，并证明； （3）如图2，在整个旋转过程中，的长度是否发生变化，若不变化，直接写出的值，若变化，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）FG=FC，证明见解析；（3）变化，． 【分析】（1）根据SAS证△ABE≌△ACD，即可得证CD=BE，又AB=BC，即可得证结论； （2）取AD的中点H，连接HF，HG，BF，根据三角形的中位线定理得HG=AC，FH=ED，根据SAS证△BEF≌△GHF，得出FB=FG，又FB=FC，故FG=FC； （3）先判断当E点与B点重合时FG有最大值，当E点与C点重合时FG有最小值求出FG的取值范围即可． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°，AB=AC=BC， 由旋转可知，AE=AD，∠EAD=60°， ∴∠BAC=∠EAD， ∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAD， ∴∠BAE=∠CAD， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴BE=CD， ∴BC=BE+EC=CD+EC， ∴AB=EC+CD； （2）FG=FC， 理由：取AD的中点H，连接HF，HG，BF， ∵等边三角形ABC，AE⊥BC，点E是BC的中点， ∴∠CAE=∠BAC=30°，∠FEB=90°，FB=FC， ∵∠EAD=60°，AD=AE， ∴∠CAD=30°，△ADE是等边三角形， ∴DE=AE，∠ADE=60°， ∵点H是AD的中点，点F是AE的中点，点G是CD的中点，   ∴HG∥AC，HG=AC，FH∥ED，FH=ED， ∴∠DHG=∠DAC=30°，∠AHF=∠ADE=60°，FH=EF，GH=BE， ∴∠FHG=∠BEF=90°， 在△BEF和△GHF中， ， ∴△BEF≌△GHF（SAS）， ∴FB=FG， ∵AE⊥BC，点E是BC的中点， ∴FB=FC，   ∴FG=FC； （3）FG长度发生变化，3≤FG≤3， 理由：当点E与点B重合时，则点G与点C重合，此时FG最长，如下图， ∵△ABC是等边三角形，点F是AE的中点， ∴AF=AB=×6=3， ∴， 当点E与点C重合时，此时FG最短，如下图， ∵点F是AE的中点，点G是CD的中点， ∴FG=AD=AC=×6=3， ∴． 【点睛】本题主要考查图形的旋转变换，涉及全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质是解题的关键． 59．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，四边形中，，且满足，连结． （1）如图1，当时，求证：． （2）如图2，若，求的值． （3）如图3，延长，交于点D，连结，过点D作，若，．试探究：在射线上，是否存在点E，使得的某一个内角等于的2倍？若存在，连结，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）的值为；（3）存在，或 【分析】（1）过点A作和的垂线，垂足分别为点M、N，根据条件得出，即可求证； （2）过点A作和的垂线，垂足分别为点M、N，根据条件求得，即可求得的值； （3）过点E作于H，作的垂直平分线交于点G，则，即可得到，再根据，求出OG，进而得出，然后根据条件分两种情况讨论：①当，②当，即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点A作和的垂线，垂足分别为点M、N， 当时， ∵ ∴OA平分∠COB 又∵AM⊥OB，AN⊥OC ∴， ∵，， ∴， 又∵∠AMB=∠ANC=90° ∴， ∴； （2）如图，过点A作和的垂线，垂足分别为点M、N， ∵，， ∴， 又∵∠AMB=∠ANC=90° ∴， ∴， 故的值为； （3）如图，过点E作于H，作的垂直平分线交于点G，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当时， ∴， ∴， ∵DF⊥AC， ∴∠CDF=90° ∴∠CDO+∠FDH=90° 又∵EH⊥OB ∴∠DEH+∠FDH=90° ∴∠CDO=∠DEH 又∵∠COD=∠EHD=90° ， ∴， ∴， ∴ ②当时，同理可得， ∴ 综上所述：∴或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用以及锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握这些性质以及准确作出辅助线． 60．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． (1)求证： 证明：延长到点，使 在和中 （__________） 请补齐空白处 (2)由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是__________； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】(1)已作；对顶角相等；； (2) (3)6 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）延长到点，使，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3））延长交的延长线于F，由“”可证，则，，证明，得，根据，即可得的长． 【详解】（1）证明：延长到点，使， 在和中， ， ； （2）由（1）得：，且，， ， 在中，， ； （3）延长交的延长线于F， ∵是的中线 ∴ ，， ， 在和中， ， ，， 又且 ， ， ， ． 即：的长是6． 学科网（北京）股份有限公司 $