专题04 等腰三角形重难点题型专训（4个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题04 等腰三角形重难点题型专训 （4个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 等腰三角形的定义 题型二 等边对等角 题型三 三线合一 题型四 根据等角对等边求边长 题型五 根据等角对等边证明等腰三角形 题型六 根据等角对等边证明边相等 题型七 等腰三角形的性质和判定 题型八 等边三角形的判定和性质 题型九 含30度角的直角三角形 题型十 斜边的中线等于斜边的一半 题型十一 直角三角形的两个锐角互余 题型十二 锐角互余的三角形是直角三角形 拓展训练一 与等腰三角的相关作图问题 拓展训练二 等腰三角形的旋转问题 拓展训练三 等腰三角形的翻折问题 识点一： 等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【即时训练】 1．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）下列结论中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个内角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握等边三角形的判定条件． 根据等边三角形的判定条件：三条边相等的三角形是等边三角形，有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，有两个角是60度的三角形是等边三角形，进行判断即可． 【详解】解：①∵等腰三角形有一个外角是， ∴与这个外角相邻的内角是， ∴这个等腰三角形是等边三角形，正确； ②等腰三角形有两个外角相等，当这两个外角是两个底角相邻的外角时，等腰三角形不是等边三角形，错误； ③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，如这条高是底边的高也满足这条高是底边的中线，但是这个三角形不一定是等边三角形，错误； ④三个内角都相等的三角形是等边三角形，正确． 故选C． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，，若 ，则是等边三角形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，根据等边三角形的定义进行分析，即可求解． 【详解】解：当或或或或时，是等边三角形， 故答案为：（答案不唯一）． 知识点二：等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质，分为顶角和底角两种情况分析求解即可． 【详解】解：若为顶角，符合题意； 若为底角，但不符合三角形的内角和定理， 故该等腰三角形的顶角是． 故选：D． 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质．在解题的过程中要注意三条线段能否构成三角形．根据等腰三角形的性质进行分类讨论求解即可． 【详解】解：等腰三角形的两条腰相等， ①当腰为时，三角形的三边为：、、，能构成三角形，其三角形的周长为：； ②当腰为时，三角形的三边为：、、，能构成三角形，三角形的周长为：； 故答案为：或． 知识点三：等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： （1）要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·云南丽江·期中）如图，，点为上一点，且，过点作交于点，若，，则的长是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂直的定义，连接，根据垂直的定义及，得到，根据等腰三角形的定义得到，由即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，中，，，，D为斜边上不与端点A、B重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接．若为等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键．由题意可知，是等腰直角三角形，则，由折叠的性质可知，，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据点的分为分两种情况分别求解即可． 【详解】解：，为等腰三角形， 是等腰直角三角形， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 如图1，当点在上时，，则； 如图2，当点在的延长线上时，，则； 综上可知，的长为或 故答案为：或． 知识点四： 等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是等边三角形，点在的延长线上，交于点，若，则的长为（   ） A．12 B．8 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得：，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，等边周长是18，是的平分线，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查等边三角形的性质，“三线合一”，根据等边三角形三边相等可得，根据“三线合一”可得是的中线，即可得出． 【详解】解：等边周长是18， ， 是的平分线，， 是的中线， ， 故答案为：3． 【经典例题一 等腰三角形的定义】 【例1】（24-25八年级上·河南安阳·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为5和8，则它的周长为（    ） A．18或21 B．18 C．21 D．22 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 分两种情况进行求解即可． 【详解】解：分两种情况： （1）腰长为5，则周长为： （2）腰长为8，则周长为： 综上，周长为18或21． 故选：A． 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，ABCD是正方形，△CDE绕点C逆时针方向旋转90°后能与△CBF重合，那么△CEF是（　　） A．.等腰三角形 B．等边三角形 C．.直角三角形 D．.等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据旋转的性质推出相等的边CE＝CF，旋转角推出∠ECF＝90°，即可得到△CEF为等腰直角三角形． 【详解】解：∵△CDE绕点C逆时针方向旋转90°后能与△CBF重合， ∴∠ECF＝90°，CE＝CF， ∴△CEF是等腰直角三角形， 故选：D． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，掌握图形旋转前后的大小和形状不变是解决问题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）等腰三角形的周长为，底边为，则等腰三角形的腰为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的两腰相等列式计算即可得解，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为，底边为， ∴等腰三角形的腰为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与中，连接交射线于点M，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形： 如图作于H，由得，再证明得，即可解决问题． 【详解】解：如图作于H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵和都是等腰三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）已知：如图所示和都是等腰直角三角形，，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，由和都是等腰直角三角形可得，，则可证，利用可证得，由此即可得证． 【详解】证明：和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， 在和中 ， ． 【经典例题二 等边对等角】 【例2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）在中，有下列四个命题： ①如果，那么；    ②如果，那么； ③如果，那么；    ④如果，那么． 其中，真命题的个数有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及边角关系定理；根据等腰三角形的性质及边角关系定理逐一判断四个命题的真假即可． 【详解】解：命题①：若，则为等腰三角形，∴底角，故正确． 命题②：若，由等角对等边可知，故正确． 命题③：若，根据大边对大角定理，对的角大于对的角，故正确． 命题④：若，根据大角对大边定理，对的边大于对的边，故正确． 综上，四个命题均为真； 故选：A． 1．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，是等腰三角形，，，BP平分；点D是射线BP上一点，如果点D满足是等腰三角形，那么的度数是（    ）． A．20°或70° B．20°、70°或100° C．40°或100° D．40°、70°或100° 【答案】D 【分析】由于中，腰底不确定，故需要分情况讨论，然后根据等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：当时，如图所示， ，， ， 平分， ， ， ， 当时，如图所示， ，， ， 平分， ， ， ． 当时，如图所示， ，， ， 平分， ， ， ， 故的度数是：、或， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质及分类讨论的思想求解，本题属于中等题型． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，以为斜边作等腰直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质，根据直角三角形的性质求出，分与在斜边的两侧、同侧两种情况计算，得到答案．掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 当与在斜边的两侧时，， ， 当与在斜边的同侧时，， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图是一个非机动车的交通指示牌，自行车车架的支撑部分可以看成两个共边的三角形，若，，，则 ． 【答案】70 【分析】本题考查等腰三角形性质与平行线性质的综合运用，解题关键是熟练 等腰三角形和平行线的性质； 先依据等腰三角形等边对等角及三角形内角和，求出的度数；再利用平行线同旁内角互补，算出的度数；最后通过与的差，得到的度数． 