26.3二次函数的图像 （2）学案 2025-2026学年 沪教版九年级数学上册

用待定系数法确定二次函数表达式 【学习目标】 1. 掌握顶点式、一般式和两根式表示二次函数，选择合适的方法求解二次函数表达式 2. 根据数形结合思想求解二次函数表达式. 【学习过程】 学前准备 1.根据二次函数的图象和性质填表： 二 次 函 数 对 称 轴 顶 点 与坐标轴交点 一般式 与轴交与点（ ） 顶点式 2.用十字相乘法分解因式： ① ② ③ 【合作探究】 一、探索归纳： 1.根据《学前准备》第3题的结果，改写下列二次函数： ① ② ③ 2.求出上述抛物线与轴的交点坐标： ① ② ③ 坐标： 3.你发现什么？ 4.归纳： ⑴若二次函数是的形式，则该抛物线与轴的交点坐标是 ，故我们把这种形式的二次函数关系式称为 式. ⑵反之若二次函数与轴交点坐标是（）、（），则该函数还可以 表示为 的形式； ⑶二次函数的图象与轴有2个交点的前提条件是 ，因此这也 是 式存在的前提条件. 5. 把下列二次函数改写成交点式，并写出它与坐标轴的交点坐标. ⑴ ⑵ ⑶ 与轴的交点坐标是： 与轴的交点坐标是： 二、典型例题： 例1.已知二次函数的图象与轴的交点坐标是（3,0），（1,0），且函数的最值是3. ⑴求对称轴和顶点坐标. ⑵在下列平面直角坐标系中画出它的简图. ⑶求出该二次函数的关系式. ⑷若二次函数的图象与轴的交点坐标是（3,0），（-1,0），则对称轴是 ； 若二次函数的图象与轴的交点坐标是（-3,0），（1,0），则对称轴是 ； 若二次函数的图象与轴的交点坐标是（-3,0），（-1,0），则对称轴是 . 归纳：若抛物线与轴的交点坐标是（）、（）则，对称轴是 ，顶点 坐标是 . 例2.已知二次函数的图象上两点点坐标是（-3,1），（1,1），且函数的最值是4. ⑴求对称轴和顶点坐标. ⑵在下列平面直角坐标系中画出它的简图. ⑶求出该二次函数的关系式. 归纳：已知A、B是抛物线上一对对称点，且A点坐标是（）、 B点坐标是（）则，对称轴是 ，顶点坐标是 . 【练习】 1.已知一条抛物线的开口大小、方向与均相同，且与轴的交点坐标是（2,0）、（-3,0），则该抛物线的关系式是 . 2.已知一条抛物线与轴有两个交点，其中一个交点坐标是（-1,0）、对称轴是直线，则另一个交点坐标是 . 3.已知一条抛物线与轴的两个交点之间的距离为4，其中一个交点坐标是（0,0）、则另 一个交点坐标是 ，该抛物线的对称轴是 . 4.二次函数与轴的交点坐标是 ，对称轴是 . 5.请写出一个二次函数，它与轴的交点坐标是（-6,0）、（-3,0）： . 6.已知一条抛物线的开口大小与相同但方向相反，且顶点坐标是（2,3），则该抛物 线的关系式是 . 7.已知一条抛物线是由平移得到，并且与轴的交点坐标是（-1,0）、（2,0），则该抛物线的关系式是 . 8.已知一条抛物线与的形状相同，开口方向相同，对称轴相同，且与轴的交点坐标是（0,-3），则该抛物线的关系式是 . 9.将抛物线先向左平移2个单位得到的抛物线是 ，再向下平移3个单位得到的抛物线是 . 10.将抛物线沿轴翻折后， 不变、 改变， 所得新抛物线是 . 例3.二次函数的图象如图所示，请将A、B、C、D点的坐标填在图中. 请用不同方法求出该函数的关系式. ⑴选择点 的坐标，用顶点式求关系式如下： ⑵选择点 的坐标，用 式求关系式如下： ⑶选择点 的坐标，用 式求关系式如下： 思考：如何验证这些不同的关系式表示同一个函数？ 归纳：求二次函数关系式的一般步骤： ⑴根据已知条件确定 的形式 ①已知 用一般式； ②已知 用顶点式； ③已知 用交点式； ⑵代入其他条件得到 ； ⑶解 . 例4. 如图所示，设二次函数的图象与轴交与A、B两点，与轴交与 C点，若AC=8，BC=6,∠ACB=90°,求这个二次函数的解析式. 例5.抛物线的顶点为（-1，-8），它与轴的两个交点间的距离为4.求此抛物线的关系式. 例6. 二次函数的图象与轴交与A、B两点，与轴交C点，A点坐标为（-3,0）、B点坐标为（1,0），且△ABC的面积为6，求该二次函数的关系式. 【巩固练习】 1.抛物线与交与点A(-1,0)、B（-6,0），则线段AB= . 2.二次函数的对称轴是直线，则= . 3.函数经过(-2,0)、(3,0)两点，则这个函数的关系式是= ，= . 4.已知二次函数，当时，函数取得最大值10，且它的图象在轴 上截得的线段长为4，求的值. 5.抛物线与轴只有一个交点，坐标为（-2.，0）.求抛物线的解析式. 作业 1.已知二次函数当时，的最值是6，该抛物线可设为 . 2.二次函数经过点（0，-3）、（1,0），则该函数关系式是 . 3.抛物线经过点（1,0）、（-3,0），则关系式是： . 4.抛物线在轴截得的线段长为4，且经过点（1，3），则该函数关系式是： . 5. 抛物线形状、开口方向都与y=-0.5 x²相同，顶点在（0，-2），求抛物线解析式. 6.抛物线顶点在y轴上，且经过（1，-2）（2,3）两点，求抛物线解析式. 7.已知抛物线顶点在x轴上，且经过点（1,0）（-2,4），求解析式. 8.抛物线顶点坐标为（-2,0）且过点（1,4）求抛物线解析式. 9.已知当x=2时，函数有最小值3，且过点（1, 5），试求函数解析式. 10二次函数的图像经过（1,1）（-1,7）（2,4）三点. 11.已知抛物线顶点坐标为（2，-4），它与x轴一个交点横坐标为1. 12.抛物线对称轴为直线x=2，且经过点（1,4）（5,0）. 13.二次函数图像经过点（3，-8），对称轴x=2，抛物线与x轴两个交点之间距离为6. 14.已知二次函数的图象C1与x轴有且只有一个公共点. ⑴求C1的顶点坐标； ⑵将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（—3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标； ⑶若的取值范围. 15.如图，二次函数的图象与轴交于,两点，且与轴 交于点. ⑴求该抛物线的解析式，并判断的形状； ⑵在轴上方的抛物线上有一点,且以四点为顶点的四边形是等腰梯 形，请直接写出点的坐标为 . ★⑶在此抛物线上是否存在点,使得以四 点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出点的坐标； 若不存在，说明理由. 九年级·数学·暑假课程 学科网（北京）股份有限公司 $