【详解】∵，， ∴ ． ∵，， ∴， ∴， 故答案为：70． 4．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）如图，在中，，点D为中点，于点E，交于点F，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】本考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定；过点作交的延长线于点，证明，进而可得，，证明，得出，即可得证． 【详解】证明：如图，过点作交的延长线于点， ∵在中，， ∴， ∵ ∴，，即， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵点D为中点 ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴． 【经典例题三 三线合一】 【例3】（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，在中，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，是的角平分线，点，是上的两点，连接，，，．若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A．15 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，全等三角形的判定和性质． 根据等腰三角形三线合一可得，，证明，，可知阴影部分的面积是面积的一半，进而计算即可． 【详解】解：，是的角平分线， ，，， ∵，， ∴，， ∴阴影部分的面积是面积的一半 ，， 阴影部分的面积． 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，是的角平分线，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 根据等腰三角形的三线合一性质进行计算，即可解答． 【详解】解：，是的角平分线， ， 故答案为：7． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在等腰三角形中，，点D为边的中点，边的垂直平分线交于点E，F，若的面积为，直线上有一动点P，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查中垂线的性质，三线合一，连接，中垂线的性质得到，进而得到，三线合一，求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵边的垂直平分线交于点E，F， ∴， ∴， ∵，点D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为： 4．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图， 在中，，点D、E是边上两点，连接，以为腰作等腰直角，，作于点E，，作于点G． (1)证明∶； (2)若，，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）利用证明，即可； （2）利用等腰三角形的性质结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题四 根据等角对等边求边长】 【例4】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，点D在边上，连接，，，则的长度等于（    ） A．7 B．8 C．10 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等角对等边求出，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵， ∴， 故选∶B． 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，点为右侧一点，连接、，，，若，，则的周长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了等角对等边．根据等角对等边求得，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为， 故选：B． 2．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·课后作业） 如图，，．若，的周长为10，则的周长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质．通过证明，由等角对等边求得，据此求解即可． 【详解】证明：在和中，   ， ∴， ∴的周长等于的周长， ∵， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴的周长， ∴的周长为14． 故答案为：14． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于点，，求的长． 【答案】14 【分析】本题综合考查了平行线的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质、角平分线的性质推知， 则，同理可得，所以线段的长度转化为线段的和即可得到答案． 【详解】解：∵，平分，， ∴，， ∴， ∴； 同理，平分，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【经典例题五 根据等角对等边证明等腰三角形】 【例5】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 根据等腰三角形的判定条件，即至少有两个角相等或两边相等，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．由，总份数为，故，．因，则，为等腰三角形，不符合题意； B．边比例，说明，故为等腰三角形，不符合题意； C．，，则．因，则，为等腰三角形，不符合题意； D．由，结合内角和，得，即，．但无法确定与是否相等，例如，时，不为等腰三角形．符合题意． 故选：D． 1．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，中线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于，如图，先证明得到，则利用等腰三角形的性质得到，再根据三角形面积公式得到，，所以． 【详解】解：延长交于，如图， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：C． 2．（24-25八年级上·广东江门·期中）在三角形中，已知，，那么的形状是 ． 【答案】等腰三角形 【分析】因为三角形的内角和是180度，用180分别减去两个角的度数，即可求出第三个角的度数，进而依据三角形的分类方法，即可判断出这个三角形的类别． 【详解】解：∵，且 ∴ ∴ ∴ 所以这个三角形是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定定理、熟练掌握等腰三角形的判定方法是解答本题的关键． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·课后作业）把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是 ． 【答案】等腰三角形 【分析】该题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握折叠前后角度不变是解题的关键．根据折叠的性质得到，而，即可得，证得，从而得到的形状． 【详解】解：在长方形纸片中， ∴， 根据折叠可得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 4．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，的高，相交于点且，求证：为等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要是全等三角形判定与性质以及等腰三角形的判定问题； 先运用全等三角形的判定方法可得； 再运用全等三角形的性质可得，进而求解即可． 【详解】证明：∵的高相交于点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【经典例题六 根据等角对等边证明边相等】 【例6】（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，，若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，先根据，推出，结合，推出，即可得到，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 1．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，在中，分别平分，，且，，的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线的定义及平行线的性质可得，即得，同理得到，进而由得到，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， 故选：． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明，，再根据的周长，从而得出答案． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理， 的周长， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，矩形中，平分交于点E，连接，若，，则的长是 ． 【答案】17 【分析】由矩形的性质和根据勾股定理可求出EC=12，再证明BE=AB=5，即可求出BC的长，进而可求出AD的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=90°，AB=CD=5，，AD=BC， ∵DE=13，CD=5， ∴， ∵， ∴∠AEB=∠DAE， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠BAE=∠AEB， ∴BE=AB=CD=5， ∴BC=BE+EC=5+12=17， ∴AD=17， 故答案为：17． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识；解题的关键是灵活运用矩形的性质和等腰三角形的判定． 4．（2025八年级·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，点是的中线上一点，连接并延长交于，，．试求出的长． 【答案】的长为． 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，等角对等边． 延长至，使，连接，证明，可得，，等量代换，等角对等边，结合已知即可得的长． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． ∴的长为． 【点睛】 【经典例题七 等腰三角形的性质和判定】 【例7】（25-26八年级上·江苏无锡·单元测试）如图，已知为内一点，平分，若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形． 延长与交于点E，由可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，根据，，即可推出的长度． 【详解】解：延长与交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又平分， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在等边中，，垂足为，是上一点，．则的度数为（   ） 如图，等边三角形中，，垂足为D，点E在线段上，且，则等 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，，，再证明，进一步可得答案． 【详解】解：在等边中，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A 2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD，∠ABC＝110°，则∠ADC的度数为 ． 【答案】125°/125度 【分析】利用等腰三角形的性质和四边形内角和定理可得答案． 【详解】∵AB＝BC＝BD， ∴∠A＝∠ADB，∠BDC＝∠C， ∵∠A+∠ADB+∠C+∠BDC+∠ABD+∠CBD＝360°， ∴2∠ADB+2∠CDB+∠ABC＝360°， ∴2（∠ADB+∠CDB）+110°＝360°， ∴∠ADB+∠CDB＝125°， 即∠ADC＝125°， 故答案为：125°． 【点睛】考查等腰三角形的性质以及四边形的内角和，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，将绕点逆时针旋转78°，得到．若点在线段的延长线上，则的度数是 °． 【答案】51 【分析】由旋转的性质可得AB=AD，∠BAD=78°，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转78°，得到△ADE， ∴AB=AD，∠BAD=78°， ∴∠B=∠ADB=51°， 故答案为：51． 【点睛】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解决本题的关键是要熟练运用旋转的性质． 4．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，在中，平分，交于点，为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，角的平分线上的点到角的两边的距离相等． （1）依据角平分线的定义以及等边对等角，即可得到，即可判定； （2）过作于，依据角平分线的性质，即可得到，再根据，即可得出的到长，进而得到的长． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ， ； （2）解：如图，过作于， ，平分， ， ，， ， ， ． 【经典例题八 等边三角形的判定和性质】 【例8】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，将四根长度相等的细木条首尾顺次相连，用钉子钉成四边形，若，则两点间的距离是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】此题重点考查等边三角形的判定与性质，正确地作出辅助线是解题的关键．由题意可知，连接，因为，所以是等边三角形，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，， ， ， 是等边三角形， ， ，两点间的距离为2． 故选：C． 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在等边中，、分别在、上，，连接、交于，连接．下列判断不正确的是（   ）． A．是等边三角形； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形的垂直平分线；根据等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形的垂直平分线逐一判断即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形；故A正确； ∵是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故D正确； ∴为中垂线上的点， ∵， ∴为中垂线上的点， ∴垂直平分； ∴；故B正确； 题中并没有说是的中点， ∴无法确定，故C错误； 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期末）在中，，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，先根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到是等边三角形，然后根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，是等边中边上的点，，，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由等边三角形的性质得，，而，，即可根据证明，得，，所以是等边三角形，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：是等边三角形，点在上， ，， 在和中， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知是边长为10的等边三角形，P是边上一点，点Q在射线上．设的长为x． (1)如图1，当，且时．求证：； (2)当时，连接，交边于点D，且D是线段的中点． ①如图2，作交于点E，且，求x的值； ②如图3，作于点F．随着x的增大，线段的长是否发生变化？若不变，求线段的长；若发生变化、请说明理由； ③如图4，长为1的木条在边上，且．若②中的点F恰好落在木条上（不包括端点），请直接写出x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①13；②不变，；③ 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）结合等边三角形性质证明全等即可； （2）①由（1）知，，先证明是等边三角形，得到，再证明，得到，即可得解； ②作，交于E，由①知，是等边三角形，，则，再根据等边三角形三线合一的性质可得，即可得解； ③分两种情况讨论：当点F在M处时，作，交于E；当F在N处时，结合上述结论求解即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， ， ； （2）解：①由（1）知，， ， ，，， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ， ； ②如图1，的长不变，理由如下， 作，交于E， 由①知，是等边三角形，， ， ， ， ， 的长不变； ③如图2，当点F在M处时，作，交于E， 由上知，是等边三角形，， ， 此时， 当F在N处时，此时， ， ， ． 【经典例题九 含30度角的直角三角形】 【例9】（25-26八年级上·江苏无锡·课后作业）在中，，，，则的长是（   ） A．1 B．4 C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图： ∵在中，，，， ∴， 故选：B． 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】过P作PC垂直于MN，由等腰三角形三线合一性质得到MC＝CN，求出MC的长，在直角三角形OPC中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OC的长，由OC﹣MC求出OM的长即可． 【详解】解：过P作PC⊥MN于C， ∵PM＝PN， ∴C为MN中点，即MC＝NC＝MN＝1， 在Rt△OPC中，∠AOB＝60°， ∴∠OPC＝30°， ∴OC＝OP＝4， 则OM＝OC﹣MC＝4﹣1＝3， 故选：A． 【点睛】此题考查了含30度角的直角三角形，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键． 2．（2025·江苏·模拟预测）如图，，，于点，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质、含角的直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解题的关键． 作于H，根据角平分线的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据平行线的性质和等腰三角形的判定解答即可． 【详解】解：作于H． ∵，，， ∴，． ∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：2． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，是的中垂线，分别交、于点、，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质及直角三角形的性质，连接构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，根据三角形内角和定理可求出的度数，根据线段垂直平分线的性质可得出，，进而可求出的度数，由直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：连接， 中，，， ， 是的中垂线， ，， ， ， 是直角三角形， ∴， ， ． 4．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿，方向匀速移动，其中点运动的速度是，点运动的速度是，当点到达点时，、两点都停止运动，设运动时间为（），解答下列问题： (1)在点与点的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出，若不能，请说明理由． (2)当为何值时，是直角三角形？ 【答案】(1)能，当时，是等边三角形 (2)当或时，是直角三角形 【分析】本题考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握含的直角三角形的性质是解题关键． （1）由等边三角形的性质列方程即可求解； （2）分情况讨论，由含30度角的直角三角形的性质列方程即可求解． 【详解】（1）解：能，∵为等边三角形， 根据题意得，， ∴， ∴． ∴时，为等边三角形， ∴， 解得； ∴当时，是等边三角形． （2）∵，， ∴， 当时， ∵． ∴， ∴， 即， 解得； 当时，同理， 即， 解得． 综上所述：当或时，是直角三角形． 【经典例题十 斜边的中线等于斜边的一半】 【例10】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出结果即可，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 【详解】解：∵公路，互相垂直， ∴， ∵为中线， ∴， 故选：． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·课后作业）如图，在中，于点F，于点E，M为的中点，，则的周长是（    ） A．7 B．10 C．11 D．14 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM＝FM＝BC，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解． 【详解】∵，M为的中点， ∴， ∴的周长 故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=4，则EF= ． 【答案】4 【分析】根据是直角三角形，CD是斜边的中线得AB=8，根据EF是的中位线，即可得． 【详解】解：∵是直角三角形，CD是斜边的中线， ∴， 则， ∵EF是的中位线， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线，解题的关键是掌握这些知识点． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，Rt△ABD中，∠D＝90°，AB＝8，BD＝4，在BD延长线上取一点C，使得DC＝BD，在直线AD左侧有一动点P满足∠PAD＝∠PDB，连接PC，则线段CP长的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】如图，取AD的中点O，连接OP、OC，然后求出OP、OC的长，最后根据三角形的三边关系即可解答． 【详解】解：如图，取AD的中点O，连接OP、OC ∵∠PAD=∠PDB，∠PDB+∠ADP=90°， ∴∠PAD+∠ADP=90°，即∠APD=90°， ∵AO=OD， ∴PO=OA=AD， ∴ ∴OP=， ∵BD=CD=4，OD=， ∴ ∵PC≤OP+OC， ∴PC≤， ∴PC的最大值为． 故填：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识点，解题的关键在于正确添加常用辅助线，进而求得OP、OC的长． 4．（2025·安徽淮南·模拟预测）如图1，在△ABC中，BM是中线，AH是高，于D，． (1)求证：D为BM的中点； (2)如图2，连接AD并延长交BC于E，若，． ①求证：；②求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）连接MH，由BM是中线，AH是高，可得，由BH=CM，可得BH = MH，由HD⊥BM，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得出D为BM的中点； （2）①连接MH，由AB= BM，得出∠BAM=∠BMA，由EA=EC，得出∠EAC=∠C，由∠BAM =∠BAE+∠EAC，∠BMA=∠MBC+∠C，得出∠BAE=∠MBC，再由公共角，即可证明；②由BA=BM，D是BM的中点，得出，由，可得，由，即可得出． 【详解】（1）证明：如图1，连接MH， ∵BM是中线，AH是高， ∴MH是Rt△AHC斜边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴D为BM的中点； （2）①证明：如图2，连接MH， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：∵，D是BM的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握等腰三角形“三线合一”的性质及相似三角形的判定方法是解题的关键． 【经典例题十一 直角三角形的两个锐角互余】 【例11】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，中，，是高，则与（    ） A．互余 B．互补 C．相等 D．没有关系 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角的关系写出即可． 根据直角等于写出关系式，然后根据同角的余角相等即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是高， ∴， ∴． 故选：C． 1．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图所示，已知，点E在上，，，则下列结论不成立的是（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．利用全等三角形的判定证明，得出，，推出平分，再根据直角三角形的性质得到，则有，结合选项即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 由题意无法证明， 结合选项可知，选项A、B、C结论成立，不符合题意；选项D结论不成立，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，，，，则 ． 【答案】/24度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质，关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质． 根据直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可求． 【详解】解：， ， ， ， ， 是角平分线， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当与的一边垂直时， ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了三角形折叠中的角度问题，直角三角形两锐角互余，正确进行计算是解题关键，分当D点在线段上时，当点D点在线段延长线上讨论，画出对应的图形，根据三角形内角和定理和折叠的性质求解即可． 【详解】解：当D点在线段上且时， 由折叠可知：， ， ， ， ； 当D点在线段上且时， 由折叠的性质可得， ； 当D点在线段延长线上且时， 同理可得； 当D点在线段延长线上且时， ， ， ， ， 故答案为：或或． 4．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）把两个含有角的直角三角板和如图放置，点D在上，连接，，的延长线交于点F． (1)图中是否有全等三角形？如果有，请指出并加以证明． (2)试探究与的关系，并说明理由． 【答案】(1)有，，证明见解析 (2)，，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定即可证明； （2）根据全等三角形的性质和直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：图中有全等三角形，证明如下： 由题意得，，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， 在和中 ∴； （2）解：，，理由如下： ∵， ∴，， ∴点A，C，E在同一直线上， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【经典例题十二 锐角互余的三角形是直角三角形】 【例12】（24-25八年级上·江苏苏州·开学考试）在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系是解题的关键 根据勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系分析各选项是否满足直角三角形的条件即可． 【详解】解：分析各选项如下： 选项A、∵展开得即符合勾股定理逆定理，故是直角三角形； 选项B、∵ ∴． 又∵三角形内角和为， ∴，故是直角三角形； 选项C、设, 则,不能构成三角形，故该选项符合题意； 选项D、设则． ∵， ∴，解得，则，故是直角三角形． 故选：C． 1．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）已知的三个角分别是、、，下列选项中：①；②；③，④，⑤，不能判断是直角三角形的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和是和有两个角互余的三角形是直角三角形是解题的关键；根据直角三角形的判定，三角形的内角和定理逐项计算判定即可． 【详解】解；①，， ， ， 是直角三角形； ②，， ， 是直角三角形； ③，， ， 不是直角三角形； ④，， ， ， 不是直角三角； ⑤， 设，则， ， ， 解得：， ， 不是直角三角形； 综上所述，不能判断是直角三角形的有3个， 故选：． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图中，在边上，在边上，，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的定义，角度的和差计算，掌握等边对角，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据题意，设，则，可得，根据等边对等角可得，再由，即可求解． 【详解】解：设， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，分别为边的中点，已知，若与互余，则图中阴影部分的面积等于 ． 【答案】3 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形中线的性质．根据与互余求得，根据三角形的面积公式求出的面积，再根据中线平分三角形的面积，进行求解即可． 【详解】解：∵与互余，即， ∴， ∴． ∵点D、E、F分别为边、、的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：阴影部分的面积为3． 故答案为：3 4．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，是的高，E为上一点，交于F，且有，． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，锐角互余的三角形是直角三角形： （1）先通过“”证明，得，即可作答． （2）因为，易得，结合，由锐角互余的三角形是直角三角形，即可作答． 【详解】（1）解：∵为的高， ∴． 在和中， ∴． ∴， ∴为等腰直角三角形， 故． （2）证明：∵， ∴， 即． ∵在中，， ∴在中，， ∴， ∴． 【拓展训练一 与等腰三角的相关作图问题】 1．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边对等角，全等三角形的判定，尺规作图作一个角的平分线，熟练掌握全等三角形的证明方法和尺规作图的方法是解题的关键． （1）先利用得出，再利用证明即可； （2）利用根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：如图，即为所求作． 2．（24-25八年级上·江苏南京·开学考试）房屋的屋顶常常设计为等腰三角形的形状，既是为了结构更牢固，也是为了追求对称美观和排水效果，如图1所示．如图2是屋顶设计图一部分，，米． (1)尺规作图：为了屋顶更稳固，需要加一根立柱支撑，立柱垂直于横梁，垂足为点．请在图2中作出立柱（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)当时，求立柱的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作平分交于点D，线段即为所求； （2）证明，利用直角三角形斜边中线的性质求解． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2），平分， ， ， （米）． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在学习等腰三角形时，读思学习小组对等腰三角形进行了下列探究：如图，在中，，于点，过点作的垂线，垂足为，他们通过证三角形全等得到线段与相等．于是他们得到结论是等腰三角形两腰上的高相等．请根据该小组的思路完成下面作图和解答． (1)如图，用直尺和圆规，完成基本作图：过点作的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）． (2)证明：，①______． ，，②______． ，③______． ． 进一步思考，如果上面的，是的中线，请模仿上述探究猜想得到的结论：等腰三角形④______相等． 【答案】(1)见解析 (2)，，；两腰上的中线，证明见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂线的作图等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键． （1）根据垂线的作图步骤作图即可； （2）证明，即可得到结论，再证明．即可证明猜想得到的结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）证明：， ①． ，， ②． ， ③． ． 故答案为：，， 进一步思考，如果上面的，是的中线，请模仿上述探究猜想得到的结论：等腰三角形两腰上的中线相等． 证明：，，是的中线， ．， ， ． ． 故答案为：两腰上的中线 【拓展训练二 等腰三角形的旋转问题】 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接． (1)判断并说明的形状； (2)若，求的度数． 【答案】(1)为等腰三角形，见解析 (2)的度数为． 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质． （1）根据旋转的性质可推出结论； （2）根据旋转的性质得出，根据平行线的性质得出，从而得出结果． 【详解】（1）解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴的形状为等腰三角形； （2）解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴ ． ． ∴， ∴的度数为． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期末）（1）操作发现：小明将一个含角的直角三角板的直角顶点，与边长为2的正方形的中心点重合，然后将三角板绕点旋转．在旋转的过程中，三角板与正方形的重叠部分的图形有两种特殊情况，一种是正方形，一种如图1所示． 请你回答：图1中重叠部分（即）图形的形状是___________，其面积为___________； （2）类比探究：在（1）的基础上，小明将三角板旋转到图2的位置，设它的两条直角边分别与相交于点．研究后小明认为：四边形的面积与（1）中的面积一定相等．你同意小明的观点吗？若同意请你说明理由；若不同意，请举反例说明； （3）拓展延伸：如图3，在长方形中，已知，点是的中点，点分别在边上，且．当点为边的三等分点时，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）等腰直角三角形，1；（2）同意，理由见解析；（3）24或30 【分析】题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由正方形的性质即可确定三角形的形状，过点作于点，再由等腰三角形的判定与性质求出，即可求解面积； （2）证明，则，即可进行面积转化； （3）证明，则，分两种情况讨论，靠近点后点靠近点，再由梯形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， ∴； （2）同意小明的观点，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当点为靠近的点的三等分点时，连接， ∵长方形，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点为靠近的点的三等分点时，连接， 同理可证明：， ∴， ∴， 综上所述：当点为边的三等分点时，四边形的面积为24或30． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）在中，． 【问题发现】 （1）如图1，点是边上一动点（点不与点、重合），连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接、、则线段与的数量关系：_________，位置关系：_________． 【探究证明】 （2）如图2，点是射线上一动点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接、．请判断线段与的数量关系与位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，点是外一点，连接、、，当，且时，请求出四边形的面积． 【答案】（1）；（2）．证明见解析；（3） 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）利用证明得，即可得，从而可得； （2）利用证明得，则易得，从而得，即； （3）将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接．同理由可证明≌，，；由， 可得点在线段上，则由即可求解． 【详解】解：（1）由旋转知，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 即， ∴； 故答案为：． （2）判断：． 证明：由题意知，， ∵， ∴， ∴， ∴≌， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图3所示，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接． ∴同理可证≌， ∴，． ∵在四边形中，， ∴， ∴， ∴点在线段上． 由旋转知， ∴是等腰直角三角形，， ∴． 【拓展训练三 等腰三角形的翻折问题】 1．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）图，在等腰中，，，平分，折叠使得点B与点C重合，折痕交于点E、F、G，连接交于点H． (1)试说明：； (2)连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)45度 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形全等的判定及性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． （1）由折叠可知，，垂直平分，然后导角证明，进而可证明，则； （2）由线段垂直平分线的性质得到，则，再求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：由折叠可知，，垂直平分， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，点在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点，处． (1)求的度数； (2)若，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查折叠的性质（对应角相等、对应线段相等、折痕垂直平分对应点连线 ）、角的和差计算及三角形面积公式．熟练掌握折叠性质，利用其转化角和线段的等量关系，是解题关键． （1）利用折叠性质，将转化为与相关的角，通过角的和差计算其度数； （2）依据折叠性质得出线段相等关系，确定的高与底，结合面积公式求解． 【详解】（1）解：由折叠可得，． ， ； （2）解：由折叠性质：，且；． 由（1）知，且， 为等腰直角三角形， ． ， ． 3．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）问题初探：（1）如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点．求证：； 方法迁移：（2）如图2，是的角平分线，．求证：； 问题拓展：（3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】 （1）证明过程见解析； （2）证明过程见解析； （3）线段，，之间的数量关系为． 【分析】（1）由折叠的性质可证三角形全等，可得对应边相等，对应角相等，结合已知，可得等腰直角三角形，等量代换，即可证得结论； （2）在上截取，综合全等三角形的判定和性质，可得，结合已知和三角形外角的性质，可得等腰三角形，等量代换，即可证得结论； （3）在射线上截取，结合角平分线，可证三角形全等，对应边相等，对应角相等，由已知结合三角形外角的性质，可得等腰三角形，等量代换，即可得出线段，，之间的数量关系． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：如图，在上截取， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：， 证明：如图，在射线截取，连接， ∵是的外角的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：线段，，之间的数量关系为． 【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线． 1．（25-26八年级上·江苏苏州·开学考试）一个等腰三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，它的周长是（   ） A．7厘米 B．10厘米 C．11厘米 D．10厘米或11厘米 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当3为腰时，等腰三角形的三边为：3，3，4，因为，符合三角形三边关系； 当4为腰时，等腰三角形的三边为：4，4，3，因为，符合三角形三边关系； ∴等腰三角形的周长为：（厘米）或（厘米）， 故选：D． 2．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，垂直于横梁，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形中角所对直角边等于斜边一半的性质，熟练运用该性质是解题关键．先求出，再在中，结合是中点及该性质求出． 【详解】解：， 是的中点， ． 又，， ． 故选：B． 3．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 连接，交于点P，利用等边三角形的性质可得，，从而得到当点B，P，E三点共线时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点P， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴，， 即当点B，P，E三点共线时，取得最小值， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，公路，互相垂直，点为公路的中点，为测量湖泊两侧两点间的距离，若测得的长为，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，由公路，互相垂直，则，又为的中点，则有，然后代入求值即可，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵公路，互相垂直， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，两点间的距离为， 故选：． 5．（24-25八年级上·浙江台州·期末）已知中，，．如图，将进行折叠，使点落在线段上（包括点和点，设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时，点可能的位置共有（   ）．    A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的判定可以得出，存在不同的边之间相等，有，，，即可得出答案． 【详解】解：将进行折叠，使点落在线段上（包括点和点，设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时， 点可能的位置共有：①当点与点点）重合时，    ，，，是等腰三角形； ②当点与点点）重合时，点与点重合，    ，，，是等腰三角形； ③如图当时，是等腰三角形．    本题选B． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定与翻折变换，找出特殊点点与，分别重合时的两点是解决问题的关键． 6．（2025·福建厦门·模拟预测）已知中，，，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定方法，是解题的关键．根据，，得出为等边三角形，根据等边三角形的性质得出． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：5． 7．（24-25八年级上·广东阳江·阶段练习）等腰三角形的两边长分别是6和10，则该三角形的周长是 ． 【答案】22或26 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据等腰三角形的两边长分别是6和10，进行分类讨论，如果满足三边关系，则计算周长，即可作答． 【详解】解：∵等腰三角形的两边长分别是6和10， ∴当腰长为6时，三边分别是 则， ∴， ∴当腰长为10时，三边分别是 则， ∴， 故答案为：22或26． 8．（25-26八年级上·陕西延安·阶段练习）在中，和是它的两个锐角且，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查直角三角形的性质，根据直角三角形的两个锐角互余，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 9．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）图中的三十六个小等边三角形面积都等于2，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，关键是想到外围的两个三角形放在一起构成一个平行四边形． 、和是全等的，其中两个三角形放在一起得到一个平行四边形，求出平行四边形的面积，得到的面积的面积的面积，即可得到的面积． 【详解】 解：由题意，可知：， ∴、和是全等的，其中两个三角形放在一起得到一个平行四边形， 这样的平行四边形的面积个小等边三角形的面积的和， 的面积的面积的面积， 的面积， 的面积， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江苏无锡·单元测试）如图，，为上一点，和分别平分和，若，则的长度为 ． 【答案】5 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，作辅助线构造等腰三角形是解题的关键．延长、，交于点，证，再证得，据此求解． 【详解】延长、，交于点，如图所示， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 11．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，已知中，，是高，，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．根据含角的直角三角形的三边特征，即可解答． 【详解】解：，，， ，， 是高， ， ， ． 12．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，． (1)用直尺和圆规作的平分线交于D(保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)在（1）中作出的平分线后，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图—基本作图、角平分线的定义和等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握角平分线的定义是解题关键． （1）利用直尺和圆规作的平分线交于D即可； （2）根据角平分线的定义和等腰三角形的性质，即可求的度数． 【详解】（1）解∶如图，即为所作图形； （2）解∶∵， ∴， ∵平分， ， ． 13．（24-25八年级上·江苏·期末）已知：如图，点、、、在同一条直线上，，，与相交于点．． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴①（垂直的定义）． 在和中， （已证）， （已知） ②（已知）， ∴． ∴（④）． ∴（⑤）． 又∵（已知）， ∴⑥（等式的性质）， 即． 【答案】①；②；③1；④全等三角形的对应角相等（或全等三角形的性质）；⑤等角对等边；⑥ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 依据“”判定和全等得，再根据等角对等边得，然后根据即可得出． 【详解】证明：∵（已知）， ∴①（垂直的定义）． 在和中， （已证）， （已知） ②（已知）， ∴． ∴1（④全等三角形的对应角相等（或全等三角形的性质））． ∴（⑤等角对等边）． 又∵（已知）， ∴⑥（等式的性质）， 即． 故答案为：（1）；（2）；（3）1；（4）全等三角形的对应角相等；（5）等角对等边；（6）． 14．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）阅读应用：等腰三角形在我们的日常生活中随处可见，它的性质与判断更是我们省每年中考中的必考点，如图1，在中，当时，我们把这种判断等腰三角形的依据叫做在同一个三角形中，等角对等边．应用这一结论，解决下面问题： 如图2，在和中，与相交于点E，，，求证：三角形是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；由证明，得出对应角相等，再由等角对等边即可得出结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴三角形是等腰三角形． 15．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，等边中，点在上，延长到，使，连，过点作于点． (1)如图1，若点是中点， 求证：①；②． (2)如图2，若点是边上任意一点，的结论是否仍成立？请证明你的结论； (3)如图3，若点是延长线上任意一点，其他条件不变，的结论是否仍成立？画出图并证明你的结论． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)成立，见解析 (3)成立，见解析 【分析】本题属于三角形的综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加适当的辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）证明，推出，利用等腰三角形的性质，可得结论； （2） 仍然成立，过点D作交AC于M，证明，可得结论； （3）结论仍然成立，过点D作交AC于M，证明，可得结论． 【详解】（1）证明：如图 ①∵为等边三角形， ∴， 又为中点， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴； ②∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴． （2）仍然成立，理由如下： 如图，过点D作交AC于M ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而， ∴． （3）的结论仍然成立，理由如下：如图为所求作图． 作交的延长线于， ∴ ∴为等边三角形， ，， 而， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 等腰三角形重难点题型专训 （4个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 等腰三角形的定义 题型二 等边对等角 题型三 三线合一 题型四 根据等角对等边求边长 题型五 根据等角对等边证明等腰三角形 题型六 根据等角对等边证明边相等 题型七 等腰三角形的性质和判定 题型八 等边三角形的判定和性质 题型九 含30度角的直角三角形 题型十 斜边的中线等于斜边的一半 题型十一 直角三角形的两个锐角互余 题型十二 锐角互余的三角形是直角三角形 拓展训练一 与等腰三角的相关作图问题 拓展训练二 等腰三角形的旋转问题 拓展训练三 等腰三角形的翻折问题 识点一： 等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【即时训练】 1．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）下列结论中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个内角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，，若 ，则是等边三角形． 知识点二：等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角是（   ） A． B．或 C． D． 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为 ． 知识点三：等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： （1）要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·云南丽江·期中）如图，，点为上一点，且，过点作交于点，若，，则的长是(   ) A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，中，，，，D为斜边上不与端点A、B重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接．若为等腰三角形，则的长为 ． 知识点四： 等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是等边三角形，点在的延长线上，交于点，若，则的长为（   ） A．12 B．8 C． D．2 2．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，等边周长是18，是的平分线，则 ． 【经典例题一 等腰三角形的定义】 【例1】（24-25八年级上·河南安阳·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为5和8，则它的周长为（    ） A．18或21 B．18 C．21 D．22 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，ABCD是正方形，△CDE绕点C逆时针方向旋转90°后能与△CBF重合，那么△CEF是（　　） A．.等腰三角形 B．等边三角形 C．.直角三角形 D．.等腰直角三角形 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）等腰三角形的周长为，底边为，则等腰三角形的腰为 ． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以为直角边作等腰直角三角形，得与中，连接交射线于点M，则的长为 ． 4．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）已知：如图所示和都是等腰直角三角形，，连接，．求证：． 【经典例题二 等边对等角】 【例2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）在中，有下列四个命题： ①如果，那么；    ②如果，那么； ③如果，那么；    ④如果，那么． 其中，真命题的个数有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 1．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，是等腰三角形，，，BP平分；点D是射线BP上一点，如果点D满足是等腰三角形，那么的度数是（    ）． A．20°或70° B．20°、70°或100° C．40°或100° D．40°、70°或100° 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，以为斜边作等腰直角三角形，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图是一个非机动车的交通指示牌，自行车车架的支撑部分可以看成两个共边的三角形，若，，，则 ． 4．（24-25八年级上·湖南怀化·阶段练习）如图，在中，，点D为中点，于点E，交于点F，连接，求证：． 【经典例题三 三线合一】 【例3】（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，在中，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，是的角平分线，点，是上的两点，连接，，，．若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A．15 B． C．6 D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，是的角平分线，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在等腰三角形中，，点D为边的中点，边的垂直平分线交于点E，F，若的面积为，直线上有一动点P，连接，则的最小值为 ． 4．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图， 在中，，点D、E是边上两点，连接，以为腰作等腰直角，，作于点E，，作于点G． (1)证明∶； (2)若，，求的大小． 【经典例题四 根据等角对等边求边长】 【例4】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，点D在边上，连接，，，则的长度等于（    ） A．7 B．8 C．10 D．6 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，点为右侧一点，连接、，，，若，，则的周长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 2．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为 ． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·课后作业） 如图，，．若，的周长为10，则的周长为 ． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于点，，求的长． 【经典例题五 根据等角对等边证明等腰三角形】 【例5】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 1．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25八年级上·广东江门·期中）在三角形中，已知，，那么的形状是 ． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·课后作业）把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是 ． 4．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，的高，相交于点且，求证：为等腰三角形． 【经典例题六 根据等角对等边证明边相等】 【例6】（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，，若，则的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，在中，分别平分，，且，，的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为 ． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，矩形中，平分交于点E，连接，若，，则的长是 ． 4．（2025八年级·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，点是的中线上一点，连接并延长交于，，．试求出的长． 【经典例题七 等腰三角形的性质和判定】 【例7】（25-26八年级上·江苏无锡·单元测试）如图，已知为内一点，平分，若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在等边中，，垂足为，是上一点，．则的度数为（   ） 如图，等边三角形中，，垂足为D，点E在线段上，且，则等 A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD，∠ABC＝110°，则∠ADC的度数为 ． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，将绕点逆时针旋转78°，得到．若点在线段的延长线上，则的度数是 °． 4．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，在中，平分，交于点，为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【经典例题八 等边三角形的判定和性质】 【例8】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，将四根长度相等的细木条首尾顺次相连，用钉子钉成四边形，若，则两点间的距离是（   ） A．1 B． C．2 D． 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在等边中，、分别在、上，，连接、交于，连接．下列判断不正确的是（   ）． A．是等边三角形； B．； C．； D．． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期末）在中，，，则 ． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，是等边中边上的点，，，则的度数为 ．    4．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知是边长为10的等边三角形，P是边上一点，点Q在射线上．设的长为x． (1)如图1，当，且时．求证：； (2)当时，连接，交边于点D，且D是线段的中点． ①如图2，作交于点E，且，求x的值； ②如图3，作于点F．随着x的增大，线段的长是否发生变化？若不变，求线段的长；若发生变化、请说明理由； ③如图4，长为1的木条在边上，且．若②中的点F恰好落在木条上（不包括端点），请直接写出x的取值范围． 【经典例题九 含30度角的直角三角形】 【例9】（25-26八年级上·江苏无锡·课后作业）在中，，，，则的长是（   ） A．1 B．4 C．2 D．无法确定 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025·江苏·模拟预测）如图，，，于点，若，则 ． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，是的中垂线，分别交、于点、，若，，则 ． 4．（24-25八年级上·河南商丘·期末）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿，方向匀速移动，其中点运动的速度是，点运动的速度是，当点到达点时，、两点都停止运动，设运动时间为（），解答下列问题： (1)在点与点的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出，若不能，请说明理由． (2)当为何值时，是直角三角形？ 【经典例题十 斜边的中线等于斜边的一半】 【例10】（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·课后作业）如图，在中，于点F，于点E，M为的中点，，则的周长是（    ） A．7 B．10 C．11 D．14 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=4，则EF= ． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，Rt△ABD中，∠D＝90°，AB＝8，BD＝4，在BD延长线上取一点C，使得DC＝BD，在直线AD左侧有一动点P满足∠PAD＝∠PDB，连接PC，则线段CP长的最大值为 ． 4．（2025·安徽淮南·模拟预测）如图1，在△ABC中，BM是中线，AH是高，于D，． (1)求证：D为BM的中点； (2)如图2，连接AD并延长交BC于E，若，． ①求证：；②求的值． 【经典例题十一 直角三角形的两个锐角互余】 【例11】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，中，，是高，则与（    ） A．互余 B．互补 C．相等 D．没有关系 1．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图所示，已知，点E在上，，，则下列结论不成立的是（   ） A．平分 B． C． D． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，，，，则 ． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当与的一边垂直时， ． 4．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）把两个含有角的直角三角板和如图放置，点D在上，连接，，的延长线交于点F． (1)图中是否有全等三角形？如果有，请指出并加以证明． (2)试探究与的关系，并说明理由． 【经典例题十二 锐角互余的三角形是直角三角形】 【例12】（24-25八年级上·江苏苏州·开学考试）在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）已知的三个角分别是、、，下列选项中：①；②；③，④，⑤，不能判断是直角三角形的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图中，在边上，在边上，，则的大小为 度． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，分别为边的中点，已知，若与互余，则图中阴影部分的面积等于 ． 4．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，是的高，E为上一点，交于F，且有，． (1)求的度数； (2)求证：． 【拓展训练一 与等腰三角的相关作图问题】 1．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 2．（24-25八年级上·江苏南京·开学考试）房屋的屋顶常常设计为等腰三角形的形状，既是为了结构更牢固，也是为了追求对称美观和排水效果，如图1所示．如图2是屋顶设计图一部分，，米． (1)尺规作图：为了屋顶更稳固，需要加一根立柱支撑，立柱垂直于横梁，垂足为点．请在图2中作出立柱（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)当时，求立柱的长． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在学习等腰三角形时，读思学习小组对等腰三角形进行了下列探究：如图，在中，，于点，过点作的垂线，垂足为，他们通过证三角形全等得到线段与相等．于是他们得到结论是等腰三角形两腰上的高相等．请根据该小组的思路完成下面作图和解答． (1)如图，用直尺和圆规，完成基本作图：过点作的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）． (2)证明：，①______． ，，②______． ，③______． ． 进一步思考，如果上面的，是的中线，请模仿上述探究猜想得到的结论：等腰三角形④______相等． 【拓展训练二 等腰三角形的旋转问题】 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接． (1)判断并说明的形状； (2)若，求的度数． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期末）（1）操作发现：小明将一个含角的直角三角板的直角顶点，与边长为2的正方形的中心点重合，然后将三角板绕点旋转．在旋转的过程中，三角板与正方形的重叠部分的图形有两种特殊情况，一种是正方形，一种如图1所示． 请你回答：图1中重叠部分（即）图形的形状是___________，其面积为___________； （2）类比探究：在（1）的基础上，小明将三角板旋转到图2的位置，设它的两条直角边分别与相交于点．研究后小明认为：四边形的面积与（1）中的面积一定相等．你同意小明的观点吗？若同意请你说明理由；若不同意，请举反例说明； （3）拓展延伸：如图3，在长方形中，已知，点是的中点，点分别在边上，且．当点为边的三等分点时，直接写出四边形的面积． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）在中，． 【问题发现】 （1）如图1，点是边上一动点（点不与点、重合），连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接、、则线段与的数量关系：_________，位置关系：_________． 【探究证明】 （2）如图2，点是射线上一动点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接、．请判断线段与的数量关系与位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，点是外一点，连接、、，当，且时，请求出四边形的面积． 【拓展训练三 等腰三角形的翻折问题】 1．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）图，在等腰中，，，平分，折叠使得点B与点C重合，折痕交于点E、F、G，连接交于点H． (1)试说明：； (2)连接，求的度数． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，点在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点，处． (1)求的度数； (2)若，求的面积． 3．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）问题初探：（1）如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点．求证：； 方法迁移：（2）如图2，是的角平分线，．求证：； 问题拓展：（3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系． 1．（25-26八年级上·江苏苏州·开学考试）一个等腰三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，它的周长是（   ） A．7厘米 B．10厘米 C．11厘米 D．10厘米或11厘米 2．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，垂直于横梁，，，则等于（ ） A． B． C． D． 3．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，是等边三角形，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，公路，互相垂直，点为公路的中点，为测量湖泊两侧两点间的距离，若测得的长为，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·浙江台州·期末）已知中，，．如图，将进行折叠，使点落在线段上（包括点和点，设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时，点可能的位置共有（   ）．    A．种 B．种 C．种 D．种 6．（2025·福建厦门·模拟预测）已知中，，，则 ． 7．（24-25八年级上·广东阳江·阶段练习）等腰三角形的两边长分别是6和10，则该三角形的周长是 ． 8．（25-26八年级上·陕西延安·阶段练习）在中，和是它的两个锐角且，则的度数为 ． 9．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）图中的三十六个小等边三角形面积都等于2，则的面积为 ． 10．（25-26八年级上·江苏无锡·单元测试）如图，，为上一点，和分别平分和，若，则的长度为 ． 11．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，已知中，，是高，，若，求的长． 12．（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，． (1)用直尺和圆规作的平分线交于D(保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)在（1）中作出的平分线后，求的度数． 13．（24-25八年级上·江苏·期末）已知：如图，点、、、在同一条直线上，，，与相交于点．． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴①（垂直的定义）． 在和中， （已证）， （已知） ②（已知）， ∴． ∴（④）． ∴（⑤）． 又∵（已知）， ∴⑥（等式的性质）， 即． 14．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）阅读应用：等腰三角形在我们的日常生活中随处可见，它的性质与判断更是我们省每年中考中的必考点，如图1，在中，当时，我们把这种判断等腰三角形的依据叫做在同一个三角形中，等角对等边．应用这一结论，解决下面问题： 如图2，在和中，与相交于点E，，，求证：三角形是等腰三角形． 15．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，等边中，点在上，延长到，使，连，过点作于点． (1)如图1，若点是中点， 求证：①；②． (2)如图2，若点是边上任意一点，的结论是否仍成立？请证明你的结论； (3)如图3，若点是延长线上任意一点，其他条件不变，的结论是否仍成立？画出图并证明你的结论． 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